第 1 頁（共 15 頁） 2015年河南省周口市沈丘縣高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1設(shè) i 是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)（ 1 i） i 等于（ ） A 1+i B 1+i C 1 i D 1 i 2已知不等式 |x | 的解集為 M，不等式 4x 0 的解集為 N，則 MN=（ ） A（ 0， 2 B 1， 0） C 2， 4） D 1， 4） 3在 ， E， F 分別為 中點，則有 個命題的大前提為（ ） A三角形的中位線平行于第三邊 B三角形的中位線等于第三邊的一半 C 中位線 D 已知某回歸方程為： =2 3 ，則當(dāng)解釋變量增加 1 個單位時，預(yù)報變量平均：（ ） A增加 3 個單位 B增加 個單位 C減少 3 個單位 D減少 個單位 5用反證法證明命題 “設(shè) a， b 為實數(shù)，則方程 x2+ax+b=0 至少有一個實根 ”時，要做的假設(shè)是（ ） A方程 x2+ax+b=0 沒有實根 B方程 x2+ax+b=0 至多有一個實根 C方程 x2+ax+b=0 至多有兩個實根 D方程 x2+ax+b=0 恰好有兩個實根 6已知 a， b 為正實數(shù)，函數(shù) y=2b 的圖象經(jīng)過點（ O， 1），則 的最小值為（ ） A 3+2 B 3 2 C 4 D 2 7當(dāng) n=3 時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為（ ） 第 2 頁（共 15 頁） A 30 B 14 C 8 D 6 8已知數(shù)列 前 n 項和為 ， Sn=nN*），可歸納猜想出 表達(dá)式為（ ） A B C D 9已知 是復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)， z+ +z =0，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是（ ） A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 10已知關(guān)于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立，則實數(shù) a 的最小值為（ ） A B 1 C 2 D 11設(shè) a b c， nN，且 恒成立，則 n 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 12用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+2+22+2n 1=2n 1（ nN）的過程中，第二步假設(shè)當(dāng) n=k 時等式成立，則當(dāng) n=k+1 時應(yīng) 得到（ ） A 1+2+22+2k 2+2k+1 1 B 1+2+22+2k+2k+1=2k 1+2k+1 C 1+2+22+2k 1+2k+1=2k+1 1 D 1+2+22+2k 1+2k=2k 1+2k 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13設(shè) a， b 是實數(shù)，若 =a+i 是虛數(shù)單位），則 a+b 的值是 14從 1=1， 1 4=（ 1+2）， 1 4+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，推廣到第 15若關(guān)于 x 的不等式 |x+3| |x+2|解，則實數(shù) a 的取值范圍是： 16設(shè) a， bR+，現(xiàn)有下列命題： 第 3 頁（共 15 頁） 若 ，則 a b 1； 若 ，則 a b 1； 若 ，則 |a b| 1； 若 |1，則 |a b| 1 其中正確命題的序號為 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出 文字說明，證明過程或演算步驟） 17選修 4 5：不等式選講 設(shè) f（ x） =|x+1|+|x 3| （ 1）解不等式 f（ x） 3x+4； （ 2）若不等式 f（ x） m 的解集為 R，求實數(shù) m 的取值范圍 18已知 a 0， b 0，證明 + a+b 19已知復(fù)數(shù) z=（ 8m+15） +（ 9m+18） i 在復(fù)平面內(nèi)表示的點為 A，實數(shù) m 取什么值時： （ 1） z 為實數(shù)？ （ 2） z 為純虛數(shù)？ （ 3） A 位于第 三象限？ 20某中學(xué)采取分層抽樣的方法從應(yīng)屆高三學(xué)生中按照性別抽取 20 名學(xué)生，其中 8 名女生中有 3 名報考理科，男生中有 2 名報考文科 （ 1）是根據(jù)以上信息，寫出 22 列聯(lián)表； （ 2）用假設(shè)檢驗的方法分析有多大的把握認(rèn)為該中學(xué)的高三學(xué)生選報文理科與性別有關(guān)？ 