第 1 頁（共 21 頁） 2016 年廣東省湛江市高考數(shù)學一模試卷（文科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 M=x| 1 x 2，集合 N=x|x（ x+2） 0，則 M N=（ ） A（ 2， 2） B（ 1， 0） C 2已知 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) z=（ a+i）（ 1 i），若 z 的實部與虛部相等，則實數(shù) a=（ ） A 1B 0C 1D 2 3函數(shù) f（ x） =22x+ ）的圖象（ ） A關于直線 x= 對稱 B關于直線 x= 對稱 C關于點（ ， 0）對稱 D關于點（ ， 0）對稱 4已知數(shù)列 公比為 2 的等比數(shù)列，數(shù)列 公差為 3 且各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，則數(shù)列 a 是（ ） A公差為 5 的等差數(shù)列 B公差為 6 的等差數(shù)列 C公比為 6 的等比數(shù)列 D公比為 8 的等比數(shù)列 5運行如圖的程序框圖，則 輸出 s 的值為（ ） A B C D 6命題 “空間兩直線 a， b 互相平行 ”成立的充分條件是（ ） A直線 a， b 都平行于同一個平面 B直線 a 平行于直線 b 所在的平面 C直線 a， b 都垂直于同一條直線 D直線 a， b 都垂直 于同一個平面 7已知 ） = ，則 ） =（ ） A B C D 第 2 頁（共 21 頁） 8投擲一顆骰子兩次，將得到的點 數(shù)依次記為 a， b，則直線 的傾斜角大于 的概率為（ ） A B C D 9一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 64+8B 48+12C 48+8D 48+12 10已知左、右焦點分別是 雙曲線 上一點 A 滿足 |3|則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= y= y= y= x 11 三棱錐 P 三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別是 、 、 ，則該三棱錐的外接球的體積是（ ） A B C D 8 12已知函數(shù) f（ x） = 的圖象上有兩對關于坐標原點對稱的點，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， ） C（ 0， +） D（ 0， e） 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13函數(shù) f（ x） =2 的圖象在點 x= 處的切線方程是 14已知 f（ x）為 R 上的減函數(shù)，則滿足 f（ ） f（ 1）的實數(shù) x 的取值范圍是 15在 ， ， ， =1，則 第 3 頁（共 21 頁） 16若直線 y=2x 上存在點（ x， y）滿足約束條件 ，則實數(shù) m 的取值范圍 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17等比數(shù)列 各項均為正數(shù)，且 2， （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設 前 n 項和， ，求數(shù)列 前 n 項和 18如圖，三棱柱 棱 平面 平面 為 點 （ ）證明： 平面 （ ） ， ，求三棱錐 體積 19 46某校高一某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，（陰影部分為破壞部分）其可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：（ ）計算頻率分布直方圖中 80， 90）間的矩形的高； （ ）若要從分數(shù)在 80， 100之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份的分數(shù)在 90， 100之間的概率； （ ）根據(jù)頻率分布直方圖估計這次測試的平均分 20如圖，已知橢圓 + =1（ a b 0）的半焦距為 c，原點 O 到經(jīng)過兩點（ c、 0），（ 0， b）的直線的距離為 c（ （ 0， 1），垂直于 x 軸的直線 l 與橢圓 2： x2+y2=四個交點按其坐標從大到小分別為 A、 B、 C、 D 第 4 頁（共 21 頁） （ ）當 = 時，求 的值； （ ）設 N（ a， 0），若存在直線 l 使得 明： 0 21設函數(shù) f（ x） = （ aR） （ ）當 a 0 時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）當 a2 時，證明：對任意 x0， +）， f（ x） x+1 恒成立 請考生再 22,23,24 三題中任選一題做答 .