第 1 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 2015年廣東省河源市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的 . 1已知 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5則 U（ A B）（ ） A 6， 8 B 5， 7 C 4， 6， 7 D 1， 3， 5， 6， 8 2函數(shù) f（ x） = + 的定義域是 （ ） A 1， +） B 2， +） C 1， 2 D（ 1， 2） 3化簡(jiǎn) 值是（ ） A D 4下列函數(shù)中，在區(qū)間（ ， 0）上為減函數(shù)的是（ ） A f（ x） =2x B f（ x） =|x 1| C f（ x） = f（ x） =x+ 5已知函數(shù) f（ x）是奇 函數(shù)，且當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =，則 f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 6冪函數(shù) f（ x） =2， 4），那么函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A（ 2， +） B 1， +） C 0， +） D（ ， 2） 7設(shè) f（ x） =2，則函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)位于區(qū)間（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 8已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)（ 3a， 4a）（ a 0）， 則 ） A B C D 9若 （ 0， ），且 ，則 ） A B C D 10將函數(shù) 的圖象向左平移 m（ m 0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 m 的最小值是（ ） A B C D 第 2 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 11設(shè) ， ） A 3： 1 B 4： 1 C 5： 1 D 6： 1 12已知函數(shù) f（ x） =| | +則一定在函數(shù) y=f（ x）圖象上的點(diǎn)事（ ） A（ x， f（ x） B（ x， f（ x） C（ x， f（ x） D （ x， f（ x） 二、填空題：本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分 .、共 20分 . 13函數(shù) y=2x ）的單調(diào)遞增區(qū)間是 14已知 | |=1， =（ 1， ），（ ） ，則向量 a 與向量 的夾角為 15已知 ，則 f（ f（ 3）的值為 16已知函數(shù) f（ x） = m|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 三、解答題：本大題共 6小題， 共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知集合 A=x|a 1 x 2a+1， B=x|0 x 1 （ 1）若 a= ，求 AB （ 2）若 AB=，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 18已知 | |=4， | |=2，且 與 夾 角為 120求： （ 1）（ 2 ） （ + ）； （ 2） 與 + 的夾角 19已知 ， 為第三象限角 （ 1）求 （ 2）求 + ）， 20已知函數(shù) f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）設(shè) （ 0， ），且 f（ + ） = ，求 + ） 第 3 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 21已知冪函數(shù) f（ x） =（ 2m2+m+2） 為偶函數(shù) （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若函數(shù) y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在區(qū)間（ 2， 3）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 22已知函數(shù) f（ x） =|x|+ 1（ x0） （ 1）當(dāng) m=2 時(shí)，判斷 f（ x）在（ ， 0）的單調(diào)性，并用定義證明 （ 2）若對(duì)任意 xR，不等式 f（ 2x） 0 恒成立，求 m 的取值范圍； （ 3）討論 f（ x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 第 4 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 2015年廣東省河源市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的 . 1已知 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5則 U（ A B）（ ） A 6， 8 B 5， 7 C 4， 6， 7 D 1， 3， 5， 6， 8 【考點(diǎn)】 補(bǔ)集及其運(yùn)算；并集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題 【分析】 由已知中 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5，我們根據(jù)集合并集的運(yùn)算法則求出 A B，再利用集合補(bǔ)集的運(yùn)算法則即可得到答案 【解答】 解： U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5 A B=1， 2， 3， 4， 5， 7， A B） =6， 8 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合補(bǔ)集及其運(yùn)算，集合 并集及其運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題型，處理時(shí)要 “求穩(wěn)不求快 ” 2函數(shù) f（ x） = + 的定義域是（ ） A 1， +） B 2， +） C 1， 2 D（ 1， 2） 【考點(diǎn)】 函數(shù)的定義域及其求法 【專題】 計(jì)算題 【分析】 直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于 0 聯(lián)立不等式組得答案 【解答】 解：由 ，解得： 1x2 原函數(shù)的定義域?yàn)椋?1， 2 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了不等式組的解法，是基礎(chǔ)題 3化簡(jiǎn) 值是（ ） A D 【考點(diǎn)】 誘導(dǎo)公式的作用 【專題】 計(jì)算題；三角函數(shù)的求值 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可求得 值 【解答】 解： 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查誘導(dǎo)公式 2） =+） = 于基礎(chǔ)題 4下列函數(shù)中，在區(qū)間（ ， 0）上為減函數(shù)的是（ ） 第 5 頁(yè)（共 15 頁(yè)） A f（ x） =2x B f（ x） =|x 1| C f（ x） = f（ x） =x+ 【考點(diǎn)】 余弦函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷 A； 作出函數(shù)的圖象判斷 B、 D； 由余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷 C 【解答 】 解： f（ x） =2 選項(xiàng) A 不正確； f（ x） =|x 1|的圖象如圖所示， 由圖可知， f（ x） =|x 1|在區(qū)間（ ， 0）上為減函數(shù) 選項(xiàng) B 正確； f（ x） = ， 0上為增函數(shù)， 選項(xiàng) C 不正確； f（ x） =x+ 的圖象如圖所示， 選項(xiàng) D 不正確 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查基本初等函數(shù)的圖象和 性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 5已知函數(shù) f（ x）是奇函數(shù)，且當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =，則 