參考公式 P（ K2 21某種產(chǎn)品的廣告費用支出 與銷售額之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）畫出散點圖，并說明銷售額 y 與廣告費用支出 x 之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？ （ 2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 ，求出回歸直線方程 （ 3）據(jù)此估計廣告費用為 10 時，銷售收入 y 的值 22已知關(guān)于 x 的方程： 6+i） x+9+（ aR）有實數(shù)根 b （ 1）求實數(shù) a， b 的值 第 4 頁（共 15 頁） （ 2）若復(fù)數(shù) z 滿足 | a 2|z|=0，求 z 為何值時， |z|有最小值，并求出 |z|的最小值 第 5 頁（共 15 頁） 2015年河南省周口市沈丘縣高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1設(shè) i 是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)（ 1 i） i 等于（ ） A 1+i B 1+i C 1 i D 1 i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的 乘除運算 【分析】 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算求解 【解答】 解：（ 1 i） i=i +i 故選： B 2已知不等式 |x | 的解集為 M，不等式 4x 0 的解集為 N，則 MN=（ ） A（ 0， 2 B 1， 0） C 2， 4） D 1， 4） 【考點】 一元二次不等式的解法；交集及其運算 【分析】 化簡不等式，求出集合 M、 N，再求 MN 【解答】 解：不等式 |x | 可化為 x ， 解得 1x2， 所以 M= 1， 2； 不等式 4x 0 可化為 x（ x 4） 0， 解得 0 x 4， 所以 N=（ 0， 4）； 則 MN= 1， 2（ 0， 4） =（ 0， 2 故選： A 3在 ， E， F 分別為 中點，則有 個命題的大前提為（ ） A三角形的中位線平行于第三邊 B三角形的中位線等于第三邊的一半 C 中位線 D 考點】 演繹推理的基本方法 【分析】 三段論是由兩個含有一個共同項的性質(zhì)判斷作前提得出一個新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演繹推理在三段論中，含有大項的前提叫大前提，如本例中的 “三角形的中位線平行于第三邊 ” 【解答】 解：本題的推理過程形式是三段論， 其大前提是一個一般的結(jié)論， 即三角形中位線定理， 故選： A 第 6 頁（共 15 頁） 4已知某回歸方程為： =2 3 ，則當(dāng)解釋變量增加 1 個單位時，預(yù)報變量平均：（ ） A增加 3 個單位 B增加 個單位 C減少 3 個單位 D減少 個單位 【考點】 線性回歸方程 【分析】 根據(jù)回歸方程中解釋變量的系數(shù) 3 進(jìn)行判斷 【解答】 解：自變量 為解釋變量， 為預(yù)報變量 =2 3 ， 當(dāng)解釋變量 增加 1 個單位時，預(yù)報變量 減少 3 個單位 故選 C 5用反證法證明命題 “設(shè) a， b 為實數(shù)，則方程 x2+ax+b=0 至少有一個實根 ”時，要做的假設(shè)是（ ） A方程 x2+ax+b=0 沒有實根 B方程 x2+ax+b=0 至多有一個實根 C方程 x2+ax+b=0 至多有兩個實根 D方程 x2+ax+b=0 恰好有兩個實根 【考點】 反證法與放縮法 【分析】 直接利用命題的否定寫出假設(shè)即可 【解答】 解：反證法證明問題時，反設(shè)實際是命題的否定， 用反證法證明命題 “設(shè) a， b 為實數(shù)，則方程 x2+ax+b=0 至少有一個實根 ”時，要做的假設(shè)是方程 x2+ax+b=0 沒有實根 故選： A 6已知 a， b 為正實數(shù)，函數(shù) y=2b 的圖象經(jīng)過點（ O， 1），則 的最小值為（ ） A 3+2 B 3 2 C 4 D 2 【考點】 基本不等式；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點 【分析】 將點（ O， 1）的坐標(biāo)代入 y=2b，得到 a， b 的關(guān)系式，再應(yīng)用基本不等式即可 【解答】 解： 函數(shù) y=2b 的圖象經(jīng)過點（ O， 1）， 1=2ae0+b，即 2a+b=1（ a 0， b 0） =（ ） 1=（ ） （ 2a+b） =（ 2+1+ + ） 3+2 （當(dāng)且僅當(dāng) b= a= 1 時取到 “=”） 故選 A 7當(dāng) n=3 