華師大版八年級下冊 方形與一次函數(shù)反比例函數(shù)綜合題專訓 一、利用正方形的性質(zhì)求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)問題 試題、 （ 2015春監(jiān)利縣期末）如圖，點 B、 y=2x和 y= A、 D是 知四邊形 【分析】 設(shè)正方形的邊長為 a，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別表示出 B， 將 【解答】 解：設(shè)正方形的邊長為 a，則 a，把點 y=2設(shè)點 ， a）， 則點 +a， a）， 把點 y=a=k（ +a），解得， k= 故答案為： 【點評】 本題考查正方形的性質(zhì)及正比例函數(shù)的綜合運用，建立起關(guān)系，靈活運用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 試題 （ 2015閬中市模擬）如圖，點 形 0，正方形8，則反比例函數(shù)的解析式是 （ ） A B C D 【解答】 解：設(shè) x， y）， 根據(jù)題意得 x2+8， x+y=10， （ x+y） 2=100， xy+00，即 68+200， 6， 反比例函數(shù)的解析式為 y= 故選 D 試題、 （ 2015衡南縣自主招生）已知點 A、 C、 個函數(shù)圖象上的點，當四邊形 A、 B、 C、 正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形例如：如圖，正方形 y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形（ 1）若某函數(shù)是一次函數(shù) y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長； （ 2）若某函數(shù)是反比例函數(shù) ，它的圖象的伴侶正方形為 D（ 2， m）（ m 2）在反比例函數(shù)圖象上，求 【解答】 解：（ 1）如圖 1，當點 A在 B在 D=1， 正方形 D= ； 當點 A在 B在 設(shè)正方形的邊長為 a， 3a= a= ， 正方形邊長為 ， 一次函數(shù) y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為 或 ； （ 2）如圖 2，作 x、 D= m 2， A=BF=m， F= m， F+， 2 m， 2）， 設(shè)反比例函數(shù)的解析式 為： ， D（ 2， m）， C（ 2 m， 2） ， 由 得： k=2m， 把 k=2得： 2m=2（ 2 m）， 解得 m=1， k=2， 反比例函數(shù)的解析式為 y= 試題、 （ 2015韶關(guān)模擬）如圖，點 A（ 2， 2）在雙曲線 （ x 0）上，點 （ x 0）上，分別過 A、 C向 足分別為 F、 E，以 A、 使點 B在 D在 （ 1）求 （ 2）求證： （ 3）求直線 【解答】 （ 1）解：把點 A（ 2， 2）代入 ， 得： 2= ， k=4； （ 2）證明： 四邊形 正方形， B， 0， C， 0， 0， 0， 在 ， （ 3）解：連接 ，如圖所示： 則 0， F， F=2， 由（ 2）得： F=2， F， 設(shè) OB=x，則 OE=x+2， F=x+2， E， 點 x 2， x+2）， 代入雙曲線 （ x 0）得：（ x+2） 2= 9， 解得： x=1，或 x= 5（不合題意，舍去 ）， ， ， E=3， +3=5， =B（ 1， 0）， ， 在 t ， G=5， D（ 0， 5）， 設(shè)直線 y=kx+b， 把 B（ 1， 0）， D（ 0， 5）代入得： ， 解得： k=5， b=5 直 線 y=5x+5 試題、 （ 2015春四川校級期中）如圖，正方形 6，點 y= （ x 0）上，點 P（ m， n）是雙曲線上任意一點，過點 足分別為 E、 F，并設(shè)矩形 （ 1）求 （ 2）當 S=8時，求點 （ 3）寫出 S與 【解答】 解：（ 1） 正方形 6， C=4， B（ 4， 4）， 又 點 B（ 4， 4）在函數(shù) 的圖象上， k=16； 故點 4， 4）， k=16； （ 2）分兩種情況： 當點 的左側(cè)時， P（ m， n）在函數(shù) y= 上， 6， S=m（ n 4） =4m=8， 解得 m=2， n=8， 點 （ 2， 8）； 當點 的右側(cè)時， P（ m， n）在函數(shù) y= 上， 6， S=4（ 4 n） =16 4n=8， 解得 n=2， =2， 解得 m=8， 點 （ 8， 2）， 綜上所述： P（ 2， 8），（ 8， 2） （ 3）當 0 m 4時，點 的左邊，此時 S=16 4m， 當 m4時，點 的右邊，此時 S=16 4n=16 4 =16 試題、 （ 2014本溪）如圖，邊長為 2的正方形 在 點 （ x 0） 的圖象上，已知點 ， ），則 ） A 4 B 6 C 8 D 10 【分析】 過點 E ，過點 F ，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 D， 0，再根據(jù)同角的余角相等求出 后利用 “角角邊 ”證明 據(jù)全等三角形對應邊相等可得 E， E，再求出 后寫出點 把點 k 【解答】 解：如圖，過點 E ，過點 F ， 在正方形 D， 0， 0， 0， 在 ， E， E， 正方 形的邊長為 2， B（ ， ）， ， = ， E+F= + + =5， 點 ， 5）， 頂點 y= （ x 0）的圖象上， k=5=8 故選： C 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，作輔助線構(gòu)造出全等三 角形并求出點 試題、 （ 2012北侖區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，如圖，點 2， 0），點 線段 正方形的中心 M（ 3， 3），那么點 （ 0， 4） ，直線 y= 2x+14 