第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2015年四川省眉山市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿(mǎn)分 60 分） 1對(duì)命題 “ R， 2 0”的否定正確的是（ ） A R， 2 0 B x R， 2x+4 0 C x R， 2x+4 0 D x R， 2x+4 0 2圓 x+2） 2+（ y 2） 2=1 與圓 x 2） 2+（ y 5） 2=16 的位置關(guān)系是（ ） A外離 B相交 C內(nèi)切 D外切 3已知 x 與 y 之間的一組數(shù)據(jù)：則 y 與 x 的線(xiàn)性回歸方程 = x+ 必過(guò)點(diǎn)（ ） x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 7 9 A（ 1， 2） B（ 5， 2） C（ 2， 5） D（ 5） 4從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè) A=三件產(chǎn)品全不是次品 ， B=三件產(chǎn)品全是次品 ，C=三件產(chǎn)品至少有一件是次品 ，則下列結(jié)論正確的是（ ） A A 與 C 互斥 B A 與 B 互為對(duì)立 事件 C B 與 C 互斥 D任何兩個(gè)均互斥 5若實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足不等式組 ，則 3x+4y 的最小值是（ ） A 13 B 15 C 20 D 28 6如圖是正方體或四面體， P， Q， R， S 分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（ ） A B C D 7已知直線(xiàn) x+（ a 2） y 2=0， a 2） x+1=0，則 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 8已知 m， n 是兩條不同的直線(xiàn)， ， 是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ） A若 m， n， m ， n ，則 B若 m， m ， =n，則 m n C若 ， m ，則 m D若 m n， n ， ，則 m 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出 的 p 是 720，則輸入的 N 的值是（ ） 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A 5 B 6 C 7 D 8 10在空間四邊形 ， G 是 重心，若 = ， = ， = ，則 =（ ） A + + B + + C + + D 3 +3 +3 11由不等式組 確定的平面區(qū)域記為 1，不等式組 確定的平面區(qū)域記為 2，在 1 中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2 內(nèi)的概率為（ ） A B C D 12設(shè)有一組圓 x k+1） 2+（ y 3k） 2=2k N*）下列四個(gè)命題： 存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切； 存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交； 存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交； 所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 其中真命題的序號(hào)是（ ） A B C D 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿(mǎn)分 20 分） 13某單位有 40 名職工，現(xiàn)從中抽取 5 名職工，統(tǒng)計(jì)他們的體重 ，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為 14求直線(xiàn) x y=2 被圓 x2+ 截得的弦長(zhǎng)為 15執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果是 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 16空間四邊形 兩條對(duì)棱 相垂直， 長(zhǎng)分別為 8 和 2，則平行四邊形兩條對(duì)棱的截面四邊形 平移過(guò)程中，面積的最大值是 三、解答題（共 6 小題，滿(mǎn)分 70 分） 17已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A（ 3， 0）， B（ 2， 1）， C（ 2， 3） （ 1）求 上的中線(xiàn) 在的直線(xiàn)方程； （ 2）求 外接圓的一般方程 18某高校在 2012 年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如圖所示 成績(jī)分組 頻數(shù) 頻率 （ 160， 165 5 165， 170 170， 175 30 （ 175， 180 20 180， 185 10 計(jì) 100 1 （ 1）請(qǐng)先求出頻率分布表中 、 位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再畫(huà)出頻率分布直方圖； （ 2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在筆試成績(jī)高的第 3、 4、 5 組中用分層抽樣抽取 6 名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第 3、 4、 5 組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？ （ 3）在（ 2）的前提下，學(xué)校決定在 6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生接受 A 考官的面試，求第四組至少有一名學(xué)生被考官 A 面試的概率？ 