學(xué)位論文 有關(guān)部門或機(jī) 大學(xué)可以將本 或掃描等復(fù)制 本學(xué)位論文屬 學(xué)位論文作者 日期：o f d 浙江理- 丁大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 眾所周知，g a u s s 超幾何函數(shù)f ( n ，6 ；c ；z ) 、完全橢圓積分瓦( r ) 和( 7 ) 、廣義橢 圓積分瓦。( r ) 和& ( 7 ) 、廣義h e r s c h - p f l u g e r 偏差函數(shù)妒k ( o ，r ) 以及與其相關(guān)的一些 其它的特殊函數(shù)在數(shù)論、擬共形理論、幾何學(xué)等許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及其它學(xué)科 中都有著廣泛而重要的作用。而廣義橢圓積分作為最重要的特殊函數(shù)之一，一 方面它是超幾何函數(shù)的重要特例。另一方面，廣義橢圓積分又是完全橢圓積分 的推廣。廣義橢圓積分還與出現(xiàn)在廣義模方程中的廣義g r 6 t z s c h 環(huán)函數(shù)( r ) 、 廣義h 訌b n e r 上界函數(shù)m 。( r ) 、廣義h e r s c h - p f l u g e r 偏差函數(shù)妒x ( n ，r ) 、a g a r d 偏差函 數(shù)似a ，亡) 和線性偏差函數(shù)a ( n ，k ) 有著密切的聯(lián)系。事實(shí)上，我們可以通過 研究廣義橢圓積分的性質(zhì)來獲得肛口( r ) 、m n ( 7 ) 、9 9 k ( a ，7 ) 、船( 口，) 和入( 口，k ) 的性 質(zhì)。尤其是函數(shù)ka ，7 ) 的用初等函數(shù)給出的界經(jīng)常依賴于由j | | c 口( r ) 定義的函 數(shù)地( r ) 、m 口( r ) 與某些初等函數(shù)組合的分析性質(zhì)。因此，深入研究廣義橢圓積分 的性質(zhì)及其應(yīng)用具有重要意義。 本文一方面通過深入研究廣義橢圓積分k ( r ) 和( r ) 與某些初等函數(shù)的組合 的性質(zhì)，把完全橢圓積分j i c ( r ) 和( r ) 所具有的某些重要性質(zhì)推廣到j(luò) i c 口( 7 ) 和& ( r ) ， 揭示了廣義橢圓積分k ( r ) 和& ( r ) 的一些新的分析性質(zhì)，并得到了一些函數(shù)不 等式。同時(shí)，改進(jìn)了完全橢圓積分j | i c ( r ) 和e ( r ) 由初等函數(shù)給出的界。另一方 面，通過研究函數(shù)p 口( r ) 和m ，a ( r ) 等與某些初等函數(shù)的組合的單調(diào)性和凹凸性等性 質(zhì)，獲得了一些函數(shù)不等式，進(jìn)而改進(jìn)了廣義h e r s c h - p f l u g e r 偏差函數(shù)壚ka ，r ) 的 上下界，推廣- h e r s c h - p f l u g e r 偏差函數(shù)妒k ( 7 ) 的性質(zhì)，加強(qiáng)了顯式廣義擬共 形s c h w a r z 三jl 理和廣義r a m a n u j a n 模方程解的估計(jì)。 本文共分四章： 在第一章中，主要介紹了本文的研究背景，并引入本文所涉及的一些概念、 記號(hào)和已有結(jié)果。 在第二章中，首先給出了一些由函數(shù)k ( r ) 和( r ) 分別與初等函數(shù)組合的一 些分析性質(zhì)，獲得了一些函數(shù)不等式。然后，研究了由函數(shù)j i c 口( r ) 和e o ( r ) 所定 義的一些函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，獲得了一些函數(shù)不等式，并由此推廣和改進(jìn) 了瓦。( r ) 和己( r ) 的一些界。最后，通過討論廣義橢圓積分對參數(shù)a 的依賴性，給出 了廣義橢圓積分的一些新的分析性質(zhì)。 在第三章中，通過研究廣義g r 6 t z s c h 環(huán)函數(shù)p 口( r ) 和廣義h i i b n e r _ ：界函數(shù)m q ( r ) 的一些分析性質(zhì)，獲得了函數(shù)肛d ( r ) 與m 口( r ) 的一些由廣義橢圓積分表示的函數(shù)不 i 浙江理工人學(xué)碩士學(xué)位論文 等式。然后，運(yùn)用第二章的結(jié)果及函數(shù)l ，p h - ( a ，7 ) 與函數(shù)p 口( r ) 、m a ( r ) 的特殊關(guān)系， 得到了函數(shù)妒k ( 凸，r ) 的一些用初等函數(shù)給出的更好的估計(jì)。 