流同耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析的精細(xì)時(shí)程積分法+ 摘要 f 與流體相接觸的結(jié)構(gòu)物在受到水流、波浪和沖擊力等流體動(dòng)力激勵(lì)或其它 非流體的激勵(lì)而產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)，其周圍流場(chǎng)亦發(fā)生變化。這種流場(chǎng)的變化反過來 使結(jié)構(gòu)所受到的流體動(dòng)力發(fā)生變化，形成反饋的流體一結(jié)構(gòu)相互作用的耦合問 一一 題。許多工程領(lǐng)域存在的此類流固耦合振動(dòng)一直是人們很關(guān)心的問題。) 我們將 結(jié)構(gòu)與周圍的流場(chǎng)組成一個(gè)耦合系統(tǒng)。應(yīng)用h a m i l t o n 原理建立了流固耦合的動(dòng) 力響應(yīng)方程，并通過引入附連水質(zhì)量進(jìn)行解耦。應(yīng)用精細(xì)時(shí)程積分法可以直接 計(jì)算受特殊力項(xiàng)的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。通過對(duì)初始條件的轉(zhuǎn)化，我們把精細(xì)時(shí)程 積分法應(yīng)用到了對(duì)于沖擊力項(xiàng)的計(jì)算中。我們提出了分段精細(xì)時(shí)程積分法，從 而擴(kuò)充了精細(xì)時(shí)程積分法的應(yīng)用范圍。通過對(duì)具體算例的計(jì)算，可以看出精細(xì) 時(shí)程積分法和分段精細(xì)時(shí)程積分法都具有精度高、不受時(shí)間步長(zhǎng)限制、計(jì)算的 工作量小等優(yōu)點(diǎn)，適合于流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析。水深對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的 影響也是一個(gè)很重要的問題。我們引入初應(yīng)力剛度矩陣來反映水深對(duì)結(jié)構(gòu)剛度 的影響。計(jì)算結(jié)果顯示潛水深度對(duì)于結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)有一定的影響隨著水深 的增加，響應(yīng)情況發(fā)生相應(yīng)的變化。f 本文所討論的方法和所得到的結(jié)果有應(yīng)用 和參考價(jià)值。p 礦一” 關(guān)鍵詞t 流固耦合系統(tǒng)。附連水質(zhì)量，初應(yīng)力剛度矩陣動(dòng)力響應(yīng)，精細(xì)時(shí)程 積分法 十本論文的研究工作得到如下項(xiàng)目支持： i 流體介質(zhì)中結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性與響應(yīng)分析的綜合模態(tài)法與并行計(jì)算系統(tǒng)。船舶工業(yè)國(guó)防科技 應(yīng)用、基礎(chǔ)研究基金，合同號(hào)：9 8 j 4 0 3 3 ，1 9 9 8 1 2 - 2 0 0 0 1 2 2 潛水深度對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響與控制方法船舶工業(yè)國(guó)防科技應(yīng)用、基礎(chǔ)研究基金， 合同號(hào)：9 9 j 4 1 4 4 ，1 9 9 9 1 2 - 2 0 0 1 1 2 蔣上鼻吏魚大掌2 0 0 1 ，司l 士單位論文 苧苧苧蘭 一 -_h_-_-_一 p r e c i s et i m e i n t e g r a t i o n m e t h o df o r a n a l y s i so fd y n a m i cr e s p o n s e s o f s o l i d f l u i dc o u p l i n gs y s t e m a b s t r a c t w h e nt h es t r u c t u r ev i b r a t e su n d e rt h ea c t i o no fs t r e a m ，w a v ea n ds h o c kl o a d i n g a n do t h e rn o n - f l u i da c t i o n ，t h ev i b r a t i o nc h a n g e st h ec o n d i t i o na r o u n dt h es t r u c t u r e a n dt h ef l u i df i e l da c t so nt h es t r u c t u r ei n v e r s e l y s oac o u p l i n gs y s t e mc o m p o s e do f t h es t r u c t u r ea n dt h el i q u i df i e l da r o u n dt h es t r u c t u r ei sf o r m e d m a n yp e o p l ea l w a y s p a ya t t e n t i o nt ot h ev i b r a t i o no f t h i sk i n do fs o l i d - f l u i dc o u p l i n gs y s t e mw h i c hh a d h a di nm a n ye n g i n e e r i n gf i e l d s t h es t r u c t u r ea n dt h es u r r o u n d i n gf l u i df i e l dw e r e c o m p o s e d t oac o u p l i n gs y s t e m h a m i l t o np r i n c i p l ew r su s e dt oe s t a b l i s ht h ee q u a t i o n o fd y n a m i cr e s p o n s eo fs o l i d - f l u i dc o u p l i n gs y s t e m a d d i t i o n a lm a s sm a t r i xw a s a d d e di nt h em a s sm a t r i xo fs t r u c t u r et os o l v et h i sk i n do fp r o b l e m p r e c i s et i m e - i n t e g r a t i o nm