重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要 摘要 空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)是以三維形體及三維受力為主要特征的結(jié)構(gòu)型式，它的特點是 受力合理，剛度大，重量輕，造價低，結(jié)構(gòu)形式新穎豐富，生動活潑，可以突出 結(jié)構(gòu)美且富有藝術(shù)表現(xiàn)力，國內(nèi)外應(yīng)用非常廣泛。 隨著建筑材料、計算機(jī)技術(shù)和結(jié)構(gòu)理論的進(jìn)步，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)總的發(fā)展趨勢是： 跨度越來越大，所用材料越來越經(jīng)濟(jì)。網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題也因此成為設(shè)計中的 關(guān)鍵問題。只有在結(jié)構(gòu)的荷載一位移非線性全過程分析中才能準(zhǔn)確把握網(wǎng)殼的穩(wěn) 定承載力。因此，本文從結(jié)構(gòu)的非線性全過程分析入手，對單層聯(lián)方球面網(wǎng)殼的 承載力進(jìn)行了深入、系統(tǒng)的研究。 本文利用結(jié)構(gòu)分析軟件a n s y s ，對不同跨度、不同矢跨比及不同截面的單層球 面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性全過程穩(wěn)定分析。通過變化不同的參數(shù)，考慮了對稱荷 載、不對稱荷載和初始缺陷等因素對網(wǎng)殼穩(wěn)定承載力的影響，對所得結(jié)果進(jìn)行統(tǒng) 計、分析和歸納，發(fā)現(xiàn)許多規(guī)律，最后擬合出單層聯(lián)方網(wǎng)殼穩(wěn)定設(shè)計的實用公式， 對工程設(shè)計有一定的指導(dǎo)意義。 關(guān)鍵詞：單層球面網(wǎng)殼，穩(wěn)定性，屈曲，極限荷載，不對稱荷載，初始缺陷 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文英文摘要 a b s t r a c t s p a c el a t t i c e d d o m ei sat y p eo fs t r u c t u r a l s y s t e m w h o s em a j o rc h a r a c t e ri s t h r e e - d i m e n s i o n a ls h a p ea n dt h r e e d i m e n s i o n a ll o a d e d t h er a t i o n a l l yl o a d e dc h a r a c t e r , g r e a ts t i f f n e s s ，l i g h t w e i g h t ，l o wf a b r i c a t i o nc o s t ，n o v da n dl i v e l yp a t t e r n ，b e a u t ya n d g r e a te x p r e s s i o n a r tm e a s u r i n ga r ef e a t u r e so ft h i s t y p eo fs t r u c t u r e t h e r e f o r et h e l a t t i c e dd o m e sa r e w i d e l yu s e da b r o a d a n dh o m e t o t a lt r e n di n d e v e l o p m e n to fl a t t i c e d d o m e si st h a tt h es p a no fl a t t i c e dd o m e b e c o m e sm o r ea n dm o r el a r g e ，a sw e l la st h em a t e r i a lu s e db e c o m e sm o r ea n dm o r e e c o n o m i cw i t ht h e d e v e l o p m e n t o fb u i l d i n g m a t e r i a l s ，c o m p u t e rt e c h n i q u e a n d s t r u c t u r a lt h e o r y s o ，t h es t a b i l i t yi st h ek e yp r o b l e mo nt h es t r u c t u r a ld e s i g no fl a t t i c e d d o m e s o n l yb y t h el o a d - d i s p l a c e m e n tn o n l i n e a ra n a l y s i sd u r i n gt h ew h o l ep r o c e s so f t h es t r u c t u r e ，t h es t a b i l i t yc a p a b i l i t yo ft h es i n g l e l a y e ru n i t el a t t i c e dd o m e sc a nb e e s t i m a t e d e o r r e c t i y t h e r e f o r e , b a s e d o nt h en o n l i n e a rw h o l ep r o c e s s a n a l y s i s o f s t r u c t u r e ，t h ep a p e rs t u d i e so nt h es t a b i l i t yc a p a b i l i t yo f l a t t i c e dd o m e ss y s t e m a t i c a l l y a n d d e e p l y b a s e do nf e m a _ i l a l y s i ss o l , r a r ea n s y s ，t h en o n l i n e a rw h o l ep r o c e s sa n a l y s i so f s t a b i l i t yb e h a v i o ro fs i n g l e - l a y e r l a t t i c e dd o m e sw i t hd i f f e r e n ts p a na n dd i f f e r e n tr a t i oo f r i s et os p a na n dd i f f e r e n ts e