實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 摘要 在本文中我們建立了實軸上的一個連續(xù)函數(shù)是z y g m u n d 函數(shù)和具有全平 面擬共形形變延拓以及其他一些條件的等價性在此基礎(chǔ)上，我們將單位圓 周上關(guān)于z y g m u n d 函數(shù)的若干經(jīng)典結(jié)果推廣到實軸上 關(guān)鍵詞：擬共形形變，z y g m u n d 函數(shù) 作者：劉紅霞 指導(dǎo)教師：沈玉良 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 英文摘要 z y g m u n df u n c t i o n so nt h er e a ll i n e a n dt h e i rq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o ne x t e n s i o n s a b s t r a c t w ep r o v ea m o n go t h e rt h i n g st h a tac o n t i n u o u sf u n c t i o no nt h er e a ll i n eb e l o n g st ot h e z y g m u n dc l a s si fa n do n l yi f i tc a nb ee x t e n d e dt oan o r m a l i z e dq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n t ot h ew h o l ep l a n e a sa p p l i c a t i o n s ，w eo b t a i ns o m er e s u l t sa b o u tt h ez y g m u n df u n c t i o n so n t h er e a ll i n e ，w h i c hc o r r e s p o n d st os o m ec l a s s i c a lr e s u l t sc o n c e r n i n gt h ez y g m u n df u n c t i o n s o nt h eu n i tc i r c l e k e y w o r d s ：q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n ；z y g m u n df u n c t i o n i i w r i t t e nb y ：l i u h o n g x i a s u p e r v i s e db y ：s h e n y u l i a n g 蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲明 學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨立進(jìn)行研 究工作所取得的成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含其他個人 或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不含為獲得蘇州大學(xué)或其它教育 機構(gòu)的學(xué)位證書而使用過的材料對本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個人和集 體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本人承擔(dān)本聲明的法律責(zé)任 研究生簽名o q 王迭蠡 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 蘇州大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館、清華大學(xué)論文合 作部、中國社科院文獻(xiàn)信息情報中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印 件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文本人電子文 檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論文 被查閱和借閱，可以公布( 包括刊登) 論文的全部或部分內(nèi)容論文的公布 ( 包括刊登) 授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理 研究生簽名： 導(dǎo)師簽名： 期：二二_ 期：衛(wèi) 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第一節(jié)引言 第一節(jié)引言 在一篇重要的文章【z y l 中，z y g m u n d 引入了所謂z y g m u n d 函數(shù)的概念 實軸r 上的一個連續(xù)函數(shù)妒屬于z y g m u n d 類( 見 z y l ， z y 2 ) ，記為( r ) ，如果 對于所有實數(shù)z 和h 0 ， 妒( z + h ) 一2 妒( z ) + 妒( z 一九) i = d ( ) z y g m u n d z y l 】得到了這類函數(shù)許多重要的性質(zhì)，并說明了它們在實分析和三 