摘要 近年來，由于保險(xiǎn)行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)激烈，保險(xiǎn)公司一方面通過對(duì)公司盈 余進(jìn)行投資，從投資中獲得大量的收益來提高自己的償付能力，同時(shí) 保險(xiǎn)公司為了減少自身所面臨的大賠付的風(fēng)險(xiǎn)，又必須對(duì)賠付進(jìn)行再 保險(xiǎn)處理?？刂仆顿Y和再保險(xiǎn)，使得期望財(cái)富效用最大或破產(chǎn)概率最 小，無論在理論上，還是在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，都具有十分重要的意義。 本文首先對(duì)進(jìn)行停止損失再保險(xiǎn)的傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型做擴(kuò)散逼近，使 模型簡(jiǎn)單化，以最小破產(chǎn)概率為目標(biāo)函數(shù)，借助h j b 方程，求得了 最優(yōu)自留額滿足的表達(dá)式，在個(gè)體理賠取指數(shù)分布和e r l a n g ( 2 ) 分布的 情況下求出了最優(yōu)自留額和最小破產(chǎn)概率的顯示解，并通過數(shù)值計(jì)算 得到自留額與各參數(shù)之間的關(guān)系。其次，對(duì)不確定情況下的跳擴(kuò)散 風(fēng)險(xiǎn)最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)進(jìn)行研究。在保險(xiǎn)公司的盈余和投資具有不確 定性的條件下，得到了使得期望指數(shù)效用最大的最優(yōu)投資、再保險(xiǎn)和 概率測(cè)度變換，以及最優(yōu)值函數(shù)的顯示表達(dá)式。 關(guān)鍵字跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型；擴(kuò)散逼近；破產(chǎn)概率；效用函數(shù)；概率測(cè) 度變換；方差保費(fèi)；h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r , d u et os e v e r ec o m p e t i t i o ni nt h ei n s u r a n c ei n d u s t r y , t h ei n s u r a n c ec o m p a n i e sg e tal o to fb e n e f i t st oi m p r o v et h e i rs o l v e n c y f r o mt h ei n v e s t m e n to ft h em o n e ya ti t sd i s p o s a l a tt h es a m et i m e ，i n o r d e rt or e d u c et h er i s ko fl a r g ec l a i m s ，t h ei n s u r a n c ec o m p a n yt a k e s r e i n s u r a n c ep o l i c yf o rc l a i m s s u b je c tt ot h ec o n t r o lo fi n v e s t m e n ta n d r e i n s u r a n c e ，m a x i m i z i n gt h ee x p e c t e dw e a l t hu t i l i t ya n dm i n i m i z i n gt h e p r o b a b i l i t y o fr u i nh a v ea g r e a t d e a lo ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e f i r s t l y , t h ep a p e r s t u d i e st h ed i f f u s i o na p p r o x i m a t i o no ft h ec l a s s i c a l r i s km o d e l t h eh j be q u a t i o no ft h em i n i m a lp r o b a b i li t yo fr u i na n dt h e o p t i m a ls t o p l o s sr e i n s u r a n c ei sg i v e n w eo b t a i nt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n o ft h em i n i m a lp r o b a b i l i t yo fr u i na n dt h eo p t i m a ls t o p l o s sr e i n s u r a n c e u n d e rt h ec l a i mi se x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n de r l a n gd i s t r i b u t i o n t h e e f f e c t so ft h ep a r a m e t e r so nt h eo p t i m a lr e t e n t i o nl e v e la r eo b t a i n e db y n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s e c o n d l y , w es t u d yt h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n d ：e i n s u r a n c e t h ei u m o d i f f t r i s kn o d e lu n d e rm c e r t a i n t , r u n d e r r e l n s u r a n c e i nt h