選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑， 接于 O， C， 足為 D （ ）求證： D=C； （ ）過點 C 作 O 的切線交 延長線于 F，若 ， ，求 長 選修 4標系與參數(shù)方程 23在直角坐標系 ，圓 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系 相同的單位長度，以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸）中，直線 + ） =2 （ ）求圓 C 的極坐標方程； （ ）設圓 C 與直線 l 交于點 A， B，求 | 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式 x） +3 0； （ 2）對于任意的 x（ 3， 3），不等式 f（ x） m |x|恒成立，求 m 的取值范圍 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年廣東省湛江市高考數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 M=x| 1 x 2，集合 N=x|x（ x+2） 0，則 M N=（ ） A（ 2， 2） B（ 1， 0） C 【考點】 并集及其運算 【分析】 直接根據(jù)并集的定義即可求出 【解答】 解： M=x| 1 x 2=（ 1， 2），集合 N=x|x（ x+2） 0=（ 2， 0）， M N=（ 2， 2）， 故選： A 2已知 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) z=（ a+i）（ 1 i），若 z 的實部與虛部相等，則實數(shù) a=（ ） A 1B 0C 1D 2 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再由實部與虛部相等求得 a 值 【解答】 解： z=（ a+i）（ 1 i） =a+1+（ 1 a） i， 由 a+1=1 a，得 a=0 故選： B 3函數(shù) f（ x） =22x+ ）的圖象（ ） A關于直線 x= 對稱 B關于直線 x= 對稱 C關于點（ ， 0）對稱 D關于點（ ， 0）對稱 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由條件利用正弦函數(shù)的圖象 的對稱性，得出結論 【解答】 解：對于函數(shù) f（ x） =22x+ ），令 2x+ =，求得 x= + ， kZ， 可得它的圖象關于直線 x= + 對稱，故排除 B，選 A 令 2x+ =得 x= ， kZ， 可得它的圖象關于點（ ， 0）對稱，故排除 C， D， 故選： A 4已知數(shù)列 公比為 2 的等比數(shù)列，數(shù)列 公差為 3 且各項均為正整數(shù)的等差 數(shù)列，則數(shù)列 a 是（ ） A公差為 5 的等差數(shù)列 B公差為 6 的等差數(shù)列 第 6 頁（共 21 頁） C公比為 6 的等比數(shù)列 D公比為 8 的等比數(shù)列 【考點】 等比關系的確定 【分析】 由數(shù)列 公比為 2 的等比數(shù)列，可得 由數(shù)列 公差為 3且各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，可得 ，計算 即可判斷出結論 【解答】 解：由數(shù)列 公比為 2 的等比數(shù)列， 可得 由數(shù)列 公差為 3 且各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列， ， 則 = = =23=8 數(shù)列 a 是公比為 8 的等比數(shù)列 故選： D 5運行如圖的程序框圖，則輸出 s 的值為（ ） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序依次寫出每次循環(huán)得到的 s， a 的值，當 a=2016 時，滿足條件 a2016，退出循環(huán)輸出 s 的值為 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 s=1， a=1 不滿足條件 a2016， s= ， a=2 不滿足條件 a2016， s=（ ） 2， a=3 第 7 頁（共 21 頁） 不滿足條件 a2016， s=（ ） 3， a=4 觀察規(guī)律可得： 不滿足條件 a2016， s=（ ） 2015， a=2016 滿足條件 a2016，退出循環(huán)，輸出 s 的值為 故選： B 6命題 “空間兩直線 a， b 互相平行 ”成立的充分條件是（ ） A直線 a， b 都平行于同一個平面 B直線 a 平行于直線 b 所在的平面 C直線 a， b 都垂直于同一條直線 D直線 a， b 