第 1 頁（共 18 頁） 2016 年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科） 一、選擇題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3， 4， 6，7，則集合 A ） A 2， 5B 3， 6C 2， 5， 6D 2， 3， 5， 6， 8 2下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ） A y= C y= 3某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了 11 場比賽，他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示，則甲、乙兩名運動員的中位數(shù)分別為（ ） A 19、 13B 13、 19C 20、 18D 18、 20 4已知直線 m， n 和平面 ， m， n m，那么 “n”是 “m ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 5已知雙曲線的一個焦點 F，點 P 在雙曲線的一條漸近線上，點 O 為雙曲線的對稱中心，若 等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2D 6已知等比數(shù)列 ， ，且 ，那么 值是（ ） A 15B 31C 63D 64 7如圖，已知三棱錐 P 底面是等腰直角三角形，且 0，側面 底面A=則這個三棱錐的三視圖中標注的尺寸 x， y， z 分別是（ ） 第 2 頁（共 18 頁） A ， ， 2B 4， 2， C ， 2， 2D ， 2， 8經(jīng)濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量）某類產(chǎn)品的市場供求關系在不受外界因素（如政府限制最高價格等）的影響下，市場會自發(fā)調(diào)解供求關系：當產(chǎn)品價格 于均衡價格 ，需求量大于供應量，價格會上升為 產(chǎn)品價格 0時，供應量大于需求量，價格又會下降，價格如此波動下去，產(chǎn)品價格將會逐漸靠進均衡價格 正確表示上述供求關系的圖形是（ ） A B C D 二、填空題共 6小題，每小題 5分，共 30分 9在銳角 ，角 A， B， C 所對應的邊分別為 a， b， c，若 b=2角 A 等于 10已知 ， ， ， 0，則 = 11已知圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2，則圓 C 被動直線 l： y+2 k=0 所截得的弦長 12已知 x 1，則函數(shù) 的最小值為 13已知 x， y 滿足 ，目標函數(shù) z=mx+y 的最大值為 5，則 m 的值為 14函數(shù) f（ x） =2x 2 x b（ bR） 當 b=0 時，函數(shù) f（ x）的零點個數(shù) ； 若函數(shù) f（ x）有兩個不同的零點，則 b 的取值范圍 三、解答題共 6小題，共 80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 第 3 頁（共 18 頁） 15已知函數(shù) （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 16如圖是根據(jù)某行業(yè)網(wǎng)站統(tǒng)計的某一年 1 月到 12 月（共 12 個月）的山地自行車銷售量（ 1000 輛）折線圖，其中橫軸代表月份，縱軸代表銷售量，由折線圖提供的數(shù)據(jù)回答下列問題： （ ）在一年中隨機取一個月的銷售量，估 計銷售量不足 200k 的概率； （ ）在一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量，估計這連續(xù)兩個月銷售量遞增（如 2 月到 3月遞增）的概率； （ ）根據(jù)折線圖，估計年平均銷售量在哪兩條相鄰水平平行線線之間（只寫出結果，不要過程） 17已知在 ， B=90， D， E 分別為邊 中點，將 折后，使之成為四棱錐 C 圖） （ ）求證： 平面 ； （ ）設平面 C面 l，求證： l； （ ）若 CD ， ， F 為棱 一點，設 ，當 為何值時，三棱錐 C 體積是 1？ 18已知函數(shù) ，數(shù)列 足： （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設數(shù)列 前 n 項和為 數(shù)列 的前 n 項和 19已知函數(shù) 第 4 頁（共 18 頁） （ ）求曲線 C： y=f（ x）在 x=1 處的切線 l 的方程； （ ）若函數(shù) f（ x）在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍； （ ）當 m 1 時，（ ）中的直線 l 與曲線 C： y=f（ x）有且只有一個公共點，求 m 的取值范圍 20已知橢圓 C： 過點 A（ 2， 0），離心率 ，斜率為 k（ 0 k1）直線 l 過點 M（ 0， 2），與橢圓 C 交于 G， H 兩 點（ G 在 M， H 之間），與 x 軸交于點 B （ ）求橢圓 C 的標準方程； （ ） P 為 x 軸上不同于點 B 的一點， Q 為線段 中點，設 面積為 2，求 的取值范圍 第 5 頁（共 18 頁） 