第 1 頁（共 16 頁） 2015年江西省新余市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（每題 5 分） 1命題 “任意的 x R， 2 0”的否定是（ ） A不存在 x R， 2 0 B存在 x R， 2 0 C對任意的 x R， 2 0 D存在 x R， 2 0 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =（ ） A 0 B 1 C D 2 3下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ） 命題 “所有的四邊形都是矩形 ”是特稱命題； 命題 “ x R， 0”是全稱命題； 若 p： x R， x+4 0，則 q： x R， x+4 0 是全稱命題 A 0 B 1 C 2 D 3 4設(shè) =（ x， 2y， 3）， =（ 1， 1， 6），且 ，則 x+y 等于（ ） A B C D 2 5設(shè) f（ x）是函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)， y=f（ x）的圖象如圖，則 y=f（ x）的圖象最有可能的是（ ） A B C D 6對于數(shù) 25，規(guī)定第 1 次操作為 23+53=133，第 2 次操作為 13+33+33=55，如此反復(fù)操作，則第 2016 次操作后得到的數(shù)是（ ） A 25 B 250 C 55 D 133 7用反證法證明命題 “若 a+b+c 0， 0，則 a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有一個小于零 ”的反設(shè)內(nèi)容為（ ） A a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有一個不大于零 B a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有兩個小于零 C a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有 兩個小于零 D a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有一個不大于零 8若 （ x a） a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 第 2 頁（共 16 頁） 9在正方體 ， M 為 中點， O 為四邊形 中心， P 為棱 異面直線 成的角為（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 10平面內(nèi)有兩定點 A、 B 及動點 P，設(shè)命題甲是： “|定值 ”，命題乙是： “點 、 B 為焦點的橢圓 ”，那么（ ） A甲是乙成立的充分不必要條件 B甲是乙成立的必要不充分條件 C甲是乙成立的充要條件 D甲是乙成立的非充分非必要條件 11設(shè) 4a（ a 0）的兩個焦點，點 P 在雙曲線上，且滿足 ，則 a 的值為（ ） A 2 B C 1 D 12若函數(shù) f（ x）對任意的 x R 都有 f（ x） f（ x）恒成立，則（ ） A 3f（ 2f（ B 3f（ =2f（ C 3f（ 2f（ D 3f（ 2f（ 大小不確定 二、填空題（每題 5 分） 13如圖，設(shè) O 為平行四邊形 在平面外任意一點， E 為 中點，若 = +x+y ，則 x+y= 14已知在等差數(shù)列 ， ，則在等比數(shù)列 ，類似的結(jié)論為 15設(shè)點 P 是曲線 上的任意一點，點 P 處的切線的傾斜角為 ， 則 的取值范圍為 16設(shè)雙曲線 （ a 0， b 0）的一個焦點為 F，虛軸的一個端點為 B，線段 ，若 ，則雙曲線的離心率為 三、解答題 第 3 頁（共 16 頁） 17已知命題 p：方程 表示焦點在 y 軸上的橢圓，命題 q：關(guān)于 x 的方程m+3=0 無實根， （ 1）若命題 p 為真命題，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 2）若 “p q”為假命題， “p q”為真命題，求實數(shù) m 的取值范圍 18在數(shù)列 ， ，且前 n 項的算術(shù)平均數(shù)等于第 n 項的 2n 1 倍（ n N*） （ 1）寫出此數(shù)列的前 5 項； （ 2）歸納猜想 通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 19由于某種商品開始收稅，使其定價比原定價上漲 x 成（即上漲率為 ），漲價后商品賣出的個數(shù)減少 ，稅率是新價的 a 成，這里 a， b 均為常數(shù)，且 a 10，用 A 表示過 去定價， B 表示過去賣出的個數(shù) （ 1）設(shè)售貨款扣除稅款后，剩余 y 元，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式； （ 2）要使 y 最大，求 x 的值 20如圖，在直三棱柱 ， C=2， ，點 D 是 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求平面 成二面角的平面角的正弦值 21已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，短軸長為 ，過右焦點 F 的直線 l 與 C 相交于 A， B 兩點 O 為坐標原點 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若點 P 在橢圓 C 上，且 = + ，求直線 l 的方程 22已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =中 x R （ ）若曲線 y=f（ x）與 y=g（ x）在 x=1 處的切線相互平行，求兩平行直線間的距離； （ ）若 f（ x） g（ x） 1 對任意 x 0 恒成立，求實數(shù) a 的值； （ ）當 a 0 時，對于函數(shù) h（ x） =f（ x） g（ x） +1，記在 h（ x）圖象上任取兩點 A、 | 1，求 a 的取值范圍 第 4 頁（共 16 頁） 2015年江西省新余市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每題 5 分） 1命題 “任意的 x R， 2 0”的否定是（ ） A不存在 x R， 2 0 B存在 x R， 2 0 C對任意的 x R， 2 0 D存在 x R， 2 0 【考點】 命題的否定 【分析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可 【解答】 解：命題是全稱命題，則全稱命題的否定是特稱命題得命題的否定是： 存在 x R， 2 0， 故選： D 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =（ ） A 0 B 1 C D 2 【考 點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復(fù)數(shù)求模 【分析】 化簡復(fù)數(shù)方程，求出復(fù)數(shù) z 為 a+a、 b R）的形式，然后再求復(fù)數(shù) |1+z|的模 【解答】 解：由于 ，所以 1 z=i+以 z= 則 |1+z|= 故選 C 3下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ） 命題 “所有的四邊形都是矩形 ”是特稱命 題； 命題 “ x R， 0”是全稱命題； 若 p： x R， x+4 0，則 q： x R， x+4 0 是全稱命題 A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 全稱命題；特稱命題 【分析】 利用全稱命題與特稱命題的定義判斷即可 【解答】 解： 命題 “所有的四邊形都是矩形 ”是全稱命題，故 錯誤； 命題 “ x R， 0”是全稱命題，故 正確； 若 p： x R， x+4 0，則 q： x R， x+4 0 是全稱命題，故 正確 故選： C 4設(shè) =（ x， 2y， 3）， =（ 1， 1， 6），且 ，則 x+y 等于（ ） A B C D 2 第 5 頁（共 16 頁） 【考點】 共線向量與共面向量 【分析】 利用向量共線定 理即可得出 【解答】 解： ， 存在實數(shù) 使得 ， （ x， 2y， 3） =（ 1， 1， 6）， x=， 2y=， 3=6， 解得 ， x= ， y= x+y= 故選： B 5設(shè) f（ x）是函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)， y=f（ x）的圖象如圖，則 y=f（ x）的圖象最有可能的是（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 【分析 】 直接根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在 x （ 0， 2）上的符號得到原函數(shù)在 x （ 0， 2）上的單調(diào)性，由此可得結(jié)論 【解答】 解：因為函數(shù) y=f（ x）的導(dǎo)函數(shù)在 x （ 0， 2）時恒大于 0，所以原函數(shù) y=f（ x）的圖象在 x （ 0， 2）時為增函數(shù) 選項中只有 C 符合 故選 C 6對于數(shù) 25，規(guī)定第 1 次操作為 23+53=133，第 2 次操作為 13+33+33=55，如此反復(fù)操作，則第 2016 次操作后得到的數(shù)是（ ） A 25 B 250 C 55 D 133 【考點】 歸納推理 【分析】 第 1 次操作為 23+53=133，第 2 次操作為 13+33+33=55，第 3 次操作為 53+53=250，第 4 次操作為 23+53+03=133，所以操作結(jié)果，以 3 為周期，循環(huán)出現(xiàn)，由此可得第 2016 次操作后得到的數(shù) 【解答】 解：第 1 次操作為 23+53=133， 第 2 次操作為 13+33+33=55， 第 3 次操作為 53+53=250， 第 4 次操作為 23+53+03=133 操作結(jié)果，以 3 為周期，循環(huán)出現(xiàn) 第 6 頁（共 16 頁） 2016=3 672， 第 2016 次操作后得到的數(shù)與第 3 次操作后得到的數(shù)相同 第 2016 次操作后得到的數(shù)是 250， 故選： B 7用反證法證明命題 “若 a+b+c 0， 0，則 a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有一個小于零 ”的反設(shè)內(nèi)容為（ ） A a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有一個不大于零 B a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有兩個小于零 C a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有兩個小于零 D a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有一個不大于零 【考點】 反證法與放縮法 【分析】 用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題 “a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有一個小于零 ”的否定為： “a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有兩個小于零 ”，由此得出結(jié)論 【解答】 解：用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，應(yīng)先假設(shè)命題的 否定成立， 而命題 “a、 b、 c 三個實數(shù)中最多有一個小于零 ”的否定為： “a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有兩個小于零 ”， 故應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容是： a、 b、 c 三個實數(shù)中至少有兩個小于零 故選： C 8若 （ x a） a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考點】 定積分 【分析】 利用定積分的運算法則列出方程，求出 a 的值即可 【解答】 解： ， （ = 即 a= ， 解得 a=1 故選： B 9在正方體 ， M 為 中點， O 為四邊形 中心， P 為棱 異面直線 成的角為 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考點】 異面直線及其所成的角 【分析】 根據(jù)題意，直線 點 O 與 定的平面內(nèi)設(shè)點 O 與 定的平面為， 且 ，可得 F、 E 為 中點，由正方形的性質(zhì)可得 7 頁（共 16 頁） 由 面 得 此 面 合 面 此即可得到異面直線 成的角為 90 【解答】 解： 面 面 設(shè) 點 O 與 定的平面為 ， 且 ，則 F、 E 為 中點， 根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得 11， 面面 面 又 面 即直線 直線 成的角是 90 故選： D 10平面內(nèi)有兩定點 A、 B 及動點 P，設(shè)命題甲是： “|定值 ”，命題乙是： “點 、 B 為焦點的橢圓 ”，那么（ ） A甲是乙成立的充分不必要條件 B甲是乙成立的必要不充分條件 C甲是乙成立的充要條件 D甲是乙成立的非充分非必要條件 【考點】 橢圓的定義 【分析】 當一個動點到兩個定點距離之和等于定值時，再加上這個和大于兩個定點之間的距離，可以得到動點的軌跡是橢圓，沒有加上的條件不一定推出，而點 P 的軌跡是以 A B 為焦點的橢圓，一定能夠推出 |定值 【解答】 解：命題甲是： “|定值 ”， 命題乙是： “點 P 的軌跡是以 A B 為焦點的橢圓 當一個動點到兩個定點距離之和等于定值時， 再加上這個和 大于兩個定點之間的距離， 可以得到動點的軌跡是橢圓，沒有加上的條件不一定推出， 而點 P 的軌跡是以 A B 為焦點的橢圓，一定能夠推出 |定值， 甲是乙成立的必要不充分條件 故選 B 11設(shè) 4a（ a 0）的兩個焦點，點 P 在雙曲線上，且滿足 ，則 a 的值為（ ） A 2 B C 1 D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 第 8 頁（共 16 頁） 【分析】 由數(shù)量積的意義結(jié)合勾股定理可得（ 2+20a，代入已知可得關(guān)于 a 的方程，解之可得 【解答】 解：由題意可得 直角， 直角三角形， 又雙曲線的方程可化為 ， 故 =40a， 變形可得（ 2+20a， 由雙曲線定義得（ 2 ） 2+4=20a， 即 ，解得 a=1， 故選 C 12若函數(shù) f（ x）對任意的 x R 都有 f（ x） f（ x）恒成立，則（ ） A 3f（ 2f（ B 3f（ =2f（ C 3f（ 2f（ D 3f（ 2f（ 大小不確定 【考點】 導(dǎo)數(shù)的運算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 構(gòu)造函數(shù) g（ x），利用導(dǎo)數(shù)可判斷 g（ x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得 g（ g（ 大小關(guān)系，整理即可得 到答案 【解答】 解：令 g（ x） = ，則 g（ x） = ， 因為對任意 x R 都有 f（ x） f（ x）， 所以 g（ x） 0，即 g（ x）在 R 上單調(diào)遞增， 又 以 g（ g（ 即 ，即 