e t h o dc a n b eu s e dt oc a l c u l a t et h es t r u c t u r ed y n a m i c r e s p o n s eu n d e r t h e e s p e c i a lf o r c e b yc h a n g i n g t h ei n i t i a lc o n d i t i o n ，p r e c i s et i m e - i n t e g r a t i o nw a su s e di n t h ec a l c u l a t i o no fs h o c kf o r c e s u b s e c t i o np r e c i s et i m e i n t e g r a t i o nm e t h o dw a s c r e a t e dt oe n l a r g et h eu s i n gf i e l d so f p r e c i s et i m e i n t e g r a t i o nm e t h o d s o m en u m e r i c a l e x a m p l e s w e r e g i v e n a n dt h er e s u l t ss h o wt h a tp r e c i s et i m e - i n t e g r a t i o na n ds u b s e c t i o n p r e c i s et i m e i n t e g r a t i o n a r ei nh i g ha g r e e m e n tw i t l lt h ee x a c ts o l u t i o n n o tb e r e s t r i c t e dw i t ht h et i m es t e p ，n e e dal i t t l ea m o u n to f c a l c u l a t i o nw o r k ，a n da d a p tt ot 1 1 e a n a l y s i so fd y n a m i cr e s p o n s eo f s o l i d - f l u i dc o u p l i n gs y s t e m t h ei n f l u e n c eo ft h e d e p t h o f w a t e rt ot h es t r u c t u r ev i b r a t i o ni sa l s oi m p o r t a n t i n i t i a ls t r e s ss t i f f n e s sm a t r i x w a su s e dt or e f l e c tt h ei n f l u e n c eo f d e p t ho f w a t e r t h er e s u l ts h o w e dt h a tt h ed e p t ho f w a t e rh a ss o m ee f f e c tt ot h ed y n a m i cr e s p o n s eo ft h es t r u c t u r ea n dt h ed y n a m i c r e s p o n s ec h a n g e dw i t ha d d i n gt h ed e p t ho fw a t e r t h er e s u l t sa n dm e t h o da r eo f a p p l i c a t i o na n d r e f e r e n c ev a l u e st ot h es t u d i e so ns o l i d - f l u i di n t e r a c t i o n k e yw o r d s ：s o l i d f l u i dc o u p l i n gs y s t e m ，a d d i t i o n a lw a t e rm a s s ，i n i t i a l s t r e s ss t i f f n e s sm a t r i x ，d y n a m i cr e s p o n s e ，p r e c i s et i m e - i n t e g r a t i o nm e t h o d 癬上海交迫大掌2 0 0 1 碩士學(xué)位滄文 i i ! 二! 苧竺一 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。- _ _ - h _ 。_ 。 第一章緒論 本章首先介紹了流固耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)問題所涉及到的理論基礎(chǔ)和精細(xì)時(shí)程積分法 的研究現(xiàn)狀及存在問題，然后介紹了本文的研究目的和主要工作 1 1 引言 與流體相接觸的結(jié)構(gòu)在受到水流、波浪和沖擊力等流體動(dòng)力的激勵(lì)或其它非流體的 激勵(lì)而發(fā)生振動(dòng)時(shí)，其周圍流場(chǎng)亦發(fā)生變化。這種流場(chǎng)的變化反過來使結(jié)構(gòu)所受到的流體 動(dòng)力發(fā)生變化，這樣就形成了反饋的流體結(jié)構(gòu)相互作用的耦合問題。許多工程領(lǐng)域都存在 此類流固耦合振動(dòng)問題。不難看出，這是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜、涉及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的 跨學(xué)科的問題。 歷史上，人們對(duì)于流固耦合現(xiàn)象的早期認(rèn)識(shí)源于飛機(jī)工程中的氣動(dòng)彈性問題。現(xiàn)在 各種工程領(lǐng)域提出了越來越多的兩相耦合問題，使該領(lǐng)域的研究變的更加的豐富多彩。如： 在航空工程中，由于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，促使顫振工作者研究復(fù)合材料層合板在超音速 流、氣動(dòng)加熱等環(huán)境下的顴振問題【i l ：在建筑工程中，由于高層建筑的迅速發(fā)展，房屋高 度的增加使結(jié)構(gòu)整體剛度下降，加之樓群的密集布局等因素影響，建筑結(jié)構(gòu)同風(fēng)的相互作 用也引起了人們的重視f 2 1 ；在石化、機(jī)械、核工業(yè)中，人們也開始討論更復(fù)雜的充液容器、 輸液管道的耦合振動(dòng)問題f 3 j ；在人體、生物工程中，血管流、眼球等的分析也開始從兩相 耦合力學(xué)的角度進(jìn)行研究h 】。 