第 1 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 浙江省衢州市 2016 年中考數(shù)（浙教版）專題訓(xùn)練（二）：正方形 一、選擇題（共 9 小題） 1如圖，邊長(zhǎng)分別為 4 和 8 的兩個(gè)正方形 排放在一起，連結(jié) 延長(zhǎng)交 點(diǎn) T，交 點(diǎn) P，則 ） A B 2 C 2 D 1 2如圖，四邊形 為正方形，其中 E 在 ，且 B、 E 兩點(diǎn)不重合，并連接 據(jù)圖中標(biāo)示的角判斷下列 1、 2、 3、 4 的大小關(guān)系何者正確？（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 4 D 3 4 3附圖為正三角形 正方形 重疊情形，其中 D、 E 兩點(diǎn)分別在 ，且 E若8， ，則 F 點(diǎn)到 距離為何？（ ） A 2 B 3 C 12 4 D 6 6 4如圖，在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ， M 為邊 中點(diǎn)，延長(zhǎng) 點(diǎn) E，使 C，以 邊作正方形 G 在邊 ，則 長(zhǎng)為（ ） 第 2 頁(yè)（共 51 頁(yè)） A B C D 5如圖，邊長(zhǎng)為 6 的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為 2 的值為（ ） A 16 B 17 C 18 D 19 6如圖，正方形 ， ，點(diǎn) E 在邊 ，且 折至 長(zhǎng)邊 點(diǎn) G，連接 列結(jié)論： 點(diǎn) G 是 點(diǎn)； C； S 其中正確的是（ ） A B C D 7如圖， 正方形， O 為 交點(diǎn)， ， 0， 0，若 ，則正方形的面積為（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 第 3 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 8如圖，邊長(zhǎng)為 2 的正方形 頂點(diǎn) A 在 y 軸上，頂點(diǎn) D 在反比例函數(shù) y= （ x 0）的圖象上 ，已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ ， ），則 k 的值為（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 9如圖，將 n 個(gè)邊長(zhǎng)都為 2 的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn) 別是正方形的中心，則這 n 個(gè)正方形重疊部分的面積之和是（ ） A n B n 1 C（ ） n 1 D n 二、填空題（共 6 小題） 10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù) y=x 的圖象上，從左向右第 3 個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 8， 4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為 、 值為 （用含 n 的代數(shù)式表示， n 為正整數(shù)） 11如圖，點(diǎn) G 是正方形 角線 延長(zhǎng)線上任 意一點(diǎn)，以線段 邊作一個(gè)正方形 段 交于點(diǎn) H若 ， ，則 第 4 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 12已知正方形 邊長(zhǎng)為 2 邊作等邊三角形 13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 分別在 x 軸和 y 軸的正半軸上， B=a，以線段 邊在第一象限作正方形 延長(zhǎng)線交 x 軸于點(diǎn) E，再以 邊作第二個(gè) 正方形 ，依此方法作下去，則第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是 14如圖，正方形 邊長(zhǎng)是 1，點(diǎn) M， N 分別在 ，使得 周長(zhǎng)為 2，則 15如圖，在正方形 ， 對(duì)角線，點(diǎn) E 在 上， 點(diǎn) F，連接 ， 周長(zhǎng)為 12，則 長(zhǎng)為 三、解答題（共 15 小題） 16如圖，在正方形 ，點(diǎn) M 是對(duì)角線 的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 點(diǎn) E，作 點(diǎn) F求證： F 第 5 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 17如圖， P 為正方形 邊 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 足分別為點(diǎn) E、 F，已知 （ 1）試說(shuō)明 值是一個(gè)常數(shù)； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 點(diǎn) M，點(diǎn) P 在何位置時(shí)線段 長(zhǎng)，并求出此時(shí) 值 18如圖正方形 邊長(zhǎng)為 4， E、 F 分別為 點(diǎn) （ 1）求證： （ 2）求 面積 19如圖 1，在正方形 ， E、 F 分別是邊 的點(diǎn)，且 （ 1）求證： E； （ 2）如圖 2，在正方形 ， M、 N、 P、 Q 分別是邊 的點(diǎn)，且 Q 是否相等？并說(shuō)明理由 第 6 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 20如圖 ，在正方形 ， P 是對(duì)角線 的一點(diǎn)，點(diǎn) E 在 延長(zhǎng)線上，且 B （ 1）求證： （ 2）求證： （ 3）把正方形 為菱形，其它條件不變（如圖 ），若 8，則 度 21在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小輝將邊長(zhǎng)為 和 3 的兩個(gè)正方形放置在直線 l 上，如圖 1，他連結(jié) 測(cè)量發(fā)現(xiàn) F （ 1）他將 正方形 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖 2，試判斷 相等嗎？