【分析】 連接 點 E ，作 ，根據(jù)點 后求出 F，再利用 “明 t 據(jù)全等三角形對應邊相等可得 E，再根據(jù)點 A，然后求出 求出 出點 過點 G ，求出 后利用 “角角邊 ”證明 據(jù)全等三角形對應邊相等可得 D， A，從而寫出點 點 H 理可得 D， A，然后求出點 直線 解析式為 y=kx+b（ k0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可 【解答】 解：如圖， 連接 點 E ，作 ， 正方形 （ 3， 3）， M，四邊形 F=3， 在 t ， E， A（ 2， 0）， ， E 2=1， F+F+1=4， 點 0， 4）； 過點 G ， 0， 0， 在 ， D=4， A=2， A+4=6， 點 6， 2）， 過點 H ， 同理可得 D=4， A=2， D+2=6， 點 4， 6）， 設(shè)直線 y=kx+b（ k0）， 則 ， 解得 ， 設(shè)直線 解析式為 y= 2x+14 故答案為：（ 0， 4）； y= 2x+14 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及以點 O、 二、利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)求解正方形問題 試題、 （ 2015涼山州）以正方形 為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，雙曲線 y= 經(jīng)過點 D，則正方形 ） A 10 B 11 C 12 D 13 【解答】 解： 雙曲線 y= 經(jīng)過點 D， 第 一象限的小正方形的面積是 3， 正方形 4=12 故選： C 試題、 （ 2015安陸市三模）如圖，四邊形 A、 D在 C在 B 上，點 B、 y= 的圖象上， ，則正方形 ） A 2 B 4 C 6 D 12 【解答】 解：設(shè)正方 形 D=t，則 +t 四邊形 D=t 1+t， t） y= 的圖象上， （ 1+t） t=6 整理，得 t2+t 6=0 解得 3， t 0， t=2 正方形 ， 正方形 故選 B 試題、 （ 2015石家莊模擬）如圖，點 y= （ x 0）的圖象上的一點，且點 ，連接 ，使 A，過點 B作 足分別為 C，D，則圖中陰影部分的面積為（ ） A 23 B 18 C 11 D 8 【解答】 解： 點 y= （ x 0）的圖象上的一點，且點 ， 點 ， A（ 2， 2）， A， 四邊形 B（ 4， 4）， S 陰影 =S S 正方形 44=8 試題、 （ 2015大慶模擬）正方形 ，按 如圖所示的方式放置點 和點 分別在直線 y=x+1和 第 2015個正方形22014 【分析】 根據(jù)直線解析式先求出 ，再求出第一個正方形的邊長為 2，第三個正方形的邊長為22，得出規(guī)律，即可求出第 2015個正方形的邊長 【解答】 解： 直線 y=x+1，當 x=0時， y=1，當 y=0時， x= 1， ， ， 5， 5， 1， =21， 同理得： =22， ， 第 2015個正方形 22014 故答案為： 22014 【點評】 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及正方形的性質(zhì)；通過求出第一個正方形、第二個正方形和第三個正方形的邊長得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵 試題、 （ 2015西湖區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 的 正方形，頂點 A， x， C，連接 ，則點 的坐標分別為 （ 2， 4 2 ）、（ ） 【分析】 首先根據(jù)點 B： y=及 C=2，求出點 后設(shè)點 2， a），確定出 在的直線的解析式，再根據(jù)點 P 上，求出 ，即可求出點 【解答】 解： 點 B： y=C=2， 點 ， ）， 設(shè) 2， a）， 點 0， 2） 在的直線的解析式是： y=， 則 k=（ a 2） （ 2 0） =1， 在的直線的解析式是： y=（ 1） x+2， 點 Q（ ， ）在 y=（ 1） x+2上， （ 1） +2= 則 a=4 2 ， 點 2， 4 2 ）， 點 的坐標分別為（ 2， 4 2 ）、（ ） 故答案為：（ 2， 4 2 ）、（ ） 【點評】 （ 1）此題主要考查了正方形的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確： 正方形的四條邊都相等，四個角都是直角； 正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角； 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì) 兩條對角線將正方形 分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸（ 2）此題還考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一次函數(shù) y=kx+b，（ k0，且 k， 圖象是一條直線它與 ， 0）；與0， b）直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式 y=kx+b （ 3）此題還考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握 試題、 （ 2015鄂州）在平面直角坐標系中，正方形 2如圖所示的方式放置，其中點 4、 知正方形 ， 0， 正方形 ） A（ ） 2014 B（ ） 2015 C（ ） 2015 D（ ） 2014 【分析】 利用正方形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出正方形的邊長，進而得出變化規(guī)律即可得出答案 【解答】 方法一： 解：如圖所示： 正方形 ， 0， 23 0， 1 ，則 ） 1， 同理可得： =（ ） 2， 