南京理工大學(xué)碩士論文 第i 頁 摘要 本文采用“對角笛卡爾網(wǎng)格法”數(shù)值模擬包括復(fù)雜幾何邊界的二 維不可壓縮流動。對角笛卡爾網(wǎng)格法同時使用笛卡爾網(wǎng)格線以及笛卡 爾網(wǎng)格節(jié)點的對角線來模擬復(fù)雜的幾何邊界。經(jīng)過驗證，使用對角笛 卡爾網(wǎng)格法生成的近似邊界比用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的近似邊界更 加精確。在數(shù)值計算過程中采用基于單元中心的非交錯網(wǎng)格，將動量 方程用有限分析法，在較大的控制體積上離散，將連續(xù)性方程在較小 的控制體積上離散。通過這樣處理在邊界上不需要確定壓力邊界條 件，同時也消除了不正確的壓力棋盤現(xiàn)象。最后計算了旋轉(zhuǎn)后的空腔 內(nèi)的流動問題驗證了本文所提到的方法。 關(guān)鍵詞：對角笛卡爾網(wǎng)格，復(fù)雜幾何邊界，有限分析法，非交錯網(wǎng)格 南京理工大學(xué)碩士論文第i i 頁 a bs t r a c t t h i s p a p e r u s e s d i a g o n a l c a r t e s i a n i n c o m p r e s s i b l e f l o w so v e r c o m p l e x m e t h o df o r b o u n d a r i e s s i m u l a t i o no f t h em e t h o d a p p r o x i m a t e st h ec o m p l e xg e o m e t r yb o u n d a r i e su s i n gb o t hc a r t e s i a ng r i d l i n e sa n dd i a g o n a ll i n e so fg r i dn o d e s s o m ee x a m p l e si n d i c a t et h a tt h e a p p r o x i m a t eb o u n d a r y m a d e b yd i a g o n a l c a r t e s i a nm e t h o di sm o r e a c c u r a t et h a nb yt h et r a d i t i o n a ls a w - t o o t hc a r t e s i a nm e t h o du n d e rt h e s a m e g r i d s i z e b a s e do nc e l l c e n t e rn o d e so n n o n - s t a g g e r e dg r i d ， m o m e n t u me q u a t i o n si sd i s c r e t i z e du s i n gf i n i t ea n a l y t i c a lm e t h o di na b i g g e r c o n t r o lv o l u m ew h i l ec o n t i n u o u s e q u a t i o n i sd i s c r e t i z e di na s m a l l e rc o n t r o lv o l u m e b yt h i s t r e a t m e n t ，t h e r e i sn on e e dt od e f i n e p r e s s u r eb o u n d a r y c o n d i t i o na n dt h e w r o n gp r e s s u r e c h e c k b o a r d p h e n o m e n o n i s e l i m i n a t e d f i n a l l y t h ef l o wi nar o t a t e d c a v i t y i s s i m u l a t e dt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h ea b o v em e t h o d s k e y w o r d s ：d i a g o n a lc a r t e s i a nm e t h o d ，c o m p l e xg e o m e t r yb o u n d a r i e s ， f i n i t ea n a l y t i c a lm e t h o d ，n o n s t a g g e r e dg r i d 南京理工大學(xué)碩士論文第v i 頁 圖表目錄 圖2 2 1 計算區(qū)域9 圖2 2 2 九點有限分析解9 圖2 2 3 五點有限分析解l o 圖3 1 1 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬1 2 圖3 1 2 用對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬1 2 圖3 1 3 最短距離法確定模擬點1 3 圖3 1 4 用單調(diào)性準(zhǔn)則選擇離散點1 4 圖3 1 5 離散點太密導(dǎo)致模擬不精確1 5 圖3 1 6 離散點太疏導(dǎo)致模擬不精確1 5 圖3 2 1 標(biāo)準(zhǔn)距離示意圖1 7 圖3 3 1 網(wǎng)格密度5 1x 5 1 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形2 0 圖3 3 2 網(wǎng)格密度5 1 5 1 用對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形2 0 圖3 3 3 網(wǎng)格密度3 0 1 x3 0 1 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形2 0 圖3 3 4 網(wǎng)格密度3 0 1 x3 0 1 用對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形2 0 圖3 3 5 模擬圓形時網(wǎng)格密度與e l 之間的關(guān)系2 1 圖3 3 6 模擬圓形時網(wǎng)格密度與e 2 之間的關(guān)系2 1 圖3 3 7 模擬圓形時網(wǎng)格密度與e 3 之間的關(guān)系2 1 圖3 3 8 網(wǎng)格密度5 l 5 l 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形2 