2016 年福州市 普通 高中畢業(yè)班 綜合 質(zhì)量檢 測(cè) 文科數(shù)學(xué)能力測(cè)試 完卷時(shí)間： 120 分鐘；滿分： 150 分） 本試卷分第 卷和第 卷兩部分第 卷 1 至 2 頁(yè)，第 卷 3 至 4 頁(yè)，滿分 150 分 考生注意： 1. 答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的 “準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目 ”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致 2. 第 卷每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)第 卷用 米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答若在試題卷上作答，答案無(wú)效 3. 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回 第 卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 (1) 集合 4A x xN , 2 40B x x ， 則 （ A） 02 （ B） 22 （ C） 0,1 （ D） 2,0,1,2 (2) 復(fù)數(shù) z 滿足 (1 i) 1 ，則 z （ A） 12（ B） 1 （ C） 2 （ D） 2 (3) 已知條件 :0，條件 1:0則 p 是 q 成立的 （ A） 充分不必要條件 （ B） 必要不充分條件 （ C） 充要條件 （ D） 既非充分也非必要條件 (4) 函數(shù) ( ) s )f x A x （ 0A ）在 3x處取得最小值，則 （ A） ()3偶函數(shù) （ B） ()3奇函數(shù) （ C） ()3偶函數(shù) （ D） ()3奇函數(shù) (5) 從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了 10 根棉花的纖維長(zhǎng)度（單位： ，所得數(shù)據(jù)如下莖葉圖記甲、乙兩品種棉花的纖維長(zhǎng)度的平均值分別為 ,，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 , （ A） ,x x s s乙甲 乙甲（ B） ,x x s s乙甲 乙甲（ C） ,x x s s乙甲 乙甲（ D） ,x x s s乙甲 乙甲(6) 函數(shù) 12 , 0 ,()1 l n , 0x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0 (7) 在 中， 9 0 , 2C ，點(diǎn) M 滿足 A則 A（ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 (8) 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 64則數(shù)列 20 項(xiàng)和等于 （ A） 20 （ B） 10 （ C） 5 （ D）22 (9) 執(zhí)行 右面的 程序 框圖 ，若輸入的 n 值為 4，則輸出的結(jié)果為 （ A） 8 （ B） 21 （ C） 34 （ D） 55 (10) 某幾何體的三視圖如圖所示，則 該 幾何體的 體 積等于 （ A） 10 （ B） 20 （ C） 30 （ D） 60 (11) 過(guò)雙 曲線 22: 1 ( 0 , 0 )a 的 左 焦點(diǎn) F 作一條漸近線的垂線 ，與 于點(diǎn) A ，若 A ， 則 C 的 離心率 為 （ A） 2 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 5 (12) 已知 aR ，函數(shù)321( ) 23f x x a x a x 的導(dǎo)函數(shù) ()在 ,1 內(nèi)有最小值 若 函數(shù)()() x ，則 （ A） 1, 上 有最大值 （ B） 1, 上有最小值 （ C） 1, 上 為 減函數(shù) （ D） 1, 上為 增函數(shù) 第 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分第（ 13）題 第（ 21）題為必考題，每 道 試題考生都必須做答第（ 22）題 第（ 24）題為選考題，考生根據(jù)要求做答 二、填空題：本大題 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在答題卡相應(yīng)位置 (13) 在平面直角坐標(biāo)系 ，點(diǎn) 2( ,3)在 拋物線 2y 的 準(zhǔn)線上， 則 實(shí)數(shù) m (14) 若 , 0 ,2 0 ,2 2 0 , 則 2的最 大 值等于 (15) 已知兩 個(gè) 同底的正四棱錐的 