故正方形 ） n 1 則正方形 ） 2014 故選： D 方法二： 正方形 ， 0， 2， 0， ， 同理： = ， q= ， 正方形 1 【點評】 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出正方形的邊長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵 試題、 （ 2014武漢模擬）如圖，正方形 、 點 x 0）上，頂點 x 0）上，則正方形 面積為 6 【分析】 過點 E ，作 ，過點 F ，作 得四邊形 后求出 0，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 C， 0，然后根據(jù)同角的余角相等求出 用 “角角邊 ”證 明 據(jù)全等三角形的面積相等可得 S 理可得 S 而得到正方形 S 矩形 矩形 根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) 【解答】 解：如圖，過點 E ，作 ，過點 F ，作， 則四邊形 0， 在正方形 C， 0， 0， 在 ， S 同理可得 S 正方形 S 矩形 矩形 點 y= 上，點 y= 上， 正方形 4+2=6 故答案為： 6 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù) 輔助線構(gòu)造出全等三角形并把正方形的面積轉(zhuǎn)化為兩個矩形的面積的和是解題的關(guān)鍵 三、綜合運用 試題、 （ 2011秋鄞州區(qū)期末）如圖，正方形 1、 y= （ x 0）的圖象上，頂點 在其右側(cè)作正方形 2點 函數(shù) y= （ x 0）的圖象上，頂點 點 ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ，） D（ ， ） 【分析】 作 ， ， ， ，設(shè) a， ），則a， ，易得 1C=a，所以1C= a，則 ， a），然后把 y= ，得到方程求出 a，得到 b， ），易得 3F=，通過 D+ =b，這樣得到關(guān)于 方程求出 b，得到 【解答】 解：作 ， ， ， ，如圖所示： 設(shè) a， ），則 a， ， 四邊形 0， 0， 0， 0， 在 ， 同理： 1C=a， 1C= a， OD=a+ a= ， ， a）， 把 y= （ x 0）得：（ a） =2， 解得： a= 1（舍去）或 a=1， 2， 1）， 設(shè) b， ）， 又 四邊形 同上： 3F= D+ ， 2+ =b， 解得： b=1 （舍去）， b=1+ ， = = 1， 點 （ +1， 1） 故選： A 【點評】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點為橫縱坐標之積為定值；也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及解分式方程的方法 試題、 （ 2014宜興市校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中， A（ 1， 0）， B（ 0， 3），以 y= （ k0）上，將正方形沿 ） A 2 B 3 C D 【分析】 作 ，交雙曲線于點 G作 ，易證 得 A、 據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以求得 C、 而利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，進而求得 【解答】 解：作 ，交雙曲線于點 G作 A（ 1， 0）， B（ 0， 3）， ， 0， 0， 又 直角 0， 在 ， 同理， B=， A=， 故 4， 1）， 3， 4）代入 y= 得： k=4，則函數(shù)的解析式是： y= ， 則 ，把 y=4代入 y=得： x=1即 1， 4）， 故選 A 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確求得 C、 目的綜合性較強，難度不小，對學生的解題能力要求很高 試題、 （ 2013海安縣校級模擬 ）正方形 形 們的邊平行于 中，點 A， C， 3， 3），正方形 邊長為 1若矩形 周長為 10，面積為 6，則點 （ 7， 5），（ 8， 5） 【分析】 由 3， 3），正方形 得出直線 求出 矩形 a，則長為 5 a，再根 據(jù)面積為 6即可得出 點 的坐標為（ e， e），由矩形的邊長可用 根據(jù) 可得出結(jié)論 【解答】 解： 3， 3）， 直線 y=x， 正方形 ， C（ 4， 2）， 設(shè)直線 y=k0）， 2=4k， 解得 k= ， 直線 y= x； 設(shè)矩形 a，則長為 5 a， 矩形 ， a（ 5 a） =6， 解得： a=2或 a=3， 當 a=2即 時， 2=3， 點 點 e， e）， F（ e， e 2）， G（ e+3， e 2）， 點 e 2= （ e+3）， 解得： e=7， F（ 7， 5）； 當 a=3即 時， 3=2， 點 點 e， e）， F（ e， e 3）， G（ e+2， e 3）， 點 e 3= （ e+2）， 解得： e=8， F（ 8， 5） 故答案為：（ 7， 5），（ 8， 5） 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法；根據(jù)題意得出直線 解答時要注意進行分類討論 試題、 （ 2015春淮陰區(qū)期末）已 知邊長為 4的正方形 點 反比例函數(shù)圖象過頂點 C，動點 個單位速度從點 B 方向運動，動點 點出發(fā)沿正方形的邊 點 相遇時停止運動，設(shè)點 t （ 1）求出該反比例函數(shù)解析式； （ 2）連接 以點 點 3）用含 、 P、 s，并指出相應 【解答】 解：（ 1） 正方形 ， 4， 4）， 設(shè)反比例解析式為 y= 將 k=16，則反比例解析式為 y= ； （ 2分） （ 2）當 C 上時，如圖所示： 此時 Q，即 t=4 4t， 解得 t= ， 則 t= ，