在第四章中，主要研究并獲得了廣義, r a m a n u j a n 模方程的解妒k ( 口，7 - ) ，廣 義a g a r d 偏差函數(shù)r m ( a ，t ) 和廣義線性偏差函數(shù)入( n ，k ) 的一些分析性質(zhì)。 關(guān)鍵詞：g a u s s 超幾何函數(shù)，完全橢圓積分，廣義橢圓積分，g r s t z s c h 環(huán)函 數(shù)，h 訌b n e r 不等式，廣義h e r s c h - p f l u g e r 偏差函數(shù)，廣義r a m a n u j a n 模方程 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eg a n s s i a nh y p e r g e o m c t r i cf u n c t i o nf ( a ，6 ；c ；z ) ，c o r n - p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l s 瓦( r ) a n d ( 7 ) ，g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s 咒n ( 7 )a n d 巴( 7 ) ， g e n e r a l i z e dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 妒k ( o ，t ) a n do t h c rr e l a t e ds p e c i a l f u n c t i o n sp l a ya ne x t e n s i v ea n di m p o r t a n tr o l ei nn u m b e rt h e o r y , q u a s i c o n f o r m a l t h e o r y , g e o m e t r ya n dm a n yo t h e ra r e a so fm a t h e m a t i c sa n d o t h e rd i s c i p l i n e s a so n ek i n do ft h em o s ti m p o r t a n ts p e c i a lf u n c t i o n s ，t h eg e n e r a l i z e de l l i p t i c i n t e g r a l sa x ei m p o r t a n ts p e c i a lc a s e so fh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s o nt h eo t h e r h a n d ，t h e ya x et h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o m p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l s m o r e o v e r ，t h e g e n e r a l i z e dg r s t z s c hr i n gf u n c t i o n 蘆n ( 7 ) ，g e n e r a l i z e dh i i b n e ru p p e r b o u n df u n c t i o n m n ( r ) ，g e n e r a l i z e dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 妒k ( 口，r ) ，a g a x d 叩- d i s t o r t i o n f u n c t i o nu k ( a ，t ) a n dl i n e a rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 入( n ，k ) ，w h i c ha p p e a ri nt h eg e n e r - a l i z e dm o d u l a re q u a t i o n a r ed e f i n e di nt e r m so ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s f a c t ，o n ec a no b t a i nt h ep r o p e r t i e so fp 口( 7 ) ，m 。