即 3f（ 2f（ 故選： C 二、填空題（每題 5 分） 13如圖，設(shè) O 為平行四邊形 在平面外任意一點， E 為 中點，若 = +x+y ，則 x+y= 1 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 第 9 頁（共 16 頁） 【分析】 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則便有 ， ，再根據(jù)向量減法的幾何意義，及向量的數(shù)乘運算便可得到 ，這樣便可求出 x， y，從而求出 x+y 的值 【解答】 解：根據(jù)題意， = = = ； x+y= 1 故答案為： 1 14已知在等差數(shù)列 ， ，則在等比數(shù)列 ，類似的結(jié)論為 【考點】 類比推理 【分析】 在等差數(shù)列中，等差數(shù)列的性質(zhì) m+n=p+q，則 am+an=ap+么對應(yīng)的在等比數(shù)列中對應(yīng)的性質(zhì)是若 m+n=p+q，則 【解答】 解：等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系有：等差數(shù)列中的加法對應(yīng)等比數(shù)列中的乘法， 等差數(shù)列中除法對應(yīng)等比數(shù)列中的開方， 故此我們可以類比得到結(jié)論： 故答案為： 15設(shè)點 P 是曲線 上的任意一點，點 P 處的切線的傾斜角為 ，則 的取值范圍為 0， 90 120， 180） 【考點】 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；直線的傾斜角 【分析】 先對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后表示出切線的且率，再由切線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系課得到 的范圍確定答案 【解答】 解：設(shè)點 P 是曲線 上的任意一點， y=3 點 P 處的切線的斜率 k=3 k 第 10 頁（共 16 頁） 切線的傾斜角 的范圍為： 0， 90 120， 180） 故答案為： 0， 90 120， 180） 16設(shè)雙曲線 （ a 0， b 0）的一個焦點為 F，虛軸的一個端點為 B，線段 ，若 ，則雙曲線的離心率為 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由 ，得 ，從而求出 A 點坐標，再由點 A 在漸近線 y=上，能求出雙曲線的離心率 【解答】 解：設(shè)點 F（ c， 0）， B（ 0， b）， 由 ，得 =2（ ）， ， A（ ， ）， 點 A 在漸近線 y= 上，則 ， 解得 e= 故答案為： 2 三、解答題 17已知命題 p：方程 表示焦點在 y 軸上的橢圓，命題 q：關(guān)于 x 的方程m+3=0 無實根， （ 1）若命題 p 為真命題，求實數(shù) m 的取值范圍； （ 2）若 “p q”為假命題， “p q”為真命題，求實數(shù) m 的取值范圍 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 （ 1）若命題 p 為真命題，根據(jù)橢圓的定義和方程建立不等式關(guān)系，即可求實數(shù) （ 2）根據(jù)復(fù)合命題的關(guān)系得到 p， q 為一個真命題，一個假命題，然后求解即可 【解答】 解：（ 1） 方程 表示焦點在 y 軸上的橢圓， ，即 ， 即 1 m 1， 若命題 p 為真命題，求實數(shù) m 的取值范圍是（ 1， 1）； 第 11 頁（共 16 頁） （ 2）若 “p q”為假命題， “p q”為真命題， 則 p， q 為一個真命題，一個假命題， 若關(guān)于 x 的方程 m+3=0 無實根， 則判別式 =44（ 2m+3） 0， 即 2m 3 0，得 1 m 3 若 p 真 q 假，則 ，此時無解， 柔 p 假 q 真，則 ，得 1 m 3， 綜上，實數(shù) m 的取值范圍是 1， 3） 18在數(shù)列 ， ，且前 n 項的算術(shù)平均數(shù)等于第 n 項的 2n 1 倍（ n N*） （ 1）寫出此數(shù)列的前 5 項； （ 2）歸納猜想 通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 【考點】 數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列的函數(shù)特性 【分析】 （ 1）利用數(shù)列 n 項的算術(shù)平均數(shù)等于第 n 項的 2n 1 倍，推出關(guān)系式，通過n=2， 3， 4， 5 求出此數(shù)列的前 5 項； （ 2）通過（ 1）歸納出數(shù)列 通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明第一步驗證 n=1 成立；第二步，假設(shè) n=k 猜想成立，然后證明 n=k+1 時猜想也成立 【解答】 解：（ 1）由已知 ， =（ 2n 1） 別取 n=2， 3， 4，5， 得 ， ， ； 所以數(shù)列的前 5 項是： ， ， ， ， ； （ 2）由（ 1）中的分析可以猜想 （ n N*） 