19在三棱柱 ， 底面 C=2， ， D 為棱中點(diǎn) 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線(xiàn) 平面 成角的正切值 20已知命題 p：對(duì)于 m 1， 1，不等式 5a 3 恒成立；命題 q：不等式x2+ 0 有解，若 p q 為真，且 p q 為假，求 a 的取值范圍 21在如圖所示的幾何體中，四邊形 矩形，平面 平面 0， ， F=2，點(diǎn) P 在棱 （ 1）求證： （ 2）若二面角 D C 的余弦值為 ，求 長(zhǎng) 22已知圓 C 過(guò)點(diǎn) P（ ， ），且與圓 M：（ x+2） 2+（ y+2） 2=r 0）關(guān)于直線(xiàn) x+y+2=0對(duì)稱(chēng) （ 1）求圓 C 的方程； （ 2）設(shè) Q 為圓心 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 的最小值； （ 3）過(guò)點(diǎn) P 作兩條相異直線(xiàn)分別與圓 C 相交于 A， B，且直線(xiàn) 直線(xiàn) 傾斜角互補(bǔ)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線(xiàn) 否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2015年四川省眉山市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿(mǎn)分 60 分） 1對(duì)命題 “ R， 2 0”的否定正確的是（ ） A R， 2 0 B x R， 2x+4 0 C x R， 2x+4 0 D x R， 2x+4 0 【考點(diǎn)】 特稱(chēng)命題；命題的否定 【分析】 通過(guò)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，直接判斷選項(xiàng)即可 【解答】 解：因?yàn)槊} “ R， 2 0”的否定是 “ x R， 2x+4 0” 故選 C 2圓 x+2） 2+（ y 2） 2=1 與圓 x 2） 2+（ y 5） 2=16 的位置關(guān)系是（ ） A外離 B相交 C內(nèi)切 D外切 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 【分析】 先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到分別 得到兩圓的圓心坐標(biāo)及兩圓的半徑，然后利用圓心之間的距離 d 與兩個(gè)半徑相加、相減比較大小即可得出圓與圓的位置關(guān)系 【解答】 解：由圓 x+2） 2+（ y 2） 2=1 與圓 x 2） 2+（ y 5） 2=16 得： 圓 心坐標(biāo)為（ 2， 2），半徑 r=1；圓 心坐標(biāo)為（ 2， 5），半徑 R=4 兩個(gè)圓心之間的距離 d= =5，而 d=R+r，所以?xún)蓤A的位置關(guān)系是外切 故選 D 3已知 x 與 y 之間的一組數(shù)據(jù)：則 y 與 x 的線(xiàn)性回歸方程 = x+ 必過(guò)點(diǎn)（ ） x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 7 9 A（ 1， 2） B（ 5， 2） C（ 2， 5） D（ 5） 【考點(diǎn)】 線(xiàn)性回歸方程 【分析】 由已知表格中的數(shù)據(jù)，我們根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算出變量 x， y 的平均數(shù)，根據(jù)回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，可得結(jié)論 【解答】 解：由表中數(shù)據(jù)可得： = （ 0+1+2+3+4） =2， = （ 1+3+5+7+9） =5， 回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)， 故選： C 4從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè) A=三件產(chǎn)品全不是次品 ， B=三件產(chǎn)品全是次品 ，C=三件產(chǎn)品至少有一件是次品 ，則下列結(jié)論正確的是（ ） A A 與 C 互斥 B A 與 B 互為對(duì)立事件 第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)） C B 與 C 互斥 D任何兩個(gè)均互斥 【考點(diǎn)】 互斥事件與對(duì)立事件 【分析】 利用對(duì)立事件、互斥事件的定義求解 【解答】 解：從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品， 設(shè) A=三件產(chǎn)品全不是次品 ， B=三件產(chǎn)品全是次品 ， C=三件產(chǎn)品至少有一件是次品 ， 事件 A 與 C 不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故 A 正確； 事件 A 與 B 不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故 A 與 B 是互斥但不對(duì)立事件，故 B 錯(cuò)誤； 事件 B 與 C 能同時(shí)發(fā)生，故 B 與 C 不是互斥事件，故 C 錯(cuò)誤； 由 B 與 C 不是互斥事件得 D 錯(cuò)誤 故選： A 5若實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足不等式組 ，則 3x+4y 的最小值是（ ） A 13 B 15 C 20 D 28 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃 【分析】 我畫(huà)出滿(mǎn)足不等式組 的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域中各角點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用角點(diǎn)法，將各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)，比較后即可得到 