2 圖3 3 9 網(wǎng)格密度5 1 5 1 用對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形2 2 圖3 3 1 0 網(wǎng)格密度3 0 1 3 0 1 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形2 3 圖3 3 1 1 網(wǎng)格密度3 0 1x3 0 1 用對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形2 3 圖3 3 1 2 模擬斜位正方形時網(wǎng)格密度與e l 之間的關(guān)系2 3 南京理工大學(xué)碩士論文第v i i 頁 圖3 3 1 3 模擬斜位正方形時網(wǎng)格密度與e 2 之間的關(guān)系 圖3 3 1 4 模擬斜位正方形時網(wǎng)格密度與e 3 之間的關(guān)系 圖4 1 1 基于單元頂點的非交錯網(wǎng)格示意圖 圖4 1 2 基于單元中心的非交錯網(wǎng)格示意圖 圖4 1 3 交錯網(wǎng)格示意圖 圖4 1 4 選擇在合適的控制體上離散 圖4 3 1 邊界虛擬點示意圖 圖4 3 2 臨近邊界點的處理 圖4 4 1 對角邊界點與邊界虛擬點 圖4 4 2 本地控制體積守恒法 圖4 4 3 擴(kuò)大的控制體積守恒法 圖5 1 1 空腔流動計算區(qū)域 圖5 1 2 空腔縱向軸線上x 方向速度( r e = 1 0 0 ) 圖5 1 3 空腔橫向軸線上y 方向速度( r e = f 0 0 ) 圖5 1 4 空腔縱向軸線上x 方向速度( r e = 4 0 0 ) 圖5 1 5 空腔橫向軸線上y 方向速度( r e = 4 0 0 ) 圖5 1 6 空腔縱向軸線上x 方向速度( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 1 7 空腔橫向軸線上y 方向速度( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 1 8 空腔內(nèi)流動流函數(shù)圖( r e = l o o ) 圖5 1 9 空腔內(nèi)流動流函數(shù)圖( r e = 4 0 0 ) 圖5 1 1 0 空腔內(nèi)流動流函數(shù)圖( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 1 1 1 空腔內(nèi)流動壓力分布圖( r e = i o o ) 圖5 1 1 2 空腔內(nèi)流動壓力分布圖( r e = 4 0 0 ) 圖5 1 1 3 空腔內(nèi)流動壓力分布圖( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 2 1 斜置的空腔內(nèi)流動計算區(qū)域 圖5 2 2 斜置的空腔縱向軸線上x 方向速度( r e = 1 0 0 ) 幻拼筋巧拍 打砣鉈們鈣鈣們 鉗郇們鈣鈣腫 南京理工大學(xué)碩士論文第v i i i 頁 圖5 2 3 斜置的空腔橫向軸線上y 方向速度( r e = 1 0 0 ) 圖5 2 4 斜置的空腔縱向軸線上x 方向速度( r e = 4 0 0 ) ， 圖5 2 5 斜置的空腔橫向軸線上y 方向速度( r e = 4 0 0 ) 圖5 2 6 斜置的空腔縱向軸線上x 方向速度( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 2 7 斜置的空腔橫向軸線上y 方向速度( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 2 8 斜置的空腔縱向軸線上x 方向速度( 鋸鹵法，r e = 1 0 0 0 ) 圖5 2 9 斜置的空腔橫向軸線上y 方向速度( 鋸齒法，r e = 1 0 0 0 ) 圖5 2 1 0 斜置的空腔內(nèi)流動流函數(shù)圖( r e = 1 0 0 ) 圖5 2 1 1 斜置的空腔內(nèi)流動流函數(shù)圖( r e = 4 0 0 ) 圖5 2 1 2 斜置的空腔內(nèi)流動流函數(shù)圖( r e = 1 0 0 0 ) 圖5 - 2 1 3 斜置的空腔內(nèi)流動壓力分布圖( r e = 1 0 0 ) 圖5 2 1 4 斜置的空腔內(nèi)流動壓力分布圖( r e = 4 0 0 ) 圖5 2 15 斜置的空腔內(nèi)流動壓力分布圖( r e = 1 0 0 0 ) 卯鉀卯檔鋁船鋁如如 南京理工大學(xué)碩士論文第1 頁 第一章：引言 本世紀(jì)，計算機(jī)技術(shù)得到了飛速的發(fā)展，計算流體力學(xué)應(yīng)運而生， 它使用數(shù)值計算這一手段模擬流體的流動問題，打開了流體力學(xué)發(fā)展 的新局面。在流體力學(xué)中，一些問題用數(shù)值模擬比做實驗在時間和費 用上都節(jié)省的多，而且它的應(yīng)用范圍又比理論研究更加廣泛。因此， 數(shù)值模擬已經(jīng)成為研究流動問題的一個重要手段，部分地代替一些實 驗研究。 在計算流體力學(xué)的歷史上，用差分格式求解流體動力學(xué)問題時， 求解域的離散網(wǎng)格及其邊界都取直線，但是在實際應(yīng)用中，有許多問 題都包含有復(fù)雜的、不規(guī)則的幾何曲邊。在數(shù)值模擬此類問題時，對 這些不規(guī)則的曲邊準(zhǔn)確的近似非常重要，它直接影響計算結(jié)果的好 壞。對不規(guī)則幾何曲邊問題的研究仍然是一項挑戰(zhàn)性的工作。 1 1 處理復(fù)雜幾何邊界的重要性 許多在工程上廣泛應(yīng)用的問題都包括有復(fù)雜的幾何邊界。在預(yù)測 全球氣候以及海洋環(huán)境時需要知道海洋內(nèi)的流動情況，地球上的陸地 以及島嶼都具有不規(guī)則的形狀，對這種問題的研究顯然包括如何處理 不規(guī)則的幾何邊界。對飛行器周圍空氣流動以及傳熱的研究是設(shè)計高 性能飛行器的關(guān)鍵，由于飛行器的外形不規(guī)則，要研究好這類問題也 必須處理好不規(guī)則的幾何邊界。許多散熱器的外形也非常復(fù)雜，它的 傳熱性能與散熱器內(nèi)的流動情況密切相關(guān)，研究這類問題顯然也要處 理好它的不規(guī)則的幾何邊界。事實上，大多數(shù)工程問題都包括不規(guī)則 南京理工大學(xué)碩士論文 第2 頁 的幾何邊界，由于存在不規(guī)則的幾何邊界，用理論的方法幾乎不可能 得出結(jié)果，用實驗的方法或者不可能或者代價很大。