1 專題六 總體均數(shù)與總體率的估計(jì) 樣本均數(shù)（或樣本率）不能直接作為總體均數(shù)（或總體率）的估計(jì)，而應(yīng)該考慮抽樣誤差的存在，借助抽樣分布對(duì)總體均數(shù)（或總體率）做出估計(jì)。 一、均數(shù)的抽樣誤差 由個(gè)體變異產(chǎn)生的，隨機(jī)抽樣引起的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異稱為 抽樣誤差 。在抽樣研究中，抽樣誤差是不可避免的。 二、樣本均數(shù)的分布及標(biāo)準(zhǔn)誤 樣本均數(shù)的分布 ： 服從正態(tài)分布，樣本均數(shù)大部分分布在總體均數(shù)的左右，中間多，兩邊少，左右基本對(duì)稱。 標(biāo)準(zhǔn)誤 樣本均 數(shù) 的變異程度用樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述， 樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差 稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) 誤，簡(jiǎn)稱為 標(biāo)準(zhǔn)誤 ，符號(hào) x 。 x說(shuō)明個(gè)樣本均數(shù)圍繞總體均數(shù)的離散程度，可用來(lái)反映樣本均數(shù)的抽樣誤差的大小。 在抽樣研究中，總體標(biāo)準(zhǔn)差常常 未知 ，一般用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。 理論公式：nx 實(shí)際公式 ：nssx 注： x 越大，樣本均數(shù)分布越分散，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差別 越大，抽樣誤差越大，由樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)的可靠性越小。 x 越小，樣本均數(shù)分布越集中，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差別越小，抽樣誤差越小，由樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)的可靠性越大。 標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別： 標(biāo)準(zhǔn)差表示個(gè)體差異的大??；標(biāo)準(zhǔn)誤描述樣本均數(shù)的變異程度，說(shuō)明抽樣誤差的大小。標(biāo)準(zhǔn)差描述資料的頻數(shù)分布狀況，可用于制定醫(yī)學(xué)參考值范圍；而標(biāo)準(zhǔn)誤用于總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。 以樣本含量 n從正態(tài)總體 N（ ， ）或偏態(tài)總體隨機(jī)抽樣，樣本均數(shù)仍服從或者近似正態(tài)分布 N（ ， x ） 。 標(biāo)準(zhǔn)誤的大小與標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本含量 n 的平方根成反比。 在實(shí)際工作中，可通過(guò)適當(dāng)增加樣本含量來(lái)減小抽樣誤差。 三、 t分布 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)和中心極限定理：從均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取例數(shù)為 n 的樣本，樣本均數(shù) x 均服從均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 n 的正態(tài)分布；即使從均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的偏態(tài)總體中隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本含量足夠大時(shí)，樣本均數(shù)的分布逐漸逼近 于均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 x 的正態(tài)分布。 已知樣本均數(shù) x 服從正態(tài)分布 ，對(duì)正態(tài)變量 x 實(shí)施 z變換，使得正態(tài)分布 N（ ， x ）變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（ 0,1）。 實(shí)際工作中， 總體標(biāo)準(zhǔn)差常常未知，一般用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 ，此時(shí)對(duì)樣本均數(shù)進(jìn)行的不再是 z 變換而是 t變換 。 理論證明該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為 n-1的 t分布。 t=xsx =nsux =n-1 t分布曲線與分布的特征 如右圖， t分布的特征有： 單峰分布，在 t=0處最高，且以 0為中心左右對(duì)稱。 不同自由度對(duì)應(yīng)不同的 t分布， t分布曲線是一簇曲線。 越小， t值越分散，曲線越平闊，尾部越高；隨著 增大， t值越集中，曲線越尖峭，尾部越低。 