說(shuō)明你的理由； （ 2）他將正方形 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn)至直線 l 上，如圖 3，請(qǐng)你求出 長(zhǎng) 22如圖，在邊長(zhǎng)為 3 的正方形 ，點(diǎn) E 是 上的點(diǎn)， ， 0，且 正方形外角的平分線 點(diǎn) P，交邊 點(diǎn) F， （ 1） 的值為 ； （ 2）求證： P； 第 7 頁(yè)（共 51 頁(yè)） （ 3）在 上是否存在點(diǎn) M，使得四邊形 平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 23如圖所示，在正方形 ，點(diǎn) G 是邊 任意一點(diǎn)， 足為 E，延長(zhǎng) 點(diǎn) F在線段 取點(diǎn) H，使得 E+接 證： 24正方形 頂點(diǎn) A 在直線 ，點(diǎn) O 是對(duì)角線 交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作 點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) B 作 點(diǎn) F （ 1）如圖 1，當(dāng) O、 B 兩點(diǎn)均在直線 方時(shí)，易證： F=2需證明） （ 2）當(dāng)正方形 點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 2、圖 3 的位置時(shí)，線段 間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明 25（ 1）如圖（ 1）點(diǎn) P 是正方形 邊 一點(diǎn)（點(diǎn) P 與點(diǎn) C， D 不重合），點(diǎn) E 在 延長(zhǎng)線上，且 P，連接 證： （ 2）直線 F，連接 G 是 交點(diǎn) 若 ，求證： 若 CD=nn 是大于 1 的實(shí)數(shù)）時(shí)，記 面積為 面積為 證： n+1） 第 8 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 26如圖，點(diǎn) E 在正方形 邊 ，連接 點(diǎn) C 作 F，過(guò)點(diǎn) A 作 點(diǎn) G （ 1）求證： （ 2）若點(diǎn) E 是 中點(diǎn)，設(shè) ，求 27如圖，在正方形 ， E 是 一點(diǎn)， F 是 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 E （ 1）求證： F； （ 2）若點(diǎn) G 在 ，且 5，則 E+立嗎？為什么？ 28如圖，在正方形 ，點(diǎn) E、 F 分別是 中點(diǎn)， 點(diǎn) M，點(diǎn) N 為 中點(diǎn) （ 1）若 ，求 周長(zhǎng)及 值； （ 2）求證： 2F=M 29已知：如圖，正方形 別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足 5，連接 （ 1）若正方形的邊長(zhǎng)為 a，求 N 的值 第 9 頁(yè)（共 51 頁(yè)） （ 2）若以 三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結(jié)論 30如圖，已知正方形 邊 D 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30到 ，連接 寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形，并寫(xiě)出推理過(guò)程 第 10 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 浙江省衢州市 2016 年中考數(shù)（浙教 版）專題訓(xùn)練（二）：正方形 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 9 小題） 1如圖，邊長(zhǎng)分別為 4 和 8 的兩個(gè)正方形 排放在一起，連結(jié) 延長(zhǎng)交 點(diǎn) T，交 點(diǎn) P，則 ） A B 2 C 2 D 1 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì) 【專題】壓軸題 【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得 5，再求出 5，從而得到 據(jù)正方形的邊長(zhǎng)求出 根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的 倍求解即可 【解答】解： 別是正方形 方形 對(duì)角線， 5， 80 90 45=45， 80 80 45 45=90， 等腰直角三角形， 兩正方形的邊長(zhǎng)分別為 4， 8， 4=4， 4=2 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，等腰直角三角形的判定與性質(zhì) 第 11 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 2如圖，四邊形 為正方形，其中 E 在 ，且 B、 E 兩點(diǎn)不重合，并連接 據(jù)圖中標(biāo)示的角判斷下列 1、 2、 3、 4 的大小關(guān)系何者正確？（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 4 D 3 4 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì) 【分析】根據(jù)正方形的每一個(gè)角都是直角求出 0，然后根據(jù)同角的余角相等可得 1= 2，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得 而得到 根據(jù)三角形中長(zhǎng)邊所對(duì)的角大于短邊所對(duì)的角求出 3 4 【解答】解： 四邊形 為正方形， 0， 1+ 0， 2+ 0， 1= 2， 在 ， 四邊形 正方形， G， 3 4 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，要注意在同一個(gè)三角形中，較長(zhǎng)的邊所對(duì)的角大于較短的邊所對(duì)的角的應(yīng)用 3附圖為正三角形 正方形 重疊情形，其中 D、 E 兩點(diǎn)分別在 ，且 E若8， ，則 F 點(diǎn)到 距離為何？