數(shù)學(xué)建模作業(yè)姓名：李成靖 學(xué)號：1408030311 班級：計科1403班 日期：2015.12.301.某班準備從5名游泳隊員中選4人組成接力隊，參加學(xué)校的4100m混合泳接力比賽，5名隊員4種泳姿的百米平均成績?nèi)缦卤硭?，問?yīng)如何選拔隊員組成接力隊？如果最近隊員丁的蛙泳成績有較大的退步，只有1152；而隊員戊經(jīng)過艱苦訓(xùn)練自由泳成績有所進步，達到575，組成接力隊的方案是否應(yīng)該調(diào)整？甲乙丙丁戊蝶泳10685721181101074仰泳115610610781142111蛙泳1271064124610961238自由泳586535945721024名隊員4種泳姿的百米平均成績解:(1).設(shè)cij(秒)為隊員i 第j 種泳姿的百米成績，轉(zhuǎn)化為01規(guī)劃模型若參選擇隊員i加泳姿j 的比賽，記xij=1, 否則記xij=0 目標函數(shù):即min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54; 約束條件: x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x51+x52+x53+x54=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1;lingo模型程序和運行結(jié)果因此，最優(yōu)解為x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余變量為0成績?yōu)?53.2(秒)=4132 即：甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳.(2).若丁的蛙泳成績退步為1152=75.2(秒)，戊的自由泳成績進步為575=57.5(秒)，則目標函數(shù)：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+75.2*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54; 約束條件： x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x51+x52+x53+x54=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1lingo模型程序和運行結(jié)果因此，最優(yōu)解為x21=1,x32=1,x43=1,x54=1 ,其余變量為0;成績?yōu)?57.7(秒)= 4177 ,新方案:乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳、戊 自由泳 。2.某工廠用A1，A2兩臺機床加工B1，B2，B3三種不同零件，已知在一個生產(chǎn)周期內(nèi)A1只能工作80機時，A2只能工作100機時。一個生產(chǎn)周期內(nèi)加工B1為70件，B2為50件，B3為20件。兩臺機床加工每個零件的時間和加工每個零件的成本，分別如下所示加工每個零件時間表（單位:機時/個）機床零件B1B2B3A1123A2113加工每個零件成本表(單位：元/個)機床零件B1B2B3A1235A2336問怎樣安排兩臺車床一個周期的加工任務(wù)，才能使加工成本最低？解：設(shè)在A1機床上加工零件B1、B2、B3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在A2機床上加工零件B1、B2、B3的數(shù)量分別為x4、x5、x6,可建立以下線性規(guī)劃模型：目標函數(shù)：min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6約束條件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均為整數(shù) x1+2*x2+3*x3=80 x1+x2+3*x3=4 X1+X2+X3+X4+X5=10 (2*X1+2*X2+X3+X4+5*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=1.4 (9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)=4；X1+X2+X3+X4+X5=10；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5=4；X1+X2+X3+X4+X5=11；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5=70 x2+x3=60 x3+x4=50 x4+x5=20 x5+x6=30 x6+x1=60lingo模型程序和運行結(jié)果因此，最優(yōu)解為：x1=60、x2=10、x3=50、x4=0、x5=30、x6=0；最少需要護士150人。5某海島上有12個主要的居民點，每個居民點的位置（用平面坐標x,y表示，距離單位：km）和居住的人數(shù)R如表下表所示，現(xiàn)在準備在島上建一個服務(wù)中心為居民提供各種服務(wù)，那么服務(wù)中心應(yīng)該建在何處？居民點123456789101112x08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88R6001000800140012007006008001000120010001100解：設(shè)第i個居民點的位置（xi，xj），居住的人數(shù)為Ri，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;設(shè)服務(wù)中心的位置為（a，b）,無約束條件；服務(wù)中心應(yīng)該讓所有的人都方便，因此目標函數(shù)為min=i=112Ri(xi-a)2 +(xj-b)2lingo模型程序和運行結(jié)果因此，服務(wù)中心應(yīng)該建的位置是（3.19，3.20）第十一個小島。