( r ) ，妒k ( a ，r ) ，r k ( a ，t ) a n d 入( n ，k ) b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s i np a r t i c u l a r ，t h e e s t i m a t e so ft h ef u n c t i o n 壚k ( n ，r ) g i v e nb ye l e m e n t a r yf u n c t i o n so f t e nd e p e n do n t h ea n a l y t i cp r o p e r t i e so fc e r t a i nc o m b i n a t i o n so ft h ef u n c t i o n s ( 7 - ) ，m n ( r ) a n d s o m ee l e m e n t a r yf u n c t i o n s t h u s ，t h er e s e a x c h e so nt h ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n s o ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sa r es i g n i f i c a n t i n t h i st h e s i s ，w ee x t e n ds o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h ec o m p l e t ee l l i p t i c i n t e g r a l s 咒( r ) a n de ( r ) t ot h ef u n c t i o n s 瓦。( r ) a n d 幺( r ) ，r e v e a ls o m e n e wa n a l y t i c p r o p e r t i e so fk ( r )a n d 厶( r )b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h ec o m b i n a t i o no ft h e g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sj i c n ( r ) ，厶( r ) a n ds o m ee l e m e n t a r yf u n c t i o n s ，f r o mw h i c h s o m ef u n c t i o n a li n e q u a l i t i e sa n db e t t e re s t i m a t ef o rj | | c n ( r ) a n d & ( r ) f o l l o w w e s h a l la l s od e r i v es o m ei n e q u a l i t i e so ft h ef u n c t i o n sp 口r ) a n dm 口( r ) b ys t u d y i n gt h e m o n o t o n i c i t y , c o n v e x i t ya n dc o n c a v i t yo fc e r t a i nc o m b i n a t i o n so ft h e f u n c t i o n sp n ( 7 ) ， m 口r ) a n de l e m e n t a r yf i m c t i o n s ，b yw h i c h w es t r e n g t h e nt h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d s o ft h eg e n e r a l i z e dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o n 妒k ( n ，r ) ，q u a s i c o n f o r m a ls c h w a r zl e m m a a n dt h es o l u t i o no fg e n e r a l i z e dr a m a n u j a l l sm o d u l a re q u a t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h i st h e s i sa n d i i i 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 s o m ec o n c e p t s ，n o t a t i o na n ds o m ek n o w nr e s u l t su s e da f t e r w a r d s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ep r e s e n ts o m ea n a l y t i cp r o p e r t i e so fc e r t a i nc o m b i n a - t i o n so ff u n c t i o n sk ( r ) ，厶( r ) a n dc l e m e n t a r yf u n c t i o n s ，a n do b t a i ns o m ef u n c t i o n a l i n e q u a l i t i e s t h e n ，w es t u d yt h em o n o t o n i c i t y , c o n v e x i t ya n dc o n c a v i t yo fs o m e f u n c t i o n sd e f i n e di nt e r m so ft h ef u n c t i o n s 瓦q ( 7 ) a n d 已( r ) ，g e ts o m ef u n c t i o n a l i n e q u a l i t i e sf o rt h e m ，a n di m p r o v es o m ek n o w nb o u n d so f 咒。