由于流固耦合問題的重要性，流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)問題引起了人們的廣泛的關(guān) 注。正如b a t h e 5 j 所指出，“全耦合”( f u l li n t e r a c t i o n ) 日益成為人們的研究重點(diǎn)。 i 2 流固糯合的研究現(xiàn)狀 刑景棠等嘲曾對(duì)流固耦合力學(xué)進(jìn)行了概述。要建立和分析一個(gè)能包羅各種流固耦合系 統(tǒng)的通用的數(shù)學(xué)模型顯然是很困難的，實(shí)際上往往也沒有這個(gè)必要。通常可根據(jù)不同類型 的流固耦合問題或具體的情況做一些假設(shè)以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，提高計(jì)算效率。 由于流固耦合問題的復(fù)雜性，盡管可以假設(shè)流體是無粘、無旋的理想流體，在大多 數(shù)情況下仍不能求得解析解。只有對(duì)極個(gè)別的形狀很規(guī)則的結(jié)構(gòu)才能用特殊函數(shù)求得解析 解，例如對(duì)圓柱體可用貝塞爾( b e s s e l ) 函數(shù)。對(duì)于復(fù)雜流固耦合系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析有兩類方 法：一類是解析數(shù)值方法，即對(duì)結(jié)構(gòu)采用有限元離散，對(duì)流體則采用近似解析關(guān)系描述， 以t l g e e r s 7 】提出的雙漸近法( d a a ) 最為流行：另一類則是純數(shù)值方法，如有限元方法、 有限差分方法和邊界元方法。在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)通常有兩種方法：一種是對(duì)結(jié)構(gòu)和流體都采用 有限元；另一種是對(duì)結(jié)構(gòu)采用有限元，對(duì)流體采用邊界元方法【”。 對(duì)于線性流固耦合問題的有限元分析，通常采用的有限元格式有兩類，一類是結(jié)構(gòu) 和流體均以位移矢量為場(chǎng)變量的位移位移格式p 1 q ；另一類是以結(jié)構(gòu)的位移矢量和流體場(chǎng) 變量的混合型格式，如位移壓力格式】、位移位移勢(shì)格式和位移速度勢(shì)格式”) 。對(duì)于 位移位移格式，雖然有限元與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程一樣，可以用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的模態(tài)分析理論， 但是這一格式有如流體節(jié)點(diǎn)自由度多、剪切剛度為零使剛度矩陣奇異、頻域分析出現(xiàn)大量 偽模態(tài)等缺點(diǎn)。為此，i r o n s 【“】、h a m d i ! ”】、c h e n l l q 等提出了一些有效的解決辦法。對(duì)于混 合型格式，由于流體場(chǎng)變量已滿足運(yùn)動(dòng)的無旋條件，因而不會(huì)出現(xiàn)流體矩陣奇異的問題。 但是這一格式的有限元方程是非對(duì)稱的，所以頻域分析涉及到非對(duì)稱問題。戴大農(nóng)1 1 2 ) 、吳 第一章緒論 一紅f ”j 、刑景棠f ”“目等各自提出了一些解決辦法。 r u m y j a n t s e v 利用h a m i l t o n 變分原理，建立了剛流耦合系統(tǒng)的動(dòng)力方程及動(dòng)力邊界 條件【1 9 l ，其中流體為不可壓均勻無粘流體。l i u 利用j o u r d a i n 變分原理，建立了剛- 流耦合 系統(tǒng)的動(dòng)力方程【2 0 】，流體為不可壓均勻粘性流體。李鐵成利用j o u r d a i n 變分原理，建立了 剛流彈耦合系統(tǒng)的動(dòng)力方程及邊界條件1 2 t i ，流體是兩種互不相溶的可壓縮粘性流體。溫 德超等用a l e 和時(shí)間分裂步法分析了三維粘性流體大幅晃動(dòng)的非線性問題。m u s t a f a 2 3 1 對(duì)流固耦合的屈曲問題進(jìn)行了研究。 在有限元方法中，對(duì)于不可壓縮流體，最常用的是用附連水質(zhì)量解耦口“2 ”。對(duì)于有 界的流體域可以根據(jù)實(shí)際流體范圍劃分單元，對(duì)于無窮流體域，文獻(xiàn)【2 6 】提出了在實(shí)際計(jì) 算時(shí)可以取用適當(dāng)?shù)姆秶?。劉正興口1 等對(duì)于流體介質(zhì)中結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性及響應(yīng)分析進(jìn)行了 研究。當(dāng)航行體在水下運(yùn)行時(shí)總是處在一定的水深中，它除了受到流體的沖擊或動(dòng)力外， 一定的水深產(chǎn)生的壓力對(duì)其運(yùn)動(dòng)或振動(dòng)都有影響。在有限元分析中主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的“初 應(yīng)力日度矩陣”上，也稱“幾何剛度矩陣”。文獻(xiàn)【2 8 】通過幾何非線性的原理，推導(dǎo)了矩形； 板殼元的幾何剛度矩陣，并研究了考慮水深影響的結(jié)構(gòu)在水下運(yùn)行時(shí)的自振特性。 1 3 精細(xì)時(shí)程積分的研究現(xiàn)狀 上程結(jié)構(gòu)在例如突加載荷或沖擊載荷的作用下，往往要求作瞬態(tài)歷程的分析。由于 結(jié)構(gòu)幾何形狀的復(fù)雜性，在對(duì)空間坐標(biāo)采用有限元法離散后得到的往往是數(shù)十、百、千 自由度的系統(tǒng)，采用本征向量展開法一般只選用若干個(gè)本征解，這是不夠的。此時(shí)就要采 用在時(shí)域上的逐步積分的方法。 逐步積分法已經(jīng)有了多年的研究【2 9 一o 】，有許多種方法可供選用。從分類上來說有顯 式積分和隱式積分兩大類。顯式積分對(duì)于每個(gè)時(shí)間步效率較高，但是時(shí)間步必須取的很小 才能保證其穩(wěn)定性。隱式積分法則是通過適當(dāng)?shù)膮?shù)選擇，保證積分的數(shù)值的穩(wěn)定性，因 此時(shí)間步長(zhǎng)長(zhǎng)一些也可以應(yīng)用。熟知的n e w m a r k 法和w i l s o n - o 法都是隱式積分格式。然 而這些積分法也有其弱點(diǎn)；如果時(shí)間步長(zhǎng)選的大一些，一些高頻振動(dòng)的分量就不能正確地 反映出來。并且這些弱點(diǎn)是積分法所固有的，是不可避免的。 