c t i o na r cc a r r i e do u t t h ee f f e c to ft h es y m m e t r i c a ll o a da n d u n s y m m e t r i c a l1 0 a da n di n i t i a li m p e r f e c t i o nb e h a v i o ro fs i n g l e - l a y e r l a t t i c e dd o m e s w i t hv a r i o u sp a r a m e t e r sc h a n g e si sa l s oa n a l y z e d al o to fs t a b i l i t yr e g u l a r i t i e sa r e f o u n dt h r o u g ht h ed e d u c t i o na n da n a l y s i so ft h e s eo b t a i n e do a r v e so fw h o l ec o u r s e a t l a s t t h ee m p i r i c a lf o r m u l ao f1 0 a dc a p a c i t yo fs i n g l e - l a y e rl a t t i c e dd o m e si so b t a i n e d t h r o u g hf i t t i n g s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa r ea c q u i r e da n dc a nb eu s e dt og u i d e e n g i n e e r i n gd e s i g n k e y w o r d s ：s i n g l e - l a y e r l a t t i c e d d o m e s ，s t a b i l i t y ，b u c k l i n g ，u l t i m a t e l o a d ， u n s y m m e t r i c a ll o a d ，i n i t i a l 油p e r f e c t i o n 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 緒論 1緒論 1 1 選題的背景 空間結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)的形態(tài)呈三維狀態(tài)，在荷載作用下具有三維受力特性并呈 空間工作的結(jié)構(gòu)。平板網(wǎng)架，網(wǎng)殼以及懸索結(jié)構(gòu)等空間結(jié)構(gòu)在我國得到了廣泛的 應(yīng)用，已為人們所熟悉?？臻g結(jié)構(gòu)與平面結(jié)構(gòu)相比具有很多獨特的優(yōu)點：平面結(jié) 構(gòu)從技術(shù)經(jīng)濟(jì)方面講，很難跨越很大的空間，也很難滿足建筑平面，空間和造型 方面的要求，而空間結(jié)構(gòu)是以三維形體及三維受力為主要特征的結(jié)構(gòu)形式，它的 特點是受力合理，剛度大，重量輕，造價低，結(jié)構(gòu)形式新穎豐富，生動活潑，可 以突出結(jié)構(gòu)美而富有藝術(shù)表現(xiàn)力，國內(nèi)外應(yīng)用非常廣泛。特別是近年來，人們生 活水平不斷提高，工業(yè)生產(chǎn)、文化、體育等事業(yè)不斷進(jìn)步，大大增強了社會對空 間結(jié)構(gòu)尤其是大跨度高性能空間結(jié)構(gòu)的需求。而計算理論的日益完善以及計算機(jī) 技術(shù)的飛速發(fā)展使得對任何極其復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)的分析與設(shè)計成為可能。這些正 是空間結(jié)構(gòu)能夠擴(kuò)大應(yīng)用范圍得以蓬勃發(fā)展的主要因素。近幾十年來，世界上建 造了成干上萬的大型體育館、飛機(jī)庫、展廳，采用了各類空間結(jié)構(gòu)，展示著優(yōu)美 的造型，成為一道道風(fēng)景。更有無數(shù)的廠房、倉庫等采用空間結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)、 合理的完美統(tǒng)一。 雖然在1 9 6 6 年，人們還將空間結(jié)構(gòu)視為“i n t e r e s t i n g b u te x o t i c ，n o n - c o n v e n t i o n a l s t r u c t u r e ”，而如今，空間結(jié)構(gòu)已經(jīng)在全世界范圍內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用?？臻g結(jié)構(gòu) 的類型與形式也日益豐富多彩，并難以對其嚴(yán)格分類。但在眾多的空間結(jié)構(gòu)類型 中，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)無疑是應(yīng)用得最為普遍的空間結(jié)構(gòu)形式之一。國外著名的新奧爾良 體育館，西班牙巴塞羅那的p a i a u d e s p o r t 體育館，日本的f u k u o k a 展覽館，澳大 利亞維多利亞藝術(shù)中心塔等等不勝枚舉。在我國，香港國際機(jī)場的p a s s e n g e r t e n n 證a lb u i l d i n g ，黑龍江省速滑館，天津市體育館，北京石景山體育館，長春五環(huán) 體育館等是其中的代表。對空間結(jié)構(gòu)這種自由度多，受力情況復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的研究 方法也隨著計算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展與應(yīng)用，從對連續(xù)化模型分析( 即擬殼法) 逐漸轉(zhuǎn) 到了對離散化模型分析( 即有限單元法) 。在就空間結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究中，大致有 三個方向：靜力問題，動力問題和穩(wěn)定問題。在研究穩(wěn)定問題時，目前的趨勢是 考慮結(jié)構(gòu)非線性性能并通過有限元分析來進(jìn)行研究。 隨著建筑材料、計算機(jī)技術(shù)和結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)總的發(fā)展趨勢是： 跨度越來越大，所用材料越來越經(jīng)濟(jì)。