( r ) a n d ( r ) w e s h a l la l s oo b t a i ns o m en e wa n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e dc l l i p t i ci n t e g r a l s b ys t u d y i n gt h ed e p e n d e n c eo np a r a m e t e ra o ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d ys o m ea n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e d g r s t z s c hr i n gf u n c t i o n ( r ) ，t h ef u n c t i o nm n ( r ) a n dt h er e l a t e dg e n e r a l i z e de l l i p t i c i n t e g r a l s ，a n do b t a i ns o m ei n e q u a l i t i e so ft h ef l m c t i o n s 肛ar ) a n dm 。( 7 ) t h e n ，w e a p p l ys o m er e s u l t si nt h es e c o n dc h a p t e ra n dt h er e l a t i o nb e t w e e n 妒k ( 凸，r ) a n d ( r ) a n dm n ( r ) ，t og e ts o m eb e t t e re s t i m a t e so ft h ef u n c t i o nw k ( a ，r ) ，w h i c ha r e g i v e ni nt e r m so fc e r t a i ne l e m e n t a r yf u n c t i o n s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w es h o ws o m ea n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nq o k ( a ，r ) t ot h eg e n e r a l i z e dr a m a n u j a n sm o d u l a re q u a t i o n ，t h eg e n e r a l i z e da g a r dr t - d i s t o r t i o n f u n c t i o n 取( o ，t ) a n dg e n e r a l i z e dl i n e a rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 入( 口，k ) k e yw o r d s ：g a u s s i a nh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n ，c o m p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l s ，g e n - e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s ，g r s t z s c hr i n gf u n c t i o n ，h i i b n e r si n e q u a l i t y , g e n e r a l i z e d h e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n ，g e n e r a l i z e dr a t n a n u j a n sm o d u l a re q u a t i o n s i v 浙江理t 大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 a b s t r a c t 目錄 i i i i 第一章緒論 1 1 1 引言 1 1 2g a u s s 超幾何函數(shù)。 