所有 頂點(diǎn)都在同一球面上， 它們的 底面邊長(zhǎng)為2，體積的比值為 12，則該球的 表面 積為 (16) 如圖，在 中， ,33B ， D 為 上一點(diǎn)若 D ，則 的周長(zhǎng)的取值范圍為 三、 解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 (17) （ 本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 n 項(xiàng)和 為 1,2a 2 0 2 )n n n nS a S a n （ （ ）求證： 數(shù)列 1是等差數(shù)列； （ ）求1 2 31 1 1+23 S L (18) （ 本小題滿分 12 分） 某 媒體為調(diào)查喜歡娛樂(lè)節(jié)目 A 是否與 觀眾性別 有關(guān)，隨機(jī)抽取了 30 名 男性 和 30 名 女性觀眾 ，抽查結(jié)果用等高條形圖表示如下： 男性觀眾 女性觀眾 （）根據(jù)該 等高條形圖 ， 完成 下列 22 列聯(lián)表 ， 并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 前提下 認(rèn)為 喜歡娛樂(lè)節(jié)目 A 與 觀眾性別 有關(guān)？ 喜歡節(jié)目 A 不喜歡節(jié)目 A 總計(jì) 男性觀眾 女性觀眾 總計(jì) 60 （） 從 男性觀眾 中 按喜歡節(jié)目 A 與否， 用分層抽樣的方法抽取 5 名 做進(jìn)一步調(diào)查 從 這 5 名 中任選 2 名 ，求恰有 1 名 喜歡節(jié)目 A 和 1 名 不喜歡節(jié)目 A 的概率 2P K k k ： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d (19) （ 本小題滿分 12 分） 如圖所示，四棱錐 P 的底面是梯形，且 / ,D 平面 E 是 點(diǎn)，12C D P D A D A B （ ）求證： B ； （）若 3 , 4B，求三棱錐 A 的高 (20) （ 本小題滿分 12 分） 已知 橢圓 22:1（ 0 ） 的 焦距為 23，直線 1y k x（ 0k ）經(jīng)過(guò) E 的長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，且與 E 交于 , （）求 E 的方程； （）記線段 直徑的圓為 判斷點(diǎn) 2,0A 與 位置關(guān) 系，說(shuō)明理由 (21) （ 本小題滿分 12 分） 已知 aR ，函數(shù) ( ) e 1xf x a x 的圖象 與 x 軸相切 （ ）求 () （ ） 若 0x 時(shí)， 2()f x ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 請(qǐng)考生在第（ 22）、 （ 23）、（ 24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào) (22) （本小題滿分 10 分）選修 4何證明選講 如圖所示， 內(nèi)接于圓 O， D 是 中點(diǎn) ， 平分線分別交圓 O 于點(diǎn) E ,F （ ）求證： 外接圓的切線 ； （ ） 若 3, 2， 求 22A 的值 (23) （本小題滿分 10 分） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 在 平面 直角坐標(biāo)系 ，曲線1 2 c o s ,2 （ 為參數(shù)）以 O 為極點(diǎn)， 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ ）寫出1 （ ）設(shè)曲線 222 :14經(jīng)伸縮變換 1 ,2后得到曲線3C， 曲線 3（ 0 ） 分別與1 ,B 兩點(diǎn)，求 | (24) （本小題滿分 10 分） 選修 4等式選講 已知不等式 | 3 | 2 1 的解集為 | x x m （ ）求 m 的值 ； （ ）設(shè) 關(guān)于 x 的方程 1| | | |x t x （ 0t ）有實(shí)數(shù)根， 求實(shí)數(shù) t 的值 福 州市 普通 高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè) 文科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考 評(píng)分說(shuō)明： 1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則 2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù) 4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分 