此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除第一講全等三角形與角平分線中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求全等三角形會(huì)識(shí)別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問題會(huì)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)睛全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等如下圖，兩個(gè)全等的五邊形，記作：五邊形五邊形這里符號(hào)“”表示全等，讀作“全等于”全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個(gè)三角形的邊和角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線及周長(zhǎng)面積均相等全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角全等符號(hào)為“”全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線奧數(shù)賽點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)與角平分線相關(guān)的問題角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3 ，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍， 重、難點(diǎn)重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ)，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時(shí)全等三角形的判定也是本章的重點(diǎn)，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時(shí)，HL的判定是整個(gè)直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個(gè)是條件，決定哪個(gè)結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化例題精講板塊一、全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)【例1】 判定兩個(gè)三角形全等的方法是： ； ； ； ； ； 全等三角形的性質(zhì)是對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、周長(zhǎng)、面積都分別 兩個(gè)三角形具備下列( )條件，則它們一定全等A兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等B三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等且面積相等C兩角和一組對(duì)應(yīng)邊相等D兩邊及面積對(duì)應(yīng)相等 下列命題錯(cuò)誤的是( ) A面積相同的兩個(gè)三角形必然是一對(duì)全等三角形B某一三角形經(jīng)過任意平移所產(chǎn)生的三角形與原三角形全等C兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D有兩角和一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【解析】 定義，；相等B；A【鞏固】 考查下列命題：有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等其中正確命題的個(gè)數(shù)有_個(gè)已知中，作與只有一條公共邊，且與全等的三角形，這樣的三角形一共能作出 個(gè)如圖，在中，垂足為分別是上的點(diǎn)，且如果，那么_如圖，已知中，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上，且之間的距離為，之間的距離為，則的長(zhǎng)是_ 【解析】 ，注：正確的是； ； ； 【例2】 如圖，已知，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（ ）并且寫出證明過程。【解析】 ,都可以，證明過程略【鞏固】 如圖，已知點(diǎn)在線段上，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)等式中，選出兩個(gè)作為條件，推出并予以證明（寫出一種即可）已知： ， 求證：【解析】 已知：（或、或）【解析】 若選在和中（選擇、或評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)類似，證明略）CEBFDA【鞏固】 如圖，在和中，與交于點(diǎn) 求證：； 求證：【解析】 由可以證明(邊邊邊) 由可知，從而,又由 故,從而有。全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線奧數(shù)賽點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)判定三角形全等的基本思路：全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式： 平移全等型 對(duì)稱全等型 旋轉(zhuǎn)全等型 由全等可得到的相關(guān)定理： 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上 等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對(duì)等角) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊) 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上【例3】 如圖，是線段的中點(diǎn)，平分，平分， 求證：； 若，求的度數(shù)【解析】 由是線段的中點(diǎn)，平分，平分，可知： ,，即證（邊角邊） 由上問知：故從而【鞏固】 如圖，分別過點(diǎn)作的邊上的中線及其延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為求證：【解析】 觀察圖形，注意到為的中點(diǎn)，考慮證明， CEAD于E，BFAD于F，CED =BFD =90 又AD是BC邊上的中線，又，故 【鞏固】 如圖所示，已知，求證：【解析】 連接，根據(jù)易得，進(jìn)而得根據(jù)易得，進(jìn)而得【鞏固】 如圖，和中，點(diǎn)E在BC邊上， 求證：； 如果，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后與重合，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的大小.【解析】 ， ，與是一組對(duì)應(yīng)邊，為旋轉(zhuǎn)角， 【鞏固】 在正方形中，為對(duì)角線，為上一點(diǎn)，連接 求證：； 延長(zhǎng)交于，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)【解析】 四邊形是正方形又，。 ， ， 【例4】 已知：如圖1，中，點(diǎn)在斜邊上，且 求證：線段總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形； 已知：如圖2，等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，且，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)； 在的條件下，如果，求的值 【解析】 如圖1，以為一邊作，在上截取，則，連接，則，是直角三角形又，線段總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形 當(dāng)時(shí)，線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形如圖2，與類似，以為一邊，作，在上截取，可得， 若使為等腰三角形，只需，即當(dāng)時(shí)，線段能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角為 如圖1，又，又，中，由，得，板塊二、與角平分線相關(guān)的問題角平分線的兩個(gè)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對(duì)稱的模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形，3 ，這種對(duì)稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍， 【例5】 在中，分別平分,且相交于，（1）求證：點(diǎn)在的平分線上，（2）寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【解析】 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；故點(diǎn)到的距離等于到的距離，而到 的距離等于到的距離，從而到的距離等于到的距離。故為角平分線過分別作垂直于,，所以,從而,因此,，可證全等?！纠?】 如圖，在中，平分交于，于交于，交于，連接求證： 【解析】 先證，再證【例7】 如圖 在三角形中 ,是的角平分線,; 求證：【解析】 由得,又是的角平分線，故,從而得【例8】 如圖，在中，是的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：?！窘馕觥?延長(zhǎng)交于點(diǎn),那么由角平分線的性質(zhì)可知有,所以，而由，可知，可以證明，即得.【例9】 如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交 于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線【解析】 延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)在和中，而又，為的角平分線【例10】 如圖，在的兩邊上分別取, 和相交于點(diǎn)。求證：點(diǎn)在的平分線上?！窘馕觥?由，且共可知，,故,又,所以,從而，有,且,共邊，所以即有,從而得證平分，即點(diǎn)在的平分線上?！纠?1】 如圖，在中，的平分線交與求證：【解析】 方法一：在上取一點(diǎn)，使得連結(jié)在和中，又，方法二：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使得，連結(jié)在和中，又，方法三：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連結(jié)則有又，又， 方法四：如圖，作平分交、于、點(diǎn)延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，又即且，同理，【例12】 如圖，平分，平分，點(diǎn)在上 探討線段、和之間的等量關(guān)系 探討線段與之間的位置關(guān)系【解析】 ； 在線段上取點(diǎn)，使，連結(jié)在和中，而在和中，【例13】 在，是的平分線，過作的垂線交直線于點(diǎn)若，試求和的度數(shù)【解析】 由于點(diǎn)在直線上，因而應(yīng)分兩種情況討論計(jì)算：如圖所示，過作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使由題設(shè)平分知，注意到公用，則由角邊角公理得，于是有又由知，從而在中，因此，如圖所示，過作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使由題設(shè)平分知，注意到公用，則，即有且又由知，從而于是在中，即有，即，家庭作業(yè)1 （2008年北京）是和的平分線，求證：【解析】 是和的角平分線，在和中(SAS)，2 如圖，已知是上的一點(diǎn)，又，求證：【解析】 ，3 在中，的平分線交于，過作，為垂足，求證： 【解析】 延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過作交于，容易證得，且為之中點(diǎn)，故易得4 已知等腰，的平分線交于，則【解析】 解法一：如圖，在上截取，連接，過作，交于，于是，又，故顯然是等腰梯形，又，解法二：如圖，延長(zhǎng)到，使，在上截取，為公共邊，故，故，故，解法三：如圖，延長(zhǎng)到，使延長(zhǎng)到，使連接、，公共，又，而又公共，5 如圖，已知在中，求證：【解析】 延長(zhǎng)交于，又，6 在直角三角形中，的平分線交于自作交于，交于自作于，求證：【解析】 解法一：如圖，4點(diǎn)共圓，又，故解法二：如圖，連接是的平分線，四邊形是菱形解法三：如圖，公共，是的中垂線，故解法四：如圖，延長(zhǎng)交于