絕密啟用前 2016 年普通高等學校招生全國考試 數(shù)學（文）（北京卷） 本試卷共 5 頁， 150 分?？荚嚂r長 120 分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本市卷和答題卡一并交回。 第一部分 （選擇題共 40 分） 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 （ 1）已知集合 | 2 4 , | 3 5 A x x B x x x 或，則 （ A） |2或 （ C） |2或 （ 2）復數(shù) 1 2i=2i（ A） i（ B） 1+i（ C） i （ D） 1i （ 3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s 值為 （ A） 8 （ B） 9 （ C） 27 （ D） 36 （ 4）下列函數(shù)中，在區(qū)間 ( 1,1) 上為減函數(shù)的是 （ A） 11y x （ B） （ C） 1) （ D） 2 （ 5）圓（ x+1） 2+ 的圓心到直線 y=x+3 的距離為 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 2 （ D） 2 2 （ 6）從甲、乙等 5 名學生中隨機選出 2 人，則甲被選中的概率為 （ A） 15（ B） 25（ C） 825（ D） 925（ 7）已知 A（ 2， 5）， B（ 4， 1） （ x， y）在線段 ，則 2xy 的最大值為 （ A） 1 （ B） 3 （ C） 7 （ D） 8 （ 8）某學校運動會的立定跳遠和 30 秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段 0 名學生的預賽成績，其中有三個數(shù)據模糊 . 學生序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠（單位：米） 0 秒跳繩（單位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65 在這 10 名學生中，進入立定跳遠決賽的有 8 人，同時進入立定跳遠決賽和 30 秒跳繩決賽的有 6 人，則 （ A） 2 號學生進入 30 秒跳繩決賽 （ B） 5 號學生進入 30 秒跳繩決賽 （ C） 8 號學生進入 30 秒跳繩決賽 （ D） 9 號學生進入 30 秒跳繩決賽 第二部分（非選擇題共 110 分） 二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） （ 9）已知向量 = ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 )則 a 與 b 夾角的大小為 _. （ 10）函數(shù) ( ) ( 2 )1xf x 的最大值為 _. （ 11）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為 _. (12) 已知雙曲線 221（ a 0， b 0）的一條漸近線為 2x+y=0，一個焦點為（ 5 ,0），則 a=_；b=_. (13)在 ， 23A ， a= 3 c，則 _. (14)某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出 19 種商品，第二天售出 13 種商品，第三天售出 18 種商品；前兩天都售出的商品有 3 種，后兩天都售出的商品有 4 種，則該網店 第一天售出但第二天未售出的商品有 _種； 這三天售出的商品最少有 _種 . 三、解答題（共 6 題，共 80 分 算步驟或證明過程） （ 15）（本小題 13 分） 已知 等差數(shù)列， 等差數(shù)列，且 ， ， a1=（ ）求 通項公式； （）設 數(shù)列 前 n 項和 . （ 16）（本小題 13 分） 已知函數(shù) f（ x） =2x x+ x（ 0）的最小正周期為 . （ ）求 的值； （）求 f（ x）的單調遞增區(qū)間 . （ 17） （本小題 13 分） 某市民用水擬實行階梯水價，每人用水量中不超過 w 立方米的部分按 4 元 /立方米收費，超出 w 立方米的部分按 10 元 /立方米收費，從該市隨機調查了 10000 位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據，整理得到如下頻率分布直方圖： （ I）如果 w 為整數(shù)，那么根據此次調查，為使 80%以上居民在該月的用水價格為 4 元 /立方米， w 至少定為多少？ （ 設同組中的每個數(shù)據用該組區(qū)間的右端點值代替，當 w=3 時，估計該市居民該月的人均水費 . （ 18）（本小題 14 分） 如圖，在四棱錐 ， 面 ,A B D C D C A C （ I）求證： D C P A C 平 面 ； （ 證： P A B P A C平 面 平 面； (點 E 為 中 點 ， 在 棱 是 否 存 在 點 F ，使得 P A C E F 平 面 ?說 明 理 由 .