一種切實可行的 方法就是利用計算機(jī)數(shù)值模擬，當(dāng)前迫切需要找到一種簡單、通用、 精確的處理復(fù)雜幾何邊界的方法。 1 2 處理復(fù)雜幾何邊界的常用方法 許多工程問題都包括有復(fù)雜的幾何邊界，處理好它們復(fù)雜的幾何 邊界在工程上有廣泛的應(yīng)用價值。因此，多年來人們對此作了廣泛的 研究，總結(jié)出許多方法。如貼體坐標(biāo)法、無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格法、重疊網(wǎng)格法、 鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法等。 1 2 1 貼體坐標(biāo) 貼體坐標(biāo)法首先根據(jù)求解域的邊界生成曲線坐標(biāo)系即貼體坐標(biāo) 系，這樣，求解域的邊界與坐標(biāo)曲面( 線) 相重合。求解域在物理空 間呈現(xiàn)復(fù)雜的形狀，而在變換后的空間內(nèi)是矩形或者矩形的組合( 三 維問題時為長方體或者長方體的組合) 。在確定適當(dāng)?shù)馁N體坐標(biāo)后， 再將控制方程轉(zhuǎn)換為貼體曲線坐標(biāo)下的形式。有關(guān)貼體坐標(biāo)的詳細(xì)用 法可以參見有關(guān)文獻(xiàn)，這里不再贅述。 幾十年來，貼體坐標(biāo)生成技術(shù)迅速發(fā)展，貼體坐標(biāo)也得到了日益 廣泛的應(yīng)用。它的出現(xiàn)無疑是數(shù)值模擬流動技術(shù)的一個巨大進(jìn)步。但 是，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到貼體坐標(biāo)法也存在一些缺陷。首先，它需要為每一個 物體生成新的貼體坐標(biāo)，而生成貼體坐標(biāo)又是相當(dāng)費時費力的。其次， 在曲線坐標(biāo)下控制方程的形式遠(yuǎn)比在直角坐標(biāo)下復(fù)雜，使得數(shù)值計算 更加煩瑣。最后，由于坐標(biāo)形式的復(fù)雜性和多樣性，坐標(biāo)變換一般不 南京理工大學(xué)碩士論文第3 頁 能用解析的形式，而只能用離散的方法，多種參數(shù)的微分只能用差分 來代替，這樣在計算時就會產(chǎn)生附加的誤差。當(dāng)采用非正交網(wǎng)格時更 是如此。 1 2 2 無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格起源于有限元法。近年來，人們在有限元法的啟發(fā)下 開拓了將有限差分法直接應(yīng)用于無結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格中，這既大大擴(kuò)展 了有限差分法的應(yīng)用，又避免了有限元法生成大規(guī)模的代數(shù)方程組及 其因非線性而造成的求解的困難性。原則上講，無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格具有任意 的形狀，但為了容易實現(xiàn)，對二維問題多用三角形網(wǎng)格，對三維問題 多用四面體網(wǎng)格。由于無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的安排無序，加之三角形( 四面體) 的形狀多變，它可以應(yīng)用于求解具有復(fù)雜幾何邊界的問題。有關(guān)無結(jié) 構(gòu)網(wǎng)格的詳細(xì)用法可以參見有關(guān)文獻(xiàn)，這里不再贅述。 無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格是一種有前途的新發(fā)展方向，但這一方向有一些棘手 的問題急需解決。首先，無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的生成，特別是三維情況，是十 分耗時的煩瑣工作，需要找到通用的高速有效的生成方法。其次，對 無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，高精度的差分格式難以應(yīng)用。最后，無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格應(yīng)用于 不可壓流場困難較大，主要原因是不可壓縮流體流動方程中沒有顯式 的壓力方程，壓力耦合求解比較困難。 1 2 3 重疊網(wǎng)格 重疊網(wǎng)格也可用于求解具有復(fù)雜幾何邊界的問題。對具有復(fù)雜幾 何邊界的問題，當(dāng)難以采用單個網(wǎng)格時，可以生成幾個矩形的規(guī)則網(wǎng) 格互相重疊，每個子網(wǎng)格可以具有不同的精細(xì)程度。這就是所謂的重 南京理工大學(xué)碩士論文第4 頁 疊網(wǎng)格。有關(guān)重疊網(wǎng)格的詳細(xì)用法可以參見有關(guān)文獻(xiàn)，這里不再贅述。 使用重疊網(wǎng)格后，整個計算區(qū)域被分成幾個具有簡單幾何形狀的 子區(qū)域，每個子區(qū)域可以分塊計算，使問題得以簡單化。但是，在區(qū) 域內(nèi)邊界上需要處理邊界條件，這一點非常復(fù)雜。各個子區(qū)域之間需 要傳遞信息，以使整個物理區(qū)間上的計算是協(xié)調(diào)的，使用內(nèi)插是傳遞 信息的最簡單的方法，但不能保證守恒性。當(dāng)計算包括類似激波那樣 的間斷流動時，計算格式的守恒性是重要的。此外，如果要解決的問 題的幾何邊界非常復(fù)雜，將造成子區(qū)域過多而使計算難以進(jìn)行。 1 2 4 鋸齒笛卡爾網(wǎng)格 在計算中用鋸齒形的折線來代替復(fù)雜的幾何邊界就叫做鋸齒笛卡 爾網(wǎng)格法。這種方法的優(yōu)點在于無論是在控制方程的形式，還是在數(shù) 值計算階段，它都比較簡單。另外，這種方法能夠自動生成網(wǎng)格、自 動處理復(fù)雜的邊界，便于編制出具有通用性的程序。其主要缺點在于 用這個方法構(gòu)成的邊界是鋸齒形的，即使網(wǎng)格劃分的很精細(xì)，用鋸齒 形折線模擬的邊界仍然是粗糙的，有時候難以滿足人們的需要。 1 2 5 對角笛卡爾網(wǎng)格 為了克服鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬邊界精度較差這一缺點，美國學(xué) 者c h e n 等提出了對鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法的改進(jìn)，即對角笛卡爾網(wǎng)格法。 