近來，鐘萬勰1 3 “”o m 提出了精細(xì)時(shí)程積分方法，把系統(tǒng)的動(dòng)力方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程， 給出了指數(shù)矩陣e “的精細(xì)數(shù)值算法，具有很高的精度，值得推廣。沈?yàn)槠?、林家浩等把?細(xì)時(shí)程積分方法發(fā)展到多種形式的外載【”o q ，并實(shí)現(xiàn)了并行計(jì)算6 1 。文獻(xiàn) 3 4 1 對(duì)于沒有 特解的激勵(lì)作用下時(shí)，采用了f o u r i e r 展開的方式把激勵(lì)項(xiàng)展開為有特解形式的求和式。文 獻(xiàn) 3 5 】對(duì)于任意激勵(lì)作用采用了柯斯特直接積分的方法求解。受演變隨機(jī)激勵(lì)結(jié)構(gòu)的非平 穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析得到了人們的廣泛的研究。林家浩應(yīng)用了精細(xì)積分對(duì)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)激勵(lì)進(jìn)行 了研究即?！?。張森文等提出了應(yīng)用指數(shù)矩陣的精細(xì)計(jì)算方法，在時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)對(duì)激勵(lì)項(xiàng)采用 辛普生積分方法來計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)【3 9 】利用響應(yīng)的時(shí)域平均來計(jì)算響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征， 在時(shí)域平均義通過高精度的精細(xì)積分所得來計(jì)算隨機(jī)振動(dòng)的響應(yīng)i “。 精細(xì)時(shí)程積分方法可以得到有特解的特殊激勵(lì)項(xiàng)的精確解。但是對(duì)于激勵(lì)項(xiàng)是任意 的情況下的不同的算法，每個(gè)都有定的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。 1 4 本文研究目的和主要工作 為了對(duì)于潛水深度對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響有更深入的認(rèn)識(shí)，對(duì)工程中一般的流固耦 合系統(tǒng)的動(dòng)力特性及響應(yīng)分析提供基本的理論分析和工程應(yīng)用方法。 癬上海交盟大掌2 0 0 1 ，疆士摹岫【論文 2 第一章i t 論 在以往對(duì)于流固耦合系統(tǒng)和精細(xì)時(shí)程積分的研究的基礎(chǔ)上，對(duì)水下的圓柱殼做了以 下一些探索： 1 研究了流固耦合系統(tǒng)的特性，用附連水質(zhì)量矩陣解耦的方法形成了流固耦合系統(tǒng) 的動(dòng)力方程。 2 對(duì)于激勵(lì)項(xiàng)為任意的情況下，提出了對(duì)激勵(lì)項(xiàng)采用線性擬合和二次多項(xiàng)式擬臺(tái)的 分段精細(xì)積分方法，與以往方法進(jìn)行了比較。 3 把精細(xì)時(shí)程積分應(yīng)用到求解流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，并對(duì)于幾種激勵(lì)項(xiàng)有特解 的情形進(jìn)行了計(jì)算，與以往的方法進(jìn)行比較。 4 由于水深對(duì)于結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)影響很大，所以對(duì)于在不同水深情況下的結(jié)構(gòu)的動(dòng) 力響應(yīng)進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析。 第= 章穰圃奢分秉崩：動(dòng)力方租的推尊 第二章流同耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程的推導(dǎo)【4 1 1 通過變分原理，從流體力學(xué)和固體力學(xué)的基本方程出發(fā)，對(duì)流體場(chǎng)進(jìn)行三維有限元 離散，把由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的流體壓力對(duì)結(jié)構(gòu)本身的耦合影響轉(zhuǎn)換成結(jié)構(gòu)表面的附連水質(zhì) 量，并將其疊加到結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣上，最后形成流固耦合情況下的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程 一 、 2 1 流體動(dòng)壓力計(jì)算原理 設(shè)流體是均勻、無粘和無旋的理想流體，并限于討論線性的小擾動(dòng)問題f 2 4 j ，如圖2 - 1 所示，此時(shí)流體內(nèi)壓力p 服從下述方程： 顯 圖2 - 1 流體域的邊界 f i g 2 - 1b o u n d a r yo f f l u i d 在v 域：v 2 尸= 窘+ 等+ 窘= ?？棵?在s 。：p = 乒 在甌；篆叫等 ( 2 1 1 ) 式中s 。是給定壓力的邊界ip 是給定的動(dòng)水壓力；鼠是流體與結(jié)構(gòu)接觸的交界面；“。 是固體邊界位移在法線方向的分量；以是流固接觸面的法線，其正向指向流體外部；p 是 流體的質(zhì)量密度。與( 2 1 1 ) 式對(duì)應(yīng)的泛函為： 兀= f 葛1 ( 瓦0 p ) 2 + ( 爹 2 + ( 蕓) 2 d 礦+ l - ( p o a 2 ，u 。 ，、i p d s c z - z ， 式中t 礦式流體全部計(jì)算體積域；是流體與結(jié)構(gòu)全部接觸面積域。將整個(gè)流體域離散 成n 個(gè)單元，在節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)與平衡條件約束下，式( 2 1 2 ) 可以寫成 露上海吏魚大掌2 0 0 1 ，硬士學(xué)位論文 4 ，皓章漶圃輻合幕統(tǒng)動(dòng)力方租的推辱 ( 2 1 3 ) 式中，表示流體元體積：s 。表示該流體元與結(jié)構(gòu)的接觸面積。 設(shè)一個(gè)流體單元有竹個(gè)節(jié)點(diǎn)，則該單元的動(dòng)壓力為： e 2 喊nq 。