eu m pd l t t u s m nr i s km o a eu n a e ru n c e r t a l m yu t l o e r 1 - i u n c e r t a i n t yo ft h es u r p l u sa n di n v e s t m e n t ，e x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h e m a x i m a le x p e c t e de x p o n e n t i a lu t i l i t ya n dt h ec o r r e s p o n d i n go p t i m a l p o l i c i e sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s j u m p d i f f u s i o nr i s km o d e l s ；d i f f u s i o na p p r o x i m a t i o n ； r u i n p r o b a b i l i t y ；u t i l i t y f u n c t i o n ；m e a s u r et r a n s f o r m a t i o n ；v a r i a n c e p r e m i u m ；h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a ne q u a t i 9 n i i 碩十學(xué)位論文 第一章緒論 1 1 問題的提出背景 第一章緒論 隨著時(shí)代的發(fā)展，保險(xiǎn)業(yè)越來越受人們青睞，這就意味著保險(xiǎn)公司要承擔(dān)越 來越大的風(fēng)險(xiǎn)。在這種形勢(shì)下，保險(xiǎn)公司要生存，就必須借助其他手段來分散自 己所承擔(dān)的巨大風(fēng)險(xiǎn)。投資和再保險(xiǎn)成為保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)的兩種主要途徑。投 資即保險(xiǎn)公司把資金投放在金融市場(chǎng)并期待從中獲得收入。通常在金融市場(chǎng)有兩 類資產(chǎn)可供保險(xiǎn)公司投資，一是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 即債券) ，另一個(gè)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 即 股票) ，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有更高的收益，但存在風(fēng)險(xiǎn)，因此保險(xiǎn)公司需要 確定最優(yōu)的投資策略。再保險(xiǎn)也稱分保，是保險(xiǎn)公司在原保險(xiǎn)合同的基礎(chǔ)上通過 簽訂分保合同，將其所承擔(dān)的部分風(fēng)險(xiǎn)和責(zé)任向其它保險(xiǎn)人進(jìn)行保險(xiǎn)的行為。分 出風(fēng)險(xiǎn)和責(zé)任的保險(xiǎn)人叫原保險(xiǎn)人，分入風(fēng)險(xiǎn)和責(zé)任的保險(xiǎn)人叫再保險(xiǎn)人。保險(xiǎn) 人和再保險(xiǎn)人的權(quán)利和義務(wù)由分保合同確定，即由分保合同決定原保險(xiǎn)人應(yīng)繳的 再保險(xiǎn)費(fèi)和再保險(xiǎn)人應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任。因此原保險(xiǎn)人選擇什么樣的分保方式，原保 險(xiǎn)人分出多少風(fēng)險(xiǎn)給再保險(xiǎn)人，這對(duì)保險(xiǎn)公司來說都是十分重要的。 f l 3 1 保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略是當(dāng)今金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之 一，它的理論不僅豐富和發(fā)展了現(xiàn)代金融理論，而且也溝通了各個(gè)數(shù)學(xué)分支與金 融學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)之間的聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了推動(dòng)作用。利用隨機(jī)控制解決保險(xiǎn) 問題更是得到越來越多的關(guān)注，早在1 9 6 7 年，k a r lb o r c h 在倫敦皇家統(tǒng)計(jì)協(xié)會(huì) 中作報(bào)告指出：控制過程理論好像是為保險(xiǎn)公司已經(jīng)奮斗了超過了一個(gè)世紀(jì)的問 題所制造的泰勒模式，如果保險(xiǎn)公司和工程師已經(jīng)意識(shí)到他們一直在研究同樣的 問題，并且已經(jīng)聯(lián)系超過了五十年，考慮這個(gè)理論如何發(fā)展將會(huì)是非常有趣且有 用的。因此，對(duì)保險(xiǎn)公司的投資和再保險(xiǎn)策略進(jìn)行研究，無論在理論上，還是在 保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，都是十分有意義的。 碩十學(xué)位論文第一章緒論 1 2 研究現(xiàn)狀 在風(fēng)險(xiǎn)理論中，破產(chǎn)論是核心內(nèi)容。破產(chǎn)論的研究溯源于瑞典精算師 l u n d b e r g 在1 9 0 3 年發(fā)表的博士論文，至今已有近百年的歷史。s t o c k h o l m 學(xué)派 的領(lǐng)導(dǎo)人物c r a m e r 在完善l u n d b e r g 的數(shù)學(xué)工作中發(fā)揮了重要的作用，同時(shí)也從 這一研究出發(fā)，對(duì)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，之后f e l l e r 推廣了 c r 鋤e r 的結(jié)果，給出了更新論證，這就是著名的c r a m e r - l u n d b e 略模型陽1 。