角級數(shù)理論的許多問題中起著本質(zhì)的作用特別地，他證明了z y g m u n d 函數(shù) 在調(diào)和共軛算子作用下的不變性 z y g m u n d 函數(shù)在復(fù)分析的研究中同樣有著十分重要的作用( 見 d u 】， p o ，【z y 2 】) ， 尤其在t e i c h m i i l l e r 理論( 見 ga 】，【g e l ，【l e ， n a l ) 研究中的應(yīng)用( 見 g h ， g l ， g s n a 2 ，i n v 】， r e ， r c ， r e i ， w e ，【t t 】) r e i m a n n r c i ( 也見 c s ) 證明了萬有 t e i c h m i i l l e r 空間的切空間恰好是z y g m u n d 函數(shù)類( 具有某種規(guī)范條件) 另一方 面，k e r c k h o f f ( 見【n a 2 ，m ) 發(fā)現(xiàn)了萬有t e i c h m i i l l e r 空間的復(fù)結(jié)構(gòu)正是由調(diào)和 共軛算子誘導(dǎo)的近復(fù)結(jié)構(gòu) 由于z y g m u n d 函數(shù)和t e i c h m f i l l e r 理論之間的密切關(guān)系，近年來很多學(xué)者 對z y g m u n d 函數(shù)和擬共形形變之間的關(guān)系進(jìn)行了深入的研究根據(jù)a h l f o r s 【a h 】的定義，區(qū)域d 上的一個復(fù)值函數(shù)，稱為擬共形形變，是指，在d 內(nèi) 有廣義導(dǎo)數(shù)5 ，且石，l o o ( d ) 我們先來回顧一下近年來該方面研究的一些 主要結(jié)果r e i c h c h e n 【r c 】證明了對于單位圓周s 1 上的一個連續(xù)函數(shù)，當(dāng) ，( e 謝) a 。( r ) 時， t i ( z ) ：! ! 二噬壁廠 鯉整 、7 2 7 r l i s l ( 1 一乏( ) 。( ( 一z ) 給出了，在單位圓上的一個擬共形形變延拓反之，如果，在單位圓上存 在擬共形形變延拓，并且滿足規(guī)范條件r e - 2 f ( z ) 】_ 0 ，則f ( e 坩) a 。( r ) 在研究 z y g m u n d 函數(shù)的f o u r i e r 系數(shù)時，沈玉良 s h 】給出了單位圓周上的一個連續(xù)函 數(shù)是z y g m u n d 函數(shù)的充分必要條件是存在全平面上的擬共形形變延拓 類似地，g a r d i n e r - s u l l i v a n g s 】證明了實軸上一個實值z y g m u n d 函數(shù)，可以 延拓為上半平面的擬共形形變特別地，他們證明了，的如下b e u r l i n g - a h l f o r s 型延拓b a i ( z ) = u ( x ，可) + i v ( x ，y ) 是上半平面的一個擬共形形變： 1 f x - 4 - y1 f x - 4 - yf z 、 u ( z ，可) 2 南上一掣，( 。) 砒，u ( z ，! ，) 2 孝l 上，( 。) 出一上一掣，( 。) 砒) 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第一節(jié)引言 后來，r e i c h r e 通過如下方式給出了，在上半平面上的一個擬共形形變延 拓： h f ( 咖譬e 蒜 在本文中，我們將繼續(xù)研究實軸上的z y g m u n d 函數(shù)我們將利用擬共形 形變給出實軸上的一個z y g m u n d 函數(shù)的若干等價刻畫作為應(yīng)用，我們將單 位圓周上關(guān)于z y g m u n d 函數(shù)的若干經(jīng)典結(jié)果推廣到實軸上 2 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第二節(jié)預(yù)備知識 第二節(jié)預(yù)備知識 在本節(jié)中，我們將介紹一些基本概念和結(jié)果主要參考文獻(xiàn)是 d u 】，【z y l ， 【z y 2 首先我們給出一些基本概念及記號a = 名： l 】u o o ) 分別表示擴充復(fù)平面e 上的單位圓和單位圓的外部，s 表示單位 圓周，和l 分別表示上半平面和下半平面，r 表示實軸0 = ( a z i o y ) 2 和5 = ( 如+ l a y ) 2 為通常意義下關(guān)于名和之的復(fù)導(dǎo)數(shù) 在研究實分析和三角級數(shù)理論時，z y g m u n d z y l 】引入了z y g m u n d 函數(shù)的 概念實軸r 上的一個連續(xù)函數(shù)妒屬于z y g m u n d 類( 見 z y l ， z y 2 i ) ，記為a 。( r ) ， 如果對于所有實數(shù)z 和h 0 ， 妒( z + h ) 一2 砂( z ) + 妒( z 一九) i = d ( h ) z y g m u n d z y l 】得到了這類函數(shù)許多重要的性質(zhì)，并證明了z y g m u n d 函數(shù)在調(diào) 和共軛算子作用下的不變性為了方便起見，對于s t 上的一個連續(xù)函數(shù)， 如果，( 擴) a 。( r ) ，我們記，a 。