都垂直于同一個平面 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)線線平行的判定定理判斷即可 【解答】 解：直線 a， b 都平行于同一個平面， a， b 可能相交，可能異面也可能平行，故 直線 a 平行于直線 b 所在的平面， a， b 可能異面也可能平行，故 B 錯誤； 直線 a， b 都垂直于同一 條直線， a， b 可能相交，可能異面也可能平行，故 C 錯誤； 直線 a， b 都垂直于同一個平面，則 a b，故 D 正確， 故選： D 7已知 ） = ，則 ） =（ ） A B C D 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 先求出 利用和角的正弦公式，即可求出結論 【解答】 解： ） = ， ， ， ， ） = = ， 故選 C 第 8 頁（共 21 頁） 8投擲一顆骰子兩次，將得到的點數(shù)依次記為 a， b，則直線 的傾斜角大于 的概率為（ ） A B C D 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 由直線 的傾斜角大于 ，得到 a b由此能求出直線 的傾斜角大于 的概率 【解答】 解： 直線 的傾斜角大于 ， k= =1， a b 投擲一顆骰子兩次，將得到的點數(shù)依次記為 a， b， 基本事件總數(shù) n=66=36， 其中 a b 包含的基本事件個數(shù) m= =15， 直線 的傾斜角大于 的概率為 p= = = 故選： A 9一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 64+8B 48+12C 48+8D 48+12 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 該幾何體為棱柱與圓柱的組合體，幾何體的表面積為棱柱的表面積加上圓柱的側面積 【解答】 解：由三視圖可知該幾何體的下部分是底面為 邊長是 4，高是 2 的四棱柱，上部分是底面直徑為 4，高為 2 的圓柱， S=442+442+42=64+8 故選 A 第 9 頁（共 21 頁） 10已知左、右焦點分別是 雙曲線 上一點 A 滿足 |3|則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= y= y= y= x 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由題意可得 A 為雙曲線的右支，由雙曲線的定義可得， | |2a，求得|3a， |a，運用勾股定理和 a， b， c 的關系和漸近線方程即可得到所求 【解答】 解：由題意可得 A 為雙曲線的右支， 由雙曲線的定義可得， | |2a， 由 |3|可得 |3a， |a， 由 可得 |+|=|， 即有 9a2+ 即為 即有 a2+ 即有 b= a， 可得雙曲線的漸近線方程為 y= x 故選： B 11三棱錐 P 三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別是 、 、 ，則該三棱錐的外接球的體積是（ ） A B C D 8 【考點】 球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體 【分析】 三棱 錐 P 三條側棱 兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求球的體積 【解答】 解：三棱錐 P 三條側棱 兩互相垂直， 它的外接球就是它擴展為長方體的外接球， 設 PA=a， PB=b， PC=c， 則 ， ， ， 解得， a= ， b=1， c= 則長方體的對角線的長為 所以球的直徑是 ，半徑長 R= ， 第 10 頁（共 21 頁） 則 球的表面積 S= ， 故選： C 12已知函數(shù) f（ x） = 的圖象上有兩對關于坐標原點對稱的點，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， ） C（ 0， +） D（ 0， e） 【考點】 分段函數(shù)的應用 【分析】 求出 x 0 時關于原點對稱的函數(shù) g（ x） =題意可得 g（ x）的圖象和 y=2（ x 0）的圖象有兩個交點設出直線 y=2 與 y=g（ x）相切的切點為（ m， 求出 g（ x）的導數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得切點和 k 的值，由圖象即可得到所求范圍 【解答】 解：當 x 0 時， f（ x） = x）， 由 f（ x）的圖象關于原點對稱，可得 g（ x） =x 0）， 由題意可得 g（ x）的圖象和 y=2（ x 0）的圖象有兩個交點 設直線 y=2 與 y=g（ x）相切的切點為（ m， 由 g（ x）的導數(shù)為 g（ x） = ， 即有切線的斜率為 =k， 又 2，解得 m= ， k=e， 由圖象可得 0 k e 