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當 n=1 時，猜想顯然成立 假設(shè)當 n=k（ k 1 且 k N*）時猜想成立，即 那么由已知，得 ， 即 a1+a2+ 2k） 所以（ 2k） 2k） ， 即（ 2k 1） 2k+3） ，又由歸納假設(shè)，得 ， 所以 ，即當 n=k+1 時，猜想也成立 第 12 頁（共 16 頁） 綜上 和 知，對一切 n N*，都有 成立 19由于某種商品開始收稅，使其定價比原定價上漲 x 成（即上漲率為 ），漲價后商品賣出的個數(shù)減少 ，稅率是新價的 a 成，這里 a， b 均為常數(shù)，且 a 10，用 A 表示過去定價， B 表示過去賣出的個數(shù) （ 1）設(shè)售貨款扣除稅款后，剩余 y 元，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式； （ 2）要使 y 最大，求 x 的值 【考點】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用 【 分析】 （ 1）定價上漲 x 成，即為 A（ 1+ ），賣出的個數(shù)為 B（ 1 ），售貨款扣除稅款后，能求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式 （ 2）由已知得 ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出使 y 最大的 x 的值 【解答】 解：（ 1）定價上漲 x 成，即為 A（ 1+ ）， 賣出的個數(shù)為 B（ 1 ），售貨款扣除稅款后， 剩余 y=1+ ）（ 1 ）（ 1 ），（ 0 x 10） （ 2） y=1+ ）（ 1 ）（ 1 ） =1 ） +（ ） x+1， ， 令 y=0，得 x= ， x （ 0， ）時， y 0；當 x （ ）時， y 0 =1 ） 使 y 最大有 x 的值為 20如圖，在直三棱柱 ， C=2， ，點 D 是 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求平面 成二面角的平面角的正弦值 第 13 頁（共 16 頁） 【考點】 二面角的平 面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）連接 E，證明： 可證明 平面 （ ）建立空間直角坐標系，求出平面 一個法向量、平面 法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面 成二面角的平面角的正弦值 【解答】 （ ）證明：連接 E，則 E 為 中點，又點 D 是 中點， 所以 又 面 面 平面 （ ）解：如圖建立空間直角 坐標系 A 則 A（ 0， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， D（ 1， 1， 0）， 0， 2， 4）， =（ 0， 2， 0）是平面 一個法向量， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z） =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 2， 4）， 取 z=1，得 y= 2， x=2 平面 法向量 =（ 2， 2， 1）， 平面 成的二面角為 ， | |= 從而 ，即平面 成二面角的正弦值為 21已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，短軸長為 ，過右焦點 F 的直線 l 與 C 相交于 A， B 兩點 O 為坐標原點 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若點 P 在橢圓 C 上，且 = + ，求直線 l 的方程 第 14 頁（共 16 頁） 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由題意可得 b= ，運用離心率公式和 a， b， c 的關(guān)系，可得 a，進而得到橢圓方程； （ 2）設(shè) A（ B（ （ ）當 l 不垂直于 x 軸時，設(shè) l 的方程為 y=k（ x 1），代入橢圓方程，運用韋達定理和向量的坐標表示，解方程可得 k；（ ）當 l 垂直于 x 軸時，由向量的加法運算，即可判斷 【解答 】 解：（ 1）由 2b=2 得 b= ， 即有 = ， ， 所以 ， 則橢圓方程為 ； （ 2）橢圓 C 的方程為 2設(shè) A（ B（ （ ）當 l 不 垂直于 x 軸時，設(shè) l 的方程為 y=k（ x 1） C 上的點 P 使 = + 成立的充要條件是 P 點坐標為（ x1+y1+ 且 2（ x1+2+3（ y1+2=6， 整理得 2， 又 A、 B 在橢圓 C 上，即 2， 2， 故 2=0 將 y=k（ x 1）代入 2，并化簡得 （ 2+366=0， 于是 x1+， x1， y1y2=1）（ 1） = 代入 解得 ， 因此，當 k= 時， l 的方程為 x+y =0； 當 k= 時， l 的方程為 x y =0 （ ）當 l 垂直于 x 軸時，由 + =（ 2， 0）知， C 上不存在點 P 使 = + 成立 綜上， l 的方程為 x y =0 22已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =中 x R （ ）若曲線 y=f（ x）與 y=g（ x