2016年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3， 4， 6，7，則集合 A ） A 2， 5B 3， 6C 2， 5， 6D 2， 3， 5， 6， 8 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 由全集 U 及 B，求出 B 的補集，找出 A 與 B 補集的交集即可； 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，集合 A=2， 3， 5， 6，集合 B=1， 3，4， 6， 7， 2， 5， 8， 則 A2， 5 故選： A 2下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ） A y= C y= 【考點】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)分別進行判斷即可 【解答】 解： A y=足條件， B y= 是奇函數(shù)在每個區(qū)間上為是增函數(shù)，但其定義域不是增函數(shù)，不滿足條件 C y=奇函數(shù)，在每個區(qū)間上為是增 函數(shù)，但其定義域不是增函數(shù)，不滿足條件， D y= 為偶函數(shù)，在定義域上不是增函數(shù) 故選： A 3某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了 11 場比賽，他們每場比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示，則甲、乙兩名運動員的中位數(shù)分別為（ ） A 19、 13B 13、 19C 20、 18D 18、 20 第 6 頁（共 18 頁） 【考點】 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 把兩列數(shù)據(jù)按照從小到大排列，數(shù)據(jù)有 11 個最中間一個數(shù) 字就是中位數(shù)，把兩列數(shù)據(jù)的中位數(shù)找出來 【解答】 解：由莖葉圖知甲的分數(shù)是 6， 8， 9， 15， 17， 19， 23， 24， 26， 32， 41， 共有 11 個數(shù)據(jù)，中位數(shù)是最中間一個 19， 乙的數(shù)據(jù)是 5， 7， 8， 11， 11， 13， 20， 22， 30， 31， 40 共有 11 和數(shù)據(jù)，中位數(shù)是最中間一個 13， 故選 A 4已知直線 m， n 和平面 ， m， n m，那么 “n”是 “m ”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 直線 m， n 和平面 ， m， n m，由 “n”可得： “m ”，反之不成立，可能：n，或 n 【解答】 解：直線 m， n 和平面 ， m， n m，那么 “n”“m ”， 反之不成立，可能： n，或 n “n”是 “m ”的充分不必要條件 故選： A 5已知雙曲線的一個焦點 F，點 P 在雙曲線的一條漸近線上，點 O 為雙曲線的對稱中心，若 等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（ ） A B C 2D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設雙曲線的方程為 =1（ a， b 0）， P 在漸近線 y= x 上， 等腰直角三角形，只能是 0或 0，均有 5，運用直線的斜率公式和離心率公式，計算即可得到所求值 【解答】 解：設雙曲線的方程為 =1（ a， b 0）， F（ c， 0）， P 在漸近線 y= x 上， 等腰直角三角形， 只能是 0或 0， 均有 5， 即有 =1，即 a=b， c= = a， 則 e= = 故選： B 第 7 頁（共 18 頁） 6已知等比數(shù)列 ， ，且 ，那么 值是（ ） A 15B 31C 63D 64 【考點】 等比數(shù)列的通項公式 【分析】 先求出公比，再根據(jù)求和公式計算即可 【解答】 解：設公比為 q， ，且 ， =， q=2， =31， 故選： B 7如圖，已知三棱錐 P 底面是等腰直角三角形，且 0，側面 底面A=則這個三棱錐的三視圖中標注的尺寸 x， y， z 分別是（ ） A ， ， 2B 4， 2， C ， 2， 2D ， 2， 【考點】 簡單空間圖形的三視圖 【分析】 根據(jù)題意，結合三視圖的特征，得出 x 是等邊 的高， y 是邊 一半， z 是等腰直角 邊 的中線，分別求出它們的大小即可 【解答】 解： 三棱錐 P 底面是等腰直角三 角形，且 0， 側面 底面 A=； x 是等邊 的高， x=42 ， y 是邊 一半， y= ， z 是等腰直角 邊 的中線， z= ； x， y， z 分別是 2 ， 2， 2 故選： C 第 8 頁（共 18 頁） 8經(jīng)濟學家在研究 供求關系時，一般用縱軸表示產(chǎn)品價格（自變量），而用橫軸來表示產(chǎn)品數(shù)量（因變量）某類產(chǎn)品的市場供求關系在不受外界因素（如政府限制最高價格等）的影響下，市場會自發(fā)調(diào)解供求關系：當產(chǎn)品價格 于均衡價格 ，需求量大于供應量，價格會上升為 產(chǎn)品價格 0時，供應量大于需求量，價格又會下降，價格如此波動下去，產(chǎn)品價格將會逐漸靠進均衡價格 