這一方法繼承了鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法的優(yōu)點，并在某種程度上克服了鋸 齒笛卡爾網(wǎng)格法的缺點。鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法僅僅使用網(wǎng)格線來模擬復(fù) 雜的幾何邊界而造成精度較差，而對角笛卡爾網(wǎng)格法既使用網(wǎng)格線又 使用網(wǎng)格節(jié)點的對角線來模擬復(fù)雜幾何邊界。可以想象，其精確程度 南京理工大學(xué)碩士論文第5 頁 較鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法高。 1 3 本文的主要內(nèi)容 本文擬采用對角笛卡爾網(wǎng)格法數(shù)值模擬包含有復(fù)雜幾何邊界條件 的不可壓縮粘性流動問題。這一章已經(jīng)講述了處理復(fù)雜幾何邊界的重 要性以及常用的方法；第二章將給出不可壓縮流動的控制方程及其邊 界條件，并給出了用有限分析法離散動量方程的公式；第三章介紹如 何使用對角笛卡爾網(wǎng)格法自動模擬復(fù)雜的幾何邊界，同時將生成的模 擬邊界同用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界作比較，以此驗證對角 笛卡爾網(wǎng)格法的精確程度；第四章討論具體的計算方法，包括具體的 計算公式、在邊界處對壓力邊界條件的處理、收斂的判據(jù)以及完整的 計算流程；第五章以空腔問題為例來驗證對角笛卡爾網(wǎng)格法；第六章 總結(jié)了全文的工作并對后續(xù)工作提出了建議。 南京理工大學(xué)碩士論文第6 頁 第二章：不可壓流的控制方程及其 離散方法 這一章討論不可壓粘性流動的控制方程及其邊界條件和初始條 件，然后討論如何使用有限分析法離散動量方程。在考慮控制方程時， 我們假設(shè)所研究的流體為不可壓縮的牛頓流體，密度、粘度、熱傳導(dǎo) 系數(shù)均為常數(shù)。 2 1 控制方程及其定解條件 2 1 1 控制方程及其無量綱化 對二維不可壓流，質(zhì)量方程、動量方程、能量方程分別為： u ，+ = 0( 2 1 1 ) u r + u u ，+ 阿，= 一魯州u x x + ) _ + u _ + = 一告+ v ( + ) t + u 0 + 礦0 = 口( k + 乙) + 5 其中，口= j k i ，s 為能量方程中的源項。 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 南京理工大學(xué)碩士論文第7 頁 旭常為計算萬便，- g 常便用無量荊化的控制萬程，即選擇特征 長度l 、特征速度u 。、溫度差a t 、參考溫度乙、以及密度。等對方 程( 2 1 1 ) 、( 2 12 ) 、( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 無量綱化。以下是由特征物理變量 定義的無量綱參數(shù)： x = z x ，y = z y ，= 丁r u o ( 2 1 5 ) 擴(kuò)2 護(hù)u v 0 ，p 2 去 億， o p 明 、 口：t - ，t , t y ( 2 1 7 ) 丁 、7 使用上述無量綱變量，控制方程變成： u ，十k = 0( 2 1 8 ) u t + u u x + m 已，y = 一只+ 去( u n + u ) ( 2 1 9 ) k + u v + 嘎= 一0 + 面1 ( + ) ( 2 1 1 0 ) 0 t + u 日x + v o y = 去( 鉈+ + s ( 2 1 1 1 ) 其中，r e ：v o _ _ l l ，p e = v - - r e ，s 為無量綱化的源項。 v口 2 1 2 邊界條件和初始條件 上一節(jié)所述的控制方程中，動量方程( 2 1 9 ) 、( 2 1 1 0 ) 在空間上是 橢圓形的，在時間上是拋物形的。因此，速度邊界條件要定義在整個 邊界上，初始條件則定義在整個區(qū)域內(nèi)。與動量方程類似，能量方程 南京理工大學(xué)碩士論文第8 頁 ( 2 1 1 1 ) 也是在空間上為橢圓形的，在時間上是拋物形，其溫度邊界 條件、初始條件也與動量方程類似。 可以看出，能量方程與動量方程以及連續(xù)性方程是互相獨立的， 聯(lián)立動量方程以及連續(xù)性方程就可以解出速度場。因此可以先解動量 方程以及連續(xù)性方程得出速度場后再解能量方程。因為沒有狀態(tài)方 程，而且能量方程與動量方程以及連續(xù)性方程獨立，所以找不到顯式 的壓力方程求壓力場?；谶@個原因，在計算不可壓流動時，如何采 用合適的壓力邊界條件仍然有必要作進(jìn)一步的探討。在第四章中將要 詳細(xì)討論一種處理壓力邊界條件的方法，它通過使用邊界上速度的信 息來避免確定邊界上的壓力值。 2 2 有限分析法 2 2 1 有限分析法的基本理論 在求偏微分方程數(shù)值解時，有多種離散方法，如有限差分法、有 限元法、有限分析法等。有限分析法的基本思想就是在微分方程的數(shù) 值計算中嵌入局部解析解。這就是它與有限差分法和有限元法的不同 之處。它與有限差分法、有限元法的共同之處是仍然把計算區(qū)域分成 若干個小單元。 對于非線性或準(zhǔn)線性的微分方程經(jīng)過局部線化后，有限分析解可 表示為代數(shù)的形式，并重疊覆蓋著計算域的每個區(qū)間。這樣就得到一 組代數(shù)方程組，求解這些方程組而可以得到數(shù)值解。 南京理工大學(xué)碩士論文第9 頁 2 2 2 九點有限分析解 假設(shè)計算區(qū)域如圖2 2 1 所示，對n s 方程采用有限分析法離散后 l p r l 圖2 2 1 計算區(qū)域 硎虻舵 - cp| c - 1 計 s c s e 圖2 2 2 九點有限分析解 對p 點可以建立這一點與它相鄰的八個點之間的關(guān)系，如圖2 2 2 所 示。這種離散方法建立了九個點之間的關(guān)系，可以稱為九點有限分析 法。許多文獻(xiàn)上有九點有限分析法的詳細(xì)推導(dǎo)過程，這里我們直接給 出它們的關(guān)系式，具體的推導(dǎo)過程不再贅敘。 對二維非定常流，有限分析解表示為： ( ，= a ，乙( c 。u 抽) + ( 1 一位，) u ；一a ，s 1 ( o 缸p ) ( 2 2 1 ) 咋喝：+ 0 嗚”嗚諱 ( 2 2 _ 2 ) 其中： 1 口。2 1 + ( c p r e a t ) s p = c p r e ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 南京理工大學(xué)碩士論文第1 0 頁 這里上標(biāo)0 表示上一個時間步長的速度值，e 。