雖 然經(jīng)典c r a m e r - l u n d b e r g 模型是對(duì)保險(xiǎn)公司盈余的現(xiàn)實(shí)狀況的模型描述，但在經(jīng) 典c r a m e r - l u n d b e r g 模型下，很多保險(xiǎn)問題無法得到確切的顯式解，為此，很多 文獻(xiàn)在經(jīng)典c r a m e r - l u n d b e r g 模型的基礎(chǔ)上，將保險(xiǎn)盈余模型用擴(kuò)散模型逼近。 與此同時(shí)，當(dāng)保險(xiǎn)公司盈余額相對(duì)于單個(gè)理賠來說較大時(shí)，擴(kuò)散模型也確實(shí)能 很好的近擬保險(xiǎn)公司的動(dòng)態(tài)盈余過程。b r o w n e l 6 - - 8 首次用帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)形式 表示盈余過程，得出使破產(chǎn)概率最小的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資額為一常數(shù)，同時(shí)給出在這 最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資額下的最小破產(chǎn)概率的指數(shù)函數(shù)表達(dá)式。l i a n g 一 ，s c h m i d l i l 9 2 1 1 3 1 一， j f 1 4 1 ，115和ts1161在promislowa n dy o u n gt a k s a ra n dm a r k u s s e nl u oa n dt a k s a ra n dt s o i，和 b r o w m e 的基礎(chǔ)上研究了比例再保險(xiǎn)，他們得出了最優(yōu)決策的顯示解和最優(yōu)的目 標(biāo)函數(shù)。h i p pa j l dp l u m 1 8 1 研究了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，并且考慮盈余只投資在服從幾 何布朗運(yùn)動(dòng)形式回報(bào)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形，為了使破產(chǎn)概率最小，借助了 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，證明了解的存在?！皍a n dy a n g ，y a n ga n d 1 2 0 2 1 1 在dp izhangh i p pa n dp l u m 的基礎(chǔ)上研究了資金可以投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況。 在的基礎(chǔ)上研究了資金可以投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況。 s c h i m i d l i 2 2 1 考慮有再保險(xiǎn)和投資的情況，盈余模型由經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)過程給出，得到 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程的數(shù)值解。l i n 嘲討論了帶跳風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率， 這里的資金可同時(shí)投資在風(fēng)險(xiǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)。 上述文獻(xiàn)僅僅考慮的再保險(xiǎn)方式為比例再保險(xiǎn)，還很少有文獻(xiàn)對(duì)停止損失再 保險(xiǎn)策略進(jìn)行研究，而我們知道，停止損失再保險(xiǎn)方式也是保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中廣泛應(yīng)用 的再保險(xiǎn)方式之一。因此對(duì)停i e 損失再保險(xiǎn)策略進(jìn)行系統(tǒng)研究，是十分重要的。 2 碩十學(xué)位論文第一章緒論 使破產(chǎn)概率最小，已是人們常用的一類目標(biāo)函數(shù)。但近來還出現(xiàn)了另一類目 標(biāo)函數(shù)，最大期望效用，此時(shí)在在求解過程中就不必對(duì)盈余過程采用擴(kuò)散逼近。 如：y a n ga n dz h a n 9 1 2 4 1 采用跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，研究使得期望指數(shù)效用最大的最優(yōu) f 2 s 1 投資和比例再保險(xiǎn)策略。b a ia n dg u o 應(yīng)用擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，得到使得期望指數(shù) | 2 6 1 效用最大的最優(yōu)投資和比例再保險(xiǎn)策略的顯示解。l ia n dw u 1 研究了使期望效 用最大的最優(yōu)投資策略，應(yīng)用h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，得到了最優(yōu)投資分 配。最近，因?yàn)榻鹑谑袌?chǎng)的復(fù)雜性，概率測(cè)度有客觀概率測(cè)度，風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè) 度，在不同的概率測(cè)度2 7 2 9 l 上，有不同的投資方式。