（ ） 第 12 頁(yè)（共 51 頁(yè)） A 2 B 3 C 12 4 D 6 6 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì) 【分析】過(guò)點(diǎn) B 作 H，交 K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出 A= 0，然后判定 等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出 0，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到 而求出 根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關(guān)系表示出 后根據(jù)平行線間的距離相等即可得解 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 H，交 K， 等邊三角形， A= 0， E， 等邊三角形， 0， A= 四邊形 正方形， ， 8 6 6=9 3 6=6 6， F 點(diǎn)到 距離為 6 6 故選 D 第 13 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的對(duì)邊平行，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的高線等于邊長(zhǎng)的 倍，以及平行線間的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 4如圖，在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ， M 為邊 中點(diǎn)，延長(zhǎng) 點(diǎn) E，使 C，以 邊作正方形 G 在邊 ，則 長(zhǎng)為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理 【分析】利用勾股定理求出 長(zhǎng)，即 長(zhǎng)，有 G，可以求出 而得到 長(zhǎng) 【解答】解： 四邊形 正方形， M 為邊 中點(diǎn)， ， = ， C= ， M 1， 四邊形 正方形， E= 1 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題目 5（ 2013菏澤）如圖，邊長(zhǎng)為 6 的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為 2 的值為（ ） 第 14 頁(yè)（共 51 頁(yè)） A 16 B 17 C 18 D 19 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形 【專題】計(jì)算題；壓軸題 【分析】由圖可得， 邊 長(zhǎng)為 3，由 E= 得 ， ；然后，分別算出 面積，即可解答 【解答】解：如圖，設(shè)正方形 邊長(zhǎng)為 x， 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知， x， x= =2， 2+22，即 ； 面積為 =8； 邊長(zhǎng)為 3， 面積為 3 3=9， 2=8+9=17 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生的讀圖能力 6如圖，正方形 ， ，點(diǎn) E 在邊 ，且 折至 長(zhǎng)邊 點(diǎn) G，連接 列結(jié)論： 點(diǎn) G 是 點(diǎn)； C； S 其中正確的是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題） 【專題】壓軸題 第 15 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【分析】先求出 長(zhǎng)，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得 F， E， D=90，再利用 “明 等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 G，再設(shè) G=x，然后表示出 ，利用勾股定理列出方程求出 x= ，從而可以判斷 正確；根據(jù) 正切值判斷 60，從而求出 60， 是等邊三角形， 斷 錯(cuò)誤；先求出 面積，再求出 后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長(zhǎng)的比求解即可得到 面積，判斷 正確 【解答】解： 正方形 ， ， 3=1， 1=2， 折至 F， E=1， D=90， F= 在 ， ， G， 設(shè) G=x，則 F+x， x， 在 ， 即（ 1+x） 2=（ 3 x） 2+22， 解得， x= ， = ， G= ， 即點(diǎn) G 是 點(diǎn)，故 正確； = =2， 60， 180 60 2 60， 又 G= 是等邊三角形， 第 16 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 錯(cuò)誤； 面積 = E= 2= ， ： =2： 3， S = ，故 正確； 綜上所述，正確的結(jié)論有 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)各邊的熟量關(guān)系利用勾股定理列式求出 G 的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn) 7如圖， 正方形， O 為 交點(diǎn)， ， 0， 0，若 ，則正方形的面積為（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理 【分析】過(guò)點(diǎn) O 作 M，作 延長(zhǎng)線于 N，判斷出四邊形 矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 0，再求出 據(jù)正方形的性質(zhì)可得 D，然后利用 “角角邊 ”證明 等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 N，然后判斷出四邊形 正方形，設(shè)正方形 邊長(zhǎng)為 2a，根據(jù)直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得 利用勾股定理列式求出 據(jù)正方形的性質(zhì)求出 D= a，然后利用四邊形 面積列出方程求出 根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn) O 作 M，作 延長(zhǎng)線于 N， 第 17 