, 1 ) ( 2 1 4 ) 式中，是插值函數(shù)；吼是單元節(jié)點(diǎn)處的動(dòng)壓力。 對(duì)于我們?cè)诤竺嬗玫降萌S8 節(jié)點(diǎn)得流體元，取形狀函數(shù)為： f 2 ；( 1 + 骺- x l + ，7 仇x l + 菇，) ，f = l ，2 ，8 設(shè)流體單元與結(jié)構(gòu)接觸面s 。上有s 個(gè)節(jié)點(diǎn)，則該面域上的法向位移為： ”。= 虬丸 ( 2 1 5 ) ( h 一) 加x 1 ) 式中，n 。是流圍界面s 。上定義的插值函數(shù)：以。是s 。上各節(jié)點(diǎn)的法向位移。 根據(jù)( 2 1 4 ) 式、( 2 1 5 ) 式有 ) 吼 h 一 薯鏟善小，軋 ( 2 1 6 ) 式中，以。是流固界面上各節(jié)點(diǎn)的法向位移加速度。將( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 3 ) 式 有 兀。= 犰陘7 糾+ ( 別+ ( 耖曇牌 + g ：( v 7 烈搬r 汜， 令 癬墉交趣纛：j o 而磊贏j 夏 5 膦 監(jiān)護(hù) 0 望昆 卯一砂 望蘇 f r，l r 一1 衛(wèi) 白d 吐 ，、=。 = ， a一蘇a一砂a一如 r r a一缸a一砂a一瑟 ，。l， f r e ? f g g g 等 = = 、，、 卯一蘇卯一砂卯一瑟 第= 爿t 流嗣朝奢系統(tǒng)動(dòng)力方程的推粵 函= e ( 耖妄) + 蠡，= 一( l 7 。嬲) 青。 2 。7 s 舔 則( 2 1 7 ) 式可寫成： ( 2 1 8 ) 兀。= 扛鋤。一g ；c ( 2 1 9 ) 由駐值條件铘。= 0 ，得 勘函) 2 函) 一枷b sd 川n e 汜o ) 假設(shè)整個(gè)流體域離散成f 個(gè)單元和j 儼個(gè)節(jié)點(diǎn)，流固接觸面上共有g(shù) 個(gè)節(jié)點(diǎn)，且令 q = 【g 。q ：g 胛r f = kf 2 】r b s = 嚙。t a 一a h l 分別表示流體域節(jié)點(diǎn)動(dòng)壓力、等效節(jié)點(diǎn)“載荷”、節(jié)點(diǎn)法向加速度，那么根據(jù)節(jié)點(diǎn)處動(dòng)壓力 的平衡條件和加速度的協(xié)調(diào)條件，可組成整個(gè)流體域的基本方程，即 ( 鼎) ( 晨) 2 ( z 。) 2 一( 嘏，) 高 ( 2 1 ) 2 2 流體接觸面上的動(dòng)壓力 t 是，2 【黥黥繇j 式中，q p 表示邊界s ，上的節(jié)點(diǎn)動(dòng)壓力；q 表示流體與結(jié)構(gòu)接觸面磚上的節(jié)點(diǎn)動(dòng)壓力， 是結(jié)構(gòu)分析所必需的；q ，是除了上述以外流體域節(jié)點(diǎn)上的動(dòng)壓力，是流體域分析所需要的。 至三三：p n 箋 室 = 善 = - f 莖 反 汜， 礦 1 u r j a 一瑟 a 一出 ，l + 、 旦砂。蕊 礦 魅陋 怯一 第= 章流田輻奢秉崩：動(dòng)力者租的推導(dǎo) 如果將邊界s 。置于距結(jié)構(gòu)足夠遠(yuǎn)處，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)的振動(dòng)對(duì)此邊界以外的水域無影響，則有 q ，= 0 ，代入上式，由此可得到關(guān)于q 。的基本方程為 h q q 。= f h = 一b nd s ( g “gj ( g “1 )( g 塒j( g 。g 兒g 。l j 或?qū)懗桑?q n = 一h 盞b n d s 式中 h q = h 。一h 。h ：h 。 f n = f ，一h 。h ：f 。 b n = b n hn 。h ：b ， 同時(shí)可得 廠、 q ，= 日：ie h 。ql ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 蛾是結(jié)構(gòu)與沉體磺觸回上所有幣點(diǎn)的動(dòng)壓力列陣。為3 - 求出這個(gè)附加動(dòng)壓力對(duì)結(jié)構(gòu)作 用的等效節(jié)點(diǎn)載荷，必須先求得接觸面上每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)動(dòng)壓力分布。為此，引入一個(gè)位 序矩陣彳扯l ，從見中分解出接觸面上第七號(hào)單元的s 個(gè)節(jié)點(diǎn)處的動(dòng)壓力為 ，2 黝黥 “，2 ， ( 23 d 式中，& 表示與結(jié)構(gòu)相接觸的流體單元數(shù)。于是該接觸面上的動(dòng)壓力可表示為： 2 憎2 _ ! ! ；3 錯(cuò)黝黥 心3 2 沿該接觸面法向施加一虛位移贏。，利用( 2 1 5 ) 式可知珞) 作虛功： 彤2 k 面n 億) d s = 畹如詠) 忍) d s ( 23 3 ) 假定與昧l 等效的節(jié)點(diǎn)載荷e “) 與位移以( i ) 方向一致，其排列序號(hào)與g ( 七) 致，則e 狂) 在 相應(yīng)的虛位移上做虛功為 柵= 磁) e ) ( 2 3 4 ) 比較上述兩式，得 c = l 嵋t ) 搬 ( 2 3 5 ) 第= 章潮固耦合系統(tǒng)動(dòng)力方租的推導(dǎo) 假設(shè)接觸面上流體動(dòng)壓力的全部等效節(jié)點(diǎn)載荷其元素排列次序與q 一致，則 ) 號(hào)單 元的等效節(jié)點(diǎn)載荷c 扯) 在f q 中的位置同樣用位序矩陣一確定 f q ( ) = 爿；) e ( 女) ，k = 1 , 2 ，s e ( g x l )( g x s ) ( ，x 1 ) 接觸面上的所有單元作上述運(yùn)算后 的等效節(jié)點(diǎn)載荷即 ( 2 3 6 ) 簡(jiǎn)單迭加就能得到流體內(nèi)附加動(dòng)壓力在結(jié)構(gòu)上 盤，2善ct，2：tg。lk = l 鈺() i - i ( g ，) ( “1 ) 將( 2 3 5 ) 式、( 2 3 2 ) 式和( 2 2 2 ) 式相繼代入( 2 3 7 ) 式，得 一 善彳f ：，( 。，嵋。，虬t 。，訂) 氣) 日氐喀 令 三2f m l 矗t ) 搬 ?。篺 量彳) 厶。) 4 。) 日了占。 i - i 則有 f q = 一m p d s ( g x l ) l g x g ) ( g 1 ) 式中，m 。稱為“附連水質(zhì)量”。 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 按前面推導(dǎo)時(shí)規(guī)定，( 2 3 1 1 ) 式中，西s 的各元素其正方向都是沿節(jié)點(diǎn)所在表面 的法向，其正向均規(guī)定指向流體外部。