4 1 3 完全橢圓積分和廣義橢圓積分 6 1 4 廣義戤吼a n u j a n 模方程一 8 第二章廣義橢圓積分的性質(zhì) 1 1 2 1 引言1 1 2 2 廣義橢圓積分的性質(zhì)與函數(shù)不等式1 1 2 2 1 i c 。( r ) 的性質(zhì)1 1 2 2 2 己( r ) 的性質(zhì)1 9 2 2 3 由k ( 7 ) 和e o c r ) 定義的一些函數(shù)的性質(zhì)2 6 2 3 廣義橢圓積分依賴于參數(shù)q 的性質(zhì)3 6 第三章函數(shù)m 口( r ) 和肛。( r ) 的性質(zhì)及其應(yīng)用 4 0 3 1 主要結(jié)果4 0 3 2 主要結(jié)果的證明4 1 3 3 在廣義r a m a n u j a n 模方程中的應(yīng)用4 4 第四章廣義a a m a n u j a n 模方程的若干性質(zhì) 4 6 4 1 主要結(jié)果4 6 4 2 主要結(jié)果的證明4 8 參考文獻(xiàn) 5 5 致謝 攻讀學(xué)位期間的研究成果 v 6 0 6 1 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論 1 1引言 本節(jié)出現(xiàn)的函數(shù)概念及記號(hào)分別由1 2 1 4 節(jié)給出。 1 6 5 6 年，w a l l i s 提出了“超幾何級(jí)數(shù)”這一術(shù)語【1 】。1 8 世紀(jì)中期，e u l e r 對超 幾何函數(shù)進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)了超幾何函數(shù)的積分表示等【2 l 。1 8 1 2 年，g a u s s 首 次在超幾何函數(shù)領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)【3 】。之后，在很長一段時(shí)期內(nèi)，超幾何函數(shù) 成為j a c o b i 、k f i m m e r 、f u c h s 、r i e m a n n 、s c h w a r z 和k l e i n 4 等當(dāng)時(shí)的主要數(shù)學(xué)家 們的研究主題。1 8 7 3 年，s c h w a r z 解決了超幾何函數(shù)的參數(shù)值問題【5 】，使得超 幾何微分方程和群論相結(jié)合，并發(fā)現(xiàn)了廣泛的應(yīng)用。2 0 世紀(jì)初，印度數(shù)學(xué) 家s 1 ：油2 l a j l u j a n 對g a u s s 超幾何函數(shù)和模方程及其解的性質(zhì)等方面做了廣泛深入的 研究，得到了很多結(jié)果【6 _ 1 0 】，這使得超幾何函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛。超幾何函數(shù)不 但在特殊函數(shù)、拓?fù)鋷缀螌W(xué)【1 1 。3 1 等數(shù)學(xué)分支有廣泛的應(yīng)用，還在物理學(xué)【1 4 1 、工 程技術(shù)等其它學(xué)科領(lǐng)域中有著廣泛而重要的應(yīng)用。 1 7 1 8 年，橢圓積分理論隨著f a g n a n o 對雙紐線的弧長的研究【1 5 , 1 6 】而誕生， 之后由1 8 世紀(jì)數(shù)學(xué)家e u l e r 、l a g r a n g e 和l a u d e n 發(fā)展起來。1 9 世紀(jì)，g a u s s 、a b e l 和j a c o b i 又對橢圓積分和橢圓函數(shù)有了重大發(fā)現(xiàn)，l e g e n d r e 、p d e m a n n 、k l e i n 和w e i e r s t r a s s 也分別對完全橢圓積分做出了巨大貢獻(xiàn)【1 7 , 1 8 】。2 0 世紀(jì)八十年代 后期以來，g d a n d e r s o n 、m k v a m a n a m u r t h y 和m v u o r i n e n 教授從研究擬共形 映射的需要出發(fā)，開展了對完全橢圓積分的一系列研究，給出了一些關(guān)于 完全橢圓積分和超幾何函數(shù)的新性質(zhì)( 包括不等式) 【1 9 一加1 。1 9 9 4 年，b c c a r l s o n 和j l g u s t a f s o n 給出了完全橢圓積分新的漸近性質(zhì)【2 1 】。2 0 世紀(jì)九十年代，g d a n - d c m o n 、m k v a m a n a m u r t h y 、m v u o r i n e n 和裘松良教授又系統(tǒng)深入地研究了完 全橢圓積分的性質(zhì)，并揭示了其在均值理論中的應(yīng)用 2 2 - 2 3 1 。 在幾何函數(shù)論中，廣義橢圓積分k ( r ) 和厶( r ) 與將上半平面變換到平行四邊 形的s c h w a r z c h r i s t o f f e l 變換有關(guān)。