網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題也因此成為設(shè)計中的 關(guān)鍵問題。當(dāng)設(shè)計者對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性沒有把握時，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)通常被設(shè)計成雙 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文1 緒論 層的，這主要是因為雙層網(wǎng)殼不易發(fā)生失穩(wěn)，然而對于單層球面網(wǎng)殼，由于殼面 整體較薄，剛度較差，穩(wěn)定問題尤為重要。 1 2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 世界各國為大跨度空間結(jié)構(gòu)的發(fā)展投入了大量的研究經(jīng)費。例如，早在2 0 年 前，美國土木工程學(xué)會曾組織了為期1 0 年的空間結(jié)構(gòu)研究的計劃，投入經(jīng)費1 5 5 0 萬美元。同一時期，西德由斯圖加特大學(xué)主持組織了一個“大跨度空間結(jié)構(gòu)綜合 研究計劃”，每年研究經(jīng)費1 0 0 萬馬克以上。國際殼體和空間結(jié)構(gòu)學(xué)會( i a s s ) 還 每年定期舉行年會和各種學(xué)術(shù)交流活動。我國大跨度空間結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)原來比較薄 弱，但隨著國家經(jīng)濟(jì)實力的增強和社會發(fā)展的需要，近些年也取得了比較迅猛的 發(fā)展。工程實踐的數(shù)量較多，空間結(jié)構(gòu)的類型和形式逐步趨向多樣化，相應(yīng)的理 論、研究和設(shè)計也逐步完善。以北京亞運會( 1 9 9 0 ) 、哈爾濱冬季亞運會( 1 9 9 6 ) 和上海八運會( 1 9 9 7 ) 等許多體育建筑為代表的一系列大跨空間結(jié)構(gòu)作為我國建 筑科技進(jìn)步的某種象征在國內(nèi)外都取得了一定影響口“。 中外學(xué)者對網(wǎng)殼穩(wěn)定問題進(jìn)行了大量研究，取得了豐碩成果，在理論與實踐 中均具有極大價值。早期的結(jié)構(gòu)幾何非線性穩(wěn)定性分析中，攝動法占有極其重要 的地位，并大都引用了關(guān)于連續(xù)薄殼的研究成果，但這種擬殼法具有很大的局限 性。隨著計算機(jī)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用非線性有限元分析方法成為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析最 有力的工具。由r i c k s 和w e m p n o r 提出的并由c d s f i d d 和r a m n 等人改進(jìn)的各種 弧長法是這一方面的一個重要成果。 。近十余年來我國的錢若軍、沈世釗、董石 麟、沈祖炎、胡學(xué)仁、吳劍國等學(xué)者在總結(jié)國內(nèi)外成果的基礎(chǔ)上也積極開展了自 己的研究工作，除了早期對連續(xù)化計算公式作了一定探討外，還把大部分精力投 放在以非線性有限元為基礎(chǔ)的全過程分析方面 8 1 8 1 ，對理論表達(dá)式精確化、合理 選用平衡路徑跟蹤的計算方法、靈活的迭代策略等方面進(jìn)行了深入細(xì)致的探索， 使具有大量自由度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的全過程分析成為可能，并編制出相應(yīng)的分析 程序。 1 3 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析簡史 穩(wěn)定問題是結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域中一個最古老的問題。早在1 7 4 4 年，e u l a r 就發(fā)表 了他關(guān)于柱子穩(wěn)定的研究，提出了基于小撓度理論的歐拉臨界荷載，到1 8 世紀(jì) l a g r a n g e 又詳細(xì)研究了柱子屈曲的大變形理論。e u l a r 和l a g r a n g e 主要研究的是理 想柱，即柱子是呈嚴(yán)格的直線：材料是關(guān)于柱中心線軸對稱的；壓力沿著柱子的 中心線作用，由此建立起來的經(jīng)典理論成為以后對穩(wěn)定問題深入研究的理論基礎(chǔ)， 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文1 緒論 并且，有關(guān)柱子臨界荷載的公式一直沿用至今。 采用經(jīng)典方法預(yù)估彈性薄殼的分枝屈曲荷載的研究早在1 9 0 8 年，1 9 1 1 年由勞 倫茲( l o r f f i z ) ；1 9 1 0 年由鐵木辛柯( t i m o s h e n k o ) ；1 9 1 4 年由蘇斯威爾( s o r t h w e l l ) 及1 9 1 5 年由茲里( z o c l l y ) 等人系統(tǒng)展開。然而，這些屈曲荷載未能得到實驗證 明。直到2 0 世紀(jì)3 0 年代末，馮卡f - j ( v ，k a r m a n ) 和錢學(xué)森及唐奈爾( d o n n e l l ) 等分別取得了一些進(jìn)展，論證了結(jié)構(gòu)屈曲荷載理論與實踐之間的差別在于結(jié)構(gòu)的 不穩(wěn)定后屈曲形態(tài)，并形成了考慮前屈曲變形的后屈曲形態(tài)研究的彈性穩(wěn)定大撓 度理論。柯依托( k o i t e r ) 研究了結(jié)構(gòu)的后屈曲問題，解決了分枝點附近的后屈曲 模態(tài)和第二平衡路徑問題，以及微小的初始缺陷對屈曲性狀的影響，并提出了初 始缺陷靈敏度與臨界點自身不穩(wěn)定之間的關(guān)系。1 9 6 3 年，湯姆遜( t h o m p s o n ) 系 統(tǒng)發(fā)展了結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定的基本概念，將總勢能方程作為冪級數(shù)進(jìn)行展開，用n 個 廣義坐標(biāo)和一個荷載變量描述結(jié)構(gòu)的彈性穩(wěn)定問題，并討論了結(jié)構(gòu)的分枝和跳躍 這兩個臨界狀態(tài)。伯因卡( p o i n c a r e ) 則以力學(xué)系統(tǒng)中廣義坐標(biāo)的概念為基礎(chǔ)研究 了臨界平衡狀態(tài)附近的平衡圖形，指出了極值點存在的可能性。 