一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題 5 分，滿分 60 分 （ 1） C （ 2） B （ 3） C （ 4） A （ 5） A （ 6） B （ 7） D （ 8） B （ 9） C （ 10） B （ 11） C （ 12） D 二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算每小題 5 分，滿分 20 分 （ 13） 14（ 14） 32（ 15） 9 （ 16） 2 3, 2 3 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 （ 17） 本小題主要考查差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿分 12 分 （ ）證明： 因?yàn)?當(dāng) 2n 時(shí)，1n n S ， 所以 211( ) 0n n n n n S S S S 1 分 所以110n n n S S , 2 分 因?yàn)? 1,2a所以2 16a ，所以1 0， 3 分 所以1111 4 分 所以 1是 以11 2S 為首項(xiàng)， 以 1 為公差的等差數(shù)列 6 分 （ ）由（ ）可得 12 1 1 ， 所以 11nS n . 8 分 所以 1 1 1 1( 1 ) 1n n n n 10 分 所以1 2 31 1 1 1 1 1 1 1+ + 1 + +2 3 2 2 3 1 S Sn n n 11 分 11 11 12 分 （ 18） 本小題主要考查等高條形圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想等滿分 12 分 解：（ ）由題意得 22 列聯(lián)表如下： 喜歡節(jié)目 A 不喜歡節(jié)目 A 總計(jì) 男性觀眾 24 6 30 女性觀眾 15 15 30 總計(jì) 39 21 60 3 分 假 設(shè)0: 與 觀眾 性 別無(wú)關(guān) ， 則 2K 的觀測(cè)值 26 0 2 4 1 5 1 5 6 540= 5 . 9 3 4 3 . 8 4 13 9 2 1 3 0 3 0 9 1k ， 5 分 所以 能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 前提下認(rèn)為喜歡娛樂(lè)節(jié)目 A 與 觀眾 性 別 有關(guān) 6 分 （ ）利用分層抽樣在 男性觀眾 30 名 中抽取 5 名 ， 其中 喜歡娛樂(lè)節(jié)目 A 的人數(shù)為 524 430， 不喜歡節(jié)目 A 的人數(shù)為 56 =130 7 分 被抽取的喜歡娛樂(lè)節(jié)目 A 的 4 名分別 記為 , , ,不喜歡節(jié)目 A 的 1 名 記為 B 則從 5 名 中任選 2 人的所有可能的結(jié)果為： , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a B b c b d b B , , , , ,c d c B d B， 共 有 10 種 9 分 其中恰有 1 名 喜歡節(jié)目 A 和 1 名 不喜歡節(jié)目 A 的 有 , , , , , , ,a B b B c B d B，共 4 種 10 分 所以 所抽取的 觀眾 中恰有 1 名 喜歡節(jié)目 A 和 1 名 不喜歡節(jié)目 A 的 觀眾 的概率是： 42=10 5 12 分 （ 19） 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及三棱 錐的高等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿分 12 分 （ ）證明：取 中點(diǎn) F ，連結(jié) ,如圖所示 因?yàn)辄c(diǎn) E 是 點(diǎn)， 所以 /B 且2 1 分 又因?yàn)?/D 且2 所以 /D 且 D ， 2 分 所以四邊形 平行四邊形， 所以 /F ， 3 分 因?yàn)?平面 平面 所以 F 4 分 所以 B 5 分 （ ）解：設(shè)點(diǎn) O 為 中點(diǎn)，連結(jié) 如圖所示， 因?yàn)?3 , 4B， 由（ ）知， 3, 6 分 又因?yàn)?4，所以 2D， 所以2 2 22 2 2 2 3 2 ,A P A F A D D F 7 分 所以 為正三角形， 8 分 所以 D ，且 3 9 分 因?yàn)?平面 /D ， 所以 平面 10 分 因?yàn)?