4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 內(nèi)容 基本要求 略高要求 較高要求 二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算 理解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則 會(huì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行二次根 式的混合運(yùn)算（不要求分母有理化） 板塊 一 二次根式的 乘除 最簡(jiǎn)二次根式： 二次根式 a （ 0a ）中的 a 稱(chēng)為被開(kāi)方數(shù)滿(mǎn)足下面條件的二次根式我們稱(chēng)為最簡(jiǎn)二次根式： 被開(kāi)放數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（被開(kāi)方數(shù)不能存在小數(shù)、分?jǐn)?shù)形式） 被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式 分母中不含二次根式 二次根式的計(jì)算結(jié)果要寫(xiě)成最簡(jiǎn)根式的形式 二次根式的乘法法則 ： a b （ 0a ， 0b ） 二次根式的除法法則 ： （ 0a ， 0b ） 利用這兩個(gè)法則時(shí)注意 a 、 b 的取值范圍，對(duì)于 ab a b， a 、 b 都非負(fù)，否則不成立， 如 ( 7 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) 一、 二次根式的加減 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式 合并同類(lèi)二次根式： ()a x b x a b x 同類(lèi)二次根式才可加減合并 【例 1】 若最簡(jiǎn)二次根式 35a 與 3a 是可以合并的二次根式，則 _a 。 【考點(diǎn)】 同類(lèi)二次根式 【難度】 1星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】 最簡(jiǎn)二次根式 35a 與 3a 是可以合并的二次根式 中 考要求 例題精講 二次根式基本運(yùn)算、分母有理化 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 3 5 3 ，解得 4a 【答案】 4 【例 2】 下列二次根式中，與 a 是可以合并的是（ ） A 2a B 23a C 3a D 4a 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 1星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 C 【鞏固】 判斷下列各組二次根式是不是同類(lèi)二次根式： 3322x y x 2227 348x 2332455點(diǎn)】 同類(lèi)二次根式 【難度】 2星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 332 2 , 2 2x y x x y x y z x x y z 3322x y x 是同類(lèi)二次根式 2 1 12 , 222b a ba a b b 22 2 7 3 3 13 , 64 2 8 4x x yx y x 27 348x 不是同類(lèi)二次根式 233242 5 , 55 5 5 5a b a ba b a b a b 324535 點(diǎn)評(píng)：判斷兩個(gè)二次根式是不是同類(lèi)二次根式，要嚴(yán)格按照定義，先化簡(jiǎn)，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同即可解此題必須要把所給二次根式化成最簡(jiǎn)形式化成最簡(jiǎn)二次根式后只須看被開(kāi)方數(shù)是否相同 【答案】（ 1）不是同類(lèi)二次根式；（ 2）是同類(lèi)二次根式；（ 3）不是同類(lèi)二次根式；（ 4）不是同類(lèi)二次根式 【例 3】 下列 二次根式中，哪些是同類(lèi)二次根式？（字母均為正數(shù)） 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 1 275 ； 48 ； 20 ； 1 1252 ； 1 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】21 1 32 7 3 3 35 5 5 ； 24 8 4 3 4 3 ； 22 0 2 5 2 5 ； 21 1 51 2 5 5 5 52 2 2 ；2211 x yx x x x x；2x x yy y x ； 1 275與 48 、 20 與 1 1252、 1 xy 【答案】 1 275與 48 、 20 與 1 1252、 1 xy 【例 4】 若最簡(jiǎn)二次根式 22ab a b a b 與 是同類(lèi)根式，求 2的值 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義可知， 22a b a b ， 2 ，通過(guò)解方程組即可求出 a 、 b ，再代如求 2的值 解：由已知得 222b a b ，解得 11 2211 點(diǎn)評(píng)：二次根式隱含由根指數(shù) 2 這一條件另外注意若沒(méi)有最簡(jiǎn)二次根式這一條件，不能得出22a b a b 【答案】 1 【鞏固】 若 為非負(fù)數(shù)， 4與 3是可以合并的二次根式，則 的值是（ ） A 02， B 11， C 02， 或 11， D 20， 【考點(diǎn)】同類(lèi)二 次根式 【難度】 2星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 C 【例 5】 已知最簡(jiǎn)根式 27a b 與 是同類(lèi)二次根式，則滿(mǎn)足條件的 a ,b 的值（ ） A不存在 B有一組 C有二組 D多于二組 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 【難度】 3星 【題型】 選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】 根據(jù)同類(lèi)二次根式定義可知： 227，解之得 31 【答案】 B 【鞏固】 若 4與最簡(jiǎn)二次根式 3為同類(lèi)二次根式，其中 a ， b 為整數(shù)，則 a _， b _； 【考點(diǎn)】同類(lèi) 二次根式 【難度】 3星 【題型】 填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】 由題意可知， 2 ，故 42a b a ，又 30a b b a ， 2b ； 【答案】 0； 2 【例 6】 方程 1998 的整數(shù)解有 組 . 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 4星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 第十屆，五羊杯，競(jìng)賽 【解析】 1998， 為同類(lèi)二次根式， 1998 3 222 ， 原方程為： 3 2 2 2 22， 222， 3 ， m 、 n 的值有四組，即 03， 12， 21， 30故原方程的整數(shù)解有 4組 . 【答案】 4 【鞏固】在 1 ， 2 ， 3 ， ， 1999 這 1999 個(gè)式子中，與 2000 是同類(lèi)二次根式的共有多少個(gè)？ 