,*三、向量的混合積,第8.3節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,數(shù)量積向量積*混合積,1,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動(dòng),1.定義,設(shè)向量,的夾角為,稱,數(shù)量積,(點(diǎn)積).,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,2,故,2.性質(zhì),為兩個(gè)非零向量,則有,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3,3.運(yùn)算律,(1)交換律,(2)結(jié)合律,(3)分配律,事實(shí)上,當(dāng),時(shí),顯然成立;,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,4,例1.證明三角形余弦定理,證:,則,如圖.設(shè),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,5,4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示,設(shè),則,當(dāng),為非零向量時(shí),由于,兩向量的夾角公式,得,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,6,例2.已知三點(diǎn),AMB.,解:,則,求,故,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,7,為).,求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度,例3.設(shè)均勻流速為,的流體流過一個(gè)面積為A的平,面域,與該平面域的單位垂直向量,解:,單位時(shí)間內(nèi)流過的體積,的夾角為,且,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,8,二、兩向量的向量積,引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為,符合右手規(guī)則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,9,1.定義,定義,向量,方向:,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模:,向量積,引例中的力矩,思考:右圖三角形面積,S,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,10,2.性質(zhì),為非零向量,則,3.運(yùn)算律,(2)分配律,(3)結(jié)合律,(證明略),證明:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,11,4.向量積的坐標(biāo)表示式,設(shè),則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,12,向量積的行列式計(jì)算法,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,13,例4.已知三點(diǎn),角形ABC的面積,解:如圖所示,求三,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,14,一點(diǎn)M的線速度,例5.設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上,的表示式.,解:在軸l上引進(jìn)一個(gè)角速度向量,使,其,在l上任取一點(diǎn)O,作,它與,則,點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,15,*三、向量的混合積,1.定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積.,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,16,2.混合積的坐標(biāo)表示,設(shè),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,17,3.性質(zhì),(1)三個(gè)非零向量,共面的充要條件是,(2)輪換對(duì)稱性:,(可用三階行列式推出),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,18,例6.已知一四面體的頂點(diǎn),4),求該四面體體積.,解:已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,19,例7.證明四點(diǎn),共面.,解:因,故A,B,C,D四點(diǎn)共面.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,20,內(nèi)容小結(jié),設(shè),1.向量運(yùn)算,加減:,數(shù)乘:,點(diǎn)積:,叉積:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,21,混合積:,2.向量關(guān)系:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,22,思考與練習(xí),1.設(shè),計(jì)算,并求,夾角的正弦與余弦.,答案:,2.用向量方法證明正弦定理:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,23,證:由三角形面積公式,所以,因,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,24,作業(yè)習(xí)題8-31,2,3,4,7,10,11，12，13,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,25,備用題,1.已知向量,的夾角,且,解：,機(jī)動(dòng)