自動控制原理 大連民族學院機電信息工程學院 四章 根軌跡法 連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 本章重點內容 根軌跡的基本概念 根軌跡繪制的基本規(guī)則 參量根軌跡的繪制 用根軌跡法分析閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 !系統(tǒng)特征根的圖解方法 根軌跡： 當系統(tǒng) 某一參數 在 規(guī)定范圍內變化 時，相應的系統(tǒng) 閉環(huán)特征方程根 在 成一條軌跡。 1、希望按性能要求置于合適的位置。 閉環(huán)極點（即閉環(huán)特征方程根） 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定 性、瞬態(tài)響應特性 2、系統(tǒng)的某些參數（如開環(huán)增益）變化時，反復求解， 不方便。 根軌跡的概念 根軌跡法的基本概念 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 )1()()(s(R)s(C)s(2 廣義根軌跡 :系統(tǒng)的任意一變化參數形成根軌跡。 狹義根軌跡 （通常情況）： 變化參數為 開環(huán)增益 K，且其變化取值范圍為 0到 。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 閉環(huán)特征方程式為 02 征方程式的根是 1212121 ，由上式可見，特征根 的變化而變化。下表列出了當參變量 征根 K 0 0. 25 0. 5 1 s 1 0 0 - 0 j 0 0 j 0 0 j s 2 1 0 0 j 0 . 5 0 j 0 . 8 7 0 j 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 0s(D 2 4/1K 2/121 s 12 0時 4/10 K 兩個負實根 相對靠近移動 離開負實軸，分別 s= 直線向上和向下移動。 一對共軛復根 1/2 0 121212,1 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 根軌跡與系統(tǒng)性能 1. 穩(wěn)定性 當開環(huán)增益從零變到無窮時，右圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半 此例 1系統(tǒng)對所有的 定 的。 如果分析高階系統(tǒng)的根軌跡圖，那么根軌跡就有可能越過虛軸進入 時根軌跡與虛軸交點處的 是 臨界開環(huán)增益。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 2. 穩(wěn)態(tài)性能 由右圖可見，開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，所以系統(tǒng)屬 而根軌跡上的 如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。在一般情況下，根軌跡圖上標注出來的參數不是開環(huán)增益，而是所謂根軌跡增益。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 3. 動態(tài)性能 由右圖可見，當 時，所有閉環(huán)極點位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程； 當 時，閉環(huán)兩個實數極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應仍為非周期過程，但響應速度較 情況為快； 當 時，閉環(huán)極點為復數極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，且超調量將隨 調節(jié)時間的變化不會顯著。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點間的關系 前向通道傳遞函數 G(S)的一般表達式 221 2 2 2 1221 2 2 21()( 1 ) ( 1 )( ) *( 1 ) ( 1 )()s s sG s s T s T 前向通道根軌跡增益 212212*()1 ( ) ( )s H s大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 * * * K開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 111 1 1 1* ( ) ( )()( ) ( ) * ( ) ( )f hG i j i ji j i jK s z s p s p K s z s z iz 反饋通道零點 前向通道極點 反饋通道極點 m=f + l ) n= q + h) 11()( ) *()s 反饋通道根軌跡增益 m=f + l ) n= q + h) 1111()()( ) ( ) *()()s H s 開環(huán)傳遞函數 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 111 1 1 1* ( ) ( )()( ) ( ) * ( ) ( )f hG i j i ji j i jK s z s p s p K s z s z 3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 =開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。 1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點 =前向通道的零點 +反饋通道的極點； 2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及根軌跡 增益均有關； ！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點和極點，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點。 單位反饋系統(tǒng) （ 1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； （ 2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點就是開環(huán)系統(tǒng)的零點。 * * * K大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 軌跡方程 根軌跡是系統(tǒng)閉環(huán)極點的集合 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程： 如果已知有 1 ( ) ( ) 0G s H s11()* 1()根 軌 跡 方 程 ：大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 幅角條件和幅值條件 （ nm） 11()*1()11*1幅值條件 1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點有關，還與開環(huán)根軌跡增益有關； 11( ) ( ) ( 2 1 )z s p k 幅角條件（ k=0,1,2, ） 1）幅角條件只與開環(huán)零、極點有關 幅角條件是確定 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 由上述兩式可見，幅值條件與 相角條件與 此，把滿足相角條件的值代入到幅值條件中，一定能求得一個與之相對應的 就是說，相角條件是確定 分必要條件 。 換言之 ,凡是滿足相角條件的點必然也同時滿足幅值條件 ,反之 ,滿足幅值條件的點未必都能滿足相角條件 . 綜上所述， 根軌跡就是平面上滿足相角條件點的集合。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 由于相角條件是繪制根軌跡的基礎，因而繪制根軌跡的一般步驟是： 先找出 把它們連成曲線； 然后根據實際需要，用幅值條件確定相關點對應的值。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 模值條件與相 角條件的應用 = 1 *= 180o 模求角例題 已知根軌跡如圖所示求增益 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 例 4利用幅值條件和相角條件繪制如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。 解： (1) 本例的開環(huán)傳遞函數為 )1()(和 1，沒有開環(huán)零點。 大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 (2)用相角條件繪制根軌跡 本例的相角條件為 a r g a r g ( 1 ) ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,s s k k ，根據上式，用試探法尋求 1) 在正實軸上任取一試驗點圖 4-4(a)所示，由于 ，因而該點不滿足根軌跡的相角條件。由此可知，在正實軸上不存在系統(tǒng)的根軌跡。 11a r g 0 a r g ( 1 ) 0 ，大連民族學院機電信息工程學院 自動控制原理 。因而該點不滿足相角條件，即 1點左側的實軸上不存在該系統(tǒng)的根軌跡。 。因而該點滿足相角條件。由此可知，(0, 1)間的實軸是該系統(tǒng)的根軌跡。 2)在 (0, 1)間的實軸上任取一試驗點 圖 4-4(b)所示，由于 ， 2a r g s 0)1ar g ( 2 1點左側實軸上任取一試驗點 圖 4-4(c)所示，由于 3a r g s )1a r g ( 3自動控制原理 4) 在 圖 4-4(d)所示，令 ， 。如果點 應滿足相角條件，即 。 14ar g s 24 )1ar g ( 0 )k 21 ，顯然，只有當 時，才能滿足此條件。由此可知，坐標原點與 1之間的實軸的垂直平分線上的點均能滿足相角條件，因而該垂直平分線也是系統(tǒng)根軌跡的一部分