因此將( 2 3 1 1 ) 式用于結(jié)構(gòu)分析時(shí)，需按結(jié)構(gòu)坐 標(biāo)系進(jìn)行變換。如圖2 - - 2 所示，假設(shè)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系用g ，歹，三) 表示，接觸面上a 點(diǎn)的法線為 ，它的正向指向流體外部( 結(jié)構(gòu)內(nèi)部) 。沿法線的位移“?！? 在i 一歹一三坐標(biāo)的分量可 寫成： x ( u ) v ) 圖2 - 2 結(jié)構(gòu)一流體系統(tǒng) f i g 2 - 2s t r u c t u r e - f l u i ds y s t e m 第= 章流固耦合幕航動(dòng)力方租的推導(dǎo) 阮i 。硯r = 玩 丁是有轉(zhuǎn)換關(guān)系式 ( 爿) = c o s ( 。，i ) c o s ( n ，歹) c o s ( h aj ) 帆v a 吮r = 叱) 蟊) 把接觸面上所有點(diǎn)按規(guī)定順序排列，得 ) 耳2 ) 惻 記為 d s = 加s 節(jié)點(diǎn)力、位移加速度亦有同樣的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即 = d s = 2 d s 代入( 2 3 1 1 ) 式，并注意到矩陣a 的正交性 等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算式為 f q 2 一m p d s 式中 礬= m ，a 2 4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程 ( 2 3 1 5 ) 得到在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中標(biāo)定的附加動(dòng)壓力的 在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中，離散化的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為 菇+ 歷+ 歷= 最( ，) + 昂( ，) ( 2 4 1 ) 式中，m 、c 、k 分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣：d 表示結(jié)構(gòu)總的節(jié) 點(diǎn)自由度，它可以分解成： 萬：l 【d gj ( 2 4 2 ) 式中，恧表示與流體接觸表面上的自由度，稱為“濕自由度”；瓦表示不與流體接觸的 癬上海交通大掌2 0 0 1 ，碩士掌位論文 9 第= 章流固耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程的推導(dǎo) 自由度，稱為“干自由度”：晟表示僅由流體附加動(dòng)壓力引起的節(jié)點(diǎn)載荷；死表示作用在 結(jié)構(gòu)上的其余載荷。顯然( 2 3 1 6 ) 式的露與瓦的階數(shù)不同，作如下處理，令 瓦= 階一r 蚓 記為 b = 一m g d 代入( 2 4 1 ) 式移項(xiàng)后。得 噼+ 礬) d + c d + k d = 瓦( ，) ( 2 4 5 ) 這就是考慮流體介質(zhì)影響的結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基本方程。與結(jié)構(gòu)在空氣中的振動(dòng)方程相比 只是多了一項(xiàng)“附連水質(zhì)量陣”j _ g 。 擴(kuò)i 五忑瓦忑蒿面夏_ l o ” d d 4 第三章考慮才媒壓力的流固| 融合系統(tǒng) 第三章考慮水深壓力的流固耦合系統(tǒng) 利用幾何非線性原理，把由于水深壓力對(duì)于結(jié)構(gòu)的影響轉(zhuǎn)換成結(jié)構(gòu)表面的初應(yīng)力剛 度矩陣，并將其依次疊加到結(jié)構(gòu)的剛度矩陣上，最后形成考慮水深壓力的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程 3 1 幾何非線性的基本原理m 1 在實(shí)際的結(jié)構(gòu)中，大多數(shù)的載荷只產(chǎn)生小位移和小應(yīng)變，這種結(jié)構(gòu)的應(yīng)變計(jì)算關(guān)系 式也是線性式，所用的材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一般都遵守或近似地遵守虎克定律，其關(guān)系也 是線性的。在結(jié)構(gòu)分析問題中，有兩種類型的幾何非線性，第一種類型屬于材料性質(zhì)的非 線性。它是由于結(jié)構(gòu)材料的彈塑性或粘彈性的性能是非線性而引起的，它反映在應(yīng)力- 應(yīng)變 關(guān)系的物理方程中。因此，這類非線性問題稱為之為物理非線性。第二種類型是指：“幾何 非線性”，當(dāng)位移( 擾度) 大得足以使結(jié)構(gòu)的幾何形狀發(fā)生顯著的改變，以致平衡方程必須 按變形后的位置建立時(shí)。就屬于這類非線性，它反映在應(yīng)變位移關(guān)系式中，故稱之為“幾 何非線性”。為線性結(jié)構(gòu)發(fā)展起來的有限單元法可以擴(kuò)充來分析上述的非線性問題。 在薄板、薄殼一類工程結(jié)構(gòu)中，由于撓度較大，載荷與撓度間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系， 同時(shí)由于轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的伸長(zhǎng)再也不能忽略，在大多數(shù)情況中，轉(zhuǎn)動(dòng)還是有限的，因此可把 這類問題歸列為有限變形來處理。本節(jié)將采用拉格朗日坐標(biāo)系中的增量位能原理，建立有 限變形問題中的基于增量位能原理的有限元列式，可供結(jié)構(gòu)分析之用。 對(duì)于這一類大撓度、小轉(zhuǎn)動(dòng)的有限變形問題，我們將采用線性化的逐步增量法。即 將外載荷分成若干級(jí)，按小增量逐步施加，而對(duì)每一個(gè)增量求解一個(gè)逐段線性問題。與小 變形問題的不同在于這里將要考慮加載前的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)本次加載的影響，而且每次都是在 上一級(jí)載荷增量施加終止時(shí)的結(jié)構(gòu)位形上旌加本次載荷增量。 1 拉格朗日坐標(biāo)系中的增量位能原理 不失一般性，本節(jié)的推導(dǎo)都以三維彈性體作為分析對(duì)象。