時，執(zhí)行如圖所示的程 序框圖，輸出的 S 值為（ ） 第 7 頁（共 15 頁） A 30 B 14 C 8 D 6 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， K 的值，當(dāng) K=4 時，不滿足條件 kn，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 14 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 n=3， K=1， S=0 滿足條件 kn， S=2， K=2 滿足條件 kn， S=6， K=3 滿足條件 kn， S=14， K=4 不滿足條件 kn，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 14 故選： B 8已知數(shù)列 前 n 項和為 ， Sn=nN*），可歸納猜想出 表達(dá)式為（ ） A B C D 【考點】 數(shù)列的求和；歸納推理 【分析】 數(shù)列 ，前 n 項和為 ， Sn=nN*），可得 得 值，從而得 理可得 可以猜想： ，本題不需要證明 【解答】 解：在數(shù)列 ，前 n 項和為 ， Sn=nN*）， s1= ； + ， = ； + + ， = ； + + +6 ， = ； 于是猜想： 故選 A 第 8 頁（共 15 頁） 9已知 是復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)， z+ +z =0，則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是（ ） A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 【考點】 軌跡方程 【分析】 設(shè)出復(fù)數(shù) z 的代數(shù)形式，代入 z+ +z =0，整理后即可得到答案 【解答】 解：設(shè) z=x+x， yR）， 則 ， 代入 z+ +z =0，得： ， 即 x2+x=0 整理得：（ x+1） 2+ 復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是圓 故選： A 10已知關(guān)于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立，則實數(shù) a 的最小值為（ ） A B 1 C 2 D 【考點】 函數(shù)恒成立問題；基本不等式 【分析】 關(guān)于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立，即求（ 2x+ ） ，將不等式 2x+ 配湊成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，進(jìn)而求得 a 的最小值 【解答】 解： 關(guān)于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立， （ 2x+ ） ， x a， y=2x+ =2（ x a） + +2a +2a=4+2a，當(dāng)且僅當(dāng)，即 x=a+1 時取等號， （ 2x+ ） +2a， 4+2a7，解得， a ， 實數(shù) a 的最小值為 故選 A 11設(shè) a b c， nN，且 恒成立，則 n 的最大值是（ ） 第 9 頁（共 15 頁） A 2 B 3 C 4 D 6 【考點】 不等式的證明 【分析】 分離參數(shù) n，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，將函數(shù)分離常數(shù)將解析式變形為兩部分的乘積是定值，利用基本不等式求出最值 【解答】 解： + 恒成立， + 恒成立 + 的最小值 + = + =2+ + 4 得 ， n2， 故選： A 12用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+2+22+2n 1=2n 1（ nN）的過程中，第二步假設(shè)當(dāng) n=k 時等式成立，則當(dāng) n=k+1 時應(yīng)得到（ ） A 1+2+22+2k 2+2k+1 1 B 1+2+22+2k+2k+1=2k 1+2k+1 C 1+2+22+2k 1+2k+1=2k+1 1 D 1+2+22+2k 1+2k=2k 1+2k 【考點】 數(shù)學(xué)歸納法 【分析】 只要將 n=k+1 代入式子： 1+2+22+2n 1=2n 1 中即可，注意左邊中最后一項是 2k 【解答】 解： 將式子： 1+2+22+2n 1=2n 1 中 n 用 k+1 替換得： 當(dāng) n=k+1 時，有 1+2+22+2k 1+2k=2k 1+2k 故選 D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13設(shè) a， b 是實數(shù)，若 =a+i 是虛數(shù)單位），則 