早期的結(jié)構(gòu)非線性穩(wěn)定分析中，攝動法占有極其重要的地位。m o r i n 和c o r m o r 采用攝動法不僅得到殼體的臨界荷載和屈曲前的結(jié)構(gòu)位移，而且還追蹤到結(jié)構(gòu)的 后屈曲平衡路徑。這一時期，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析大都引用關(guān)于連續(xù)薄殼的研 究成果，這種方法對估算某些特定形式網(wǎng)殼的承載力起過重要作用，w r i e s t 、 b u c h c r t 、d e l 、b z o 和我國的胡學(xué)仁等提出了關(guān)于球面網(wǎng)殼穩(wěn)定性的計算公式。但 這種擬殼法具有較大的局限性：連續(xù)化殼體理論本身并不完善，缺乏統(tǒng)一的理論 模式，需要對于不同問題假定可能的失穩(wěn)模態(tài)，并作出相應(yīng)的近似假設(shè)，并且反 應(yīng)不出不同部位采用不同規(guī)格桿件的真實情況，也無法反應(yīng)多種網(wǎng)格各向異性的 實際情況。因而在理論驗算的同時，必須實驗進(jìn)一步測試。但由于試驗工作的復(fù) 雜性，往往很難得到規(guī)律性的結(jié)果。進(jìn)入2 0 世紀(jì)7 0 年代，隨著計算機(jī)的日益發(fā) 展和廣泛應(yīng)用，非線性有限元方法的興起，并逐漸成為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的主要工 具。國內(nèi)外的學(xué)者在幾何非線性問題的理論表達(dá)式和平衡路徑的跟蹤方面做了許 多工作，由于結(jié)構(gòu)體系的非線性迭代計算在某些奇異點和特殊路徑段容易發(fā)散， 研究者們在計算技術(shù)方面做了很多探索，如牛頓拉伏遜法、人工彈簧法、弧長法 等，雖然各種方法都有不同程度的局限性，但普遍認(rèn)為，弧長法具有較強的適應(yīng) 性，如計算參數(shù)適當(dāng)?shù)脑?，一般能成功越過平衡路徑上的奇異點，進(jìn)入后屈段。 1 4 本文研究目的及方法 早期的網(wǎng)殼穩(wěn)定分析只限于線性分析或屈曲前的非線性分析。線性分析方法 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 緒論 是將結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題化為特征值來求解。由于球面網(wǎng)殼是跨高比較大的結(jié)構(gòu)，它 具有很高的幾何非線性，線性分析方法中的一些基本假設(shè)與實際情況很難相符。 用線性方法通常會過高地估計結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力，而且線性分析方法也無法描述 結(jié)構(gòu)的荷載一位移全過程性能，尤其是無法預(yù)測結(jié)構(gòu)的屈曲后性能。而許多結(jié)構(gòu) 的穩(wěn)定承載能力恰恰是由結(jié)構(gòu)的屈曲后性能所決定。因此，對單層球面網(wǎng)殼進(jìn)行 非線性全過程分析是十分必要的。 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的非線性全過程分析問題包括兩個方面：一是幾何非線性；二是物 理非線性。由于單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的折算厚度相對于跨度是非常小的，因而幾何 非線性是主要的，當(dāng)然也不能排除結(jié)構(gòu)在失穩(wěn)前已有部分桿件截面的局部已進(jìn)入 塑性，且鑒于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的彈塑性穩(wěn)定問題過于繁復(fù)，材料非線性對結(jié)構(gòu)全過程曲 線及其極限點的影響實際上是使結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力的安全儲備稍有下降，對這種影 響已有可能從定量上作出適當(dāng)判斷【1 ”，故在進(jìn)行大規(guī)模參數(shù)分析時暫不考慮其物 理非線性特性是合理的。 研究中，人們通常利用計算機(jī)對網(wǎng)殼進(jìn)行全過程分析，得到精確的網(wǎng)殼穩(wěn)定 承載力及其他性能。然而對于廣大設(shè)計人員來說，這種方法顯然過于繁瑣。人們 迫切需要一種相對簡單，而又不失準(zhǔn)確的方法來設(shè)計網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)。在這一方面，國 內(nèi)外的研究并不很多，并未得到一致肯定的簡易計算方法。因此，本課題所研究 的內(nèi)容具有一定的實用價值。 本文選用不同的跨度、矢高比、荷載形式及初始缺陷情況，用a n s y s 對單層 球面網(wǎng)殼的穩(wěn)定性進(jìn)行大規(guī)模的參數(shù)分析，希望由此能對單層球面網(wǎng)殼的失穩(wěn)機(jī) 理有更進(jìn)一步的認(rèn)識，并用等效連續(xù)法把單層球面網(wǎng)殼等效為正交各向異性殼體， 用殼體的穩(wěn)定性理論及m a t l a b 程序求得殼體的理論解來加以比較，在此基礎(chǔ)上 得到一個比較簡明的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力設(shè)計公式，以方便廣大設(shè)計工作者。 1 5 本論文的主要工作 ( 1 ) 根據(jù)所擬定的結(jié)構(gòu)分析方案利用s a p 2 0 0 0 工程有限元分析應(yīng)用軟件對 各結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析，適當(dāng)選擇與調(diào)整網(wǎng)殼桿件的截面，以使結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布均勻， 具有良好的受力性能，更符合工程實際。 ( 2 ) 利用結(jié)構(gòu)分析軟件a n s y s ，對單層聯(lián)方球面網(wǎng)殼的穩(wěn)定性能進(jìn)行了全 過程分析。分析不同的跨度、矢高比、荷載形式及初始缺陷等各參數(shù)情況下的對 聯(lián)方網(wǎng)格型單層球面網(wǎng)殼分別進(jìn)行了荷載一位移全過程計算。 ( 3 ) 對大量計算結(jié)果進(jìn)行分析、整理、歸納，分析不同的跨度、矢高比、荷 載形式及初始缺陷等各參數(shù)對聯(lián)方網(wǎng)格型單層球面網(wǎng)殼穩(wěn)定承載力的影響，由此 4 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文l 緒論 得出對實際工程有參考價值的結(jié)論及建議。 ( 4 ) 利用回歸分析方法得到一個比較簡明的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力設(shè)計經(jīng)驗公 式，以方便廣大設(shè)計工作者。 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 2 1 失穩(wěn)現(xiàn)象 穩(wěn)定是結(jié)構(gòu)所處的一種狀態(tài)。由于習(xí)慣上對穩(wěn)定狀態(tài)熟視無睹，描述穩(wěn)定狀 態(tài)時更多的是以不穩(wěn)定現(xiàn)象或失穩(wěn)現(xiàn)象來反襯。 穩(wěn)定，實質(zhì)上可分為三類：第一類是結(jié)構(gòu)體內(nèi)的幾何穩(wěn)定；第二類是結(jié)構(gòu)受 外部約柬后的穩(wěn)定，即約束的充分性：第三類是外部約束充分的結(jié)構(gòu)的彈性或彈 塑性穩(wěn)定。這三個問題構(gòu)成了廣義穩(wěn)定問題。簡單的講結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題就是廣義 穩(wěn)定問題。因此，在結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析中主要研究的是不平衡現(xiàn)象，也就是研究結(jié) 構(gòu)運動。失穩(wěn)是由軸向壓力引起的，或者說失穩(wěn)通常出現(xiàn)在薄膜應(yīng)力為主的區(qū)域。 失穩(wěn)的真正含義是幾何突變，即在任意微小的外力干擾下物體或結(jié)構(gòu)的幾何發(fā)生 極大的改變。在撤除了這個任意微小的外力后，物體或結(jié)構(gòu)并不能恢復(fù)到原來的 幾何。事實上自從開始研究失穩(wěn)現(xiàn)象以來穩(wěn)定就沒有一個統(tǒng)一的定義。關(guān)鍵在于 將這種現(xiàn)象放在哪一種理論系統(tǒng)中研究。一種能比較廣泛地被接受地解釋是：失 穩(wěn)意味著穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡的轉(zhuǎn)移而到達(dá)一個新的穩(wěn)定的平衡。所以人們刻 意尋求可能發(fā)生平衡轉(zhuǎn)移的那個瞬間或狀態(tài)，即臨界狀態(tài)。同時人們的興趣也就 理所當(dāng)然地集中在穩(wěn)定平衡或不穩(wěn)定平衡的定義及其判斷。 至此，可以對失穩(wěn)作這樣的定義，即結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)是處于高位能的結(jié)構(gòu)由平衡 的臨界狀態(tài)隨著能量的釋放向不穩(wěn)定平衡狀態(tài)運動的過程。引起網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的 根本原因在于薄膜力，即如果結(jié)構(gòu)本身的剛度以薄膜剛度為主而彎曲剛度很小， 薄膜應(yīng)力是主要的應(yīng)力形式?；蛘哒f，在荷載作用下，結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)力的增長遠(yuǎn)小 于薄膜應(yīng)力的增長，結(jié)構(gòu)主要處于薄膜應(yīng)力狀態(tài)時才可能發(fā)生失穩(wěn)。對于多數(shù)網(wǎng) 殼結(jié)構(gòu)，在一定的荷載形式、幾何形狀和邊界條件下以及彎曲剛度很小或者彎曲 剛度退化，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)才處于薄膜狀態(tài)，幾何軟化導(dǎo)致失穩(wěn)是網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)主要的破壞 形式。所以在進(jìn)行失穩(wěn)分析時了解結(jié)構(gòu)的可能破壞形式是極為重要的。因為，因 強度破壞的結(jié)構(gòu)根本沒有失穩(wěn)的可能。另外，對網(wǎng)殼的失穩(wěn)跟蹤分析時，意味著 也可以通過其他方式加載，只需保證結(jié)構(gòu)的薄膜力狀態(tài)口”。 結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性能主要有兩種類型：分枝點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)，如圖2 1 ( a ， b ，c ) 所示。圖中實線表示穩(wěn)定的平衡路徑，虛線表示不穩(wěn)定的平衡路徑，只是 臨界荷載。對于分枝點失穩(wěn)情況過臨界點時將存在軸向受壓和受彎兩種不同受力 性質(zhì)的平衡狀態(tài)的可能，即發(fā)生平衡路徑的分枝，其中沿著初始位移形態(tài)變化的 一條平衡路徑成為“基本路徑”，結(jié)構(gòu)在該路徑上的平衡是不穩(wěn)定的，其它的平衡 6 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 路徑稱為“分枝失穩(wěn)”。在分枝路徑上如果荷載呈上升的形式稱為穩(wěn)定的分枝失穩(wěn) 圖2 1 ( a ) 】；如果荷載呈減小的形式則稱為不穩(wěn)定的分枝失穩(wěn) 圖2 1 ( b ) jo 對 于極值點失穩(wěn)情況 圖2 1 ( c ) 】，過臨界點后不會發(fā)生平衡形式的分值，自始自終 都處于壓彎平衡狀態(tài)中，一般情況下桿件在失穩(wěn)之前，受壓一側(cè)已存在望性變形， 屈曲的發(fā)生是桿件喪失承載力的結(jié)果，它過臨界點后的唯一一條平衡路徑的曲線 是下降的，荷載是減小的，結(jié)構(gòu)的平衡是不穩(wěn)定的。 ( a ) 穩(wěn)定的分枝點失穩(wěn)( b ) 不穩(wěn)定的分枝點失穩(wěn)( c ) 極值點失穩(wěn) 圖2 1 失穩(wěn)類型 f i g 2 1t y p e so f b u c k l i n g 2 2 幾何非線性的有限元法及t l 一般式 根據(jù)實際結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象，通常使用的線性方法所得的屈曲荷載并不能反映 單層球殼結(jié)構(gòu)的實際承載能力，非線性性能，初始缺陷可能對單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn) 定性產(chǎn)生極大的影響。在理論研究中，一般采用非線性有限元法直接考慮非線性 性能的影響。 