高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè) 徐州市 2015 2016學(xué)年度第二學(xué)期期中考試 高二年級(jí)數(shù)學(xué)（理）試題 一、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在 答題卡相應(yīng)位 置上 2 (i 是虛數(shù)單位 )，則 z 2 的值為則若 1288 3. 復(fù)數(shù) 2 ,1 則的共軛復(fù)數(shù)為 4. a b a b設(shè) 向 量 與 的 夾 角 為 ， 定 義 與 的 “ 向 量 積 ” ：是 一 個(gè) 向 量 ， 它 的 模 | | = | | | | s i n , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , | | =a b a b a b a b 若 則 ， 1， 2， 3這四個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的 3位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù) 為 6 觀察下列式子： 1 12232， 1 122 13253， 1 122 132 14274，根據(jù)以上式子可以猜想： 222 20 16131211 7. 2 1 ,z z i i i z 已 知 復(fù) 數(shù) 滿 足 () 則 的 虛 部 為 8. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ )(2131211 ”， 從 推導(dǎo) 1原等式的左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為 個(gè)（用含有 k 的代數(shù)式表示 ） 注 意 事 項(xiàng) 考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 頁(yè)，包含填空題（第 1 題第 14 題）、解答題（第 15 題第 20 題）本卷滿分 160 分， 考試時(shí)間為 120 分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回 您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用 米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置 其他位置作答一律無(wú)效作答必須用 米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚 用 2B 鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗 要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 2 頁(yè) 共 9 頁(yè) 名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端， 有 種不同的站法（用數(shù)字作答） 的周長(zhǎng)為 l ，面積為 S ，則 的內(nèi)切圓半徑為 2將此結(jié)論類(lèi)比到空間，已知四面體 表面積為 S ，體積為 V ，則四面體 內(nèi)切球的半徑 R= z 滿足 243 則 z 的最大值為 . )1()1()1( 則= （用數(shù)字作答） B、 C、 D、 E 五人住進(jìn)編號(hào)為 1， 2， 3， 4， 5 的五個(gè)房間，每個(gè)房間只住一人，則 號(hào)房間，且 B、 ) 3x ,( 0)x ，對(duì)于 *，定義11( ) ( ) x f f x ，則函數(shù) () 二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì) 90分請(qǐng)?jiān)?答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 15.（本題滿分 14分） 已知復(fù)數(shù) )()65()67( 22 . （ 1）若復(fù)數(shù) z 為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2）若復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，求 實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 16.（本題滿分 14分） （ 1）證明：當(dāng) 2a 時(shí)， 2 2 2a a a ； （ 2）證明： 532 ， 不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng) . 高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 3 頁(yè) 共 9 頁(yè) 17.（本題滿分 14分） 從 5 名女同學(xué)和 4 名男同學(xué)中選出 4 人 參加四場(chǎng)不同的演講，每場(chǎng)一人，分別按下列要求，各有多少種不同方法？ （ 1）男、女同學(xué)各 2 名； （ 2）男、女同學(xué)分別至少有 1 名； （ 3）男、女同學(xué)分別至少有 1 名且男同學(xué)甲與女同學(xué)乙不能同時(shí)選出 . 18.（本題滿分 16分） 已知 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 256. （ 1）求 n ； （ 2）若展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為835，求 m 的值； （ 3）若展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第 6項(xiàng)和第 7項(xiàng)，求 m 的 值 . 高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 4 頁(yè) 共 9 頁(yè) 19.（本題滿分 16分） 已知橢圓方程是 22143，12,焦點(diǎn)， A， B 為它的左、右頂點(diǎn) , l 是橢圓的右準(zhǔn)線， P 是橢圓上一點(diǎn)， 別交準(zhǔn)線 l 于 M， N 兩點(diǎn) . （ 1） 若 (0, 3)P ，求12F （ 2）若00( , )P x y 是 橢 圓 上 任 意 一 點(diǎn),求12F （ 3 ）能否將問(wèn)題 推廣到一般情況 , 即給定橢圓方程是 22 1 ( 0 )xy ，00( , )P x y 是 橢 圓 上 任 意 一 點(diǎn)， 問(wèn)12F明你的結(jié)論 . 20.