平面 所以 O ， 11 分 又因?yàn)?D DI ，所以 平面 所以三棱錐 A 的高為 3 12 分 （ 20） 本小題考查 點(diǎn)與圓 、 直線與橢圓 的位置關(guān)系 等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理 論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等 2 分 解法一：（）依題意得， 2 2 3 , 2 4， 2 分 所以 2 2 2 1b a c ， 3 分 所 以 E 的方程為 2 2 14x y 4 分 （）點(diǎn) A 在 理由如下： 5 分 設(shè) 1 1 2 2, , ,P x y Q x y， 由22( 1),4 4,y k 得 2 2 2 2( 1 4 ) 8 4 4 0k x k x k ， 6 分 所以， 2 2 2 2 2( 8 ) 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 4 8 1 6 0k k k k ， 所以 212 2814k， 212 24414k . 8 分 因?yàn)?1 1 2 22 , , 2 ,A P x y A Q x y u u ur u u 所以 Q 1 2 1 222x x y y ， 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) 4k x x k x x k 2 2 2 2 2224 ( 1 ) ( 1 ) 8 ( 2 ) 41 4 1 4k k k k 10 分 2214k k 因?yàn)?0k ，所以 0Q 所以點(diǎn) A 在 12 分 解法二：（）同解法一 （）點(diǎn) A 在 理由如下： 5 分 設(shè) 1 1 2 2, , ,P x y Q x y， 由22( 1),4 4,y k 得 2 2 2 2( 1 4 ) 8 4 4 0k x k x k ， 6 分 所以， 2 2 2 2 2( 8 ) 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 4 8 1 6 0k k k k ， 所以 212 2814k， 212 24414k . 8 分 所以 1 2 1 2 222 14 ky y k x x k ， 所以圓心 M 坐標(biāo)為 2224 ,1 4 1 4， 222212 224 1 1 3211142 1 4 k x x ， 9 分 所以 方程為 2 2222222 24 1 1 341 4 1 4 14 10 分 因?yàn)?2 2 2 2 2222222 224 1 1 3 4 142 0 01 4 1 4 1 4 1 4k k k ， 11 分 所以點(diǎn) A 在 12 分 （ 21） 本小題主要考查 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、 函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等滿分 12 分 解：（ ） e xf x a ，依題 意，設(shè)切點(diǎn)為0( ,0)x， 1 分 則00( ) 0,( ) 0, 即 000e ( 1) 0 ,e 0 , 解得0 0,1, 3 分 所以 ， 所以，當(dāng) 0x 時(shí)， 0 ；當(dāng) 0x 時(shí)， 0 所以， ,0) ，單調(diào)遞增區(qū)間為 0, 5 分 （ ）令 2( ) ( )g x f x m x， 則 ( ) e 2 1xg x m x ， 令 ( ) ( )h x g x ，則 ( ) e 2xh x m ， 7 分 （ ）若 12m， 因?yàn)楫?dāng) 0x 時(shí)， ，所以 ( ) 0 ， 所以 () ()在 0, ) 上單調(diào)遞增 又因?yàn)?(0) 0g ，所以當(dāng) 0x 時(shí)， ( ) 0 0g x g， 從而 ()0, ) 上單調(diào)遞增， 而 (0) 0g ，所以 ( ) 0 0g x g，即 2()f x 成立 9 分 （ ）若 12m， 令 ( ) 0 ，解得 ) 0， 當(dāng) (0, )， ( ) 0 ，所以 () ()在 0, )m 上單調(diào)遞減， 又因?yàn)?(0) 0g ，所以當(dāng) (0, )時(shí)， ( ) 0 ， 從而 ()0, )m 上單調(diào)遞減， 而 (0) 0g ，所以當(dāng) (0, )時(shí)， ( ) 0 0g x g，即 2()f x 不成立 綜上所述， k 的取值范圍是 1( , 2 12 分 請(qǐng)考生在第（ 22） ,（ 23） ,（ 24）題 中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào) （ 22） 選修 41 ：幾何證明選講 本小題主要考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等滿分 10 分 解： （ ） 設(shè) 外接圓的圓心為 O ， 連結(jié) 并延長(zhǎng)交圓 O 于 G 點(diǎn) ， 連結(jié) 則 90 , 因?yàn)?分 所以 =C ，所以 ， 2 分 所以 1 8 0 9 0F B G F B E E B G B G E E B G B E G ， 所以 F ， 所以 外接圓的切線 5 分 （）連接 則 C ， 所以 圓 O 的直徑 ， 2 2F D F， 2 2 2