（ 19）（本小題 14 分） 已知橢圓 C： 221過點 A（ 2,0）， B（ 0,1）兩點 . （ I）求橢圓 C 的方程及離心率； （ P 為第 三 象限內一點且在橢圓 C 上，直線 y 軸交于點 M，直線 x 軸交于點 N，求證：四邊形 面積為定值 . （ 20）（本小題 13 分） 設函數(shù) 32 .f x x a x b x c （ I）求曲線 .y f x 在點 0, 0f 處的切線方程； （ 4 ，若函數(shù) c 的取值范圍； （ 證： 2 30 是 三個不同零點的必要而不充分條件 . 2016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學 (文 )(北京卷 )參考答案 一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） A （ 3） B （ 4） D （ 5） C （ 6） B （ 7） C （ 8） B 二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） （ 9）6（ 10） 2 （ 11） 32（ 12） 1 2 （ 13） 1 （ 14） 16 29 三、解答題（共 6 小題，共 80 分） （ 15）（共 13 分） 解：（ I）等比數(shù)列 3bq b ， 所以21 1bb q，4327b b q 設等差數(shù)列 d 因為111，14 4 27， 所以 1 13 27d，即 2d 所以 21（ 1n ， 2 ， 3 ， ） （ （ I）知， 21， 13 因此 12 1 3 nn n nc a b n 從而數(shù)列 n 項和 11 3 2 1 1 3 3 1 2 1 132 1 3 2 312 （ 16）（共 13 分） 解：（ I）因為 2 s i n c o s c o s 2f x x x x s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 4x ， 所以 2 依題意， ，解得 1 （ （ I）知 2 s i n 24f x x 函數(shù) 的單調遞增區(qū)間為 2 , 222（ k ） 由 2 2 22 4 2k x k ， 得 388k x k 所以 ,88（ k ） （ 17）（共 14 分） 解：（ I）由用水量的頻率分布直方圖知， 該市居民該月用水量在區(qū)間 ， 1, ， 2, 內的頻 率依次為 所以該月用水量不超過 3 立方米的居民占 85 %，用水量不超過 2 立方米的居民占 45 % 依題意， w 至少定為 3 （ 用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費用的數(shù)據分組與頻率分布表： 組號 1 2 3 4 5 6 7 8 分組 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,17 17,22 22,27 頻率 根據題意，該市居民該月的人均水費估計為： 4 0 . 1 6 0 . 1 5 8 0 . 2 1 0 0 . 2 5 1 2 0 . 1 5 1 7 0 . 0 5 2 2 0 . 0 5 2 7 0 . 0 5 （元） （ 18）（共 13 分） 解：（ I）因為 C平面 ， 所以 C 又因為 ， 所以 平面 C （ 為 / ， ， 所以 C 因為 C平面 ， 所以 C 所以 平面 C 所以平面 平面 C （ 上存在點 F ，使得 / 平面 證明如下： 取 中點 F ，連結 F ， C ， 又因為 為 的中點， 所以 F/ 又因為 平面 ， 所以 / 平面 （ 19）（共 14 分） 解：（ I）由題意得， 2a ， 1b 所以橢圓 C 的方程為 2 2 14x y 又 22 3c a b ， 所以離心率 32ce a （ 00,0 0x ，0 0y ），則 220044 又 2,0 ， 0,1 ，所以， 直線 的方程為 0022 令 0x ，得002 2yy x ，從而00211 2yy x 直線 的方程為001 1 令 0y ，得00 1xx y ，從而0022 1xx y 所以四邊形 的面積 12S 0021 212 1 2 220 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 8 42 2 2x y x y x yx y x y 0 0 0 00 0 0 02 2 4 422x y x yx y x y 2 從而四邊形 的面積為定值 （ 20）（共 13 分） 解：（ I）由 32f x x a x b x c ，得 232f x x a x b 因為 0， 0 ， 所以曲線 y f x 在點 0, 0f 處的切線方程為 y bx c （ 4 時， 3244f x x x x c ， 所以 23 8 4f x x x 令 0 ，得 23 8 4 0 ，解得 2x 或 23x 在區(qū)間 , 上的情況如下： x ,2 2 22,3232 ,3 0 0 c 3227c 所以，當 0c 且 32 027c 時，存在 1 4, 2x ，222, 3x ， 32 ,03x ，使得 1 2 3 0f x f x f x 由 且僅當 320,27c 時，函數(shù) 3244f x x x x c 有三個不同零點 （ 24 1 2 0 時， 23 2 0f x x a x b ，