f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 第 6 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 【分析】 由奇函數(shù)定義得， f（ 1） = f（ 1），根據(jù) x 0 的解析式，求出 f（ 1），從而得到f（ 1） 【解答】 解： f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)， f（ x） = f（ x）， f（ 1） = f（ 1）， 又當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =， f（ 1） =12+1=2， f（ 1） = 2， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，主要是奇函數(shù)的定義及運(yùn)用，解題時(shí)要注意自變量的范圍，正確應(yīng)用解析式求函數(shù)值，本題屬于基礎(chǔ)題 6冪函數(shù) f（ x） =2， 4），那么函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A（ 2， +） B 1， +） C 0， +） D（ ， 2） 【考點(diǎn)】 冪函數(shù)的性質(zhì) 【專題】 計(jì)算題 【分析】 利用點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，求出 的值，然 后求出冪函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間 【解答】 解：冪函數(shù) f（ x） =2， 4）， 所以 4=2，即 =2，所以冪函數(shù)為 f（ x） =0， +） 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查求冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題 7設(shè) f（ x） =2，則函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)位于區(qū)間（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由函數(shù)的解析式可得 f（ 0） 0， f（ 1） 0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可 得，可得函數(shù) f（ x）的零點(diǎn) 所在的區(qū)間 【解答】 解： f（ x） =2，可得 f（ 0） = 1 0， f（ 1） =e 2 0， 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得，函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)位于區(qū)間（ 0， 1）上， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 8已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)（ 3a， 4a）（ a 0），則 ） A B C D 【考點(diǎn)】 任意角的三角函數(shù)的定義 【專題】 計(jì)算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 根據(jù)題意可得 r= 5a，再求得 得 值 【解答】 解： 角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)（ 3a， 4a）（ a 0），則 r= 5a， = ， = ， ， 第 7 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，注意 a 的符號(hào)，屬于中檔題 9若 （ 0， ），且 ，則 ） A B C D 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值 【專題】 計(jì)算題 【分析】 通過對(duì)表達(dá)式平方，求出 后利用二倍角公式求出 到選項(xiàng) 【解答】 解：（ 2= ，而 0， 0 ， = = ， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角公式的應(yīng)用，本題的解答策略比較多，注意角的范圍，三角函數(shù)的符號(hào)的確定是解題的關(guān)鍵 10將函數(shù) 的圖象向左平移 m（ m 0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 m 的最小值是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù) y=x+）的圖象變換 【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 函數(shù)解析式提取 2 變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用平移規(guī)律得到平移后的解析式，根據(jù)所得的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，即可求出 m 的最小值 【解答】 解： y= （ =2x+ ）， 圖象向左平移 m（ m 0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到 y=2 x+m） + =2x+m+ ）， 所得的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱， m+ =（ kZ）， 則 m 的最小值為 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù) y=x+）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵 11設(shè) ， ） A 3： 1 B 4： 1 C 5： 1 D 6： 1 第 8 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用 【專題】 計(jì)算題 【分析】 由題意，可作出示意圖，令 D 是 中點(diǎn)，由 ，可得出 O 是 而得出 到 即可求出 【解答】 解：如圖，令 D 是 中點(diǎn)，則有 又 ，即 C， O， D 三點(diǎn)共線，且 D O 到 距離是點(diǎn) D 到 距離的 ， O 到 距離是點(diǎn) B 到 距離的 ， 面積與 面積之比為 4 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查向量的線性運(yùn)算及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是由所給的條件得出點(diǎn) O 是上中線的中點(diǎn)，再由三角形底同時(shí)面積比即為高的比直接得出 答案 12已知函數(shù) f（ x） =| | +則一定在函數(shù) y=f（ x）圖象上的點(diǎn)事（ ） A（ x， f（ x） B（ x， f（ x） C（ x， f（ x） D（ x， f（ x） 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的奇偶性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；分段函數(shù)的應(yīng)用 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性即可得到結(jié)論 【解答】 解： f（ x） =| | + f（ x） =| x） | | + x） |=| + | （ | |+ = f（ x）， 即函數(shù) f（ x）是奇函數(shù)， 則（ x， f（ x）定在函數(shù) y=f（ x）圖象上， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用條件判斷函數(shù)的奇偶性是解決本題的關(guān)鍵 二、填空題：本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分 .、共 20分 . 