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 0， 四邊形 矩形， 0， 四邊形 正方形， D， 在 ， ， N， 四邊形 正方形， 設(shè)正方形 邊長(zhǎng)為 2a，則 D= 2a= a， 0， 0， CD=a， 由勾股定理得， = = a， 四邊形 面積 = a a+ （ a） （ a） = （ ） 2， 解得 ， 所以，正方形 面積 =（ 2a） 2=4 1=4 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形 是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn) 第 18 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 8如圖，邊長(zhǎng)為 2 的正方形 頂點(diǎn) A 在 y 軸上，頂點(diǎn) D 在反比例函數(shù) y= （ x 0）的圖象上，已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ ， ），則 k 的值為（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】數(shù)形結(jié)合 【分析】過(guò)點(diǎn) B 作 y 軸于 E，過(guò)點(diǎn) D 作 y 軸于 F，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 D， 0，再根據(jù)同角的余角相等求出 后利用 “角角邊 ”證明 等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 E， E，再求出 后寫(xiě)出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，再把點(diǎn) D 的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可求出 k 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn) B 作 y 軸于 E，過(guò)點(diǎn) D 作 y 軸于 F， 在正方形 ， D， 0， 0， 0， 在 ， ， E， E， 正方形的邊長(zhǎng)為 2， B（ ， ）， ， = ， E+F= + + =5， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ ， 5）， 第 19 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 頂點(diǎn) D 在反比例函數(shù) y= （ x 0）的圖象上， k= 5=8 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵 9如圖，將 n 個(gè)邊長(zhǎng)都為 2 的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn) 別是正方形的中心，則這 n 個(gè)正方形重疊部分的面積之和是（ ） A n B n 1 C（ ） n 1 D n 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】規(guī)律型 【分析】根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的 ，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n 個(gè)這樣的正方形重疊部分即為（ n 1）個(gè)陰影部分的和 【解答】解：由題意可得一個(gè)陰影部分面積等于正方形面積的 ，即是 4=1， 5 個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰 影部分）的面積和為： 1 4， n 個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為： 1 （ n 1） =n 1 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到 n 個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和的計(jì)算方法，難點(diǎn)是求得一個(gè)陰影部分的面積 第 20 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 二、填空題（共 6 小題） 10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù) y=x 的圖象上，從左向右第 3 個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 8， 4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為 、 值為 24n 5 （用含 n 的代數(shù)式表示， n 為正整數(shù)） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 【專題】壓軸題；規(guī)律型 【分析】根據(jù)直線解析式判斷出直線與 x 軸的夾角為 45，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn) A 的坐標(biāo)求出正方形的邊長(zhǎng)并得到變化規(guī)律表示出第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可 【解答】解： 函數(shù) y=x 與 x 軸的夾角為 45， 直線 y=x 與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形， A（ 8， 4）， 第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 8， 第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 4， 第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 2， 第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 1， ， 第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 2n 1， 由圖可知， 1 1+ （ 1+2） 2 （ 1+2） 2= ， 4 4+ （ 4+8） 8 （ 4+8） 