正確表示上述供求關系的圖形是（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 注意到縱軸表示自變量，而用橫軸來表示因變量，故分析應由 y 軸分析 x 軸，從而利用排除法求得 【解答】 解： 當產(chǎn)品價格 于均衡價格 求量大于供應量， 排除 B、 C； 且價格較低時，供應增長較快，價格較高時，供應增長慢， 故排除 A， 故選 D 二、填空題共 6小題，每小題 5分，共 30分 9在銳角 ，角 A， B， C 所對應的邊分 別為 a， b， c，若 b=2角 A 等于 30 【考點】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù) 為 0 得出 值，由 A 為銳角三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出 A 的度數(shù) 【解答】 解：利用正弦定理化簡 b=2： ， ， A 為銳角， A=30 第 9 頁（共 18 頁） 故答案為： 30 10已知 ， ， ， 0，則 = 16 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 使用勾股定理和余弦函數(shù)的定義計算 入向量的數(shù)量積公式計算 【解答】 解：由勾股定理得 ， ， =C =16 故答案為： 16 11已知圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2，則圓 C 被動直線 l： y+2 k=0 所截得的弦長 2 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2 的圓心 C（ 1， 2），半徑 r= ，再推導出直線 l： y+2 k=0 過圓心 C（ 1， 2），由此能求出圓 C 被動直線 l： y+2 k=0 所截得的弦長 【解答】 解：圓 C：（ x 1） 2+（ y 2） 2=2 的圓心 C（ 1， 2），半徑 r= ， 動直線 l： y+2 k=0 整理，得：（ x 1） k+2 y=0， 解方程組 ，得 x=1， y=2， 直線 l： y+2 k=0 過圓心 C（ 1， 2）， 圓 C 被動直線 l： y+2 k=0 所截得的弦長為 故答案為： 2 12已知 x 1，則函數(shù) 的最小值為 3 【考點】 基本不等式 【分析】 變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解： x 1， x 1 0 則函數(shù) = +（ x 1） +1 +1=3，當且僅當 x=2 時取等號 則函數(shù) 的最小值為 3 故答案為： 3 13已知 x， y 滿足 ，目標函數(shù) z=mx+y 的最大值為 5，則 m 的值為 3 【考點】 簡單線性規(guī)劃 第 10 頁（共 18 頁） 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，分類討論得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ ） ， 聯(lián)立 ，解得 B（ 1， 2）， 化目標函數(shù) z=mx+y 為 y= mx+z， 當 m 1，即 m1 時，直線過 A 時在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 ，解得m= ； 當 1 m2，即 2m 1 時，直線過 B 時在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 m+2=5，解得 m=3（舍） m= 故答案為： 14函數(shù) f（ x） =2x 2 x b（ bR） 當 b=0 時，函數(shù) f（ x）的零點個數(shù) 0 ； 若函數(shù) f（ x）有兩個不同的零點，則 b 的取值范圍 （ ， 1） 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 求出函數(shù)的值域，即可推出函數(shù)的零點的個數(shù) 利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求解即可 【解答】 解： 當 b=0 時，函數(shù) f（ x） =2x 2 x 2x+2 x =2 2x 2 x 2， ， f（ x） =2x 2 x 1 函數(shù) f（ x）的零點個數(shù)為 0 函數(shù) f（ x） =2x 2 x b，函數(shù)是偶函數(shù)， 可得 f（ x） = 22 x 0 時， 2 1 22 1 22 0， 第 11 頁（共 18 頁） 函數(shù) f（ x）在 x 0 時是減函數(shù)， x 0 時是增函數(shù)， x=0 函數(shù)取得最大值： 1如圖：若函數(shù) f（ x）有兩個不同 的零點，則 b 的取值范圍（ ， 1） 故答案為： 0；（ ， 1） 三、解答題共 6小題，共 80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 15已知函數(shù) （ ）求函數(shù) f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ ）化簡 f（ x），從而求出周期 T；（ ）根據(jù) x 的范圍，求出 2x 的范圍，從而求出 f（ x）的最大值和最小值即可 【解答】 解： = ， （ ） ； （ ） ， ， 即 ， 由此得到： f（ x） ，此時 ； ，此時 第 12 頁（共 18 頁） 16如圖是根據(jù)某行業(yè)網(wǎng)站統(tǒng)計的某一年 1 月到 12 月（共 12 個月）的山地自行車銷售量（ 1000 輛）折線圖，其中橫軸代表月份，縱軸代表銷售量，由折線圖提供的數(shù)據(jù)回答下列問題： （ ）在一年中隨機取一個月的銷售量，估計銷售量不 足 200k 的概率； （ ）在一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量，估計這連續(xù)兩個月銷售量遞增（如 2 月到 3月遞增）的概率； （ ）根據(jù)折線圖，估計年平均銷售量在哪兩條相鄰水平平行線線之間（只寫出結果，不要過程） 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布折線圖、密度曲線 【分析】 （ ）設銷售量不足 200k 為事件 A，這一年共有 12 個月，利用列舉法能求出銷售量不足 200k 的概率 （ ）設連續(xù)兩個月銷售量遞增為事件 B，利用列舉法能求出這連續(xù)兩個月 銷售量遞增（如2 月到 3 月遞增）的概率 （ ）由折線圖，估計年平均銷售量在 200k 250k 這兩條水平線之間 【解答】 （本小題共 13 分） 解：（ ）設銷售量不足 200k 為事件 A， 這一年共有 12 個月， 其中 1 月， 2 月， 6 月， 11 月共 4 個的銷售量不足 200k， 所以 （ ）設連續(xù)兩個月銷售量遞增為事件 B， 在這一年中隨機取連續(xù)兩個月的銷售量， 有 1， 2 月； 2， 3 月； 3， 4 月； 4， 5 月； 5， 6 月； 6， 7 月； 7， 8 月； 8， 9 月； 9， 10 月；10， 11 月； 11， 12 月共 11 種取法， 其中 2， 3 月， 3， 4 月； 4， 5 月； 6， 7 月； 7， 8 月； 8， 9 月； 11， 12 月共 7 種情況的銷售量遞增， 所以 （ ）在 200k 250k 這兩條水平線之間 17已知在 ， B=90， D， E 分別為邊 中點，將 折后，使之成為四棱錐 C 圖） 第 13 頁（共 18 頁） （ ）求證： 平面 ； （ ）設平面 C面 l，求證： l； （ ）若 CD ， ， F 為棱 一點，設 ，當 為何值時，三棱錐 C 體積是 1？ 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 知 翻折后 CD，得出平面 ； （ 知 平面 C線面平行的性質(zhì)即可得到 l； （ A = ，當 CD ， =45， 3 ，代入體積公式計算 CF，從而得出 的值 【解答】 證明：（ ） B=90， D， E 分別為 中點 CD CD， 平面 ， （ ） C C 面 C 又 面 面 CDE=l， l 解：（ 平面 ， 平面 ， A = =1， S C CD CD=， =45， CB=3 S C= 解得 CF= ， C CF=2 = =2 18已知函數(shù) ，數(shù)列 足： 第 14 頁（共 18 頁） （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設數(shù)列 前 n 項和為 數(shù)列 的前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ ）通過代入 可知 ，進而可知數(shù)列 以首項、公差均為 2 的等差數(shù)列，計算即得結論； （ ）通過（ I）及等差數(shù)列的求和公式，裂項可知 ，進而并項相加即得結論 【解答】 解：（ ） ， ，即 ， 又 ， 數(shù)列 以首項、公差均為 2 的等差數(shù)列， an= n 1） d=2+2（ n 1） =2n； （ ） 數(shù)列 等差數(shù)列， ， ， = = = 19已知函數(shù) （ ）求曲線 C： y=f（ x）在 x=1 處的切線 l 的方程； （ ）若函數(shù) f（ x）在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍； （ ）當 m 1 時，（ ）中的直線 l 與曲線 C： y=f（ x）有且只有一個公共點，求 m 的取值范圍 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切點坐標，向量 k=f（ 1） =m 2，求出切線方程即可； （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 m 的符號結合二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單 調(diào)性，從而求出 m 的具體范圍； （ ）根據(jù)直線和曲線 C 的關系，得到 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 m 的范圍即可 第 15 頁（共 18 頁） 【解答】 解：（ ） ， x 0 因為 ，所以切點為（ 1， ） 又 k=f（ 1） =m 2， 所以切線 l ， 即 l （ ） 當 m0 時， f（ x） 0， 所以 f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞減，符合題意 當 m 0 時，設 y=x 1，該拋物線開口向上， 且 =1+4m 0，過（ 0， 1）點， 所以該拋物線與 x 軸相交，交點位于原點兩側， f（ x）不單調(diào)，不符合題意，舍去 綜上 m0