為有限分析系數(shù)，在 附錄a 中將給出計算九點有限分析系數(shù)的具體公式。 2 2 3 五點有限分析解 從前面幾章我們可以知道，對角笛 卡爾網(wǎng)格法在使用笛卡爾網(wǎng)格線的同時 也使用網(wǎng)格點的對角線來模擬復(fù)雜的邊 界?？紤]如圖2 2 1 所示的p l 點，因p 1 點位于對角邊界附近，在這一點上，我 們無法使用九點有限分析法離散。對這 樣的點可以采用五點有限分析法，建立 這一點與它直接相鄰的上、下、左、右 四個點，如圖2 2 3 所示，之間的關(guān)系。 虻 ? l c e e c s c 圖2 2 3 五點有限分析解 五點有限分析法的有限分析系數(shù)的計算公式在附錄b 中給出。這 里僅僅給出用五點有限分析法離散的公式如下： 吣口一4 。+ ( 1 - 郇 喝q ，( 蓑) ( 2 2 s ) 喝_ 咖m ，”q q ，( 刳 ( 2 2 s ) 其中： 郎2 訊翻 2 7 ) 紼= c p r c( 2 2 8 ) 同樣，上標(biāo)0 表示上一個時間步長的速度值，c 。為有限分析系數(shù)。 南京理工大學(xué)碩士論文第1 i 頁 2 3 小結(jié) 這一章首先給出了二維不可壓流的控制方程以及定解所需的初始 條件和邊界條件。在用有限分析法離散動量方程的時候，在流體區(qū)域 內(nèi)部以及規(guī)則邊界( 邊界為笛卡爾網(wǎng)格線) 附近的點上用九點有限分 析法離散，在臨近復(fù)雜邊界( 邊界為笛卡爾網(wǎng)格節(jié)點的對角線) 的點 上用五點有限分析法離散。 南京理工大學(xué)碩士論文第1 2 頁 第三章：生成模擬邊界 這一章討論用對角笛卡爾網(wǎng)格法根據(jù)原始的復(fù)雜幾何邊界在笛卡 爾網(wǎng)格下自動生成模擬邊界。并把生成的模擬邊界與用鋸齒笛卡爾網(wǎng) 格法生成的模擬邊界相比較，以驗證對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊 界的精確性。 3 1 1 概述 3 1 對角笛卡爾網(wǎng)格法簡介 鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法應(yīng)用笛卡爾網(wǎng)格線來模擬復(fù)雜的幾何邊界，而 圖3 1 1 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬圖3 1 2 用對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬 南京理工大學(xué)碩士論文第1 3 頁 對角笛卡爾網(wǎng)格法同時用笛卡爾網(wǎng)格線以及笛卡爾網(wǎng)格節(jié)點的對角線 來模擬復(fù)雜的幾何邊界。用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界以及用 對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界分別如圖3 1 1 和圖3 1 2 所示。 可以看出圖3 1 2 的模擬邊界比圖3 1 1 的模擬邊界更加接近原始邊 界。以下討論模擬方法上的一些考慮。 3 1 2 最短距離原則 憑直觀感覺可以模擬任何復(fù)雜 的邊界。但是，對非常復(fù)雜的邊界， 例如邊界由大量的離散點組成，難 以想象用手工方法生成模擬邊界。 必須找到一種通用的、利用計算機(jī) 高速、自動處理數(shù)據(jù)的特性、能在 笛卡爾坐標(biāo)系下自動生成模擬邊界 的方法。 y ， c ， b ， b 本文采用最短距離法確定模擬 圖3 1 3 最短距離法確定模擬點 點。假設(shè)原始邊界由曲線s 描述， 如圖3 1 3 所示。a 、b 、c 是原始邊界曲線給定的相鄰的兩 點。則距離a 點最近的網(wǎng)格節(jié)點a 即是a 的模擬點，同樣b 為b 的模擬點，c 為c 的模擬點。在s 上選擇一系列能體 現(xiàn)s 特征的點，分別找出它們的模擬點，模擬點即組成了原始邊界 的模擬邊界。 南京理工大學(xué)碩士論文第1 4 頁 3 1 3 單調(diào)性原則 大多數(shù)復(fù)雜的幾何邊界可由一系列的離散點來描述，有些也可以 用一些解析函數(shù)來描述。為了數(shù)值處理的方便，我們假設(shè)所有的復(fù)雜 幾何邊界都由一系列的離散點描述，即使構(gòu)成復(fù)雜邊界的某一部分由 解析函數(shù)描述，也把它轉(zhuǎn)換成一系列的離散點。 離散點的個數(shù)是有限的，考慮如圖3 1 4 所示的曲線s ，如何從曲 線s 上選擇盡可能少的點，并能體現(xiàn)這個曲線大致的特征呢? 本文 用單調(diào)性準(zhǔn)則來作到這一點。單 調(diào)性準(zhǔn)則定義為對任何相鄰的 兩個離散點( 例如圖3 1 4 中的 a ，b 兩點) 之間的曲線段在x 方向和y 方向都是單調(diào)的。用數(shù) 學(xué)描述為：對任何相鄰的兩個離 散點之間的曲線段滿足以下兩 條： 1 在x 方向和y 方向都沒有最 大或最小值； 2 其二階導(dǎo)數(shù)不變號； h 圖3 1 4 用單調(diào)性準(zhǔn)則選擇離散點 使用這個準(zhǔn)則，圖3 1 4 中的曲線可以用1 5 個點來近似描述，把這15 個點用直線相連，就近似地認(rèn)為所得到的輪廓線模擬原始的輪廓線。 3 1 4 合理的離散點密度 僅僅通過單調(diào)性準(zhǔn)則選擇的離散點來描述原始的邊界曲線仍然不 太精確。為了精確的模擬原始邊界，還需要增加離散點的個數(shù)。但是， 南京理工大學(xué)碩士論文第1 5 頁 是否離散點越多，模擬出來的邊界就越精確呢? 事實情況并非如此。 如圖3 1 5 所示，假設(shè)曲線s 是組成原始的邊界的一段曲線，在 曲線上選擇5 個離散點( a 、b 、c 、d 、e ) 來描述這個曲 線。a 、b 、c 、d 、e 是通過 最短距離法確定的5 個模擬點。結(jié)果是 a b c d e 被模擬為a b c d e ，看起來 象是用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊 界。也許，用a c e 來模擬a b c d e 更加合適。這種現(xiàn)象給我們的啟示是有 時候給定的離散點過多時，模擬的邊界 不一定好。為了避免這種不合理的現(xiàn) 象，當(dāng)給定的一些離散點太近時，有必 e d ， c ，彳 b 奇 d i 圖3 1 5 離散點太密導(dǎo) 致模擬不精確 要去掉那些多余的離散點。