時，有兩個交點 故選： D 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13函數(shù) f（ x） =2 的圖象在點 x= 處的切線方程是 x+y 1 =0 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 第 11 頁（共 21 頁） 【分析】 求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，運用直線的點斜式方程，可得所求切線的方程 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =2 的導數(shù)為 f（ x） = 2 可得在點 x= 處的切線斜率為 k= 2 1， 切點為（ ， 1+ ）， 即有在點 x= 處的切線方程為 y（ 1+ ） =（ x ）， 即為 x+y 1 =0 故答案為： x+y 1 =0 14已知 f（ x）為 R 上的減函數(shù)，則滿足 f（ ） f（ 1）的實數(shù) x 的取值范圍是 （ 0， 1） 【考點】 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 【分析】 利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解得即可 【解答】 解： f（ x）為 R 上的減函數(shù)， f（ ） f（ 1）等價于 1，解得 0 x 1 故答案為（ 0， 1） 15在 ， ， ， =1，則 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 利用向量的數(shù)量積，及余弦定理，即可求得 值 【解答】 解：設 ， ，則 ， =1 2 又由余弦定理可得： 9=4+ ， a= 故答案為： 16若直線 y=2x 上存在點（ x， y）滿足約束條件 ，則實數(shù) m 的取值范圍 （， 1 【考點】 簡單線性規(guī)劃 第 12 頁（共 21 頁） 【分析】 先根據(jù) ，確定交點坐標為（ 1， 2）要使直線 y=2x 上存在點（ x， y） 滿足約束條件 ，則 m1，由此可得結論 【解答】 解：由題意，由 ，可求得交點坐標為（ 1， 2） 要使直線 y=2x 上存在點（ x， y）滿足約束條件 ， 如圖所示可得 m1 則實數(shù) m 的取值范圍 （ ， 1 故答案為：（ ， 1 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17等比數(shù)列 各項均為正數(shù)，且 2， （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設 前 n 項和， ，求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式 【分析】 （ ）化簡可得 2， =3而求得 （ ）化簡 （ 1 ）， =3 =1 【解答】 解：（ ）設數(shù)列 公比為 q， 0， q 0； 2， =3 第 13 頁（共 21 頁） ， q= ； 故 = ； （ ） = （ 1 ）， ） +（ ） +（ ） = =3 =1 ， 故 18如圖，三棱柱 棱 平面 平面 為 點 （ ）證明： 平面 （ ） ， ，求三棱錐 體積 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺 的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 平面 平面 面 （ 2）由 平面 出 等腰直角三角形，以 棱錐的底面，則 D 到平面 距離 h= = 代入棱錐的體積公式計算 【解答】 解：（ I） 平面 面 平面 1 又 面 面 ， 平面 （ 平面 面 第 14 頁（共 21 頁） 又 D 是 中點， 等腰三角形， C=2 平面 面 又 面 面 C=A， 平面 D 是 中點， D 到平面 距離 h= =1 S = = =1， V =V = = 19 46 某校高一某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，（陰影部分為破壞部分）其可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：（ ）計算頻率分布直方圖中 80， 90）間的矩形的高； （ ）若要從分數(shù)在 80， 100之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份的分數(shù)在 90， 100之間的概率； （ ）根據(jù)頻率分布直方圖估計這次測試的平均分 【考點】 頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式 【分析】 （ ）先求出樣本容量 ，再求 80， 90）間的頻數(shù)與頻率，計算對應矩形的高； （ ）求出分數(shù)在 