( e 徊) z y g m u n d 函數(shù)在復(fù)分析的研究中有著十分重要的作用，特別和解析函數(shù) 有著密切的關(guān)系下面的兩個定理是十分經(jīng)典的結(jié)果( 見【d u 】，【p o 】，【z y 2 】) 在 本文中我們將在上半平面上證明類似的結(jié)果 定理a 設(shè)，是在上的解析函數(shù)，則，在us 1 上連續(xù)，且，a 。( e 謝) 的充 要條件是l 尸( z ) l ( 1 一評) 2 = d ( 1 ) 定理b 設(shè)，在上解析，若r e f ( z ) 在a u s l 上連續(xù)，且覷，a 。( e 徊) ，則i m f ( z ) 在us 1 上連續(xù)，且j m ，a + ( ) 近年來很多學(xué)者對z y g m u n d 函數(shù)和擬共形形變之間的關(guān)系進(jìn)行了深入的 研究根據(jù)a h l f o r si a h 的定義，區(qū)域d 上的一個復(fù)值函數(shù)，稱為擬共形形 變，是指，在d 內(nèi)有廣義導(dǎo)數(shù)石，且5 ，l e e ( d ) r e i c h c h e n 【r c 】證明了對于 單位圓周s 上的一個連續(xù)函數(shù)，當(dāng)，a 。( ) 時，可以擬共形形變延拓 到單位圓內(nèi)反之，如果，在單位圓上存在擬共形形變延拓，并且滿足規(guī)范 條件& 【- ，( 2 ) 】_ 0 ，則，a 。( ) 在研究z y g m u n d 函數(shù)的f o u r i e r 系數(shù)時，沈玉 良 s h 】進(jìn)一步研究了單位圓周上的z y g m u n d 函數(shù)對于單位圓周上的一個連 3 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第二節(jié)預(yù)奮知識 續(xù)函數(shù)，考慮c a u c h y 積分 酬加麗1z 。警，z a o 更精確地，當(dāng)z 時，記f ( z ) = c ( 烈z ) ，而當(dāng)z 。時，記g ( 2 ) = c ( ，) ( z ) f 和g 分別在和內(nèi)解析 定理c s h 】設(shè)，是單位圓周上的連續(xù)函數(shù)，則下列表述等價： ( 1 ) ，k ( e 講) ； ( 2 ) if s 。齋竺每i = o ( ( i z l 2 1 ) 一2 ) ，v z u ； ( 3 ) f 和g 分別可延拓為整個復(fù)平面上的擬共形形變戶和0 ，并且當(dāng)名_ o o 時，戶( 名) = d ( 名2 ) ； ( 4 ) ，可延拓為整個復(fù)平面上的擬共形形變，并且當(dāng)名_ o o 時，( z ) = o ( z 2 ) 在本文中我們也將在上半平面上證明類似定理c 結(jié)果為此，我們需要 r e i c h r e 】的如下定理 定理d 對于實軸r 上實值z y g m u n d 函數(shù)，定義 h f ( 小譬e 羔，w 6h 則h f 是，在上半平面上的擬共性形變延拓，并且當(dāng)z _ 時，h f ( w ) = d ( 叫2 ) 4 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第三節(jié)基本結(jié)果 第三節(jié)基本結(jié)果 在這節(jié)中，我們將給出實軸上的z y g m u n d 函數(shù)在擬共形形變延拓方面的 一些基本結(jié)果 引理3 1 假設(shè)，是實軸r 上的z y g m u n d 函數(shù)，則存在，在整個平面上的擬共 性形變延拓五并且當(dāng)w o 。時，( 伽) = d ( 伽：) 證明：先假設(shè)，為實值函數(shù)定義函數(shù)，為：當(dāng)伽時，( 協(xié)) = 日，( 伽) ； 當(dāng)伽l 時，( 叫) = 麗顯然對任意的w c ，有式子，( 仍) = ，( 伽) 成立定 理d 說明，是，在h 上的擬共性形變延拓，從而，也是，在l 上的擬共性形 變延拓因而，是，在整個復(fù)平面c 上的擬共性形變延拓顯然，當(dāng)鋤一 時，( 叫) = d ( 2 ) 若，為復(fù)值函數(shù)，記，( z ，可) = ( z ，) + 沈( z ，y ) ，其中 ( z ，y ) 和丘( z ，可) 均為 實值z y g m u n d 函數(shù)按上述方式定義五和五，并記，= 五+ t 五于是，是， 在整個復(fù)平面c 上的擬共性形變延拓，且當(dāng)伽一。時，( 伽) = o ( w 2 ) 引理3 2 設(shè)函數(shù)，是r 上連續(xù)函數(shù)，且存在c 上的擬共形形變延拓z 使得 當(dāng)伽斗o 。時，氕伽) = o ( w 2 ) ，貝l j ，a 。( r ) 證明：我們借用g a r d i n e r - s u l l i v a n g s 】的討論記石，= p ，則1 1 p 1 1 。 + 。定 義 即卜掣z 卷蠕艇c 則f 是c 上的擬共形形變，卯= p ，且當(dāng)w _ 。時，f ( ) = o ( 1 w ll o g ) 于 是，= f + h ，其中h 是c 上的全純函數(shù)由于當(dāng)w o 。時，氕伽) = d ( 叫2 ) ，從 而九( t ，) = o ( w 2 ) 由于h 在c 上全純， ( 叫) = a + b w ，從而h i a 。( r ) 所以，下面 我們只需證明，f i r a + ( r ) 注意到 跏，一妻上c 擊+ 孚一尚m 蚴， 因此， ! ! 蘭1 2 二! ! ! 型! ! 