（本題滿分 16分） 設(shè)函數(shù)21() 1+fx p x q x （其中 220）， 且 存在 公差不為 0 的 無(wú)窮 等差 數(shù)列 使得 函數(shù)在其定義域內(nèi)還可以表示為 212( ) 1 x a x a x a x （ 1）求 ,1用 ,； （ 2）求 （ 3） 當(dāng) *且 2n 時(shí)，比較 ( 1與 1)( 高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 5 頁(yè) 共 9 頁(yè) 高二數(shù)學(xué)理科試題參考答案 1. 5 2. 1 或 3 3. i1 4. 1 6. 7. 1 8. 2k 9. 504 10. 12. 13. 60 14. 2(0, )31n 15. 解：（ 1）由題設(shè)知：06506722 3分 解之得 ,a =1 7分 （ 2）由題設(shè)知：06506722 10 分 解之得，6161 12分 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 -1a 1 14 分 16. 證明： （ 1）要證 2 2 2a a a ， 只要證 22 )2()22( ， 只要證 422 2 ， 只要證 42 ， 由于 2a ，只要證 22 4 ， 最后一個(gè)不等式成立，所以 2 2 2a a a 7分（其它方法酌情給分） （ 2） （反證法） 假設(shè) 2, 3,5 是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，分別設(shè)為 ,m n pa a a， 則 23n m n 為無(wú)理數(shù)， 又 2 5 3p m p m p 為有理數(shù) 所以產(chǎn)生矛盾，假設(shè)不成立，即 2, 3,5 不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng) . 來(lái)源 :學(xué) _科 _網(wǎng) 62013140高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 6 頁(yè) 共 9 頁(yè) 17. 解： 1440)1( 442425 2 8 8 0)(2( 44444549 504)3( 4427 23765042880 答：略 18. 解 （ 1）二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2n=256，可得 8n ； （ 2）設(shè) 常數(shù) 項(xiàng)為第 r+1項(xiàng)，則 88881 ， 故 8 2r 0，即 r 4， 則835448 得21（ 3）易知 m 0，設(shè)第 r+1項(xiàng)系數(shù)最大 . 則.,11881188簡(jiǎn)可得19118 m 由于只有第 6項(xiàng)和第 7項(xiàng)系數(shù)最大， 所以118445來(lái)源 :Z#xx#所以 m 只能等于 2. (若由 第 6項(xiàng)和第 7項(xiàng)系數(shù) 相等得出 m=2,則需要驗(yàn)證 分 . ) 19. 解 : (1) 22121 , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) : 443 B F F l x 橢 圓 方 程 為 ，(0, 3), 22P A y x故 所 在 直 線 方 程 為 ： ( ) , = 4 ( 4 3 3 ) , 立 得 ， ( 4 , - 3 ) 可 得 12( 5 , 3 3 ) , ( 3 , 3 )M F N F u u u ur u u u 2 1 5 9 6M F N F 高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè) (2) 2 2 220 0 00 0 0( , ) , 1 = 3 4x y xP x y y則 ， 即 （ 1 ）0 0022 y x 所 在 直 線 方 程 為 ： ( ) , ( - 2 ) 006= 4 ( 4 , ) ,2x 與 聯(lián) 立 得 002( 4 , ) x 同 理 可 得 001262( 5 , ) , ( 3 , )22 N u u u ur u u u 3 ( 1 )12 41 5 1 5 644 N u u u ur u u u (3) 212 2 ( )M F N F b 值，下證之 2 2 21222 1 , ( , 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 ) :x y aA a B a F c F c l xa b c 證 明 ： 橢 圓 方 程 為 ，2 2 2220 0 00 0 02 2 2( , ) , 1 = -x y xP x y y ba b a設(shè) 則 ， 即 （ 1 ） 0 00 y x a x 所 在 直 線 方 程 為 ： ( ) , ( - ) 222 00()= ( , ) ,a c x a與 聯(lián) 立 得22 00()( , ) .a x a同 理 可 得 2222001200( ) ( )( , ) , ( , ) y a c N F cc x a c x a u u u ur u u u 22402212 2 2 20()a N F cc x a u u u ur u u u 2 2 2 4 222() 2 ( )a c b b 定 值 高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理科）第 8 頁(yè) 共 9 頁(yè) （ 1）由題意，得 2212(1 ) (1 ) 1x q x a x a x a x 顯然 2,系數(shù)為 0，所以 121+0+ + 0a p q， 從而1， 22a p q. 4 分 （ 2）考慮 ( 3)的系數(shù)，則有12 0n n na p a q a ， 5分 因數(shù)列 以1220n n na a a ，所以12( 2 + ) (1 )a q a對(duì)一切3n 都成立， 7分 若 0，則 0 ，與 220矛盾， 若數(shù)列 據(jù)題意 與數(shù)列 所以 2 1 0 ，即 2, 1 ， 9分 由（ 1）知1 2a ，2 3a ，所以 1. 10分 （其他方法：根據(jù)題意可以用 p 、 q 表示出1a，2a，3a，4a，由 數(shù)列 用2 1 32a a a，3 2 42a a a解方程組也可求得 ） (3) 111 , ( 1 ) n a n 由 （ 2 ） 可 知 ， （ ） （ ）2 1 2 1321 2 1 22 2 8 , 3 9 ,a a a an a a a a 時(shí) ， 11 1 ) n n a a 當(dāng) 時(shí) ， , 即 （ ） （ ） 下 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明. 12分 433 3 = 8 1 , 4 = 6 4 , 8 1 6 4 ,n 1 ） 當(dāng) 時(shí) ， 結(jié) 論 成 立 . 13 , ( 1 )k k k N k k 2) 設(shè) 當(dāng) 時(shí) () 時(shí) ， 結(jié) 論 成 立 ， 即 有 . 13分 1下 面 證 明 當(dāng) 時(shí) ， 結(jié) 論 也 成 立 . 由 得 1 2 11 . ( 1 ) ( 2 ) , ,( 1 ) 2 1k kk k kk