用心 愛心 專心1 空間直角坐標系的建立技巧空間直角坐標系的建立技巧 運用 坐標法 解答空間幾何體問題時 往往需要建立空間直角坐標系 依據(jù)空間幾 何體的結構特征 充分利用圖形中的垂直關系或構造垂直關系建立空間直角坐標系 是解 決問題的基礎和關鍵 為此 下面例談幾種常見的建系技巧 一 利用共頂點的互相垂直的三條棱建系 例 1 如圖 1 正方體的棱長為 分別是 的中點 1111 ABCDABC D aPQ 1 AC 1 C D 求的長 PQ 解 如圖 以為坐標原點 分別以棱 所在的直線為軸建立AABAD 1 AAxyz 空間直角坐標系 則 由中點坐標 0 C aa 1 0 0 Aa 00 Da 1 C aaa 公式 得 2 2 2 a a a P 22 aa Qa 22 aa Qa 所以 222 222222 aaaaaa PQa 二 利用線面垂直關系建系 例 2 如圖 2 已知 平面 且 ABC 90C SA ABC 2AC 求線段的長度 13BC 4SC SB 解 如圖 2 以為坐標原點 分別以 所在直線為軸 軸 以在平面AACASxz 內(nèi)過作垂直于的直線為軸 建立空間直角坐標系 則有 ABCAACyAxyz 2 0 0 C 213 0 B 用心 愛心 專心2 平面 平面 SA ABCAC ABC SAAC 又 4SC 在中 RtSAC 22 2 3SASCAC 0 0 2 3 S 故 222 20 130 02 3 29SB 三 利用面面垂直關系建系 例 3 如圖 3 在三棱柱中 是邊長為 4 的等邊三角形 平面平SABC ABC SAC 面 為的中點 求證 ABC 2 3SASC DAB SASD 證明 取中點為 連結 ACOOSOB SASCABBC 且 ACSO ACBO 平面平面 SAC ABC 平面平面 SAC ABCAC 平面 SO ABCSOBO 如圖 3 以為原點 所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系OOAOBOS xyz 則 由中點公式得 Oxyz 2 0 0 A 0 2 3 0 B 0 0 2 2 S 13 0 D 222 1 0 30 02 2 2 3SD 又 2 3SA SASD 四 利用正棱錐的中心與高所在的直線建系 例 4 如圖 4 所示 正四棱錐的底面邊長為 側棱長為 為的中點 S ABCDaaESC 與交于點 問在線段上是否存在一點 使得的長為 若存在 ACBDOBDFEF 3 3 a 找出點的位置 若不存在 請說明理由 F 用心 愛心 專心3 解 設分別為的中點 如圖 4 以為原點 分別以所MN ABBC OOMONOS 在的直線為軸建立空間直角坐標系 則 xyz O xyz0 22 aa A 0 2 2 a a B 0 2 2 a a C 0 22 aa D 2 2 OCa 2 222 22 22 SOSCOCaaa 2 0 0 2 Sa 為的中點 ESC 2 4 44 a a Ea 所在的直線方程為 BDyx 假設在上存在一點 使得 BD 0 F xx 2 2 a a x 3 3 EFa 整理得 22 2 2 43 aa x 6 122 2 a a xa 故在線段上存在點或滿足題意 BD 66 0 1212 Faa 66 0 1212 Faa 空間直角坐標系考點分析空間直角坐標系考點分析 空間直角坐標系是平面直角坐標系知識的推廣 教材中涉及該知識的內(nèi)容較少 空間 直角坐標系為將來學習向量方法解決立體幾何問題打下了基礎 因此空間直角坐標系也是 用心 愛心 專心4 高考的重點內(nèi)容 高考對空間直角坐標系的考查一般是與空間向量結合起來 不單獨命題 也可能以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 如考查空間直角坐標系中有關點的坐標的求解 空 間兩點的距離等 一 考查基本知識點 例 1 下列命題中 正確的個數(shù)是 1 在空間直角坐標系中 x 軸上的點的坐標一定是 0 b c 2 在空間直角坐標系中 yOz 平面上點的坐標可以寫成 0 b c 3 在空間直角坐標系中 z 軸上點的坐標可以記做 0 0 c 4 在空間直角坐標系中 xOz 平面上點的坐標是 a 0 c A 1 B 2 C 3 D 4 解 在空間直角坐標系中 坐標軸上的點的坐標有兩個為 0 如 x 軸上的點的縱坐標 豎坐標均為 0 坐標平面內(nèi)的點的坐標有一個為 0 如 xOz 平面內(nèi)的點的縱坐標為 0 因 此題目中 2 3 4 三個命題正確 故選 C 點評 學習空間直角坐標系必需會用空間直角坐標表示點的位置 求空間直角坐標系 中點的坐標時 可以由點向各坐標軸作垂線 垂足所對應的數(shù)值即為點在該軸上的坐標 二 解決實際應用問題 例 2 正方體的棱長為 a CBADOABC 2 2 MCBNCNAN 求 MN 的長 解 如圖 建立空間直角坐標系 A a 0 0 C 0 a 0 所以 aAC2 因為 所以 N 點的坐標為 又 M 在平面 3 1 2 AC CN CNAN 0 3 2 3 aa 內(nèi) BCCB 所以同理可知 M 點的坐標為 3 2 3 a a a 所以 3 5 0 3 2 3 2 33 222 aaaa aa MN