8=8， ， 第 2n 與第 2n 1 個(gè)正方形中的陰影部分， 第 21 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 第 2n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 22n 1，第 2n 1 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 22n 2， 22n 222n 2=24n 5 故答案為： 24n 5 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影 在的正方形和正方形的邊長(zhǎng) 11如圖，點(diǎn) G 是正方形 角線 延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段 邊作一個(gè)正方形 段 交于點(diǎn) H若 ， ，則 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理 【專題】幾何圖形問(wèn)題 【分析】首先連接 O，由四邊形 正方形，即可得 D， G， 后利用 可證得 可得 D，然后在 ，利用勾股定理即可求得 長(zhǎng)，繼而可得 長(zhǎng) 【解答】解：連接 O， 四邊形 正方形， D， G， 在 ， 第 22 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ， D， 四邊形 正方形， ， D= ， 0， D= ， ， A+， = ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法 12（ 2014齊齊哈爾）已知正方形 邊長(zhǎng)為 2 邊作等邊三角形 面積為 （ 2+ ）或（ 2 ） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì) 【專題】分類討論 【分析】作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn) E 到 距離，從而得到點(diǎn) E 到 距離，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解 【解答】解：如圖， 等邊三角形， 點(diǎn) E 到 距離為 2 = 點(diǎn) E 到 距離 =2+ 2 第 23 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 面積 = 2 （ 2+ ） =2+ 或 面積 = 2 （ 2 ） =2 故答案為：（ 2+ ）或（ 2 ） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出點(diǎn) E 到 的距離是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)在于點(diǎn) E 的位置不確定要分情況討論，作出圖形更形象直觀 13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 分別在 x 軸和 y 軸的正半軸上， B=a，以線段 邊在第一象限作正方形 延長(zhǎng)線交 x 軸于點(diǎn) E，再以 邊作第二個(gè)正方形 ，依此方法作下去，則第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是 a2n 1 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰直角三角形 【專題】規(guī)律型 【分析】判斷出 等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng) 后判斷出 等腰直角 三角形，再求出 E，從而求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍，同理可得后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍，然后求解即可 【解答】解： B， 等腰直角三角形， 第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng) a， 5， 80 45 90=45， 等腰直角三角形， E， 第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng) D+ 第 24 頁(yè)（共 51 頁(yè)） ， 后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍， 所以，第 n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng) =2n 1a2n 1 故答案為： a2n 1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的 2 倍是解題的關(guān)鍵 14如圖，正方形 邊長(zhǎng)是 1，點(diǎn) M， N 分別在 ，使得 周長(zhǎng)為 2，則 1 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】幾何圖形問(wèn)題 【分析】如圖，延長(zhǎng) L，使 N，則 N，進(jìn)而求證 可求得 5設(shè) CM=x， CN=y， MN=z，根據(jù) x2+y2= x+y+z=2，整理根據(jù) =4（ z 2） 2 32（ 1 z） 0 可以解題 【解答】解：延長(zhǎng) L，使 N， 則 故 N， N+， N+M=1+1=2， N+L+L， 設(shè) CM=x， CN=y， MN=z x2+y2= x+y+z=2， 則 x=2 y z （ 2 y z） 2+y2= 整理得 2 2z 4） y+（ 4 4z） =0， 第 25 頁(yè)（共 51 頁(yè)） =4（ z 2） 2 32（ 1 z） 0， 即（ z+2 2 ）（ z+2+2 ） 0， 又 z 0， z 2 2 此時(shí) S B= z 因此，當(dāng) z=2 2， S 到最小值為 1 故答案為： 1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，考查了正方形各邊相等，各內(nèi)角是直角的性質(zhì)，本題求證三角形全等是解題的關(guān)鍵 15（ 2014哈爾濱）如圖，在正方形 ， 對(duì)角線，點(diǎn) E 在 上， 點(diǎn) F，連接， 周長(zhǎng)為 12，則 長(zhǎng)為 5 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形 【專題】幾何圖形問(wèn)題 【分析】由四邊形 正方形， 對(duì)角線，得出 5，又因?yàn)?