3x+4y 的最小值 【解答】 解：滿(mǎn)足約束條件 的平面區(qū)域如下圖所示： 由圖可知，當(dāng) x=3， y=1 時(shí) 3x+4y 取最小值 13 故選 A 6如圖是正方體或四面體， P， Q， R， S 分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（ ） 第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A B C D 【考點(diǎn)】 平面的基本性質(zhì)及推論 【分析】 利用公理三及推論判斷求解 【解答】 解：在 A 圖中：分別連接 則 P， S， R， Q 共面 在 B 圖中：過(guò) P， Q， R， S 可作一正六邊形，如圖，故 P， Q， R， S 四點(diǎn)共面 在 C 圖中：分別連接 則 P， Q， R， S 共面 D 圖中： 異面直線(xiàn)， P， Q， R， S 四點(diǎn)不共面 故選： D 7已知直線(xiàn) x+（ a 2） y 2=0， a 2） x+1=0，則 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件 、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 當(dāng) a= 1 時(shí)，這兩條直線(xiàn)的斜率之積等于 1，故有 ，能推出 a= 1，或 a=2，不能推出 a= 1，從而得出結(jié)論 【解答】 解：當(dāng) a= 1 時(shí)，直線(xiàn) 斜率為 ，直線(xiàn) 斜率為 3，它們的斜率之積等于 1，故有 充分性成立 當(dāng) ，有（ a 2） +（ a 2） a=0 成立，即 （ a 2）（ a+1） =0，解得 a= 1，或 a=2，故不能推出 a= 1，故必要性不成立， 故選 A 8已知 m， n 是兩條不同的直線(xiàn)， ， 是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ） A若 m， n， m ， n ，則 B若 m， m ， =n，則 m n C若 ， m ，則 m D若 m n， n ， ，則 m 【考點(diǎn)】 空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 在 A 中， 與 相交或平行；在 B 中，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得 m n；在 C 中，m 或 m；在 D 中， m 與 相交、平行或 m 【解答】 解：由 m， n 是兩條不同的直線(xiàn)， ， 是兩個(gè)不同的平面，知： 在 A 中：若 m， n， m ， n ，則 與 相交或平行，故 A 錯(cuò)誤； 在 B 中：若 m， m ， =n，則由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得 m n，故 B 正確； 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 在 C 中：若 ， m ，則 m 或 m，故 C 錯(cuò)誤； 在 D 中：若 m n， n ， ，則 m 與 相交、平行或 m，故 D 錯(cuò)誤 故選： B 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 p 是 720，則輸入的 N 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由程序框圖可知，該程序的功能為 輸出結(jié)果為 p=1 2 3 （ N 1） N，故所以若輸出結(jié)果為 720，則 p=1 2 3 （ N 1） N=720，得 N=6 【解答】 解：由程序框圖可知，該程序輸出的結(jié)果為 p=1 2 3 （ N 1） N， 所以若輸出結(jié)果為 720，則 p=1 2 3 （ N 1） N=720，得 N=6 故選： B 10在空間四邊形 ， G 是 重心，若 = ， = ， = ，則 =（ ） A + + B + + C + + D 3 +3 +3 【考點(diǎn)】 向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義 【分析】 由題意知 = （ + ），從而化簡(jiǎn)可得 【解答】 解： G 是 重心， = （ + ）， = + = + （ + ） = + （ + ） = （ + + ） = + + ， 故選： C 第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 11由不等式組 確定的平面區(qū)域記為 1，不等式組 確定的平面區(qū)域記為 2，在 1 中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2 內(nèi)的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的面積，利用幾何槪型的概率公式即可得到結(jié)論 【解答】 解：平面區(qū)域 1，為三角形 積為 ， 平面區(qū)域 2，為 的四邊形 其中 C（ 0， 1）， 由 ，解得 ，即 D（ ， ）， 則三角形 面積 S= = ， 則四邊形 面積 S= ， 則在 1 中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2 內(nèi)的概率為 ， 故選： D 12設(shè)有一組圓 x k+1） 2+（ y 3k） 2=2k N*）下列四個(gè)命題： 存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切； 存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交； 存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交； 所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 其中真命題的序號(hào)是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 