廣義橢圓積分作為完全橢圓積分的推廣， 當(dāng)o = 1 2 時(shí)，咒口( 7 1 ) 和厶( 7 ) 依次退化為j | l c ( r ) 和( r ) ；另一方面，廣義橢圓積分也 是g a u s s 超幾何函數(shù)的特殊情況。因此，對廣義橢圓積分的深入研究有助于促 進(jìn)數(shù)論、幾何學(xué)、幾何函數(shù)論、擬共形理論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域、工程技術(shù)和天體力 學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展。因此，能否將完全橢圓積分j i c ( r ) 和( r ) 的一些重要結(jié)果推廣 到廣義橢圓積分匕( r ) 和厶( r ) ? 這一問題在上個(gè)世紀(jì)九十年代中期引起了國內(nèi) 外很多學(xué)者的關(guān)注。裘松良教授與其合作者深入研究了j | | c ( r ) 和( r ) 的l a n d e n 變 1 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 換性質(zhì)，并相應(yīng)地推廣到了j i c 。( r ) 、己r ) 以及c a u s s 超幾何函數(shù)f ( a ，6 ；c ；z ) 【2 5 1 ，獲 得了廣義l a n d c n ；不等式和廣義l c g e n d r c 關(guān)系【2 6 屯8 】，而且對j i c 口( 7 ) 和己( r ) 與其它初 等函數(shù)的組合或復(fù)合的諸如單調(diào)性、凹凸性等分析性質(zhì)進(jìn)行了深入研究，獲得 了兢( r ) 和厶( 7 ) 在7 _ 1 時(shí)的漸近性質(zhì)，并獲得了一系列精確初等逼近陋。2 】。 另外，2 0 世紀(jì)三十到五十年代，a h l f o r s 對擬共形理論做了很多研究，得到了 平面g r 5 t z s c h 環(huán)的模肛( r ) 的一些初步性質(zhì)，用完全橢圓積分表示- j , c r ) ，從而推 動(dòng)了對函數(shù)弘( 7 ) 的研列3 3 】。1 9 5 2 年，h e r s c h 禾t l p f l u g e r 把復(fù)分析中經(jīng)典的s c h w a r z 三j f 理推廣到擬共形理論，建立了著名的擬共形s c h w a r z i j i 理【刪，給出了單位圓盤 到自身且保持原點(diǎn)不動(dòng)的k 一擬共形映射，( 所有這些函數(shù)組成族q c k ( b 2 ) ) 的 由從【o ，1 】到【o ，1 】上嚴(yán)格單調(diào)上升的函數(shù)妒k ( r ) 表示的精確界。即，對任意的， q c k ( b 2 1 和z b 2 , 有 妒1 k “z 1 ) i ，( z ) i 妒( i z i ) ( 1 1 ) 此后，在擬共形理論中發(fā)揮著重要作用的函數(shù) z g ( 7 ) 和平面g r s t z s c h j $ 的模p ( r ) 的 顯式估計(jì)問題受到國內(nèi)外廣泛關(guān)注。1 9 6 0 年，王傳芳證明了【3 5 】： 妒k ( r ) 4 ( 1 1 k ) r 1 k ，( 1 2 ) 其中k l ，0 r 1 。1 9 7 0 年，o h f i b n e r y 對函數(shù)妒k ( 7 ) 的顯式估計(jì)作了重 大改進(jìn)，并且揭示出妒k ( r ) 對函數(shù)m ( r ) - t - l o g r依賴關(guān)系【3 6 1 ，即：當(dāng)k 1 ， 0 7 1 時(shí)， 妒k p ) r v e x p ( 1 1 k ) m ( r ) + l o gr ) 4 ( 1 1 k ) r 1 k ( 1 3 ) 1 9 9 9 年，裘松良、m k v a m a n a m u r t h y 與m v u o r i n e n 在繼o h i i b n e r 之后又有 了新的發(fā)現(xiàn)，證明1 3 7 ： 妒kr ) ( 1 6 ) 2 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 當(dāng)且僅當(dāng)弘( 7 ) - i - l o g r c ( 7 ) ，其中口( r ) 、6 ( 7 ) 和c ( _ r ) 為( o ，1 ) 上的實(shí)函數(shù)，r ( 0 ，1 ) ， k ( 1 ，) 。