當(dāng)我們采用拉格朗日坐標(biāo) 系，增量形式的最小位能原理可以寫為 兀= f 心占r p o + ； 占 r 【c 拾占) + 占 7 【c 】 占 。 一 7 歸 0 + 妒溉一肛r 盼 0 + 她：極小 c a ， 品 它與小位移問題的不同在于式中的應(yīng)變、應(yīng)力是指格林應(yīng)變矢量與克?；舴驊?yīng)力矢量，應(yīng) 力一應(yīng)變關(guān)系為有限變形在直角坐標(biāo)系中的形式導(dǎo)出： 癬上海交盟大掌2 0 0 1 ，硬士掌位論文 第三章考虎水深壓力的流固耦合系統(tǒng) 扯 = h 】) = ?！? 料) 其中： ，) = a u ，a v ，w r 【d ?！? 【d ?！? 【】 【d ?！? 旦o 0 x 0 旦 卻 0o 】= 【a i l 】 - 】= ； i l l = a a “ 0 x a v o x o0 o 旦 c 少 。旦 積 旦o 0 旦 比 旦o a z aa 砂蘇 a w00 出 。旦“旦v 砂咖 0 a a w 咖 0 0 0002 旦缸2 旦v2 旦螄 出出如 000000 0 0 a 一” 出 o o 2 一a “ o o a a v 出 o o 2 一v 靠 2 有限兀列式 在拉格朗1 5 t 坐標(biāo)系內(nèi)，可用節(jié)點(diǎn)位移增量?jī)?nèi)插單元的位移增量，寫成 v = 【】 式中【n 】為單元的形函數(shù)。 = 陌】m 其中 吲= 1 + 阢m 】_ 【】+ 阪】 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) o 0 一 o 0 2 a w o x ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) 蠆i i 忑忑而忑忑聶一： o o o o坩日 o a 一耖 2如 o a 一砂 2缸 o a 一鈔 2 o 0 a 一& o a一昆o a 一瑟o 0 o o a 一砂 o a一砂o a一砂o o o o a 一缸 o a一鋤o a一知0 o ，三章考慮水深壓力的漶固輔合秉統(tǒng) 稱為應(yīng)變矩陣，而 阮卜慨。i 】 就是小位移情況中的應(yīng)變矩陣，稱為“線性應(yīng)變矩陣” 【8 。卜【d 。i 】= 阻i l i 】 稱為“非線性應(yīng)變矩陣”，或“大位移廈燹矩l 暉”- 在單元處于平衡狀態(tài)的充要條件。應(yīng)用節(jié)點(diǎn)位移增量表示的總位能增量進(jìn)行推導(dǎo)可 以得到單元節(jié)點(diǎn)平衡方程的增量形式： 噼】+ k ，】) 一沁，) 一 絲。) 一 a f v 一觚) = 0 ( 3 1 1 4 ) 式中： 吲= 歸】7 【c p 伽 ( 3 1 1 5 ) k ，】 d ) _ p 防 7 4 a v ( 3 1 1 6 ) 曲。) = 一幅r 【c 艙占 o d v ( 3 1 1 7 ) p r 絲。 = _ f 廬】7 p ?？б桓豶 伊 0 西一i j i n 7 擴(kuò) o 出i ( s - - s ) 慨) = f 坩妒枷 v 岷 = i j i n a 于泌 品 下面我們簡(jiǎn)要說明上述各項(xiàng)的計(jì)算公式和物理意義。 ( i ) 初應(yīng)力矩陣k ?！?k ，】- 肛r r i g 枷 v 是由當(dāng)前應(yīng)力水平確定的對(duì)稱矩陣。通常稱之為“初應(yīng)力矩陣”或幾何剛度矩陣。 其中： i r = j l b ， 【f ” f “踟 ( g j = = 怯町，號(hào)阮丟叫7 ( 2 ) 切線剛度矩陣k r 】 我們引入記號(hào) k ，】= 防】+ k 。】= 【如卜k ?！? k ?！?( 3 1 2 4 ) 癬上海交趣大掌2 0 0 1 ，碩士掌主；文 第三章考慮水深藍(lán)力的漶固耦合系統(tǒng) 其中： i x ?！? 肛r c i b o 協(xié) 是小位移剛度矩陣。 i x ?！浚号瀝 c i b ?！? 【耵 c l b o + 瞳r c l b 。脅 稱為“大位移矩陣”或“初位移矩陣”。 ( 3 1 2 6 ) ( 3 ) 節(jié)點(diǎn)載衙增量 a 昂 表示由增量體力引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷部分。 只 表示增量面力產(chǎn)生的等效節(jié) 點(diǎn)載荷部分。 ( 4 ) 不平衡修正節(jié)點(diǎn)力沁， 絲， 反映了本次載荷施加前及施加過程中單元節(jié)點(diǎn)載荷的不平衡的程度。 ( 5 ) 協(xié)調(diào)誤差修正節(jié)點(diǎn)力沁。 欲。) 反映了不協(xié)調(diào)應(yīng)變對(duì)節(jié)點(diǎn)力的影響。 我們可以看出，與小位移平衡方程相比，剛度矩陣多了初應(yīng)力剛度矩陣和大位移剛 度矩陣當(dāng)我們討論的變形不是很大時(shí)，可以忽略結(jié)構(gòu)的大位移剛度矩陣。所以只是多了 一項(xiàng)初應(yīng)力剛度矩陣。 3 2 柔性板的有限元分析嘲 卦= “，】 受 = 酗， c 。z ， 職?！? ) = 擴(kuò) 其中：【k 。】為彈性剛度矩陣；k ?！繛榫€性幾何剛度矩陣。 為了方便起見，我們把k ?！繉憺?= o x t k g x 】+ d ，k 】+ r 。，k 】 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 霧磊磊磊i 面磊磊聶一t 第三章考慮水深壓力的流固g t - a - i k j 睫, , 其中： 阮】= f 【( 期銣 k o y = l ( 掣 銣 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 蚓= i ( 掣 7 掣+ ( 掣) 7 掣卜砂 c sz e ， 對(duì)于四節(jié)點(diǎn)1 2 自由度的非協(xié)調(diào)矩形彎曲板單元，如圖3 - 1 所示： w = 【。) 其中， d - - 卜，氏o y 對(duì)應(yīng)的廣義力為 卜旦呻叫 圖3 - 1 矩形板單元 f i g 3 - 1e l e m e n to f r e c t a n g l ep l a t e ( 3 2 7 ) w 2 q ：o y ：w ，以，o y ，w 4 或。o y 。r 擴(kuò) = k 帆。m y 。f 2 m ；： 形函數(shù)為 【?！縚 匝】l 【】：【五【l 】 式中 m = ，n ，。n ，】 m nrm dm drm amy 飛 ( f = 1 , 2 ，3 ，4 ) 經(jīng)過推導(dǎo)可以得到1 2 自由度矩形彎曲板非協(xié)調(diào)單元的幾何剛度矩陣的顯式為 【k ?！? 