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 2000 20 5 ，所以 5 ， 25， ， 195 與 2000 同類(lèi)，共 19個(gè) 【答案】 19 【例 7】 化簡(jiǎn)： 226 9 1 0 2 5a a a a 【考點(diǎn)】二次根式的加減 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 【難度】 2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 原式 35 當(dāng) 5 a 時(shí)，原式 3 5 2 2a a a 當(dāng) 35a 時(shí)，原式 3 5 8 當(dāng) 3a 時(shí)，原式 3 5 2 2a a a 【答案】當(dāng) 5 a 時(shí)，原式 22a 當(dāng) 35a 時(shí)，原式 8 當(dāng) 3a 時(shí)，原式 22a 【例 8】 計(jì)算： 114 8 2 7 52 7 8 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 1 1 3 1 8 0 24 8 2 7 5 4 3 2 5 3 32 7 8 9 2 9 2 【答案】 80 2392【鞏固】 11( 3 0 . 5 4 1 . 5 ) ( 0 . 2 4 4 )22 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 1 1 1 3 1 2 4 9 1 9( 3 0 . 5 4 1 . 5 ) ( 0 . 2 4 4 ) 3 4 3 2 62 2 2 2 2 1 0 0 2 1 0 【答案】 193 2 610【例 9】 333 y x y x 【考點(diǎn)】 二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】333 3 ( 4 )y x y x y x y x y x x y y x y x y x 【答案】 (4 )x y 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 【例 10】 計(jì)算： 5 2 8 7 1 8 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 2星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 5 2 2 2 2 1 2 1 4 2 【答案】 14 2 【鞏固】 計(jì)算： 1 1 21 2 3 1 5 4 83 3 3 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 4 3 82 3 2 3 3 033 【答案】 0 【鞏固】 計(jì)算： 212 4 0 . 5 2 638 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 2 1 1 2 2 7 32 4 0 . 5 2 6 2 6 2 6 6 6 23 8 2 3 4 3 4 【答案】 736234【例 11】 計(jì)算： 128 2 0 . 2 5 1 5 0 7 283 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 1 2 3 28 2 0 . 2 5 1 5 0 7 2 2 2 1 2 5 2 4 2 18 3 2 2 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 【答案】 2 12【鞏固】 11( 2 7 ) ( 1 2 4 5 )35 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 1 1 3 5 4 1 4( 2 7 ) ( 1 2 4 5 ) 3 3 2 3 3 5 3 53 5 3 5 3 5 【答案】 4 143535【例 12】 先化簡(jiǎn)后求值。當(dāng) 149，時(shí)，求314 4xx y 【考點(diǎn)】二次根式的 化簡(jiǎn)求值 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 原式 112322x y x y x y 當(dāng) 149，時(shí)，原式 1 1 0。 【答案】 3 【例 13】 3 2 2 2 2 31144x x y x y x y x y y 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 原式 ( ) ( )22x y y 注意分析隱含條件 【答案】 ( ) ( )22x y y 【例 14】 設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為 ，直角邊為 c ，周長(zhǎng)為 C 。 （ 1）如果 5 0 2 8 8， ，求 C 。 （ 2）如果 3 5 5 5， ，求 C 。 【考點(diǎn)】二次根式的加減 【難度】 3星 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】（ 1）由勾股定理得 22 5 0 2 8 8 3 3 8 1 3 2c a b ， 5 0 2 8 8 1 3 2 5 2 1 2 2 1 3 2 3 0 2C a b c （ 2）由勾股定理得 22 4 5 1 2 5 1 7 0c a b ， 8 5 1 7 0C a b c 。 【答案】（ 1） 30 2 ； （ 2） 8 5 170 【例 15】 計(jì)算 2 3 6a b a 【考點(diǎn)】二次根式 的混合運(yùn)算 【難度】 2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 1 2 1 8a 【答案】 12 18a 【鞏固】 計(jì)算： 2 3 7 2 2 5 0 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 2 3 6 2 1 0 2 2 3 4 2 8 6 【答案】 86 【鞏固】 計(jì)算： 3 3 51 3 716 2 4 8a a a a 【考點(diǎn)】 二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 4 6 8 2 3 48 9 1 4 8 9 1 4a a a a a a 【答案】 2 3 48 9 1 4a a a 【例 16】 計(jì)算： 6 ( 1 2 1 8 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】 【關(guān) 鍵詞】 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 6 【解析】 6 ( 1 2 1 8 ) 6 2 6 3 【答案】 6 2 6 3 【例 17】 計(jì)算： 113 1 8 5 0 4 3 252 。 