用于結(jié)構(gòu)分析的非線性有限元法通常有兩種列式方法( t l ) 和更改的拉格朗 日列式( u l ) 。前者采用參照描述法，以未變形時的機(jī)構(gòu)位形為參照位形；后者 采用相關(guān)描述法，參照最后一個已知平衡位形，即參照t 時刻的結(jié)構(gòu)位形計算f + j t 時刻的新平衡位形。一般認(rèn)為，u l 法比較容易引入非線性本構(gòu)關(guān)系，因而適合于 非彈性大應(yīng)變分析，而t - l 法特別適合非線性彈性問題，特別是大位移、中等轉(zhuǎn)動 和小應(yīng)變問題，實際工程中的板殼問題和梁的彎曲通常屬于這類問題，單層球殼 的穩(wěn)定分析也屬于該類問題。 根據(jù)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的受力特點及采用桿件的截面特性，在單剛推導(dǎo)過程中采用基 本假設(shè)：( 1 ) 單元是等截面的，且雙軸對稱，這樣就排除了扭轉(zhuǎn)剛度與彎曲剛度 以及扭轉(zhuǎn)剛度與軸向剛度的相互耦聯(lián)；( 2 ) 不考慮剪切變形和截面翹曲：( 3 ) 外 7 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 荷載僅作用在結(jié)點上，且與變形無關(guān)。 本文在介紹幾何非線性有限元法的一般列式( t l ) 的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了空間梁 單元的切線剛度矩陣。 用 甲) 表示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、外力的矢量和，則由虛功原理得到： d 如 7 、y = f d 韜) c r d v d 趣 7 r ( 2 1 ) 增量形式的幾何方程為： d e ) = s a ( u ( 2 2 ) 將( 2 1 ) 代入式( 2 2 ) 可得到結(jié)構(gòu)的一般平衡方程為： l 王，) = l b 】7 仃) d 礦一 r ) = 0 ( 2 3 ) 在大位移、小應(yīng)變假定下，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和結(jié)構(gòu)的位移關(guān)系即幾何方程是非線性的， 幾何矩陣【b 】是結(jié)點位移向量 u ) 的函數(shù)，為方便起見，可將其分為線性和非線性兩 部分，即： b = b l + b n l 】 ( 2 4 ) 其中，非線性部分是由結(jié)構(gòu)的非線性變形引起的，一般為結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量的線 性函數(shù)。 仍然假定結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系即結(jié)構(gòu)的物理方程為： 盯) = d ( s 卜 】) + ) ( 2 5 ) 如果采用牛頓拉夫遜法求解非線性問題，則要求計算結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣，根據(jù) 切線剛度矩陣的定義，由式( 2 3 ) 可得： d 、p ) = f a l i b l 7 盯 d 礦= f 【b 】7 d c r d v ( 2 6 ) 增量形式的物理方程為： d o - ) = 【d l d s ) ( 2 7 ) 將式( 2 7 ) 代入式( 2 6 ) ，可得： d 、壬r ) = ( 【足o 】+ k z + 【，】) j 伽 = k r 恤) ( 2 8 ) 其中 島 為結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣，由三部分組成： = “吃】7 d 吃 d v 為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣； 【j 0 】= l 講曰m 】7 c r d v 為初應(yīng)力剛度矩陣； 【k 】= f ( 口。 7 d 】 占 + b 上 7 d 】 占。 + 口工 7 d 】 b ?！? d 礦為初位移剛度 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 矩陣。 與單元初應(yīng)力等效的結(jié)點力向量為： 廠) = 一f 【b 】7 c r 0 ) d y ( 2 9 ) 根據(jù)有限元法的t l 一般列式，求解結(jié)構(gòu)非線性問題必須首先計算結(jié)構(gòu)的切線 剛度矩陣，2 4 節(jié)對單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)分析中的梁單元加以分析，并推導(dǎo)相應(yīng)的切線剛 度矩陣。 2 3 缺陷引起的等效結(jié)點初內(nèi)力 結(jié)構(gòu)的缺陷將會產(chǎn)生初應(yīng)力，而這些初應(yīng)力對缺陷敏感性結(jié)構(gòu)將會較大地消 弱其承載力，但并非所有缺陷均能量化。這里僅討論因單位長度偏差及初彎折產(chǎn) 生的初始等效內(nèi)力。 因桿件長度的隨機(jī)偏差而產(chǎn)生的等效結(jié)點力 f 辦= - - p 目= 等越 ( 2 1 0 ) l 式中址是桿件長度的隨機(jī)偏差。經(jīng)量測，桿件長度的偏差呈正態(tài)分布，圖2 2 。 r 斗一， 最，_ 卜o 廠一白 卜生! 糾 圖2 2 因桿件隨機(jī)的初彎折而產(chǎn)生的等效結(jié)點力 重塑：壁堡主堂垡笙塞 ! 望星堡塹墮塞墮塑塑整壁墮坌塹 ：一2 e i r y a b ( 2 l - 3 a y ) ：一鼉?nèi)A( h 啪 乃：一6 e _ i y 廣a 口y ( 三一2 口y ) ：一p 珂 ：鼉等( 2 三嘲：) ：掣磐( 三如：) ，d ：一6 e 1 i , 廣a , ( 三一2 d ：) ：一乃 式( 2 1 1 ) 中& 、皂分別為主慣性系內(nèi)桿件隨機(jī)初始彎折，如圖2 3 所示。 圖2 3 桿件初始彎曲 f i g 2 3i n i t i a li m p e r f e c t i o no f t h em e m b e r b a r 2 4 空間梁單元及其幾何非線性切線剛度矩陣 如圖2 4 所示的雙軸對稱梁單元杭截面積為a ，軸慣性矩為 極慣性矩為 彈性模量為e ，剪切模量為g ，其結(jié)點位移列陣為： 設(shè)位移插值函數(shù)為 則單元內(nèi)任意點位移為 。= 阱 ”2 c 1 + c 2 x v = c 3 十c 4 x + c 5 x 2 + c 6 2 3 w = c 7 + c b x + c g x 2 + c l o 一 口= c l l + c 2 i x p = 】p ) 。 