由已知圓心（ k 1， 3k），由兩圓的位置關(guān)系、圓心距、兩圓的半徑之差，能判斷出真命題個(gè)數(shù) 【解答】 解：根據(jù)題意得：圓心（ k 1， 3k）， 圓心在直線(xiàn) y=3（ x+1）上，故存在直線(xiàn) y=3（ x+1）與所有圓都相交，選項(xiàng) 正確； 考慮兩圓的位置關(guān)系， 圓 k：圓心（ k 1， 3k），半徑為 |k|， 圓 k+1：圓心（ k 1+1， 3（ k+1），即（ k， 3k+3），半徑為 （ k+1） 2， 兩圓的圓心距 d= = ， 兩圓的半徑之差 R r= （ k+1） 2 k+ ， 任取 k=1 或 2 時(shí)，（ R r d）， 于 之中，選項(xiàng) 錯(cuò)誤； 若 k 取無(wú)窮大，則可以認(rèn)為所有直線(xiàn)都與圓相交，選項(xiàng) 錯(cuò)誤 ； 將（ 0， 0）帶入圓的方程，則有（ k+1） 2+9 102k+1=2k N*）， 因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在 k 使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn)，選項(xiàng) 正確 則真命題的代號(hào)是 故選： B 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿(mǎn)分 20 分） 13某單位有 40 名職工，現(xiàn)從中抽取 5 名職工，統(tǒng)計(jì)他們的體重，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為 【考點(diǎn)】 極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖 【分析】 先求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出樣本數(shù)據(jù)方差，由此能求出該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 【解答】 解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) = =69， 樣本數(shù)據(jù)方差 （ 59 69） 2+（ 62 69） 2+（ 70 69） 2+（ 73 69） 2+（ 81 69） 2=62， 該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為 S= 故答案為： 14求直線(xiàn) x y=2 被圓 x2+ 截得的弦長(zhǎng)為 2 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì) 【分析】 求出圓心到直線(xiàn)的距離，利用半徑、半弦長(zhǎng)，弦心距滿(mǎn)足勾股定理，求出半弦長(zhǎng)，即可求出結(jié)果 【解答】 解：弦心距為： = ；半徑為： 2，半弦長(zhǎng)為： ，弦長(zhǎng) ： 2 故答案為： 2 第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 15執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果是 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的 n， s 的值，當(dāng) n=4 時(shí)滿(mǎn)足條件 n 4，退出循環(huán)，輸出 s 的值，利用裂項(xiàng)法求和即可得解 【解 答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 n=0， s=0， n=1， s= ， 不滿(mǎn)足條件 n 4， n=2， s= + ， 不滿(mǎn)足條件 n 4， n=3， s= + + ， 不滿(mǎn)足條件 n 4， n=4， s= + + + = （ 1） = ， 滿(mǎn)足條件 n 4，退出循環(huán)，輸出 s 的值為 故答案為： 16空間四邊形 兩條對(duì)棱 相垂直， 長(zhǎng)分別為 8 和 2，則平行四邊形兩條對(duì)棱的截面四邊形 平移過(guò)程中，面積的最大值是 4 第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì) 【分析】 假設(shè) 截面四 邊形， 平行四邊形，設(shè) EN=x（ 0 x 2）， FE=y（ 0 y 8）， （ S 為所求面積），利用 得 =1= + ，整理可得 8=4x+y，利用基本不等式即可解得面積的最大值 【解答】 解：如圖，假設(shè) 截面四邊形， 平行四邊形； 設(shè) EN=x（ 0 x 2）， FE=y（ 0 y 8）， （ S 為所求面積）； 由 得： = ， = = ， 兩式相加，得： =1= + ， 化簡(jiǎn) ，得 8=4x+y， 可得： 8=4x+y 2 ，（當(dāng)且僅當(dāng) 2x=y 時(shí)等號(hào)成立），解得： 4， 解得： S=4 故答案為： 4 三、解答題（共 6 小題，滿(mǎn)分 70 分） 17已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A（ 3， 0）， B（ 2， 1）， C（ 2， 3） （ 1）求 上的中線(xiàn) 在的直線(xiàn)方程； （ 2）求 外接圓的一般方程 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）求出 中點(diǎn)，即 可求 上的中線(xiàn) 在的直線(xiàn)方程； （ 2）設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可求 外接圓的一般方程 【解答】 解：（ 1） B（ 2， 1）， C（ 2， 3） 中點(diǎn) D（ 0， 2）， A（ 3， 0）， 在的直線(xiàn)方程為 =1，即 2x 3y+6=0； （ 2）設(shè)方程為 x2+x+=0，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 ， D= ， E= ， F= ， 外接圓的一般方程為 x2+x y =0 