第 9 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 13函數(shù) y=2x ）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ， ， kZ 【考點(diǎn)】 余弦函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 計(jì)算題 【分析】 利用余弦函數(shù)的增區(qū)間是 2， 2 kz，列出不等式，求得自變量 x 的取值范圍 【解答】 解：由題意，根據(jù)余弦函數(shù)的增區(qū)間是 2， 2 kz， 得： 22x 2 解得 x， 故答案為： ， ， kZ 【點(diǎn)評(píng)】 本題以余弦函數(shù)為載體，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是利用余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，體現(xiàn)了換元法的應(yīng)用 14已知 | |=1， =（ 1， ），（ ） ，則向量 a 與向量 的夾角為 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用 【分析】 求出 ，代入夾角 公式計(jì)算 【解答】 解： （ ） ， （ ） =0，即 = =1， | |= =2， = = = 故答案為 【點(diǎn)評(píng) 】 本題考查了平面向量的夾角計(jì)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 15已知 ，則 f（ f（ 3）的值為 3 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法 【專題】 計(jì)算題 【分析】 先根據(jù)函數(shù)的解析式求出 f（ 3）的值，再把 f（ 3）看成自變量求出 f（ f（ 3） 【解答】 解： ， f（ 3） =9 6） =1， f（ f（ 3） =f（ 1） =3， 故答案為 3 第 10 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查求函數(shù)值的方法，關(guān)鍵是確定將自變量代入哪一個(gè)段得解析式進(jìn)行運(yùn)算 16已知函數(shù) f（ x） = m|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 m 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；函數(shù)的圖象 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 將求函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)的草圖，求出即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x）有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于 方程 =m|x|有且僅有三個(gè)實(shí)根 =m|x| =|x|（ x+2）， 作函數(shù) y=|x|（ x+2）的圖象，如圖所示 ， ，由圖象可知 m 應(yīng)滿足： 0 1， 故答案為： m 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問題，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題 三、解答題：本大題共 6小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知集合 A=x|a 1 x 2a+1， B=x|0 x 1 （ 1）若 a= ，求 AB （ 2）若 AB=，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題；交集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；分類討論 【分析】 （ 1）當(dāng) a= 時(shí)， A=x| ，可求 AB （ 2）若 AB=，則 A=時(shí)， A時(shí)，有 ，解不等式可求 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a= 時(shí)， A=x| ， B=x|0 x 1 AB=x|0 x 1 第 11 頁(yè)（共 15 頁(yè)） （ 2）若 AB= 當(dāng) A=時(shí)，有 a 12a+1 a 2 當(dāng) A時(shí)，有 2 a 或 a2 綜上可得， 或 a2 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了集合交集的求解，解題時(shí)要注意由 AB=時(shí)，要考慮集合 A=的情況，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用 18已知 | |=4， | |=2，且 與 夾角為 120求： （ 1）（ 2 ） （ + ）； （ 2） 與 + 的夾角 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【專題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 （ 1）先化簡(jiǎn)）（ 2 ） （ + ），再代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可； （ 2）根據(jù)夾角公式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可 【解答】 解： | |=4， | |=2，且 與 夾角為 120， ， ， =| | |42（ ） = 4， （ 1） ； （ 2） | + |2= =16+4 8=12， | + |=2 ， （ + ） = + =16 4=12， 設(shè) 與 的夾角為 ， ， 又 0180， 所以 =30， 與 的夾角為 30 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，涉及模長(zhǎng)公式和夾角公式，屬基礎(chǔ)題 19已知 ， 為第三象限角 （ 1）求 （ 2）求 + ）， 【考點(diǎn)】 二倍角的正切；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用 第 12 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 【專題】 三角函數(shù)的求值 【分析】 （ 1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 而求得 （ 2）由（ 1）利用兩角和的正弦 公式求得 + ）的值，再利用二倍角的正切公式求得 【解答】 解：（ 1） ， 為第三象限角， ， （ 2）由（ 1）得， 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查同角三角函 數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題 20已知函數(shù) f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）設(shè) （ 0， ），且 f（ + ） = ，求 + ） 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 （ ）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期 ）根據(jù)已知求得 而求得 后利用正切的兩角和公式求得答案 【解答】 解：（ ） = = f（ x）的最小正周期為 （ ） ， 第 13 頁(yè)（共 15 頁(yè)） 由 可知， ， 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了兩角和公式和二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì) 要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)公式能熟練記憶 21已知冪函數(shù) f（ x） =（ 2m2+m+2） 為偶函數(shù) （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若函數(shù) y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在區(qū)間（ 2， 3）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求 f（ x）的解析式； （ 2）根據(jù)函數(shù) y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在區(qū)間（ 2， 3）上為單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系即可，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解 ：（ 1）由 f（ x）為冪函數(shù)知 2m2+m+2=1， 即 2m 1=0， 得 m=1 或 m= ， 當(dāng) m=1 時(shí)， f（ x） =合題意； 當(dāng) m= 時(shí)， f（ x） = ，為非奇非偶函數(shù)，不合題意，舍去 f（ x） = （ 2）由（ 1）得 y=f（ x） 2（ a 1） x+1=2（ a 1） x+1， 即函數(shù)的對(duì)稱軸為 x=a 1