1 0 ( 2 1 4 ) 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 其中啪為形函數(shù)矩陣： 0 3 0 o 圖2 4 雙軸對稱梁單元 f i g 2 4t w o - a x l es y m m e t r i c a lb e a me l e m e n t 0 0 3 0 n l ；1 一三 ：三 三 n 4 = x - 等 梁單元的非線性幾何方程為： 應(yīng)變的線性部分為： 000 00 n 61 0 一n 6 0 i n 2 00j n 3 = 1 - 等弓 也= 等一等璣= 一手+ 導(dǎo) 罷+ 去 ( 罷 2 + ( 塞 2 + ( 警 2 1 d 2 vd2 vd u 1 d x 2d o ：2d x l( 2 1 5 ) d 2 wd 2 w d u l d x 2 。d x 2d x i d o1r d 口、2 i i + 三l 五jj o o 以o 0 m o o k o 0 0 0 h 0 0 o o m o o o o m m 0 o o 。l | l = 、，j s 以乜以 r，、【 里鏖奎蘭堡主蘭垡絲壅 i 蘭星整耍塑塞笙塑塑整星建坌塑 其中： 韜。；= 口“ a x d 2 v d x 2 矗2 w 出2 蠢毋 出 = 【b ?！繝?8 ( 2 1 6 ) f 職0 000 0 弼0 0000 l 陋?！? ：一一麓：是一：一一是：一麓一l | 0 00研0 0000 弼00 | e ) m 犯) 2 十2 + ( 繃 d2 v 如 出26 k d 2 w 斑 出2 出 1r d 療y 2 蘇， 非線性應(yīng)變碡。) 可以分為三部分： ) 1 了了1 ( 別 o i = 三 0 f 2 f 矗8 、2 l 瞄jj ， = 一 i2 1 2 = i a , j i g l 辨5 ( 2 1 7 ) = 三川【g l 搟) 。 蟊一出如一出咖一玉撈一出 f“iiiihiiii叫0 o o o 始一出 o o o 0 o o o o 如一玉o o e ，蘇一出幽一出加一蠢甜一出 o o o 據(jù)一出 咖一矗o o o 咖一奴o o o) ，) 0 + o o o 咖菇 niiar，；l l 一2 = 陋 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球耐網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 f o lf c o 0 3 2斟z-t-夏ldx圭雕dx0 000 e 矽w 幽 = 圭l 茂：。 l 出2ll 2 lil = l 焉】【g l 】 艿 r 職0 000 0 弼0 0000 i 陋q = l ：髻是：一是髻 ：髻是 ：一麓警l 1 000 州0 000 0 職0 0 j l = ( 主隧】+ 圭曙：】+ 圭【鳥】) 【g l 】筘 。* 匱v 】 鰳。 應(yīng)艇增量和位移增爨的關(guān)系推導(dǎo)如下： 毛 = 阪淞艿) l a 囂y = 【煮；】【g 1 】 艿 。= 【囂】1 艿 。 g ) 2 = 【爿2 【g 1 ( a j 。= 曰 2 d ) 。 | l 醚。y = 【鳴，】【g 2 】+ 【焉】睜j - 【君一】3 矗辯。 f o 00 0 7 ；o 照00 l 期沌小l 。害夏d ue l l o 00 o j f o 0 000 0000000 1 g 2 】。 ：塒0 輯0 。0 0 嬡髻。0 聯(lián)0 a 譬0 。0 一蛾0 聯(lián)0 l 1 0 0 00000 00000j 裁； 讎 = 陋。淞占) 。= 眙。r + 溉】2 + 陋r x 艿 。 假定結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)，粱單元的物理方程及其增覆形式為： = 】餌 肼 = p k 蛆 1 3 ( 2 。1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 出一_毽咖一出如一出抬一玉 o o o ! 墼盔堂堡主堂焦笙塞 ! 蘭星壁基嬰塞笙墼塑璺塞：整坌塹 式子中： 泓) 為內(nèi)力矩陣， m = 坂鳩蠔 ： 徊 為肇元靛彈梭矩陣： d ) = 劇0 0e 1 0o oo oo 0 e iq o & ， 將陋?！?、陋艦】及 d 】代入式( 2 1 9 ) 可以得到空間粱單元的切線剛魔矩陣： 嘛】= 甌】+ 匠】+ k 】 ( 2 2 3 ) 其審： 【】* j 【吃 】【吼獼 【黽】= j 鹱龜至鹺瓦】囂翻 繇】+ 【& 鬟d 】【稅】) 蠢 眉， 1 - - j t a l 】 愛。 2 一f 【g 7 【秘】3 - - j t g 2 r oo 00o 0oo 0 0 0 0oo 0 0 00n o00 oo0 融t 0 o m ，0 0 oo0 + j t g l f 0 m ： 0o o0 oo 2 5 球囂弧長法 球面弧長法具有較強鼠穩(wěn)定的非線性跟蹤分析能力，其越過極值點的能力較 強越穩(wěn)定，鼯捷姿歪竊澍度矩薄熬顴赫蔻零或受毽對，逡露鞋疆盎發(fā)鼗。這耱迭 代方法以圖形表示在圖2 5 中。 震迭 法求簿薛線毪蠢隈元方程蠡孝，霹罵戚下磺迭錢裕式 肼“” = 蒯“吲+ p 1 4 ( 2 2 4 ) 玲 礬玎 虬o o o 協(xié) & 玲 恤 獼 強 ，一穢一1r吖對咀予q計 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球耐網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 式中：i 迭代次數(shù)； 五葡載增量步長系數(shù)； r 一一i 次迭代的不平衡力。 f f ； 圈2 。5 弧長法迭代讖程 f i 9 2 5i t e r a t i o n p r o c e s s o f a m l m g t h m e t h o d 在荷載增量控黼法中燕控制五，在位移控制法中是控鑭?；￠L法中是耐 時掖制a 2 與幽，如圖2 6 ，使得 阻r a u + a 2 2 = d s ( 2 2 5 ) 出顰可冕湊援當(dāng)予疑量憨模，上述條 孛瞧霹表示 幽2 ：0( 2 2 6 ) 現(xiàn)在的聞激是弼筒確定名m 與船，拔強2 6 將迭代菏爨表示為 ；州：；“+ ?！? ( 2 ，2 7 ) 則條件( 2 2 6 ) 也可表示為 i ( “+ 湃”) 。i “+ 矗夏“) 一d s 2 = 0 ( 2 + 2 8 ) 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 p 圈2 6 刷時控制z 與a “的弧長法 鶼2 6 a r c l e n g t h m e t h o d o f s i m u l m n c o u s c o n t r o 掛m g 矗毒a n d a u 因；”；：d s 2 ，式( 2 2 8 ) 又可簡化為 ( i + 2 7 ( ：0 注慧至矗二矗；= 缸“ 缸) + 舨 2 叫r “r “= e u m 7p + 2 式( 2 2 9 ) 可以寫成矩陣形式 缸辯了a u 十2 p ) 猷 熊+ 2 2 瓣 = o 將 船州】分為兩部分 a u o + t ) = 觚”p 。