【考點(diǎn)】 二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 9 2 2 2 2 4 2 2 【答案】 2 【例 18】 計(jì)算： 3 1 3 2 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 3 3 2 3 2 5 3 3 【答案】 5 3 3 【鞏固】 計(jì)算： ( 3 2 4 8 ) ( 1 8 4 3 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 ( 3 2 4 8 ) ( 1 8 4 3 ) ( 3 2 4 3 ) ( 3 2 4 3 ) 3 0 【答案】 30 【鞏固】 計(jì)算： ( 2 3 6 ) ( 6 2 3 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 22( 2 3 6 ) ( 6 2 3 ) ( 6 ) ( 2 3 ) 6 【答案】 6 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 0 6 【例 19】 計(jì)算： ( 5 2 1 0 ) ( 1 0 5 2 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 2( 5 2 1 0 ) ( 1 0 5 2 ) ( 5 2 1 0 ) 2 0 5 6 0 【答案】 20 5 60 【例 20】 計(jì)算： ( 3 2 6 ) ( 6 2 3 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度 】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 22( 3 2 6 ) ( 6 2 3 ) ( 2 ) ( 3 6 ) 6 2 7 【答案】 6 2 7 【鞏固】 計(jì)算： ( 2 3 5 ) ( 3 2 2 3 3 0 ) 2 =_. 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 第 18屆， 希望杯，培訓(xùn)試題 【解析】原式 6 ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) 2 26 ( 2 3 ) 5 2 6 2 6 2 1 4 【答案】 14 【鞏固】 計(jì)算： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x x 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1x x x x x x x 【答案】 31 x 【鞏固】 計(jì)算： ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) _. 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 1 6 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】 【解析】 原式 ( 2 5 3 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 3 ) 22( 2 5 ) 3 ( 2 5 ) 3 229 3 ( 2 5 ) 3 ( 2 5 ) 9 2 4 【答案】 24 【例 21】 計(jì)算： 22( 3 2 ) ( 3 2 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 22( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 1 222( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) 1 【答案】 1 【鞏固】 計(jì)算： 1 6 1 7( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【 難度】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 1 6 1 7 1 6( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) 2 3 1 1 【答案】 2 3 11 【例 22】 計(jì)算： 22( 1 0 2 5 ) ( 1 0 2 5 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 22( 1 0 2 5 ) ( 1 0 2 5 ) 4 2 0 4 5 0 8 5 2 0 2 【答案】 8 5 20 2 【例 23】 441 1 21 3 1 3 1 3 【考點(diǎn)】二次根式的混 合運(yùn)算 【難度】 4星 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 2 6 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】441 1 2 2 2 21 3 1 3 1 3 1 3 1 3 【答案】 2 【例 24】 計(jì)算： 2 4 a b a b a b 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 2a b a b a b 【答案】 【例 25】 求下列式子的值： 22x xy y，其中 7 5 7 5 ， 【考點(diǎn)】二次根式的 化簡(jiǎn)求值 【難度】 3星 【題型】 解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 227 5 7 5 7 5 7 5 2 4 7 5 2 6 。 【答案】 26 【鞏固】求下列式子的值： 27 4 3 2 3 3 ，其中 23x ； 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 【題型】 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 222 3 2 3 2 3 2 3 3 1 1 3 2 3 。 【例 26】 計(jì)算： 53 ( 5 2 2 5 ) ( 5 2 2 5 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 521 0 1 533 4次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 3 6 【答案】 521 0 1 533【例 27】 計(jì)算： 473 1 3 2 _ 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 4星 【題型】 填空 【關(guān)鍵詞】 2005 年，上海市，初三，宇振杯 【解析】 根據(jù)題目， 30x ， 3 1 0x ， 3 2 0x ，所以 3x 且 7x 如果 4x ，則 3 1 0x ， 40x ， 原式 4 3 1 7 3 2473 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2x x x x x x 3 1 3 2 3 當(dāng) 4x 時(shí)，原式 30312 所以原式 3 另解： 223 1 3 247 3 1 3 2 33 1 3 2 3 1 3 2x x x 【答案】 3 【例 28】 計(jì)算： 13 2 2【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】原式 3 2 23 2 2( 3 2 2 ) ( 3 2 2 ) ； 【答案】 3 2 2 【例 29】 計(jì)算： 5 ( )()8 ( ) ( 0 ) 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】 221 0 ( )5 ( )()8 ( ) 4【答案】 2210( )44次根式基本運(yùn)算 題庫(kù)教師版 4 6 1. 下列各組二次根式中，屬于可以合并的是（ ） A 12 與 72 B 63 與 28 C 34x 與 22x D 18 與 23【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 2星 【題型】選擇 【關(guān)鍵詞】 【解析】略 【答案】 B 2. 如果最簡(jiǎn)根式 4 4 11 與 26 41是同類(lèi)二次根式，求 100()的值 . 【考點(diǎn)】同類(lèi)二次根式 【難度】 3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】 【解析】根據(jù)題意可得 4 2 64 1 1 4