蘭二塵 t 一三 i f 上乒而若再兩蜊叼 一要上裂裝蛐 5 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第三節(jié)基本結(jié)果 于是， l 墮生掣叢型卜畢上赤1 1 蚴 0 ，當(dāng) i t z o i 2 6 時，有i f ( t ) 一，( z o ) i e 于是， i “嘣一f 豢礙一南帥) 叫z 。) ) d t l 妻z - x 0 1 2 6 i 南一南f 疵 對于( 木水，- c ) 式，考慮i z z o l 6 ，從而 l 妻以踹。巧南一南】( ，_ ，( 訓(xùn)沖i 罷以最壚i 南一南m ) - ，( 酬班 曇以僦：。( 嘉+ 1 ) i ，( t ) 叫洲t 此時積分號內(nèi)為有界所以當(dāng)s ，一0 時，( 木掌) 和( 宰牛宰) 的結(jié)果都趨于零 綜上可知， 。l i m 。【r e a ( w ) 一( 1 一y ) f ( x o ) 】= 0 ， 即 l i m r e a ( w ) = ，( z o ) + o n 7 因此r e a 在hur 上連續(xù)，p e a l r = ， 現(xiàn)在我們來證明以下定理 定理4 3 設(shè)，是上的解析函數(shù)，在h u r 上連續(xù)，且當(dāng)w _ o 。時，( ) = d ( 伽2 ) 如果r e f a 。( r ) ，則i r a 瓜( r ) 證明：記f ( w ) = 讓( 伽) + 如( ) ，其中u ( 伽) 和口( 叫) 分別是皿上的實值函數(shù)， 札在衄ur 上連續(xù)，且u i r a ?？紤] 撕，= 譬e 燕妣伽噸 引理4 1 說明，a 在上解析，p l e a 在ur 上連續(xù)，且r e a l r = u | r 容易看 到，當(dāng)w _ 時，a ( 伽) = o ( w 2 ) 直接計算可以得到 刪= 磊1e 南一南m t ) d r ， 9 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓第四節(jié)上半平面上具有擬共形形變延拓的解析函數(shù) 腳) = 磊1e 器氓 以叫) = 磊1e 器出 由于訓(xùn)r a 。，取缸在皿上的擬共形形變延拓瓦并記5 ( 苞) = p ，則 以啦嘉e 器出= 等上器蚴， 從而 以川m 2 ( ) 一；3 ( 加一妒上器武d 叩= d ( 1 ) 定理4 1 說明，a 在ur 上連續(xù)，且a a ( r ) 另一方面，通過直接計算可以得到1 a f 叫) = - j i m ，f i l + i w r e f ( i ) + 廠f 叫) 于是，f a 。( r ) ，從而i m f = 一i ( f r e f ) a 。( r ) 注r e i c h 【r e 】曾不加證明的指出定理4 3 成立這里我們利用定理4 1 給出了 定理4 3 的完整證明 1 王麗君：z y g m u n d 函數(shù)的調(diào)和擬共形形變延拓 1 0 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第五節(jié)實軸上z y g m u n d 函數(shù)的擬共形形變延拓 第五節(jié)實軸上z y g m u n d 函數(shù)的擬共形形變延拓 對于r 上的實值z y g m u n d 函數(shù)u ，定義 舢，= 譬e 揣枷呱 更精確地，當(dāng)t u 時，記a ( ) = f ( t ，) ，當(dāng)t ，l 時，記a ( t u ) = g ( t l ，) ，則f 和g 分別在h 和l 上解析定理4 3 的證明說明，f 在u r 上連續(xù)，且f 兒( r ) 由于覷f f r ：u ，我們記h u = i m f i r 注意到g ( 伽) = 一f ( t o ) ，g 在l ur 上連續(xù)， 且r e g i r = 一讓，i m g l r = h u 對于r 上的任意z y g m u n d 函數(shù)，定義 舢) = 等e 志蛐舢l 更精確地，當(dāng)伽h 時，記a ( 叫) = f ( 伽) ，當(dāng)w l 時，記a ( 伽) = g ( 仰) ，則f 和 g 分別在皿和l 上解析如果，= u + i v ，我們記h f = h u + i h v 則上述討論 說明，f 在hu r 上連續(xù)，f a 。( r ) ，且f l r = ，+ i h f 同樣，g 在l ur 上連 續(xù)，且c l r = 一f + i h f 于是我們有： 定理5 1 設(shè)，是r 上的連續(xù)函數(shù)，且存在q 2 使得當(dāng)z 一。時，( z ) = o ( i x l 。) 則下列說法等價： ( a ) ，a 。( r ) ； ( b ) f 和g 分別存在整個復(fù)平面上的擬共形形變延拓戶和0 ，并且當(dāng)伽_ 。 時，p ( w ) = o ( w 2 ) ，0 ( 伽) = d ( 伽2 ) ； ( c ) ，存在c 上的擬共形形變延拓五且當(dāng)w _ 。時，氕t u ) = d ( 叫2 ) ； ( d ) a 刪( w ) z m 2 ( ) = d ( 1 ) 證明：引理3 1 和3 2 說明( a ) 錚( c ) ，定理4 1 和4 2 說明( b ) 錚( d ) 本節(jié)一開 始的討論說明( a ) 號( b ) 只需證明( b ) 凈( a ) 事實上，對于t t ， 即，= 掣e 鼎此 麗= 一譬e 淼砒 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 第五節(jié)實軸上z y g m u n d 函數(shù)的擬共形形變延拓 于是， 即) 一麗= 掣e 踹砒 即) + 麗= 掣e 踹班 根據(jù)引理4 1 的結(jié)論可知 ，+ 7 = r e ( f ( w ) 一否麗萬) l r a 。