錢曉松1 3 0 1 研究了在跳擴(kuò)散 模型中概率測(cè)度的變換對(duì)于期權(quán)定價(jià)的影響，通過選取不同的記價(jià)單位以及相應(yīng) 舊1 1 的概率測(cè)度，簡(jiǎn)化了期權(quán)定價(jià)中一些復(fù)雜的理論。王偉，王文勝，王帥通過測(cè)度 變換的方法給出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型中遠(yuǎn)期生效看漲期權(quán)的價(jià)格公式z h a n g 1 3 2 1 a n dk u e n 。對(duì)傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)模型，研究了變化概率測(cè)度上的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資。 目前，大部分文獻(xiàn)的再保險(xiǎn)費(fèi)計(jì)算方式都是期望保費(fèi)方式，而在實(shí)務(wù)中，方 f 3 3 1 差保費(fèi)方式也廣泛應(yīng)用。h a l da n ds c h m i d l i 在論文中就用到了方差保費(fèi)方式計(jì) 算再保險(xiǎn)費(fèi)的模式。因此，用方差保費(fèi)方式計(jì)算再保險(xiǎn)費(fèi)的最優(yōu)再保險(xiǎn)研究也是 有很大的實(shí)際意義的。 1 3 論文結(jié)構(gòu) 本文共分為五章，具體內(nèi)容如下。 第一章緒論。主要介紹論文的選題背景，以及研究意義，研究現(xiàn)狀和本文 的結(jié)構(gòu)和研究方法。 第二章理論知識(shí)。主要介紹保險(xiǎn)數(shù)學(xué)中一些基本概念和原理，以及最優(yōu)隨 機(jī)控制理論。本章是本文的基礎(chǔ)。 第三章最優(yōu)的停止損失再保險(xiǎn)。首先把停止損失再保險(xiǎn)后的傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型 用擴(kuò)散逼近，然后得到最小破產(chǎn)概率和最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)自留額所滿足的 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程。在索賠額為指數(shù)分布和e r l a n g ( 2 ) 分布的情形下， 3 碩十學(xué)位論文第一章緒論 通過求解h j b 方程得到最小破產(chǎn)概率和最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)自留額的顯示表達(dá) 式。并通過數(shù)值計(jì)算得出自圉額額對(duì)破產(chǎn)概率的影響，以及最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn) 自留額和各個(gè)參數(shù)的關(guān)系。 第四章不確定模型下的最優(yōu)投資和最優(yōu)再保險(xiǎn)。在跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型基礎(chǔ) 上，考慮資金能同時(shí)投資在無風(fēng)險(xiǎn)和有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上和再保險(xiǎn)分別選擇比例再保 險(xiǎn)、停止損失再保險(xiǎn)兩種情況，建立了不確定概率測(cè)度下的投資和再保險(xiǎn)盈余模 型。因?yàn)閱栴}的復(fù)雜性，我們從保守角度出發(fā)，先求出在各個(gè)測(cè)度下的最小期望 效用，而后利用投資和再保險(xiǎn)策略求出這些最小期望效用中最大的那個(gè)期望效 用，此時(shí)的投資和再保險(xiǎn)策略，我們認(rèn)為它是最優(yōu)的策略，即人們常用的在壞中 尋找最好的的策略。通過h j b 方程求解最優(yōu)的決策，得到了最優(yōu)投資和再保險(xiǎn) 滿足的表達(dá)式，并得出相應(yīng)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式。在假設(shè)索賠額為指數(shù)分布的 情形下，求得了更加清晰表達(dá)式。 第五章總結(jié)和展望。給出了本文的主要結(jié)果，以及一些亟待研究的問題和 想法。 本文主要的研究方法：首先建立風(fēng)險(xiǎn)模型，然后運(yùn)用最優(yōu)隨機(jī)控制理論，得 到目標(biāo)函數(shù)所滿足的h j b 方程，通過求解h j b 方程得到目標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)策略的 顯示表達(dá)式，最后通過數(shù)值計(jì)算最優(yōu)策略的影響因素。 4 碩十學(xué)位論文 第二二章基本概念和基本理論 2 1 基本概念 第二章基本概念和基本理論 假設(shè)所有的過程和隨機(jī)變量都定義在概率空間( q ，f ，p ) 上，且在概率空間 ( q ，f ，p ) 上有一個(gè)滿足通常條件的盯一代數(shù)，即f = f ，0 ) 是右連續(xù)的，且 磊包含所有的概率為0 的集合 2 1 1 再保險(xiǎn) 再保險(xiǎn)合同很多，有成數(shù)再保險(xiǎn)，溢額再保險(xiǎn)，險(xiǎn)位超額再保險(xiǎn)和事故停止 損失再保險(xiǎn)等等，并且里面的條款可以人為商議改動(dòng)。廣泛使用再保險(xiǎn)方式主要 有比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)。 1 比例再保險(xiǎn)也就是在賠付發(fā)生時(shí)原保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人按照合同的比例承 擔(dān)損失。設(shè)某次事故發(fā)生時(shí)損失額為x ，比例系數(shù)為b ，則原保險(xiǎn)人賠付b x ， 再保險(xiǎn)人賠付r l b ) x 。 