二元一次方程 (組 )及其應(yīng)用 一、選擇題 1.（ 2016 廣東 茂名 ） 我國古代數(shù)學名著孫子算經(jīng)中記載了一道題，大意是：求 100 匹馬恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大馬能拉 3 片瓦， 3 匹小馬能拉 1 片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)大馬有 x 匹，小馬有 y 匹，那么可列方程組為（ ） A B C D 【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組 【分析】設(shè)有 x 匹大馬， y 匹小馬，根據(jù) 100 匹馬恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大馬能拉 3片瓦， 3 匹小馬能拉 1 片瓦，列方程組即可 【解答】解：設(shè)有 x 匹大馬， y 匹小馬，根據(jù)題意得 ， 故選 C 【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清題意，合適的等量關(guān)系，列出方程組 2. （ 2016 年浙江省溫州市） 已知甲、乙兩數(shù)的和是 7，甲數(shù)是乙數(shù)的 2 倍設(shè)甲數(shù)為 x，乙數(shù)為 y，根據(jù)題意，列方程組正確的是（ ） A B C D 【考點】 由實際問題抽象出二元一次方程組 【分析】 根據(jù)題意可得等量關(guān)系： 甲數(shù) +乙數(shù) =7， 甲數(shù) =乙數(shù) 2 ，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可 【解答】 解：設(shè)甲數(shù)為 x，乙數(shù)為 y，根據(jù)題意， 可列方程組，得： ， 故選： A 3 （ 3 分） 為了綠化校園， 30 名學生共種 78 棵樹苗其中男生每人種 3 棵，女生每人種 2 棵，該班男生有 x 人，女生有 y 人根據(jù)題意，所列方程組正確的是（ ） 【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組 【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系： 男生人數(shù) +女生人數(shù) =30； 男生種樹的總棵樹 +女生種樹的總棵樹 =78 棵，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可 【解答】解：該班男生有 x 人，女生有 y 人根據(jù)題意得： ， 故選： D 【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出 題目中的等量關(guān)系，然后再列出方程組 4. (2016 蘭州， 9,4 分 )公園有一塊正方形的空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地一邊減少了 1m，另一邊減少了 2m，剩余空地的面積為 18 ，求原正方形空地的邊長。設(shè)原正方形的空地的邊長為 可列方程為（） 【答案】： C 【解析】：設(shè)原正方形邊長為 則剩余空地的長為 ( x 1)為 (x 2 ) 面積為 (x 1) (x 2) 18 【考點】：正方形面積的計算公式 二、填空題 1. （ 2016 四川成 都 5 分 ） 已知 是方程組 的解，則代數(shù)式（ a+b）（ a b）的值為 8 【考點】 二元一次方程組的解 【分析】 把 x 與 y 的值代入方程組求出 a 與 b 的值，代入原式計算即可得到結(jié)果 【解答】 解：把 代入方程組得： ， 3+ 2 得： 5a= 5，即 a= 1， 把 a= 1 代入 得： b= 3， 則原式 = 9= 8， 故答案為： 8 2. （ 2016 年浙江省溫州市） 方程組 的解是 【考點】 二元一次方程組的解 【分析】 由于 y 的系數(shù)互為相反數(shù)，直接用加減法解答即可 【解答】 解： 解方程組 ， + ，得： 4x=12， 解得： x=3， 將 x=3 代入 ，得： 3+2y=5， 解得： y=1， ， 故答案為： 3 （ 2016江蘇省揚州 ） 以方程組 的解為坐標的點（ x， y）在第 二 象限 【考點】 