這里采用如下的判據(jù)： l x i x2 i o 7 0 d r i y l y2 i 0 7 0 d y 如果兩個相鄰的離散點g ，y ) 和 b ：，y ：) 同時滿足上述兩式，那 么，這兩個離散點中的一個應(yīng)去 掉。 另外一種情況正好相反，如 果選擇的離散點太少，得出來得 模擬邊界也不精確。如圖3 1 6 所示，對曲線如果只給定a 、 e 兩點，那么得出來得模擬 曲線為a e ，顯然，用a - b c - d e 來模擬原始曲線s 更加精確。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) e j ， j ， d ， 彳 ， ， c 厶 以 b 一 一 茸 如 圖3 1 6 離散點太疏導(dǎo)致模擬不精確 南京理工大學(xué)碩士論文第1 6 頁 這意味著，如果給出得離散點太少，使得相鄰兩點的距離太遠(yuǎn)時，將 導(dǎo)致模擬邊界不精確。為了精確的模擬原始邊界，有必要增加離散點 的個數(shù)。判斷相鄰兩點的距離是否太遠(yuǎn)時可以采用如下的判據(jù)： l x l x2 i 1 4 0 出 ( 3 1 3 ) i y l y2 i 1 4 0 砂 ( 3 1 4 ) 如果兩個相鄰的離散點g 。，y ，) 和g ：，y ：) 同時滿足上述兩式，那么，就 要在這兩個離散點中至少增加一個點。 3 2 衡量模擬邊界準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn) 從以上各節(jié)可以知道，通過對角笛卡爾網(wǎng)格法，復(fù)雜的幾何邊界 輪廓曲線可以用笛卡爾網(wǎng)格的網(wǎng)格線以及網(wǎng)格節(jié)點的對角線來模擬。 從直觀感覺上很容易看出，用對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界比用 鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界要精細(xì)，與原始邊界更加接近。然 而，如何定量的表示一個模擬邊界與其原始邊界的差距呢? 下面我們 討論三個衡量模擬邊界準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn)。 3 2 1 相對長度誤差e 1 首先是相對長度誤差e 1 。我們已經(jīng)知道，原始邊界以及模擬邊界 都是由一系列的離散點組成。假設(shè)叱表示描述原始邊界的離散點的 個數(shù)，。表示模擬邊界的離散點的個數(shù)，a x 和緲分別為兩個相鄰 點在x 方向和y 方向上的差值，則原始邊界的長度。，模擬邊界的 長度工?？梢杂脭?shù)學(xué)公式表示為： 三。= ：“( o ) ( 3 2 1 ) 南京理工大學(xué)碩士論文 第1 7 頁 其中 k = ? k ) ( a t 。) ，：瓜砑瓣 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( ，。l = ( 磚。z + ( 緲。z ( 3 t 2 4 ) 我們定義相對長度誤差為： e l ： l o n = _ - l o m l o o ( 3 2 5 ) l 州 理所當(dāng)然，一個較好的對原始邊界的模擬邊界應(yīng)該具有較小的相對長 度誤差e l 。 3 2 2 平均標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 2 和最大標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 3 另外兩個衡量模擬邊界準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn)為平均標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 2 和最 大標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 3 。模擬邊界與原始邊界的標(biāo)準(zhǔn)距離越大就說明用 模擬邊界來代替原始邊界的可信度越低。 下面來討論標(biāo)準(zhǔn)距離這個概念。圖3 2 1 所示曲線s 為復(fù)雜幾何邊界輪廓的一部分， 這里a 為組成模擬邊界的離散點，a 、 b 為描述原始邊界的離散點它和原始邊 界的真實距離為a m 。但是正如前面所述的 那樣，這個原始邊界也是由一系列的離散點 描述，我們并不知道在離散點之間邊界曲線 的變化，其真實距離也就難以求出。因此在 圖3 2 1 標(biāo)準(zhǔn)距離示意圖 南京理工大學(xué)碩士論文第1 8 頁 這里我們用標(biāo)準(zhǔn)距離a n 來代替真實距離a m 。為了得到無量綱的平均 標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 2 和最大標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 3 ，可以取計算區(qū)域的特征長 度為參考長度。用數(shù)學(xué)公式可以表示為： e 2 ：= a n d o ( 3 2 6 ) e 3 ：_ m n d( 3 2 2 7 ) = 一 ( j ，l 其中： 一d ：攀盟( 3 2 8 ) n a p p m n d = m a x ( a n ) f( 3 2 9 ) 在本文中，計算區(qū)域的特征長度厶，由下式定義： l o ：l x _ + l y一210)ia 一 這里，厶和巧分別表示計算區(qū)域在x 方向和y 方向上的長度。 對原始邊界的精確模擬，其模擬邊界應(yīng)該同時具有較小的e l 、 2 和e 3 。從后面的章節(jié)可以知道用對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊 界與用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界相比，其e 1 、e 2 和e 3 值都 較小。 3 3 模擬兩維復(fù)雜幾何邊界的例子 為了證明用對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界比用鋸齒笛卡爾網(wǎng) 格法生成的模擬邊界更加精確，在這一節(jié)里，我們分別用這兩種方法 來模擬一些常見的幾何邊界，并且比較它們的相對長度誤差e 1 、平 均標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 2 和最大標(biāo)準(zhǔn)距離誤差e 3 。