+ 阻“ 。 而這兩部分分翔 解之 k 船竹” ；= 圜 p 。= 渺 代入式( 2 3 1 ) ，掰得到關(guān)于五 “的二次方程 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 重慶犬學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球諑網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 群( 猷“) 2 + 2 6 ( 姒) + 。= 0 ( 2 。3 3 ) 式中； 露= l + 艫嘲n a u “啦 ilj llj i 6 = 科蹦“1 州阻” 。+ 眇 泣s t ， c = “ 。7 “?！?。十2 u ( 0 從而可以求得五( “) 。 從以上公式可見，求a 戈“+ u 相當(dāng)復(fù)雜，霄的學(xué)糟提出了改進(jìn)算法，改進(jìn)簿法之 一怒用垂直子迭代向量的平面代替踴弧，如圖2 7 ( a ) 。這時，有囪量的長度不 變的條件改為向量o 與向嫩“棚垂直。程迭代過程中，只要矢量；“變化，” 的方向也可不斷變純，與新的。矢量垂壹，如圖2 7 ( b ) ，從圈可覓，其遮代軌跡 占占 潮彩 圖2 7 鍛接遂爨瓤，毽詩霧格式蜀璦籬純。盤垂贏條終 磊：0i ：1 ，2 ，3( 2 3 5 ) 寫成矩陣形式 缸渤丁 缸 + 戰(zhàn)m a t 湃”= 。 ( 2 。3 6 ) 同樣，將 舭 分為兩部分，見式( 2 3 1 ) ，解式( 2 3 2 ) ，代入式( 2 - 3 6 ) 后，可 瓣褥 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 。r 嘗堡攀。 23 ，旯( ) ：一。_ = _ 二l 三! ( 7 ) 阻o 1 甜“ 。+ 越o “ 與式( 2 3 3 ) 相比，用式( 2 3 7 ) 求五“是簡化多了。 綜上所述，弧長法求解過程可歸納如下： ( 1 ) 選定一荷載參考值p 1 ，從而確定弧長凼。由有限元方程解出a ( 1 與 a u ( 1 。在第一次可取且( 1 ) = 1 ，不平衡力f r ( i ：0 ； ( 2 ) 修改剛度矩陣，并三角化，檢查對角元，若為正定，則加載，若為負(fù)定， 則加負(fù)荷載。若剛度矩陣行列式為零，則達(dá)極限點： ( 3 ) 與( 2 ) 同時，求出不平衡力1 r ( f 1i = 0 ； ( 4 ) 由【p 】求出 “ ，； 由l r “l(fā) 求出 血( j “l(fā) ； o- - il j ( 5 ) 由式( 2 - - 4 1 0 ) 或( 2 4 1 4 ) 求出五( “1 ) ； ( 6 ) 由 血 。，五“和 “ 。求出 血“ ； ( 7 ) 求出即時荷載水平及位移值； ( 8 ) 檢查是否滿足精度要求( 例如，若二次迭代滿足要求，則加一步荷載增 量) ，若不滿足，則重復(fù)( 2 ) ( 7 ) 步，直到收斂為止。 2 6 臨界點的判別準(zhǔn)則 結(jié)構(gòu)在每一荷載增量下的穩(wěn)定性能都與結(jié)構(gòu)當(dāng)時的切線剛度有關(guān)。正定的切 線剛度矩陣對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)：非正定的切線岡0 度矩陣對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的不 穩(wěn)定平衡狀態(tài)：而奇異的切線剛度矩陣對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的臨界狀態(tài)。矩陣是否正定需 根據(jù)定義來判斷：如果矩陣左上角各階主子式的行列式都大于零則矩陣是正定的； 如果有部分主子式的行列式小于零則矩陣是非正定的；如果矩陣的行列式等于零 則矩陣是奇異的。 在計算求解時采用) r 分解，每步計算都將剛度矩陣分解為以下形式： 【k 】= 【三】 d 】【 7 ( 2 3 8 ) 其中【q 是主元為l 的下三角陣，【d 】是對角矩陣。 重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文2 單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析 【d = d l 0 0 d 2 00 - 00 0 - 0 0 - - 0 d 3 0 - 0 d 。 ( 2 3 9 ) 對公式( 2 3 9 ) 取行列式： i k i = 俐d l l fl = j d = d l d 2 d 3 - 或 ( 2 4 0 ) 即切線剛度矩陣的行列式與對角矩陣的行列式相等。由矩陣的分解過程還可以知 道，矩陣陶和 d 的左上角各階主子式的行列式也都是相等的。因此矩陣舊是否 正定完全可以由矩陣 d 】來判別，這樣問題就變的比較簡單了。 如果矩陣 d 】的所有主元都是正的，則它的左上角各階主子式的行列式也必然 大于零，這時結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣是正定的，因此結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；如 果矩陣 d 】的主元有小于零的，則切線剛度矩陣是非正定的，這時結(jié)構(gòu)的平衡是不 穩(wěn)定的；從理論上來說，臨界點的切線剛度矩陣是奇異的，它的行列式應(yīng)該等于 零，這時矩陣 d 的主元至少有一個為零，然而在實際計算中選擇的加載步長正好 使剛度矩陣奇異的可能性幾乎是沒有的，但是我們可以由矩陣【d 的主元符號變化 來確定臨界點的出現(xiàn)。那么該怎樣識別臨界點的兩種類型，即極值點和分枝點? 兩類臨界點的屈曲后路徑跟蹤需要采用哪些策略? 在增量計算中，每加一級荷載我們都觀察矩陣【d 】的主元符號變化，結(jié)構(gòu)在屈 尸 尸 pk + | 占 圖2 8 極限點判別 f i g 2 8d i s t i n g u i s h i n gt h eu l t i m a t ep o i n t 曲前的平衡是穩(wěn)定的，因此矩陣 d 的所 有主元都大于零。假設(shè)加到第k 級荷載 時矩陣【d 的所有主元仍太于零，在斛1 級荷載矩陣 d 】的主元有個別的小于零， 則可以斷定第抖1 級荷載已超過了臨界 點。為了確定臨界點的類型需要比較r 和r + 1 的大小，如果p k l 則該i 臨界 點為極限點( 圖2 8 ) ；如果r p 七+ 2 則該臨界點為極限點( 圖 2 9 ) ；