二元一次方程組的解；點的坐標 【分析】 先求出 x、 y 的值，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特點即可得出結(jié)論 【解答】 解： ， 得， 3x+1=0，解得 x= ， 把 x 的值代入 得， y= +1= ， 點（ x， y）的坐標為：（ ， ）， 此點在第二象限 故答案為：二 三、解答題 1. (2016四川資陽 )某大型企業(yè)為了保護環(huán)境，準備購買 A、 B 兩種型號的污水處理設(shè)備共 8 臺，用于同時治理不同成分的污水，若購買 A 型 2 臺、 B 型3 臺需 54 萬，購買 A 型 4 臺、 B 型 2 臺需 68 萬元 （ 1）求出 A 型、 B 型污水處理設(shè)備的單價； （ 2）經(jīng)核實，一臺 A 型設(shè)備一個月可處理污水 220 噸，一臺 B 型設(shè)備一個月可處理污水 190 噸，如果該企業(yè)每月的污水處理量不低于 1565 噸，請你為該企業(yè)設(shè)計一種最省錢的購買方案 【考點】 一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù)題意結(jié)合購 買 A 型 2 臺、 B 型 3 臺需 54 萬，購買 A 型 4臺、 B 型 2 臺需 68 萬元分別得出等式求出答案； （ 2）利用該企業(yè)每月的污水處理量不低于 1565 噸，得出不等式求出答案 【解答】 解：（ 1）設(shè) A 型污水處理設(shè)備的單價為 x 萬元， B 型污水處理設(shè)備的單價為 y 萬元，根據(jù)題意可得： ， 解得： 答： A 型污水處理設(shè)備的單價為 12 萬元， B 型污水處理設(shè)備的單價為 10 萬元； （ 2）設(shè)購進 a 臺 A 型污水處理器，根據(jù)題意可得： 220a+190（ 8 a） 1565， 解得： a A 型污水處理設(shè)備單價比 B 型污水處理設(shè)備單價高， A 型污水處理設(shè)備買越少，越省錢， 購進 2 臺 A 型污水處理設(shè)備，購進 6 臺 B 型污水處理設(shè)備最省錢 2. (2016云南 )食品安全是關(guān)乎民生的重要問題，在食品中添加過量的添加劑對人體健康有害，但適量的添加劑對人體健康無害而且有利于食品的儲存和運輸為提高質(zhì)量，做進一步研究，某飲料加工廠需生產(chǎn) A、 B 兩種飲料共 100 瓶，需加入同種添加劑 270 克，其中 克， B 飲料每瓶需加添加劑 3 克，飲料加工廠生產(chǎn)了 A、 B 兩種飲料各多少克？ 【考點】二元一次方程組的應(yīng)用 【分析】設(shè) A 種飲料生產(chǎn)了 x 瓶， B 種飲料生產(chǎn)了 y 瓶，根據(jù)： A 種飲料瓶數(shù) +B 種飲料瓶數(shù) =100， A 種飲料添加劑的總質(zhì)量 +B 種飲料的總質(zhì)量 =270，列出方程組求解可得 【解答】解：設(shè) A 種飲料生產(chǎn)了 x 瓶， B 種飲料生產(chǎn)了 y 瓶， 根據(jù)題意，得： ， 解得： ， 答： A 種飲料生產(chǎn)了 30 瓶， B 種飲料生產(chǎn)了 70 瓶 【點評】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用能力，在解題時要能根據(jù)題意得出等量關(guān)系，列出方程組是本題的關(guān)鍵 3. (2016云南 )解方程組 【考點】解二元一次方程組 【專題】計算題；一次方程（組）及應(yīng)用 【分析】方程組利用 加減消元法求出解即可 【解答】解： ， 由 ，得 y=3， 把 y=3 代入 ，得 x+3=2， 解得： x= 1 則原方程組的解是 【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法 4. （ 2016四川達州 6 分 ） 已知 x， y 滿足方程組 ，求代數(shù)式（ x y） 2（ x+2y）（ x 2y）的值 【考點】 代數(shù)式求值；解二元一次方程組 【分析】 求出方程組的解得到 x 與 y 的值，原式利用平方差公式，完全平方公式化簡，去括號合并后代入計算即可求出值 【解答】 解：原 式 =2xy+ 2 ， + 得： 3x= 3，即 x= 1， 把 x= 1 代入 得： y= ， 則原式 = + = 5. （ 2016四川廣安 8 分 ） 某水果積極計劃裝運甲、乙、丙三種水果到外地銷售（每輛汽車規(guī)定滿載，并且只裝一種水果）如表為裝運甲、乙、丙三種水果的重量及利潤 甲 乙 丙 每輛汽車能裝的數(shù)量（噸） 4 2 3 每噸水果可獲利潤（千元） 5 7 4 （ 1）用 8 輛汽車裝運乙、丙兩種水果共 22 噸到 A 地銷售，問裝運乙、丙兩種水果 的汽車各多少輛？ （ 2）水果基地計劃用 20 輛汽車裝運甲、乙、丙三種水果共 72 噸到 B 地銷售（每種水果不少于一車），假設(shè)裝運甲水果的汽車為 m 輛，則裝運乙、丙兩種水果的汽車各多少輛？（結(jié)果用 m 表示） （ 3）在（ 2）問的基礎(chǔ)上，如何安排裝運可使水果基地獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 【考點】 二元一次方程組的應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù) “8輛汽車裝運乙、丙兩種水果共 22 噸到 A 地銷售 ”列出方程組，即可解答； （ 2）設(shè)裝運乙、丙水果的車分別為 a 輛， b 輛，列出方程組 ，即可解答； （ 3）設(shè)總利潤為 w 千元，表示出 w=10m+216列出不等式組 ，確定 m 的取值范圍 13m合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答 【解答】 解：（ 1）設(shè)裝運乙、丙水果的車分別為 x 輛， y 輛，得： ， 解得： 答：裝運乙種水果的車有 2 輛、丙種水果的汽車有 6 輛 （ 2）設(shè)裝運乙、丙水果的車分別為 a 輛， b 輛，得： ， 解得 答：裝運乙種水果的汽車是（ m 12）輛，丙種水果的汽車是（ 32 2m）輛 （ 3）設(shè)總利潤為 w 千元， w=45m+27（ m 12） =43（ 32 2m） =10m+216 ， 13m m 為正整數(shù)， m=13， 14， 15， 在 w=10m+216 中， w 隨 x 的增大而增大， 當 m=15 時， W 最大 =366（千元）， 答：當運甲水果的車 15 輛，運乙水果的車 3 輛，運丙水果的車 2 輛，利潤最大，最大利潤為 366 元 6. （ 2016四川涼山州 8 分 ） 為了更好的保護美麗圖畫的邛海濕地，西昌市污水處理廠決定先購買 A、 B 兩型污水處理設(shè)備共 20 臺，對邛海濕地周邊污水進行處理，每臺 A 型污水處理設(shè)備 12 萬元，每臺 B 型污水處理設(shè)備 10 萬元已知 1 臺 A 型污水處理設(shè)備和 2 臺 40 噸， 2 臺 A 型污 水處理設(shè)備和 3 臺 B 型污水處理設(shè)備每周可以處理污水 1080 噸 （ 1）求 A、 B 兩型污水處理設(shè)備每周分別可以處理污水多少噸？ （ 2）經(jīng)預(yù)算，市污水處理廠購買設(shè)備的資金不超過 230 萬元，每周處理污水的量不低于 4500噸，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少？ 【考點】 一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù) 1 臺 A 型污水處理設(shè)備和 2 臺 B 型污水處理設(shè)備每周可以處理污水 640噸， 2 臺 A 型污水處理設(shè)備和 3 臺 B 型污水處理設(shè)備每周可以處理污水 1080 噸，可以列出相應(yīng)的二元一 次方程組，從而解答本題； （ 2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以得到購買方案，從而可以算出每種方案購買資金，從而可以解答本題 【解答】 解：（ 1）設(shè) A 型污水處理設(shè)備每周每臺可以處理污水 x 噸， B 型污水處理設(shè)備每周每臺可以處理污水 y 噸， 解得， 即 A 型污水處理設(shè)備每周每臺可以處理污水 240 噸， B 型污水處理設(shè)備每周每臺可以處理污水 200 噸； （ 2）設(shè)購買 A 型污水處理設(shè)備 x 臺，則購買 B 型污水處理設(shè)備（ 20 x）臺， 則 解得， 12.5x15， 第一種方案：當 x=13 時， 20 x=7，花費的費用為： 1312+710=226 萬元； 第二種方案：當 x=14 時， 20 x=6，花費的費用為： 1412+610=228 萬元； 第三種方案；當 x=15 時， 20 x=5，花費的費用為： 1512+510=230 萬元； 即購買 A 型污水處理設(shè)備 13 臺，則購買 B 型污水處理設(shè)備 7 臺時，所需購買資金最少，最少是 226 萬元 7.