80， 100之間的試卷數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算概率即可； （ ）根據(jù)頻率分布直方圖計算這次測試的平均分即可 【解答】 解：（ ）根據(jù)題意，頻率分布直方圖中 50， 60）間的頻率是 0= 頻數(shù)是 2， 樣本容量是 =25； 80， 90）間的頻數(shù)是 25 2 7 10 2=4， 頻率是 = 矩形的高 = （ ）分數(shù)在 80， 100之間的試卷數(shù)是 4+2=6，分別記為 a、 b、 c、 d、 A、 B； 第 15 頁（共 21 頁） 從這 6 份中任取 2 份， B 共 15 種， 其中至少有一份的分數(shù)在 90， 100之間的基本事件數(shù)是 dA、 9 種 它的概率為 P= = ； （ ）根據(jù)頻率分布直方圖計算這次測試的平均分是 =550+65 +75 +85 +95 = 由此估計平均分是 20如圖，已知橢圓 + =1（ a b 0）的半焦距為 c，原點 O 到經(jīng)過兩點（ c、 0），（ 0， b）的直線的距離為 c（ （ 0， 1），垂直于 x 軸的直線 l 與橢圓 2： x2+y2=四個交點按其坐標從大到小分別為 A、 B、 C、 D （ ）當 = 時，求 的值； （ ）設 N（ a， 0），若存在直線 l 使得 明： 0 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）求出過兩點（ c、 0），（ 0， b）的直線方程，由點到直線的距離公式可得 b=a，取 = ，求得橢圓方程，然后分別聯(lián)立直線 x=m（ a m a）與橢圓與圓方程，求出點的坐標，則 的值可求； （ ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程，求出 A， B 的坐標，由斜率相等可得 ，結合 a m 0 即可證得 0 【解答】 （ ）解：過兩點（ c、 0），（ 0， b）的直線方程為 ，即 bx+， 由原點 O 到直線 bx+ 的距離為 c（ （ 0， 1），得 ，即 b=a， 當 = 時， b= ， 第 16 頁（共 21 頁） 此時橢圓方程為 設直線 l 的方程為 x=m（ a m a）， 聯(lián)立 ，解得 B（ m， ）， C（ m， ）， 聯(lián)立 ，解得 A（ m， ）， D（ m， ）， = ； （ ）證明：如圖， 由（ ）得， A（ m， ）， 聯(lián)立 ，得 B（ m， ）， 又 N（ a， 0）， ， 而 ， 由 ， m=（ m a），即 a m 0， ，即 ， 解得： 1（舍）或 ， 又 （ 0， 1）， 0 第 17 頁（共 21 頁） 21設函數(shù) f（ x） = （ aR） （ ）當 a 0 時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）當 a2 時，證明：對任意 x0， +）， f（ x） x+1 恒成立 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可； （ ） a0 時， f（ x） x+1 成立， 0 a2 時，令 h（ x） = x 1，求出 h（ x）的單調(diào)性，從而證出結論 【解答】 解：（ ） f（ x） = ， a 0， 0， 由 f（ x） 0 可得 x ， a 0 時， f（ x）在（ ， 遞增； （ ）（ i） a0 時， f（ x） = ， 由 x0，得 1， ， 1， 而 x+11， f（ x） x+1 成立； （ 0 a2 時，令 h（ x） = x 1， 則 f（ x） x+1 成立等價于 h（ x） 0， h（ x） = 1， g（ x） = ax+a 1 是減函數(shù)且 x0， g（ x） a 11， h（ x） 0， h（ x）在 0， +）遞減， x0 時， h（ x） h（ 0） =0， f（ x） x+1 恒成立， 綜上， a2 時，對任意 x0， +）， f（ x） x+1 恒成立 請考生再 22,23,24 三題中任選一題做答 .選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑， 接于 O， C， 足為 D （ ）求證： D=C； （ ）過點 C 作 O 的切線交 延長線于 F，若 ， ，求 長 第 18 頁（共 21 頁） 【考點】 與圓有關的比例線段 【分析】 （ ）連接 直徑所對圓周角為直角得到 0，由三角形相似的條件得到 由相似三角形對應邊成比例得 D=C； （ ）由切割弦定理可得 F后再由三角形相似求得 值 【解答】 （ ）證明：連接 圓 O 的直徑， 0， 0， 又 ， 又 C， D=C； （ ）解： 圓 O 的切線， F 又 ， ， ， F ， 又 F 為公共角， ， 選修 4標系與參數(shù)方程 23在直角坐標系 ，圓 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），在