2 停止損失再保險(xiǎn)是指在賠付發(fā)生時(shí)原保險(xiǎn)人只賠付不超過某個(gè)數(shù)額的損 失，而超過部分由再保險(xiǎn)人賠付，此時(shí)的這個(gè)數(shù)額稱自留額。設(shè)某次事故發(fā)生時(shí) 損失額為x ，自留額為m ，則原保險(xiǎn)人賠付m i n ( x ，m ) ，再保險(xiǎn)人賠付 m a x ( x m ，0 ) 。 2 1 2 投資 金融數(shù)學(xué)中最重要最成功的模型就是b i a c k _ s c h 。1 e s 模型。假設(shè)金融市場(chǎng) 只有兩種資產(chǎn)可供交易，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 債券或銀行帳戶) 和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 股票或基 金) 。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 債券) 在時(shí)刻f 時(shí)的價(jià)格b ( f ) 滿足以下常微分方程 5 碩+ 學(xué)位論文第二章基本概念和基本理論 d b ( t ) = r b ( t ) d t ，( 2 一1 ) 其中， 0 是無風(fēng)險(xiǎn)利率。 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)( 股票) 在時(shí)刻，時(shí)的價(jià)格為s ( f ) ，有各種隨機(jī)模型可以用來描述 s ( ，) 。我們給出一般形式的微分方程 a s ( t ) = s ( f ) 【m ( ，s ( t ) ) d t + n ( t ，s ( f ) ) d 曠o ) 】 ( 2 2 ) m ( t ，s ( ，) ) 表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益率，不失一般性m ( t ，s ( ，) ) ，n ( t ，s ( 嘞表示 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率臺(tái) 礦( ，) ，r 芝o 為定義在完備的概率空侗( q ，f ，尸) 上的男一標(biāo)準(zhǔn) 布朗運(yùn)動(dòng)，且與 e ，k = l ，2 ，) ， ( ，) ，0 ) 和 彬，0 ) 相互獨(dú)立。 在本文中，我們對(duì)連續(xù)時(shí)間的金融市場(chǎng)模型作標(biāo)準(zhǔn)性假設(shè)，即允許連續(xù)交易、 在交易中不包含交易費(fèi)用和稅收3 7 3 引、所有資產(chǎn)都是無窮可分的3 舛。 2 1 3 保費(fèi)的計(jì)算方式 國內(nèi)外計(jì)算保費(fèi)的方式很多，主要使用的保費(fèi)計(jì)算方式【4 0 l 主要有 ( 1 ) 期望計(jì)算方式：c ( r ) = ( 1 + f 1 ) e ( r ) ； ( 2 ) 標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方式：c ( r ) = e ( r ) + 廁； ( 3 ) 方差計(jì)算方式：c ( r ) = e ( r ) + f l d ( r ) 。 2 1 4 效用函數(shù) 人們都喜歡財(cái)富，故我們的效用函數(shù)是遞增的函數(shù)，即“ 0 。但并不是 所有的人都會(huì)因?yàn)樨?cái)富的增加而更加喜歡財(cái)富，這里我們認(rèn)為有三類人群，第一 類為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，效用函數(shù)滿足甜”( 力 o ；最后一類為風(fēng)險(xiǎn)中性型，效用函數(shù)1 - 一1 2 ”( 功= o 一般來說，投資者為嚴(yán)格的風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，即投資者的效用函數(shù)是連續(xù)的、嚴(yán) 碩十學(xué)位論文第二章基本概念和基本理論 裕單調(diào)遞增( u 0 ) 并且為嚴(yán)稀凹的( u 。 0 ，厭惡風(fēng)險(xiǎn)；，( x ) 。是常數(shù)。則該效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，( x ) = 毛筆摯= 尸是常數(shù)，又 因?yàn)橹笖?shù)效用函數(shù)是在零效用原理下，唯一一個(gè)得出獨(dú)立于保險(xiǎn)公司盈余水平的 公平保費(fèi)的函數(shù)，所以它在保險(xiǎn)數(shù)學(xué)和精算應(yīng)用中有著重要地位。 ( 2 ) 二次效用函數(shù)： = x 一x 2 ，x 。是常數(shù)。該效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為r ( x ) = 幫= r 箋。 ( 3 ) 對(duì)數(shù)效用函數(shù)： u ( x ) z f l l o g x ，x 0( 2 - 5 ) 其中 。是常數(shù)。該效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為廠( x ) = 毛等= j 1 。 ( 4 ) 冪效用函數(shù)： u ( x ) = ，x 0( 2 - 6 ) 其中。 心是常數(shù)。該效用函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為r ( 加幫= 半。 