盯，【髟?！? 口，k 回】+ r ，【k 研 其中： 1 酊i 忑忑瓦麗苫忑i t s ，釬三| 考慮才深壓力的流固耦分秉統(tǒng) k 。1 = k 1 = 4 6 b 1 0 5 a 1 l b 2 1 0 5 a b 1 5 4 6 b r o s a l i b 2 1 0 5 a b 4 6 a 1 0 5 b 1 5 i l a 2 1 0 5 6 1 7 口 1 0 5 b 4 b 1 0 5 a o 墅 4 5 1 l b 2b 1 0 5 a1 5 一4 一b 3 0 1 0 5 a 8 a b 4 5 0 3 0 4 a b 4 5 0 3 0 a b 4 5 0 1 5 2 a b 4 5 0 8 a b 4 5 6 3 0 0 4 a b 4 5 b 3 0 0 a b 4 5 對(duì) 對(duì) 稱 4 礦 1 0 5 a o 墅 4 5 l l b 2b4 6 b 1 0 5 a1 51 0 5 a 一篙。一篆篙 。一百2 a b 一西b 。百8 a b4 51 54 5 4 6 a 1 0 5 6 口8ab 1 54 5 l l a 24 a 3 j 0 5 bj o 鼬 4 6 a口1 l a 24 6 a 1 0 5 b1 51 0 5 b1 0 5 b 口2 a b a8 a b 1 54 51 54 5 | l a 一2o 一望豎o 1 0 5 b1 0 5 b1 0 5 b 1 7 a口1 3 礦1 7 口a 1 0 5 占3 02 1 帖1 0 5 b3 0 口a b 口4 a b 3 04 53 04 5 羆。鑫一羆。 稱 4 1 0 5 b 1 3 a 24 6 a 2 l 1 0 5 6 0 一旦一8 a b 1 54 5 a 3 而ll a 2 。而4 a 3 3 5 b0 5 b1 1 0 5 6 塑洛jl生”絲磐面生” 一量。防一撇礦一：萎。肼一撇礦一：萎。 螄!鎣!萋。一”m一叫一撇占一m一!鎣。一如 =一”。一加。曲一”。如。似一盯 。防一撇礦一：萎。彬一脅礦一洳。 一”m；萋蚶一|耄。m一；量一撕。一 盯一甜一|詈。礦渤甜一耄。礦一渤舊一蚴。一|瑩 如甜一l耄m蚴旦如酣l耄緬一慨旦：2舊 苧苧! ! 皇塵苧墨苧竺蘭苧竺! 墨竺 k 6 w 】= l 一 2 0u 0 一一a b 0對(duì) j 8 0 一b 0一上 魚0 一a b 00稱 oab00一a b 0 一 oo 一旦5 上2 255 堡 笠一生oo 生 oo 一旦一生 竺墮 oo 一生o oo 一詈圭詈詈 。 一詈 。 一圭 oo 警一；一等警魚5o 魯o o 1 851 51 81 8 竺墮 。一旦一生一o 生 oo一生o 3 3 考慮水深的流同栩合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 計(jì)算結(jié)構(gòu)在水f 的響應(yīng)時(shí)，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到一定深度水的靜壓力，在某一特定水深的情 況下，水對(duì)結(jié)構(gòu)的壓力可以認(rèn)為是不變的。此時(shí)水深對(duì)于結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有一定的影響。我們 可以把靜水壓力對(duì)于結(jié)構(gòu)的影響轉(zhuǎn)換成初應(yīng)力剛度矩陣來求解。 此時(shí)式( 2 4 5 ) 可以改寫為： 幅】+ 阮嚙 + 眵俗 + 噼卜阮嚙 ：阮( f ) ( 3 3 1 ) 式中：匠】是由當(dāng)前壓力水平確定的對(duì)稱矩陣，通常稱之為“初應(yīng)力剛度矩陣”或“幾何 剛度矩陣”。 弋礦i 忑忑瓦而五忑i ， 第四章精細(xì)時(shí)程積分法 第四章精細(xì)時(shí)程積分法 流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)的求解是流固耦合問題的一個(gè)重要部分本章介紹了的計(jì) 算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方法，傳統(tǒng)的方法如：威爾遜0 方法和紐馬克方法；最近提出的精細(xì)時(shí)程積 分方法我們提出了分段的精細(xì)時(shí)程積分方法 4 1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程及動(dòng)力響應(yīng)問題 在上一章中我們得到了流固耦合影響作用后以及水深影響的的結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程： 】+ 。附 + 【c 弦 + 肛】+ k * ) = 憶( f ) ( 4 1 1 ) 式中：【m 1 、【c 】、k 1 分別為在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣；m 。1 和 k 。】分別為“附連水質(zhì)量陣”和“幾何剛度矩陣”； ， 為結(jié)構(gòu)全部節(jié)點(diǎn)自由度位移向量列 陣； ( ，) 為作用在結(jié)構(gòu)全部節(jié)點(diǎn)自由度上的等效載荷。 為了簡(jiǎn)單計(jì)，把式( 4 1 1 ) 寫成： 阻渺 + f 靜 + k k ，j = ( 廠o ) ( 4 1 2 ) 于式( 4 1 1 ) 相比，式中阻1 - 阻】+ 阻。】、【x l = i k l + 區(qū)。】、杪( r ) ) = f g ( f ) ) 。 我們令其初始條件為： p ( o ) ) = 純， ，( o ) = r 0 ) ( 4 1 3 ) 在數(shù)學(xué)上，式( 4 1 2 ) 式一個(gè)二階線性微分方程組。原則上可以用求解常系數(shù)微分方 程組的標(biāo)準(zhǔn)方法來求出它的解h 。但是如果矩陣的階數(shù)很高，則用求解一般微分方程組的 方法可能需要很高的費(fèi)用( 除非利用系數(shù)矩陣k 】、【c 】和瞰】的特殊性質(zhì)) 。在實(shí)用的有 限元分析中，我們最感興趣的只是幾種有效的方法。 4 2 計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的傳統(tǒng)方法嗍 動(dòng)力分析中平衡方程組的求解主要可分為兩種：直接積分法和振型疊加法。初看起 來這兩種方法似乎完全不同，但事實(shí)上它們有密切的關(guān)系。我們主要討論直接積分法。對(duì) 式( 4 1 2 ) 的直接積分法采用了逐步進(jìn)行數(shù)值積分的過程。實(shí)質(zhì)上，直接積分以下面兩個(gè)想 法為基礎(chǔ)：第一是試圖只在相隔為t 的一些離散的時(shí)間區(qū)間內(nèi)而不是在任一時(shí)刻t 上滿足 式( 4 1 2 ) ，