( r ) ，z ( f 一一f ) = r e i ( f ( w ) + 否麗萬) l r a 。( r ) 從而 ，a 。假) 1 2 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 參考文獻(xiàn) 參考文獻(xiàn) a h 】a h l f o r sl v ，q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n sa n dm a p p i n g si nr n ，j a n a l m a t h ，1 9 7 6 ， 3 0 ，7 4 - 9 7 【d u 】d u r e np l ，t h e o r yo fh ps p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 0 【g a 】g a r d i n e rf p ，t e i c h m i i l l e rt h e o r ya n dq u a d r a t i cd i f f e r e n t i a l s ，w i l e y i n t e r s c i e n c e ，n e w y o r k ，1 9 8 7 g h lg a r d i n e rf p a n dh a r v e yj ，u n i v e r s a lt e i c h m i i l l e rs p a c e ，i nh a n d b o o ko fc o m p l e x a n a l y s i s ，g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r y , 2 0 0 2 ，v 0 1 1 ，4 5 7 - 4 9 2 【g l 】g a r d i n e rf p a n dl a k i cn ，q u a s i c o n f o r m a lt e i c h m f i l l e rt h e o r y , m a t h s u r v e y sm o n o g r ， 7 6 ，a m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 【g s 】g a r d i n e rf a n ds u l l i v a nd ，s y m m e t r i cs t r u c t u r e so nac l o s e dc u r v e ，a m e r j m a t h ， 1 9 9 2 ，11 4 ，6 8 3 - 7 3 6 【l e 】l e h t oo ，u n i v a l e n tf u n c t i o n sa n dt e i c h m f i l l e rs p a c e s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 6 n a l 】n a gs ，t h ec o m p l e xa n a l y t i ct h e o r yo ft e i c h m f i l l e rs p a c e s ，w i l e y - i n t e r s c i e n c e ，1 9 8 8 n a 2 】n a gs ，o nt h et a n g e n ts p a c e t ot h eu n i v e r s a lt e i c h m f i l l e rs p a c e ，a n n a c a d s c i f e n n ， 1 9 9 3 ，1 8 ，3 7 7 - 3 9 3 【n v 】n a gs a n dv e r j o v s k ya ，d i f f ( s 1 ) a n dt h et e i c h m f i l l e rs p a c e ，c o m m u n m a t h p h y s ， 1 9 9 0 ，1 3 0 ，1 2 3 - 1 3 8 p o 】p o m m e r e n k ec h ，u n i v a l e n tf u n c t i o n s ，g o t t i n g e n ：v a n d e n h o e c ka n dr u p r e c h t ，1 9 7 5 【r e r e i c he ，o n8 0 m er e l a t e de x t r e m a lp r o b l e m s ，r e v r o u m m a t h p u r e sa p p l ，1 9 9 4 ， 3 9 6 1 3 6 2 6 r c 】r e i c he a n dc h e nj ，e x t e n s i o n sw i t hb o u n d e d0 - d e r i v a t i v e ，a n n a c a d s c i f e n n ， 1 9 9 1 ，1 6 ，3 7 7 3 8 9 【刪r e i m a n nm ，o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，i n v e n t 實軸上的z y g m u n d 函數(shù)及其擬共形形變延拓 參考文獻(xiàn) m a t h ，1 9 7 6 ，3 3 ，2 4 7 - 2 7 0 【s h s h e ny u l i a n g ，f o u r