碩十學(xué)位論文 第二章基本概念和基本理論 2 1 5 基本風(fēng)險(xiǎn)模型 ( 1 ) 經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型1 4 1 1 _ v r ) x t 窶j + d ，一 j - 一 f - l ( 2 7 ) 其中z 為，時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余，x 為保險(xiǎn)公司的初始盈余，p 為保費(fèi)收取比率， f 為一泊松過程，r ，江l ，2 ，為理賠額，它們獨(dú)立同分布，m 和r 獨(dú)立。 ( 2 ) 擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型 x t = x + c t + 暇 ( 2 8 ) 其中置為，時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余，x 為保險(xiǎn)公司的初始盈余，c 為保費(fèi)收取比率， 彬?yàn)橐粯?biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，盯為一常數(shù)。 ( 3 ) 跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型4 2 1 n ， 工= x + c t + o - 彬- z z i = 1 ( 2 - 9 ) 其中z 為t 時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余，x 為保險(xiǎn)公司的初始盈余，c 為保費(fèi)收取比率， ，為一泊松過程，r ，i = 1 ，2 ，為理賠額，它們獨(dú)立同分布，f 和r 獨(dú)立。彬?yàn)?一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，仃為一常數(shù)。 2 2 基本理論 隨機(jī)最優(yōu)控制已廣泛用于管理，金融等領(lǐng)域，其主要依托b e l l m a n 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 理( t h et h e 。拶o f d y l l 鋤i cp r o g r a m m i n g ) 。b e l l m a n l 4 3 1 在他的著作里把動(dòng)態(tài)規(guī)劃 原理表述如下：一個(gè)最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì)，不管初始狀態(tài)如何，相對(duì)于初始 策略產(chǎn)生的狀態(tài)來說，其后的策略必須構(gòu)成最優(yōu)策略。也就是，每個(gè)最優(yōu)略只能 碩十學(xué)位論文 第_ ：章基本概念和基本理論 有最優(yōu)子策略組成，由此我們經(jīng)常得到b e l l m a n 動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程，而這個(gè)方程在很 多情況下比較難解。 下面我們給出關(guān)于h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程的主要定理。 我們考慮最優(yōu)問題： j ：( 戈( f ) ，甜( f ) ，f ) 如+ g ( j f ( r ) ) 寸最大值， 滿足條件 量( f ) = 廠( x ( f ) ，甜( f ) ，f ) ，x ( t o ) = x o 其中狀態(tài)x ( ，) 是屬于彤的一個(gè)開子集z ，控制函數(shù)”( ，) 是取值于足”的一個(gè)調(diào)子 集u 上的一個(gè)可測(cè)有界函數(shù)。f ：x xu xr r ”，g ：x _ r 和l ：x xu 丘一r 是對(duì)應(yīng)于狀念變量的連續(xù)函數(shù)。 為了解決上面的最優(yōu)控制問題，我們先考慮集族f ( x ，t ) ，x 肖，t 【t ot 】的 控制問題： ，( f ，x ，甜) = r 三( x ( f ) ，甜( f ) ，r ) d f + g ( x ( 丁) ) 一最大值 ( 2 - l o ) 滿足條件 戈( f ) = 廠( x ( 丁) ，甜( f ) ，r ) ，x ( t ) = x( 2 - 11 ) 一個(gè)軌跡控制點(diǎn)( x ( o ，甜( f ) ) ( ，r t ) 是關(guān)于f ( x ，t ) 是可行的，如果x ( ，x ，甜) 是相應(yīng)于控帶l j u ( r ) ，r 【，t 】的( 2 1 0 ) 的一個(gè)解，且( 2 1 0 ) 的積分值是有限的。 所有的可行軌跡控制點(diǎn)( 文( ，) ，z ，( 呦( ，f 0 的齊次p o s s i o n 過程，表示到時(shí)刻，為止的總的索 賠發(fā)生次數(shù)； z ，i = 1 ，2 ，) 是獨(dú)立同分布的( 嚴(yán)格) 正值的隨機(jī)變量，分布函數(shù)為 g ( y ) ，密度函數(shù)為g ( j ，) ，期望值為= 研】，r 表示第，次賠付的大小。因此e 為，時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余。此外，假設(shè) ( f ) ，0 ) 和 z ，t = l ，2 ，) 之問相互獨(dú)立。 假設(shè)f 時(shí)刻保險(xiǎn)公司的超額損失再保險(xiǎn)水平為m ，m 稱為風(fēng)險(xiǎn)暴露。如果保 險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)暴露m 已確定，當(dāng)理賠發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)公司將賠付小于等于m 部分， 即保險(xiǎn)公司賠付額為m i n y ，m ) ，再保輸公司賠付m 以上部分，郡再保險(xiǎn)公司支。7 付m a x 0 ，y m ) 。同時(shí)保險(xiǎn)公司要支付部分保費(fèi)給再保險(xiǎn)公司，假設(shè)保險(xiǎn)公司 和再保險(xiǎn)公司的保費(fèi)分別為c = ( 1 + 鄉(xiāng)) 礎(chǔ)和q = ( 1 + r ) 2 e ( y 一鮒) + 】，其中秒和r 分別為保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的安全負(fù)載，且0 r 。