最后可以得出用對角笛 南京理工大學(xué)碩士論文第1 9 頁 卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊晃比鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界更加 精確的結(jié)論。 3 3 1 分別用兩種方法模擬圓形 第一個例子為圓，在計算流體力學(xué)中，流體繞圓柱流動是一個經(jīng) 典的問題。在笛卡爾網(wǎng)格下，圓是一個復(fù)雜的幾何形，這里我們分別 使用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法和對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形，并將兩種方法 生成的模擬邊界作比較。 在網(wǎng)格密度為5 1 5 1 時，分別用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法和對角笛卡爾 網(wǎng)格法生成一個圓的模擬邊界如圖3 3 1 、圖3 3 2 所示。經(jīng)過計算， 用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界其e 1 = 2 7 3 2 、e 2 = o 7 2 2 6 1 0 2 、e 3 = o 2 2 0 2 1 0 ；用對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊 界其e 1 = 9 6 1 1 、e 2 = 0 4 8 2 1x 1 0 。2 、e 3 = 0 1 2 3 2 x 1 0 。可見在這個 網(wǎng)格密度之下，用對角笛卡爾網(wǎng)格法能比用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法更加精 確的模擬原始邊界。在更加精密的網(wǎng)格下情況如何呢? 圖3 3 3 、圖 3 3 4 是在網(wǎng)格密度為3 0 1 3 0 1 時分別用對角笛卡爾網(wǎng)格法和鋸齒笛卡 爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界。經(jīng)過計算，用圖3 3 3 所示的模擬邊界， 其e 1 = 2 7 1 9 、e 2 = 0 1 2 1 4 x 1 0 - 2 、e 3 = 0 3 4 1 4 x 1 0 4 ，圖3 3 4 所示的 模擬邊界，其e i = 1 3 5 7 、e 2 = 0 9 2 3 7 x 1 0 一、e 3 = 0 2 2 7 8 1 0 。 圖3 3 5 、圖3 3 6 、圖3 3 7 給出了用對角笛卡爾網(wǎng)格法和鋸齒笛 卡爾網(wǎng)格法方法分別模擬圓形，其誤差e 1 、e 2 、e 3 變化與網(wǎng)格密度 之間的關(guān)系曲線。從這三個圖，我們可以看出，在各種網(wǎng)格密度之下， 用對角笛卡爾網(wǎng)格法來模擬圓形總是比用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法更加精 確。 南京理工大學(xué)碩士論文第2 0 頁 圖3 3 1 網(wǎng)格密度5 1x5 1用 鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形 o o0 10 2 0 3o 40 5 0 60 7 0 8 0 91o 圖3 3 3 網(wǎng)格密度3 0 1 x3 0 1 用 鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形 圖3 3 2網(wǎng)格密度5 1x5 1用 對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬圓形 圖33 4 網(wǎng)格密度3 0 1x3 0 1 用 對角笛仁爾網(wǎng)格法模擬圓形 佃盯咕咐眈叫 南京理工大學(xué)碩士論文第2 l 頁 。對角笛卡爾法 。 鋸齒笛卡爾法 廠、 網(wǎng)格密度h x h 網(wǎng)格密度h x h 圖3 3 5 模擬圓形時網(wǎng)格密度與 圖3 3 6 模擬圓形時網(wǎng)格密度與 e 1 之間的關(guān)系 e 2 之間的關(guān)系 f 璐密度h x h 圖3 3 7 模擬圓形時網(wǎng)格密度與 e 3 之間的關(guān)系 g盎刺蕈匿* oo=霜醐瞪矗叫掣蜂k哪 南京理工大學(xué)碩士論文第2 2 頁 3 3 2 分別用兩種方法模擬斜位正方形 第二個例子為斜位正方形?？涨粌?nèi)的流動問題也是驗證數(shù)值計算 方法的一個經(jīng)典問題。把空腔旋轉(zhuǎn)一個角度( 本例中為3 0 度) ，它在 笛卡爾坐標(biāo)下就變成了一個復(fù)雜的幾何形。 圖3 3 8 、圖3 3 9 是在網(wǎng)格密度為5 1 x5 1 時，分別用鋸齒笛卡爾 網(wǎng)格法和對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界。經(jīng)過計算，用鋸齒笛卡 爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界，其e l = 3 2 5 0 、e 2 = 0 8 6 2 4 x 1 0 、 e 3 = o 1 9 7 1x 1 0 ；用對角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界其 e 1 = 1 1 0 2 、e 2 = 0 5 9 4 5x 1 0 2 、e 3 = 0 1 2 3 9 1 0 。圖3 3 1 0 、圖3 3 1 1 是在網(wǎng)格密度為3 0 1 x 3 0 1 時，分別用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法和對角笛卡爾 網(wǎng)格法生成的模擬邊界。經(jīng)過計算，用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬 邊界，其e 1 = 3 6 6 7 、e 2 = 0 1 4 8 7 1 0 、e 3 = 0 3 6 2 8 1 0 ；用對角 笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界，其e 1 = 1 3 2 4 、e 2 = 0 1 0 0 8 1 0 、 e 3 = o 2 2 3 2 x 1 0 。 