到 0得出 F=3，由 周長(zhǎng)為 12，得出線段 2 3 ，運(yùn)用勾股定理出 【解答】解： 四邊形 正方形， 對(duì)角線， 5， 又 第 26 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 0， 5， F=3， 周長(zhǎng)為 12， 2 3 在 ， +（ 9 2， 解得 故答案為： 5 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系運(yùn)用勾股定理列出方程 三、解答題（共 15 小題） 16如圖，在正方形 ，點(diǎn) M 是對(duì)角線 的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 點(diǎn) E，作 點(diǎn) F求證： F 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì) 【專題】證明題 【分析】過(guò) M 點(diǎn)作 足為 Q，作 足 足為 P，根據(jù)題干條件證明出 F， E，進(jìn)而證明 可證明出 F 【解答】證明：過(guò) M 點(diǎn)作 足為 Q，作 足為 P， 四邊形 正方形， 第 27 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 四邊形 四邊形 正方形，四邊形 矩形， M=F， B= 在 ， ， F 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，此題正確作出輔助線很易解答 17如圖， P 為正方形 邊 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 足分別為點(diǎn) E、 F，已知 （ 1）試說(shuō)明 值是一個(gè)常數(shù)； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 點(diǎn) M，點(diǎn) P 在何位置時(shí)線段 長(zhǎng)，并求出此時(shí) 值 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判 定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】（ 1）由已知 0， C，結(jié)合 明 得 F，于是 6 為常數(shù)； （ 2）設(shè) AP=x，則 x，由已知 出關(guān)于 x 的一元二次函數(shù)，求出 最大值 【解答】解：（ 1）由已知 0， C， 第 28 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 又 在 ， ， F， 6 為常數(shù)； （ 2）設(shè) AP=x，則 x， 由已知 = ， 即 = ， =x 當(dāng) x=2 時(shí)，即點(diǎn) P 是 中點(diǎn)時(shí)， 最大值為 1 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識(shí)，此題有一定的難度，是一道不錯(cuò)的中考試題 18如圖正方形 邊長(zhǎng)為 4， E、 F 分別為 點(diǎn) （ 1）求證： （ 2）求 面積 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】幾何圖形問(wèn)題 第 29 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【分析】（ 1）由四邊形 正方形，得到 D， B= D=90， B，由 E、 F 分別為 C 中點(diǎn)，得出 F，進(jìn)而證明出兩三角形全等； （ 2）首先求出 長(zhǎng)度，再根據(jù) S 正方形 S S S 【解答】（ 1）證明： 四邊形 正方形， D， D= B=90， B， E、 F 為 點(diǎn)， F， 在 ， ， （ 2）解：由題知 為直角三角形， 且 D=4， F= 4=2， F= 4=2， S 正方形 S S S 4 4 4 2 4 2 2 2 =6 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，此題難度不大 19如圖 1，在正方形 ， E、 F 分別是邊 的點(diǎn)，且 （ 1）求證： E； （ 2）如圖 2，在正方形 ， M、 N、 P、 Q 分別是邊 的點(diǎn)，且 Q 是否相等？并說(shuō)明理由 第 30 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】證明題 【分析】（ 1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 D， D=90，再根據(jù)同角的余角相等求出 后利用 “角邊角 ”證明 等，再根據(jù)全等三角形的證明即可； （ 2）過(guò)點(diǎn) A 作 F，過(guò)點(diǎn) B 作 E，然后與（ 1）相同 【解答】（ 1）證明：在正方形 ， D， D=90， 0， 0， 在 ， ， E； （ 2）解： 等 理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn) A 作 F，過(guò)點(diǎn) B 作 E， 四邊形 四邊形 平行四邊形， M， Q， 在正方形 ， D， D=90， 0， 第 31 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 0， 在 ， ， E； Q 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了正方形的四條邊都相等，每一個(gè) 角都是直角的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用 20如圖 ，在正方形 ， P 是對(duì)角線 的一點(diǎn)，點(diǎn) E 在 延長(zhǎng)線上，且 B （ 1）求證： （ 2）求證： （ 3）把正方形 為菱形，其它條件不變（如圖 ），若 8，則 58 度 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì) 【專題】證明題 第 32 頁(yè)（共 51 頁(yè)） 【分析】（ 1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得 C，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得 后利用 “邊角邊