在考慮超額損失再保險(xiǎn)策 略m 下，保險(xiǎn)公司的盈余過程可以表示為 g ( t ，m ) = x + ( 1 + 目) 礎(chǔ)一( 1 + r ) 2 e ( y m ) + 】) ，一n ( t ( z 人m ) ( 3 - 2 ) 要得到模型( 3 2 ) 的無限時(shí)間破產(chǎn)概率酬是很困難的，而模型( 3 2 ) 的擴(kuò) 散逼近為 x ( t ，m ) = x + ( 1 + 鄉(xiāng)) 五一( 1 + r ) 2 e ( y m ) + 】 其中 彬，t 0 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 定義破產(chǎn)時(shí)刻為 和無限時(shí)問破產(chǎn)概率為 俎 ( 1 ， m ) 】) f + 扛而而 ( 3 3 ) f m = i n f t 0 ：x ( t ，m ) 0 ( 3 - 1 2 ) 則由定理3 1 得到h j b 方程為： 黟研臼1 口一a 咖一忉凹叫州+ 互1 允【m p 2 礎(chǔ)一掣砂+ ：卜2 伽唧砂】y ”( x ) = 。 化簡(jiǎn)，即有 i n f 臼砉一五7 7 專p 一口肘】甲( x ) + 三乖0 一胞掣一! g 刎) f ”) _ o 3 。3 m 口口 2 口、口 口 “ 邊界條件為： 甲( o ) = 1 ，甲( ) = 0 ( 3 - 1 4 ) 定理4 1 假設(shè)索賠額】，服從指數(shù)分布，即密度函數(shù)為 1 5 碩+ 學(xué)位論文第三章最優(yōu)停l 卜損火再保險(xiǎn) 則最優(yōu)自留額水平肘+ 由方程 給出，此時(shí)最小破產(chǎn)概率為 廠( y ) = 伽吲，y 0 o m + 一旦：一旦e - a m + 口口 甲( x ) = e x p ( _ m r 。x ) 證明 f 1 4 ( 3 1 3 1 可得，最優(yōu)自留額水平 m ：一螋 甲( x ) 將其代入( 3 1 3 ) ，可得m 滿足 再根據(jù)邊界條件知破產(chǎn)概率為 伽一旦：一旦p 一洲 ( 3 - 1 5 ) 口d 帥) _ e x 附芳x ) 2 假設(shè)索賠額r $ 1 從e r l a n g ( 2 ) 分布，即密度函數(shù)為 ( 3 1 6 ) 廠( y ) = 口2 y e 一緲，y 0 ( 3 - 1 7 ) 則由定理3 1 得到h j b 方程為： 邊界條件為 一o d i n f 2 0 e 一j l q l 一m ) a z y f qd 3 圓￥o m a m + 委五【m 陟z 口：妒一掣砂+ 了mz 口：妒一掣d y e ”( x ) ) ：o 3 。1 8 + 寺mp 2 口2 妒一掣砂+ ，2 口2 妒一掣 ”( x ) ) = o v 7 -0m 甲( o ) = 1 ，甲( ) = 0 1 6 ( 3 1 9 ) 碩 ：學(xué)位論文第三章最優(yōu)停i 卜損失再保險(xiǎn) 即 i 肘n f 2 0 2 口嘲m + 爭(zhēng)刎) p + 擗6 、 + 6 口m + 6 礦唧。) _ o 3 乏。 邊界條件為 甲( 0 ) = 1 ，甲( ) = 0 ( 3 - 2 1 ) 定理4 2 假設(shè)索賠額】，服從e r l a n g ( 2 ) 肭，則最優(yōu)自留額水平m 由方程 給出，此時(shí)破產(chǎn)概率為 3 一型：( m 口十3 1 p 訓(xùn) ，一一2 l口十- ) ，p 刁 咻) _ e x p ( _ 專x ) 。 證明同定理4 1 ，此處略。 假?zèng)]索賠額】，服從指數(shù)分布g ( y ) = 1 一e x p ( 一掣) ，如果不進(jìn)行超額損失再保 險(xiǎn)，則傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型的擴(kuò)散逼近為 礎(chǔ)) = x + 2 0 扣融 。2 2 奠破產(chǎn)概率為 f ，( x ) = e x p ( - o a x )( 3 - 2 3 ) 假設(shè)口= 2 ，0 - 0 1 ，q = o 1 5 ，x 5 , 1 q ，則由( 3 1 6 ) 干n ( 3 - 2 3 ) 得到進(jìn)行超額損失再保 險(xiǎn)和不進(jìn)行超額損失再保險(xiǎn)的破產(chǎn)概率如圖4 一l 所示。 從圖4 - 1 可知，進(jìn)行超額損失再保險(xiǎn)后的破產(chǎn)概率明顯小于沒有進(jìn)行再保險(xiǎn) 的破產(chǎn)概率，因此最優(yōu)再保險(xiǎn)決策可以減少保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率。 假設(shè)0 = o 1 ，r = o 1 2 ，0 1 5 ，0 1 8 ，口【o 5 ，2 】，則由( 3 1 5 ) 得到超額損失再保險(xiǎn) 1 7 碩十學(xué)位論文第三章最優(yōu)停l 卜損火再保險(xiǎn) 最優(yōu)自留額肘與_ 7 7 和口之問的關(guān)系如圖4 - 2 所示。 最 優(yōu) m 的 值 圖4 - i 破產(chǎn)概率與再保險(xiǎn)之間關(guān)系 口的取值 圖4 - 2 超額損失再保險(xiǎn)最優(yōu)自留額肘與，7 和口之問的關(guān)系 由圖4 2 可知，隨著口的增大，最優(yōu)自留額會(huì)增大，是因?yàn)榭跊Q定每次賠付 大小的分布，當(dāng)口越大時(shí)，賠付額期望較小，要實(shí)現(xiàn)再保險(xiǎn)的價(jià)值，降低自留額； 隨著7 7 的增大，自留額增大，因?yàn)? 7 越大，再保險(xiǎn)保費(fèi)越高，因此分出的再保險(xiǎn) 越少。 