趨于時(shí)， t分布逼近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（ z分布）。 【說(shuō)明】 t分布的極限分布為 z分布。 t分布 不是一條曲線， 是一簇曲線，不同 曲線下面積的分布 是不同的， 相同面積可對(duì)應(yīng)不同 t界值，相同 t界值可對(duì)應(yīng)不 同面積 。 t分布中，無(wú)論自由度為多少時(shí)， t分布曲線下的面積都為 1。 t界值表 統(tǒng)計(jì)學(xué)家將 t分布曲線下的尾部面積（即概率 P）與橫軸 t值間 的關(guān)系編制了不同自由度下的 t界值表（ 參見教材 附表 4）。 t界值表：橫標(biāo)目為自由度 ，縱標(biāo)目為概率 P。 t界值：表中數(shù)字表示當(dāng) 和 P 確定時(shí)， 單側(cè)或雙側(cè)尾部面積 P 對(duì)應(yīng)的 t界 值。 若 P 等于某預(yù)指定的 ，則： 單側(cè) 尾端 概率 (one-tailed probability)的 t界值 ，即單側(cè)尾部面積 P 對(duì)應(yīng)的 t界值 用 t , 表示 。 雙側(cè) 尾端 概率 (two-tailed probability)的 t界值 ，即兩側(cè)尾部面積 P 對(duì)應(yīng)的 t界值 用 t /2,表示 。 t分布規(guī)律 單側(cè)： P（ t -t , ） =或 P（ t t ,） =。 雙側(cè)： P（ t -t /2, ） P（ t t /2,） = ，則圖中非陰影部分面積的概率為 P（ -t /2, t t /2,） =1- 從 t界值表可以看出： 自由度相同時(shí)， t界值越大其對(duì)應(yīng)的 P 值越小，反之亦然。 概率 P（或尾部面積）相 等時(shí)， 越大， t界值越小。 t界值相等時(shí)，雙側(cè)概率為單側(cè)概率的兩倍。 = 時(shí)， t界值即為 z界值。例如， t0.05/2， =z0.05/2=1.96 四、總體均數(shù)的估計(jì) 統(tǒng)計(jì)推斷的內(nèi)容： 參數(shù)估計(jì) （ 包括點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) ）和 假設(shè)檢驗(yàn) 。 參數(shù)估計(jì)：指用樣本指標(biāo)（統(tǒng)計(jì)量）估計(jì)總體指標(biāo) 2 （參數(shù)）。 點(diǎn)估計(jì) 方法：將 樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 。 缺點(diǎn)：未考慮抽樣誤差的影響，估計(jì)的正確程度很難評(píng)價(jià)。 區(qū)間估計(jì) 方法：按事先給定的概率（ 1- ），估計(jì)包含未知總體參數(shù)的一個(gè)可能范圍，該范圍稱為參數(shù)的可信區(qū)間 或置信區(qū)間（ CI）。 （ 1-） ：可信度或置信度，也可表示為 100（ 1-） %，常取 95% 可信區(qū)間通常由兩個(gè)可信限或置信限表示，較小者稱為下限（ L），較大者稱為上限（ U）。 總體均數(shù)可信區(qū)間的計(jì)算 z分布法 已 知時(shí) ， 則 z=nx/ 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N（ 0,1），此時(shí) P（ -z /2 z z /2） =1- ，代入 z通過(guò)推導(dǎo)可得： 總體均數(shù) 雙側(cè)可信區(qū)間 為： （xzx 2/，xzx 2/）或簡(jiǎn)寫 為xzx 2/單側(cè)可信區(qū)間 為： xzx 或xzx 未知時(shí) ，但 n足夠大 （ n 50）時(shí)，xs接近x， t分布逼近 z分布，則 總體均數(shù) 雙側(cè)可信區(qū)間 為： （xszx 2/，xszx 2/）或簡(jiǎn)寫為xszx 2/單側(cè)可信區(qū)間 為： xszx或xszx t分布法 未知時(shí) ， t=xsx 服從自由度為 n-1的 t分布 ， 此時(shí) P（ -t /2, t t /2,） =1- ， 代入 t通過(guò)推導(dǎo) 可得： 總體均數(shù) 雙側(cè)可信區(qū)間 為 ： （xstx ,2/，xstx ,2/） 或簡(jiǎn)寫為xstx ,2/單側(cè)可信區(qū)間 為 ： xstx ,或 xstx ,【說(shuō)明】當(dāng) 未知時(shí) ，無(wú)論 n是否足夠大，可信區(qū)間均可采用 t分布法計(jì)算， 采用 t界值計(jì)算的可信區(qū)間更加確切 。 總體均數(shù)的 95%可信區(qū)間的含義 在實(shí)際研究中，一次抽樣可得一個(gè)可信區(qū)間，有 95%可能包括總體均數(shù)。 總體均數(shù)的 95%可信區(qū)間既可信又精密。 五、二項(xiàng)分布 對(duì)于 n 次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件 A與 A 之一，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn) A的概率是常數(shù) （ 0 1） ，因而出現(xiàn)對(duì)立事件 A 的概率是 1- ，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為 n重貝努力試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱 Bernolli試驗(yàn) 。 