揭示了函數(shù)妒k ( r ) 對函數(shù)u ( r ) + l o gr i 拘依賴關(guān)系，并獲得了不等式 妒k ( r ) r l ke x p ( 1 1 k ) a ( r ) 4 ( 一) 4 7 3 ( 1 1 k ) r 1 k ， ( 1 7 ) c p l k ( r ) r 耳e x p ( 1 一k ) b ( 0 4 c ( r ) ( 1 - k ) r 7 i ke x p ( 1 一k ) ( r ) + l o g , - ，( 1 9 ) 其中，n ( r ) = 掣l 。g 4 ，6 ( r ) = 0 - 0 a 、，r ，t h ( 。o1 。g4 ，c ( 7 ) = ( x - o 了a r t h ( 4 d 一從而， 對單位圓盤b 2 到自身且保持原點(diǎn)不動(dòng)的刪共形映射，及vz b 2 ，有 i f ( z ) l 4 ( 1 一例2 ) 2 7 3 ( 1 1 ) l z l l k ( 1 1 0 ) 2 0 0 4 年，裘松良教授和馬曉艷又將上述( 1 4 ) 一( 1 6 ) 式結(jié)果推廣到廣義形式 3 8 】： ( 口，r ) r l ke x p ( 1 1 k ) a ( r ) ，( 1 1 1 ) 當(dāng)且僅當(dāng)m ，n ( r ) + l o gr o ( r ) q 0 1 k ( a ，7 ) 7 ke x p ( 1 一k ) c ( r ) ) ，( 1 1 3 ) 當(dāng)且僅當(dāng)u o ( r ) + l o gr c ( r ) 其d p a ( r ) 、6 ( r ) 和c ( r ) 為( o ，1 ) 上的實(shí)函數(shù)，r ( 0 ，1 ) ，k ( 1 ，o o ) ，口( 0 ，1 2 并獲得了函數(shù)妒1 k ( a ，r ) 的估計(jì)： 哪小 t a n h ( 去融( 叼) 4 ( 1 1 4 ) 2 0 0 8 年，王根娣、張孝惠、褚玉明和裘松良建立了 h e r s c h - p f l u g e r 偏差函 數(shù)妒k ( r ) 和第二類完全橢圓積分( r ) 之間的關(guān)系，得到了 k ( 7 ) 時(shí)， ( a ，7 1 , ) = a ( a + 1 ) ( n + 2 ) ( a + 億一1 ) = r ( a + 禮) r ( 口) ( 1 1 7 ) r ( 口) 為下面定義的經(jīng)典r 函數(shù)。顯然，超幾何函數(shù)與經(jīng)典的r 一函數(shù)、矽一函數(shù) 和b e t a 一函數(shù)有密切的關(guān)系。 定義1 2 2 【矧e r e ( z ) 0 ，& ( 秒) 0 ， m ) = z t z - - 1 e d t 刪- r ，r ( 吐b ( x 加y 淵( 1 1 8 ) r ( z ) = e 一2 ，妒( z ) = r ( z ) r ( z ) ， ，) = 萼；：! ! j 掣等 ( 1 1 8 ) i ，o1 4tf ， 本文還經(jīng)常會(huì)用到r 函數(shù)如下兩個(gè)性質(zhì)： r ( z + 1 ) = z r ( z ) ，( 1 1 9 ) r ( z ) r ( 1 一z ) = 7 r s i n ( a t r ) = b ( x ，1 一z ) ( 1 2 0 ) ( 1 1 6 ) 式中的超幾何函數(shù)有如下求導(dǎo)公式： d f ( 。，6 ；c ；z ) = 警f ( a + 1 ，6 + 1 ；c + 1 ；z ) ( 1 2 1 ) 一般地，有n 階求導(dǎo)公式： 殺心；c ；櫨絮鏟m 怕m ；c 礎(chǔ) ( 1 2 2 ) 超幾何函數(shù)是非常重要的一類特殊函數(shù)，不少其他特殊函數(shù)都和它密切相 關(guān)，例如：l e g e n d r c 區(qū)l 數(shù)、j a c o b i 多項(xiàng)式、特種球多項(xiàng)式、切比雪夫多項(xiàng)式等都 屬于具有三個(gè)正則奇點(diǎn)的f u c h s 型方程的解，都可以用g a u s s 超幾何函數(shù)表達(dá)【2 6 】。 不少常見的初等函數(shù)也可以用超幾何函數(shù)來表示，例如： ( 1 - i - z ) q = f ( - a ，p ；p ；一z ) ，l n ( 1 + z ) = z f ( 1 ：1 ；2 ；- z ) ， a r c s i nz = z f ( 三，互1 ；蘭；z 2 ) ，a r c t a n z = z f ( 三，1 ；蘭；一z 2 ) 超幾何函數(shù)在z = l 點(diǎn)附近的性狀分a + b c 三種情況給 出【2 6 t 4 6 】，對n ，b ，c 0 ， lf ( 口6 c 1 ) = 矧c n + 6 ， s ( a ，b ) f ( a ，6 ；o + 6 ；z ) + l o g ( 1 2 ) = r ( n ，b ) + d ( ( 1 一z ) l o g ( 1 一z ) ) ， ( 1 2 3 ) if ( o ，6 ；c ；z ) = ( 1 一z ) 卜n 一6 f ( c 一口，c 一6 ；c ；z ) ，c o + b 5 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 這里，r ( a ，b ) = 一2 7 一妒( n ) 一妒( 6 ) ，其中，y = 0 5 7 7 2 1 5 6 6 為e u l e r 常數(shù)。