（ 2016 廣東 深圳 ） 荔枝是深圳特色水果，小明的媽媽先購買了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花費 90 元；后又購買了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花費 55 元 .（每次兩種荔枝的售價都不 變） （ 1）求桂味和糯米糍的售價分別是每千克多少元 ; (2)如果還需購買兩種荔枝共 12 千克，要求糯米糍的數(shù)量不少于桂味數(shù)量的兩倍，請設(shè)計一種購買方案，使所需總費用最低 . 考點 ：列方程組解應(yīng)用題，二元一次方程組。 解析 ： （ 1）設(shè)桂味售價為每千克 x 元，糯米味售價為每千克 y 元， 則： 2x+3y=90 x+2y=55 解得： x=15 y=20 答：桂味售價為每千克 15 元，糯米味售價為每千克 20 元。 （ 2）設(shè)購買桂味 t 千克，總費用為 w 元，則購買糯米味 12克， 12t t4 W=15t+20（ 12=40. k=0 w 隨 t 的增大而減小 當 t=4 時， 20. 答：購買桂味 4 千克，糯米味 8 千克是，總費用最少。 8.（ 2016 年浙江省寧波市 ） 某商場銷售 A， B 兩種品牌的教學設(shè)備，這兩種教學設(shè)備的進價和售價如表所示 A B 進價（萬元 /套） 價（萬元 /套） 商場計劃購進兩種教學設(shè)備若干套，共需 66 萬元，全部銷售后可獲毛利潤 9 萬元 （ 1）該商場計劃購進 A， B 兩種品牌的教學設(shè)備各多少套？ （ 2）通 過市場調(diào)研，該商場決定在原計劃的基礎(chǔ)上，減少 A 種設(shè)備的購進數(shù)量，增加 B 種設(shè)備的購進數(shù)量，已知 B 種設(shè)備增加的數(shù)量是 A 種設(shè)備減少的數(shù)量的 若用于購進這兩種教學設(shè)備的總資金不超過 69 萬元，問 A 種設(shè)備購進數(shù)量至多減少多少套？ 【考點】一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用 【分析】（ 1）首先設(shè)該商場計劃購進 A， B 兩種品牌的教學設(shè)備分別為 x 套， y 套，根據(jù)題意即可列方程組 ，解此方程組即可求得答案； （ 2）首先設(shè) A 種設(shè)備購進數(shù)量減少 a 套，則 A 種設(shè)備購進數(shù)量增加 ，根據(jù)題意即可列不等式 20 a） +30+69，解此不等式組即可求得答案 【解答】解：（ 1）設(shè)該商場計劃購進 A， B 兩種品牌的教學設(shè)備分別為 x 套， y 套， ， 解得： ， 答：該商場計劃購進 A， B 兩種品牌的教學設(shè)備分別為 20 套， 30 套； （ 2）設(shè) A 種設(shè)備購進數(shù)量減少 a 套，則 A 種設(shè)備購進數(shù)量增加 ， 20 a） +30+69， 解得： a10， 答： A 種設(shè)備購進數(shù)量至多減少 10 套 【點評】此題考查了一元一次不等式與二元一次方程組的應(yīng)用注意根據(jù)題意找到等量關(guān)系是關(guān)鍵 9 （ 某學校是乒乓球體育傳統(tǒng)項目學校，為進一步推動該項目的開展，學校準備到體育用品店購買直拍球拍和橫拍球拍若干副，并且每買一副球拍必須要買 10 個乒乓球，乒乓球的單價為 2 元 /個，若購買 20 副直拍球拍和 15 副橫拍球拍花費 9000 元；購買 10 副橫拍球拍比購買 5 副直拍球拍多花費 1600 元 （ 1）求兩種球拍每副各多少元？ （ 2）若學校購買兩種球拍共 40副，且直拍球拍的數(shù)量不多于橫拍球拍數(shù)量的 3 倍，請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需費用 【分析】（ 1）設(shè)直拍球拍每副 x 元，橫拍球每副 y 元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可； （ 2）設(shè)購買直拍球拍 m 副，根據(jù)題意列出不等式，解不等式求出 m 的范圍，根據(jù)題意列出費用關(guān)于 m 的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可 【解答】解：（ 1）設(shè)直拍球拍每副 x 元，橫拍球每副 y 元，由題意得， ， 解得， ， 答：直拍球拍每副 220 元，橫拍球每副 260 元； （ 2）設(shè)購買直拍球拍 m 副，則購買橫拍球（ 40 m）副， 由題意得， m3（ 40 m）， 解得， m30， 設(shè)買 40 副球拍所需 的費用為 w， 則 w=（ 220+20） m+（ 260+20）（ 40 m） = 40m+11200， 40 0， w 隨 m 的增大而減小， 當 m=30 時， w 取最大值，最大值為 4030+11200=10000（元） 答：購買直拍球拍 30 副，則購買橫拍球 10 副時，費用最少 【點評】本題考查的是列二元一次方程組、一元一次不等 式解實際問題，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式并正確解出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵 10 （ 2016 江蘇連云港 ） 某數(shù)學興趣小組研 究我國古代算法統(tǒng)宗里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空詩中后兩句的意思是： 如果每一間客房住 7 人，那么有 7 人無房可??；如果每一間客房住 9 人，那么就空出一間房（ 1）求該店有客房多少間？房客多少人？ （ 2）假設(shè)店主李三公將客房進行改造后，房間數(shù)大大增加每間客房收費 20 錢，且每間客房最多入住 4 人，一次性定客房 18 間以上（含 18 間），房費按 8 折優(yōu)惠若詩中 “眾客 ”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?【分析】（ 1）設(shè)該店有客房 x 間，房客 y 人；根據(jù)題意 得出方程組，解方程組即可； （ 2）根據(jù)題意計算：若每間客房住 4 人，則 63 名客人至少需客房 16 間，求出所需付費；若一次性定客房 18 間，求出所需付費，進行比較，即可得出結(jié)論 【解答】解：（ 1）設(shè)該店有客房 x 間，房客 y 人； 根據(jù)題意得： ， 解得： 答：該店有客房 8 間，房客 63 人； （ 2）若每間客房住 4 人，則 63 名客人至少需客房 16 間，需付費 2016=320 錢； 若一次性定客房 18 間，則需付費 201888 千 320 錢； 答：詩中 “眾客 ”再次 一起入住，他們應(yīng)選擇一次性訂房 18 間更合算 【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)題意得出方程組是解決問題的關(guān)鍵 11 （ 2016 江蘇蘇州 ） 某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為 12 元 /輛，小型汽車的停車費為 8 元 /輛，現(xiàn)在停車場共有 50 輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費 480 元，中、小型汽車各有多少輛？ 【考點】 二元一次方程組的應(yīng)用 【分析】 先設(shè)中型車有 x 輛，小型車有 y 輛，再根據(jù)題中兩個等量關(guān)系，列出二元一次方程組進行求解 【解答】 解：設(shè)中型車有 x 輛，小型車有 y 輛， 根據(jù)題意，得 解得 答：中型車有 20 輛，小型車有 30 輛 12 （ 2016 江蘇無錫 ） （ 2）解方程組： 【考點】 解二元一次方程組 【分析】 （ 2）用加減法消去未知數(shù) y 求出 x 的值，再代入求出 y 的值即可 【解答】 解：（ 2） 由 得： 2x+y=3 ， 2 得： x=4， 把 x=4 代入 得： y= 5， 故原方程組的解為 13 （ 2016遼寧沈陽 ） 倡導(dǎo)健康生活，推進全民健身，某社區(qū)要購進 A， B 兩種型號的健身器材若干套， A， B 兩種型號健身器材的購買單價分別為每套 310 元，