6.某廠向用戶提供發(fā)動機，合同規(guī)定，第一、二、三季度末分別交貨40臺、60臺、80臺。每季度的生產(chǎn)費用為(元)，其中x是該季生產(chǎn)的發(fā)動機臺數(shù)，若交貨后有剩余，可用于下季度交貨，但需支付存儲費，每臺每季度c元。已知工廠每季度最大生產(chǎn)能力為100臺，第一季度開始無存貨，設(shè)a=50，b=0.2，c=4，問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能既滿足合同有使總費用最低？討論a、b、c、變化對計劃的影響，并作出合理的解釋。解：(1).設(shè)工廠第一季度生產(chǎn)x1臺發(fā)動機，第二季度生產(chǎn)x2臺發(fā)動機，第三季度生產(chǎn)x3臺發(fā)動機。目標函數(shù)：min=50*x1+0.2*x12+50*x2+0.2*x22+50*x3+0.2*x32+4*(x1-40)+4*(x1+x2-100);約束條件：x1,x2,x3均為整數(shù) x1=100;x2=100;x3=40; x1+x2=100; x1+x2+x3=180;lingo模型程序和運行結(jié)果因此，最優(yōu)解為：x1=50,x2=60,x3=70;即：工廠第一季度生產(chǎn)50臺發(fā)動機，第二季度生產(chǎn)60臺發(fā)動機，第三季度生產(chǎn)70臺發(fā)動機。可使總費用最低，總費用為11280.00元。7.廣告費用與效應(yīng)。某裝飾材料公司欲以每桶2元的價錢購進一批彩漆。一般來說，隨著彩漆售價的提高，預(yù)期銷售量將減少，并對此進行了估算，見下表。手機與預(yù)期銷售量售價（元）預(yù)期銷售量（桶）售價（元）預(yù)期銷售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000為了盡快收回資金并獲得較多的盈利，裝飾材料公司打算做廣告。投入一定的公告費用后，銷售量將有一個增長，可由銷售增長因子來表示。例如，投入40000元的廣告費，銷售增長因子為1.95，即銷售將是預(yù)期量的1.95倍。根據(jù)經(jīng)驗，廣告費與銷售增長因子的關(guān)系見下表。廣告與銷售增長因子廣告費（元）銷售增長因子廣告費（元）銷售增長因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80解：設(shè)售貨單價為x(元)，預(yù)期銷售量為y(桶)，廣告費為z(元)，銷售增長因子為k。投入廣告后實際銷售量為s(桶)，獲得的利潤為P(元)。分析：預(yù)期銷售量y隨售價x的增加而減小，可近似用線性關(guān)系表示y = a0 + a1x (1)其中，a0和a1是待定常數(shù)。銷售增長因子k隨廣告費用z先增后減，可用二次方程表示k = b0 + b1z + b2z2 (2)其中，b0，b1和b2也是待定常數(shù)。待定常數(shù)可根據(jù)表中數(shù)據(jù)擬合。 投入廣告費之后，實際銷售量為s = ky (3)利潤是收入減支出，收入是售貨單價x乘以銷售量s；支出包括成本和廣告費，成本是進貨單價2乘以銷售量s。因此利潤為P = sx 2s - z = ky(x 2) - z = (b0 + b1z + b2z2)(a0 + a1x)(x 2) - z (4)這是二元函數(shù)，求最大利潤就是二元函數(shù)的最大值。先計算常數(shù)，畫出擬合曲線。再形成利潤的矩陣，求出最大利潤和下標，從而計算最大利潤的售價和廣告費。畫出利潤曲面，標記最大值。程序如下：clear x=2:0.5:6; y=41,38,34,32,29,28,25,22,20*1000; z=(0:7)*1e4; k=1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8; figure subplot(2,1,1) plot(x,y,rx) grid on fs=12; title(預(yù)期銷售量和售價的擬合線,fontsize,fs)xlabel(售價(元),fontsize,fs) ylabel(預(yù)期銷售量(桶),fontsize,fs) a=polyfit(x,y,1) xx=2:0.01:6; yy=polyval(a,xx); hold on plot(xx,yy) legend(經(jīng)驗值,擬合線) subplot(2,1,2) plot(z,k,rx) grid on title(銷售增長因子和廣告費的擬合曲線,fontsize,fs)xlabel(廣告費(元),fontsize,fs) ylabel(銷售增長因子,fontsize,fs) b=polyfit(z,k,2) zz=(0:0.01:7)*1e4; kk=polyval(b,zz); hold on plot(zz,kk) legend(經(jīng)驗值,擬合線,2) X,Z=meshgrid(xx,zz); K=polyval(b,Z); Y=polyval(a,X); P=K.*Y.*(X-2)-Z; mi,i=max(P); m,j=max(mi) xm=xx(j) zm=zz(i(j) km=polyval(b,zm) stem(zm,km,-) text(zm,km,num2str(zm),num2str(km),fontsize,fs)subplot(2,1,1) ym=polyval(a,xm) stem(xm,ym,-) text(xm,ym,num2str(xm),num2str(ym),fontsize,fs)sm=km*ym; text(2,2e4,最大利潤的實際銷售量:,num2str(sm),fe,fs) figure surf(xx,zz,P) shading interp box on title(利潤與售價和廣告費曲面,fontsize,fs)xlabel(售價(元),fontsize,fs) ylabel(廣告費(元),fontsize,fs) zlabel(利潤(元),fontsize,fs) text(xm,zm,m,num2str(x