圖3 3 8 網(wǎng)格密度5 l 5 1用鋸 齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形 圖3 3 9 網(wǎng)格密度5 1 5 1 用對 角笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形 仰叮帖們啦叫 仙啪吖畦嗆剛叩 南京理工大學(xué)碩士論文第2 3 頁 圖3 3 1 0 網(wǎng)格密度3 0 1 3 0 1 用鋸 圖3 3 1 l 網(wǎng)格密度3 0 1 3 0 1用 齒笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形 對角笛卡爾網(wǎng)格法模擬斜位正方形 網(wǎng)格密度h x h網(wǎng)格密度hx h 圖3 3 1 2 模擬斜位正方形時網(wǎng)圖3 3 1 3 模擬斜位正方形時網(wǎng) 格密度與e l 之間的關(guān)系格密度與e 2 之間的關(guān)系 一甚鬲躺噬螂半盔* 南京理工大學(xué)碩士論文第2 4 頁 圖 3 3 1 2 、 圖 3 3 13 、圖3 3 1 4 給出 了用對角笛卡爾網(wǎng)格法 和鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法方 法分別模擬斜位正方形 其誤差e 1 、e 2 、e 3 的 變化與網(wǎng)格密度之間的 關(guān)系曲線。從這三個 圖，我們可以看出，在 各種網(wǎng)格密度之下，用 對角笛卡爾網(wǎng)格法來模 擬斜位正方形同樣總是 比用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法 更加精確。 雖 磊 裂 罄 掣 蜷 菩 圖3 3 1 4 模擬斜位正方形時網(wǎng)格密 度與e 3 之間的關(guān)系 3 4 小結(jié) 從以上兩個例子我們可以看出，在相同的網(wǎng)格密度之下，使用對 角笛卡爾網(wǎng)格法生成的模擬邊界總是比用鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法生成的模 擬邊界更加精確。同鋸齒笛卡爾網(wǎng)格法一樣，對角笛卡爾網(wǎng)格法也能 夠很方便的為復(fù)雜的幾何邊界自動生成模擬邊界和計算網(wǎng)格。在自動 性與精確性中找到了更好的結(jié)合點正是對角笛卡爾網(wǎng)格法的優(yōu)勢所 在。 南京理工大學(xué)碩士論文第2 5 頁 第四章不可壓流的數(shù)值分析 這一章討論在笛卡爾坐標(biāo)下數(shù)值模擬不可壓流流過復(fù)雜邊界的具 體方法。采用基于單元中心的非交錯網(wǎng)格，把所有的變量都定義在單 元中心。對規(guī)則的邊界同時在邊界上定義速度，以此來避免確定壓力 邊界條件的困難。通過在一個選定的靠近邊界的控制體積上的離散連 續(xù)性方程來保證質(zhì)量守恒，從而消除了計算中的壓力震蕩( 棋盤現(xiàn) 象) 。對不規(guī)則的邊界，由于使用了對角笛卡爾網(wǎng)格法，有一些邊界 點位于笛卡爾網(wǎng)格點上，而另外一些點位于網(wǎng)格中心，即所謂對角表 面點，對它們的壓力邊界條件需要特殊的處理。采用控制體積法來保 證這些邊界附近的質(zhì)量守恒。 4 1 網(wǎng)格排列方式 在數(shù)值模擬流動問題中，網(wǎng)格排列方式起著重要的作用。交錯網(wǎng) 格和非交錯網(wǎng)格是兩種常見的網(wǎng)格排列方式。 u j u j u | n pu j，p u ，p u j p 仉 p u jn pu ， 圖4 1 1 基于單元頂點的 非交錯網(wǎng)格示意圖 u jv j pu ，v j pu ，v j p _ u ju pu jv j puv jp - 圖4 1 2 基于單元中心的非 交錯網(wǎng)格示意圖 南京理工大學(xué)碩士論文第2 6 頁 4 1 1 非交錯網(wǎng)格 在非交錯網(wǎng)格中，變量都存貯在網(wǎng)格的同一點上，既可以是網(wǎng)格 頂點也可以是網(wǎng)格單元的中心，分別如圖4 1 1 ，圖4 1 2 所示。非交 錯網(wǎng)格的主要優(yōu)點是編程容易、占內(nèi)存小。在非交錯網(wǎng)格中，當(dāng)質(zhì)量 方程采用中心差分，同時動量方程的壓力梯度也采用中心差分時，就 會產(chǎn)生非物理震蕩，這就是所謂的壓力棋盤現(xiàn)象?？赡墚a(chǎn)生壓力棋盤 現(xiàn)象是非交錯網(wǎng)格的主要缺點。使用交錯網(wǎng)格可以彌補(bǔ)這一點。 4 1 2 交錯網(wǎng)格 在交錯網(wǎng)格中，壓力點設(shè)置 在網(wǎng)格中心，而x 方向速度u 設(shè) 置在網(wǎng)格左右邊，y 方向速度v 設(shè)置在網(wǎng)格上下邊，如圖4 1 3 示。 控制體積內(nèi)的n s 方程的有 限差分解要求速度既滿足質(zhì)量方 程，又滿足動量方程。在交錯網(wǎng) 格中，壓力定義在網(wǎng)格中心，速 v i j + l l gv i + l ，j + i 1 2 一 u i l 2 ，j ；i u i l屯一： + 3 1 2 ，j 一 v i ，j - 1 1 2 v i + 1 j - 1 ，2 圖4 1 3 交錯網(wǎng)格示意圖 度定義在網(wǎng)格邊界上，這樣做的最大好處在于使相鄰節(jié)點上的壓力差 而不是相間節(jié)點上的壓力差成為控制體界面上的速度分布的驅(qū)動力， 從而避免了棋盤式壓力場的出現(xiàn)。 然而，在計算包括復(fù)雜幾何邊界的流動問題時，交錯網(wǎng)格的速度 和壓力存儲在不同的節(jié)點上，這就導(dǎo)致所需的機(jī)時和內(nèi)存加大。而且， 在復(fù)雜的幾何邊界下，不同變量以及在交錯網(wǎng)格中的節(jié)點的位置難以 南京理工大學(xué)碩士論文第2 7 頁 確定。因此在解決具有復(fù)雜幾何邊界的問題時，不宜采用交錯網(wǎng)格。 4 1 3 基于單元中心的非交錯網(wǎng)格 由于要討論的問題包括復(fù)雜的幾何邊界，采用交錯網(wǎng)格困難太大 而不可取。因此，本文采用非交錯網(wǎng)格，并且所有的變量都定義在單 元中心。 在模擬不可壓縮流動時，因為沒有狀態(tài)方程，而且能量方程獨立 于動量方程以及質(zhì)量方程，所以沒有顯式的壓力方程來確定壓力場。 本文首先通過采用有限分析法離散的動量方程求出預(yù)估速度，再 將預(yù)估速度代入用有限差分法離散的連續(xù)性方程中，在非交錯網(wǎng)格上 直接得到壓力方程而不是壓力校正方程。為了消除壓力棋盤現(xiàn)象，可 以將質(zhì)量方程在較小的控制體積，如圖4 1 4 中的s e n w 上離散，而將動量方程在較大 的