當(dāng)6 = 1 一凸時(shí)，r ( a ) 三r ( a ，1 一a ) ( r ( 1 2 ) = l o g1 6 ) 是所謂的砌m a n q a n 常數(shù)。上述的零 平衡的式子( 即口+ 6 = c ) 稱為砌吼a n 嘶a n 漸近公式，它給出了函數(shù)f ( a ，6 ；o + 6 ；z ) 在 對數(shù)奇點(diǎn)z = 1 附近的精確描述。 1 3完全橢圓積分和廣義橢圓積分 對于完全橢圓積分的研究已經(jīng)比較成熟，已獲得許多精致的結(jié)果。同時(shí)，對 于廣義橢圓積分的研究也在不斷深入。本節(jié)主要給出關(guān)于完全橢圓積分和廣義橢 圓積分的記號(hào)及一些已有的重要性質(zhì)。首先，第一、第二類廣義橢圓積分有如下 定義： 定義1 3 1 1 2 6 , 4 6 對r ( 0 ，1 ) ，7 7 = 日和a ( 0 ，1 ) ， j | | c 口= 咒。r ) 三- 專r ( a ，1 一口；1 ；r 2 ) ， 聰= 磋( r ) 三厄。r ，) ， ( 1 2 4 ) c 口( o ) = 詈，j i c 。( 1 ) = o o ， 和 ， l 己= & ( r ) 三- 至f c a 一1 ，1 一n ；1 ；r 2 ) ， 磁= 殘( r ) 三己( r ，) ( 1 2 5 ) 【己( o ) = 考，c a ( 1 ) = 業(yè)2 ( 1 - a ) 特別地，當(dāng)n = 1 2 時(shí)，廣義橢圓積分k ( r ) 和已( r ) 分別退化為第一類和第二類完 全橢圓積分 | 7 | c = j i c ( 7 - ) 三i c l l 2 ( r ) 和= e ( r ) 三矗2 ( 7 ) 根據(jù)對稱性，下文中總設(shè)a ( 0 ，1 2 廣義橢圓積分有下述求導(dǎo)公式酬： i d l c a ：2 ( 1 - a ) ( c 萬- 一r t 2 咒a ) ， ( 1 2 6 ) d rr 7 華：2 ( a - 1 ) ( c a - e a ) ，( 1 2 7 ) 導(dǎo)( k 一) = 丁2 ( 1 - a ) r e a ， ( 1 2 8 ) 曇慨一r 彪k ) = 2 凸r 瓦口 ( 1 2 9 ) 當(dāng)n = 1 2 冰j ，上述公式退化為完全橢圓積分的求導(dǎo)公式。 6 浙江理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 廣義l e g e n d r e 關(guān)系式對o ，( 0 ，1 ) ，有 如( r ) ( r ) + e ( r ) ( r ) 一( r ) 磋( r ) 三可7 rs 可i n ( a t r ) ， 當(dāng)口= 1 2 時(shí)，上述關(guān)系式退化為完全橢圓積分的l e g e n d r e 關(guān)系式 c ( r ) $ j 初等近似e h r a m a n u j a n 漸公式可知，在奇點(diǎn)7 數(shù)j i c ( r ) 具有對數(shù)增長性?；诖耍旅娼榻B疋( r ) 的一些不等式： ( 1 3 0 ) = 1 附近，函 1 9 9 2 年，a n d e r s o n 等人發(fā)現(xiàn)j i c ( r ) 可以由反雙曲正切函數(shù)a r t h 來逼近【4 7 】：對任 意的r ( o ，1 ) ，有 三( 掣) 1 2 研) 互_ a r t h ( r ) ( 1 3 1 ) 1 9 9 5 年，s “l(fā) o r 令人驚奇地給出了咒( r ) 與1 和7 的算術(shù)均值及對數(shù)均值的關(guān) 系【4 8 4 9 】：令4 ( 1 ，r 7 ) = ( 1 + r ) 2 ，l ( 1 ，r ) = ( 1 一r ) ( 1 0 91 一l o g r ，) ，c 1 ：2 7 r ，c 2 ： 1 2 ( 5 7 r ) ，對vr ( o ，1 ) ，則有 一 三( 高+ 耦) 孫三( 南+ 揣) 3 2 ， 1 9 9 8 年，裘松良教授等人給出了j | i c ( 7 ) 的如下的界刪：令c 3 = 7 r 2 一l 0 9 2 ，c 4 = 3 l o g2 7 r 2 ，c 5 = e 印( 7 r 2 ) 一4 ，對v7 ( 0 ，1 ) ，貝i j 有 c a + l o g ( 1 - i - 1 r 7 ) | | i c ( r ) c 3 + c 4 ( 1 一r 7 ) + l o g ( 1 + x r )( 1 3 3 ) 和 l o g ( 4 r + c 5 r 7 ) 瓦( r ) l o g ( 4 r 7 + c 5 ) ( 1 3 4 ) 2 0 0 4 年，裘松良教授及其合