Bernolli試驗(yàn) 條件：每次試驗(yàn)只有兩種互斥的結(jié)果；在相同條件下獨(dú)立重復(fù) n次試驗(yàn)，所謂“獨(dú)立”即各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果互不影響； 每次試驗(yàn)中 A發(fā)生的概率都相同，各次試驗(yàn)條件相同。 二項(xiàng)分布的概念 一般地，在一個(gè) n 重 貝努力試驗(yàn) 中，令 x 表示時(shí)間 A 發(fā)生的次數(shù)，則隨機(jī)變量 x 所有可能的取值為 0,1,2, ,n，且 其概率函數(shù)為 P（ x=k） = knkknC )1( k=0,1,2, ,n !)!( ! kkn nC kn 稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n和 的二項(xiàng)分布，記為 XB（ n， ）。 二項(xiàng)分布的概率 二項(xiàng)分布是一種離散型概率分布。 二項(xiàng)分布的概率之和等于 1，即 nk 0knkknC )1( = +（ 1- ） n=1 單側(cè)累積概率： 至多 m例陽(yáng)性： P（ x m） knkmkknC )1(0 3 至少 m例陽(yáng)性： P（ x m） =1-P（ x m-1） 二項(xiàng)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 設(shè) XB（ n，） ，則有陽(yáng)性結(jié)果發(fā)生數(shù) X 的總體均數(shù) =n ； 總體方差 )1(2 n 總體標(biāo)準(zhǔn)差 1n 根據(jù)中心極限定理， 在 n較大， n 與 n（ 1- ）較接近時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布； 當(dāng) n 時(shí)，二項(xiàng)分布 B（ n，） 的極限分布是總體均數(shù)位 n，總體方差為 n （ 1- ）的正態(tài)分布 Nn， n（ 1-） 。 六、 Poisson分布 Poisson分布的概念 若隨機(jī)變量 X 的可能取值為 0,1,2, ,其概率分布為 P（ x=k） = ， k=0,1,2, ；則稱 x服從參數(shù)為 的 Poisson分布 ，記為 X （ ）。 k為觀察單位中某稀有時(shí)間發(fā)生的次數(shù)； 0，為某一常數(shù)； e=2.7182 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。 Poisson分布 的應(yīng)用 泊松分布是一種重要的 離散型概率分布 ，用于描述在單位時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。 特點(diǎn)： 罕見事件（發(fā)生概率很小）而觀察例數(shù) n很大的二項(xiàng)分布，可將較難計(jì)算的二項(xiàng)分 布轉(zhuǎn)換為泊松分布去處理。 為泊松分布所依賴的唯一參數(shù)，表示單位時(shí)間（或單位面積、單位空間）內(nèi)某隨機(jī)事件平均發(fā)生數(shù)，即總體均數(shù)。 Poisson分布的圖形 =n 值越小，分布越不對(duì)稱，隨的增大， Poisson分布趨于對(duì)稱。 注：當(dāng) =20時(shí)，泊松分布接近于正態(tài)分布，在實(shí)際工作中，當(dāng) 20時(shí)，就可以用正態(tài)分布來(lái)近似地處理泊松分布的問(wèn)題。 Poisson分布的特征 總體均數(shù)與總體方差相等。 可加性： m個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量 X1,X2, ,Xm分別服從 1, 2, , m的泊松分布，則其和 x1+x2+ +xm也服從均數(shù)為1+2+ +m的泊松分布。 可加性的應(yīng)用：將若干個(gè)相互獨(dú)立的小觀察單位合并成一個(gè)大的觀察單位，從而使均數(shù) 20，以便將服從泊松分布的資料按正態(tài)分布近似處理。 七、總體率的估計(jì) 抽樣資料計(jì)算樣本率不能直接代替總體率，而應(yīng)該對(duì)總體率進(jìn)行估計(jì)。 率的抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤 由于抽樣引起的樣本率與總體率的差異稱為率的抽樣誤差。率的抽樣誤差亦可以用率的標(biāo)準(zhǔn)誤 p來(lái)度量。 當(dāng)總體率未知時(shí)，以樣本率 p作為 的估計(jì)值。 p=n)1( （ n為樣本含量） sp= n pp )1( 總體率的估計(jì) 根據(jù)樣本率也可以對(duì)總體率做出點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。 利用樣本資料估計(jì)二項(xiàng)分布總體率的 1-的可信區(qū)間，一般取 0.05或 0.01。 對(duì)于 n 50，且 p接近于 0或 1時(shí)，可直接 查表法 得到總體率的 1-的可信區(qū)間 。 （附表 5） 注：附表 5中僅列出 x n/2的部分，當(dāng) x n/2 時(shí)，可以用 n-