第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 18某高校在 2012 年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如圖所示 成績(jī)分組 頻數(shù) 頻率 （ 160， 165 5 165， 170 170， 175 30 （ 175， 180 20 180， 185 10 計(jì) 100 1 （ 1）請(qǐng)先求出頻率分布表中 、 位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再畫(huà)出頻率分布直方圖； （ 2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在筆試成績(jī)高的第 3、 4、 5 組中用分層抽樣抽取 6 名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第 3、 4、 5 組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？ （ 3）在（ 2）的前提下，學(xué)校決定在 6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生接受 A 考官的面試，求第四組至少有一 名學(xué)生被考官 A 面試的概率？ 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布表 【分析】 （ 1）由頻率 = 可求其數(shù)據(jù)，頻率分布直方圖時(shí)注意縱軸；（ 2）用分層抽樣的方法獲取樣本中的比例；（ 3）用古典概型求概率 【解答】 解：（ 1） 位置上的數(shù)據(jù)為 =35， 位置上的數(shù)據(jù)為 = 頻率分布直方圖如右圖： （ 2） 6 6 6 故第 3、 4、 5 組每組各抽取 3， 2， 1 名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試 （ 3）其概率模型為古典概型， 設(shè)第 3、 4、 5 組抽取的學(xué)生分別為： a， b， c， 1， 2， m 則其所有的基本事件有： （ a， b），（ a， c），（ a， 1），（ a， 2），（ a， m）， （ b， c），（ b， 1），（ b， 2），（ b， m）， （ c， 1），（ c， 2），（ c， m）， （ 1， 2），（ 1， m）， （ 2， m） 共有 15 個(gè)，符合條件的有 9 個(gè)； 故概率為 = 第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 19在三棱柱 ， 底面 C=2， ， D 為棱中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線(xiàn) 平面 成角的正切值 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與平面所成的角；直線(xiàn)與平 面平行的判定 【分析】 （ 1）連結(jié) E，連結(jié) 此能證明 平面 （ 2）取 底面 導(dǎo)出 直線(xiàn) 平面 成角，由此能求出直線(xiàn) 平面 成角的正切值 【解答】 證明：（ 1）連結(jié) E，連結(jié) 在三棱柱 ， E 是 中點(diǎn)， D 為 點(diǎn)， 平面 解：（ 2）取 底面 底面 平面 面 射影為 直線(xiàn) 平面 成角， 而 = ， ， 在 ， = 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 直線(xiàn) 平面 成角的正切 值為 20已知命題 p：對(duì)于 m 1， 1，不等式 5a 3 恒成立；命題 q：不等式x2+ 0 有解，若 p q 為真，且 p q 為假，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 分別求出命題 p， q 中的 a 的取值范圍，再利用若 p q 為真，且 p q 為假，則 p與 q 一真一假即可得出 【解答】 解：若命題 p：對(duì)于 m 1， 1，不等式 5a 3 恒成立； 由于 =3， 5a 3 3，解得 a 6 或 a 1 若命題 q：不等式 x2+ 0 有解，則 =8 0，解得 或 a 2 若 p q 為真，且 p q 為假，則 p 與 q 一真一假 當(dāng) p 真 q 假時(shí)， ， 解得 ，此時(shí) a 當(dāng) q 真 p 假時(shí)， ，解得 ，此時(shí) a 綜上可知： a 的取值范圍是 21在如圖所示的幾何體中，四邊形 矩形，平面 平面 0， ， F=2，點(diǎn) P 在棱 （ 1）求證： （ 2）若二面角 D C 的余弦值為 ，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的性質(zhì) 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 而 平面 此能證明 （ 2）以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在的直線(xiàn)分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出 長(zhǎng) 【解答】 證明：（ 1） 四邊形 矩形， 平面 平面 面 面 B， 面 平面 第 16 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 又 平面 解：（ 2）由（ 1）知 平面 0， 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在的直線(xiàn)分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 B（ 1， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， F（ 0， 0， 1）， C（ 1， 2， 0）， 設(shè) = ，（ 0 1），則 P（ 0， 2， 1 ）， =（ 1， 2， 0）， =（ 0， 2， 1 ）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 =（ x，