指數(shù)索賠下m礎(chǔ)堅(jiān)概軍 碩+ 學(xué)位論文 第四章不確定模瓔下的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn) 4 1 引言 第四章不確定模型下的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn) 目前，保險(xiǎn)公司和基金組織不僅僅可以把資余投資于貨幣，還可以投資于股 票。所以合理的投資策略和風(fēng)險(xiǎn)管理5 “5 9 1 就顯得格外重要。在投資過程中，不 同的投資商對(duì)同一事物認(rèn)同不同的概率測(cè)度，有客觀概率測(cè)度，有風(fēng)險(xiǎn)中性概率 測(cè)度等等。在不同的概率測(cè)度下一不同的投資方式可供投資商選擇。因此在不確 定模型下，找出保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略，是十分重要的。 本章我們將研究不確定模型下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資問題和再保險(xiǎn)問題。假設(shè) 保險(xiǎn)公司以一個(gè)常數(shù)率收取保費(fèi)和一個(gè)復(fù)合泊松聚合理賠模型支付理賠額，收取 保費(fèi)的不確定性我們認(rèn)為可以由一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)控制。同時(shí)假設(shè)保險(xiǎn)公司可以 購買債券和股票，也就是人們通常認(rèn)為的無風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，還假設(shè)公司可以選 擇再保險(xiǎn)來規(guī)避自己風(fēng)險(xiǎn)，本文從比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)兩個(gè)方向做研 究，認(rèn)為比例再保險(xiǎn)的再保險(xiǎn)費(fèi)由方差形式給出，而停止損失再保險(xiǎn)的再保險(xiǎn)費(fèi) 由期望形式給出。我們希望能求得最大的期望效用。但概率測(cè)度是不確定，我們 的期望效用函數(shù)也將不確定。所以我們期待在最壞的里面找最好的，更確切的說， 我們盡量找出使最小期望效用最大的決策。借助h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程來 求解最優(yōu)決策。我們期待取得最優(yōu)投資，最優(yōu)再保險(xiǎn)和在最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資下理 想期望效用的清晰表達(dá)形式 4 2 模型 4 2 1 投資再保險(xiǎn)模型 考慮如下跳一擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型： ( f ) r ( f ) = x + c t - 圪+ p w 1 ( f ) ( 4 1 ) 七= l 其中x 0 表示保險(xiǎn)公司的初始盈余；c 0 是保險(xiǎn)公司單位時(shí)間的保費(fèi)收入； 1 9 碩十學(xué)位論文 第四章不確定模型卜的最優(yōu)投資平i l 再保險(xiǎn) k ，k = 1 ，2 ，) 是一列獨(dú)立同分布的( 嚴(yán)格) 一值隨機(jī)變量：其共同分布為g ( x ) ， g ( o ) = o ，密度函數(shù)為g ( x ) ，一階矩為“= e ( i ) ，二階矩為t ：軍e ( k 2 ) ，k 表 示第七次賠付的大??； ( f ) ，o ) 是參數(shù)為名 0 的泊松過程，表示到時(shí)刻，為止 的總的索賠發(fā)生次數(shù)； 形”( ，) ，o 是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，p o 是常數(shù)，表示擴(kuò) 散變差參數(shù)。此外，假設(shè)圪，k = l 2 ， ( ，) ，o 和 i ( f ) ，t o ) 之間是相互 獨(dú)立的。r ( ，) 表示保險(xiǎn)公司在時(shí)刻，的盈余過程，由于未來時(shí)刻的盈余是未知的， r ( ，) ) 便是一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程。 令： z ( ，) = 2 ：) k 設(shè)7 是隨機(jī)泊松過程的測(cè)度，則z ( t ) 可表示成： 其中 z ( ，) = j j z ( 龍，d u ) z = z ( f ) 一z ( t - ) ， p ( d z ，d t ) = e r ( d z ，衍) 】= 2 d g ( z ) d t 且對(duì)于任意的b o r e l 集的非空實(shí)數(shù)集彳， y ( t ，a ) = y ( ，彳) 一尹( ，彳) ， 是一個(gè)鞅。此時(shí)盈余過程可表示為： g ( t ) = x + c t z ( t ) + p w 1 ( ，) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 假設(shè)保險(xiǎn)公司為了防范巨大風(fēng)險(xiǎn)，可以購買比例再保險(xiǎn)或停止損失再保險(xiǎn)： 碩十學(xué)何論文 第四章不確定模型卜的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn) 如果是購買比例再保險(xiǎn)，設(shè)時(shí)刻，的比例再保險(xiǎn)的自留比例為b ( o ，即原保險(xiǎn)人 賠付b ( t ) y ，再保險(xiǎn)人賠付( 1 6 ( ，) ) y ，再保險(xiǎn)公司收取保費(fèi)的方式按方差保費(fèi)計(jì)算， 即再保險(xiǎn)保費(fèi)為 已= ( 1 - b ( t ) ) ；t a l + v ( 卜6 ( 嘞2 助2 ； ( 4 8 ) 如果是停止損失再保險(xiǎn)，設(shè)時(shí)刻f 的停止損失再保險(xiǎn)的自留額為m