a+b 的值是 2 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡后再由復(fù)數(shù)相等的條件 求得 a， b 的值，則答案可求 【解答】 解： = =a+ a=1， b=1， 則 a+b=2 故答案為： 2 14從 1=1， 1 4=（ 1+2）， 1 4+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，推廣到第 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 【考點】 歸納推理 第 10 頁（共 15 頁） 【分析】 本題考查的知識點是歸納推理，解題的步驟為 ，由 1=1， 1 4=（ 1+2）， 14+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，中找出各式運算量之間的關(guān)系，歸納其中的規(guī)律，并大膽猜想，給出答案 【解答】 解： 1=1=（ 1） 1+11 1 4=（ 1+2） =（ 1） 2+1（ 1+2） 1 4+9=1+2+3=（ 1） 3+1（ 1+2+3） 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） =（ 1） 4+1（ 1+2+3+4） 所以猜想： 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 故答案為： 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 15若關(guān)于 x 的不等式 |x+3| |x+2|解，則實數(shù) a 的取值范圍是： （ 0， 2 【考點】 絕對值三角不等式 【分析】 根據(jù)絕對值的幾何意義，我們易分析出 |x+3| |x+2|表示數(shù)軸上的 x 到 2 和 3 的距離之和，求出 |x+3| |x+2|的最小值后，即可得到實數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：于 x 的不等式 |x+3| |x+2|解， |x+3| |x+2|表示數(shù)軸上的 x 到 3 和 2 的距離之差，其最小值等 于 1，最大值是 1， 由題意 ， 0 a2 故答案為：（ 0， 2 16設(shè) a， bR+，現(xiàn)有下列命題： 若 ，則 a b 1； 若 ，則 a b 1； 若 ，則 |a b| 1； 若 |1，則 |a b| 1 其中正確命題的序號為 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出 【解答】 解：由于 a， bR+，可得： ， 0 a b a+b， a b= 1； 若 ，則 0 b a，取 a=10，則 b= ，于是 a b= ，因此不正確； 若 ，則 |a b|= = ，因此不正確； 若 |1，而 |a b| a+b，則 |a b|= 1，因此正確 綜上可知：只有 正確 故答案為： 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17選修 4 5：不等式選講 設(shè) f（ x） =|x+1|+|x 3| 第 11 頁（共 15 頁） （ 1）解不等式 f（ x） 3x+4； （ 2）若不等式 f（ x） m 的解集為 R，求實數(shù) m 的 取值范圍 【考點】 絕對值不等式的解法 【分析】 （ 1）轉(zhuǎn)化函數(shù)的表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，結(jié)合 x 的范圍，分別求解不等式的解集，然后求出并集即可 （ 2）利用絕對值的幾何意義，求出函數(shù)的最小值，即可求出 m 的范圍 【解答】 選修 4 5：不等式選講 解：（ 1）因為 f（ x） =|x+1|+|x 3| 所以 ， 所以原不等式 f（ x） 3x+4； 等價于 或 或 ， 解得 無解， 0x3， x 3， 因此不等式的解集為： x|x0 （ 2）由于不等式 f（ x） m 的解集為 R，所以 f（ x） m， 又 f（ x） =|x+1|+|x 3|x+1+3 x|=4，即 f（ x） ， 所以 m4，即 m 的取值范圍為（ ， 4 18已知 a 0， b 0，證明 + a+b 【考點】 不 等式的證明 【分析】 首先分析題目是求證不等式 ，可以考慮到把它們都移到一邊去，然后提取公因子再根據(jù)取值范圍 a 0， b 0，證明不等式成立 【解答】 證明：要證 ；因為 a 0， b 0，所以 0， 即證： b3+a3以 b3+a b） +b a） =（ a b）（ =（ a b） 2（ a+b） 0 當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時候等號成立，所以原不等式成立， 故得 證 19已知復(fù)數(shù) z=（ 8m+15） +（ 9m+18） i 在復(fù)平面內(nèi)表示的點為 A，實數(shù) m 取什么值時： （ 1） z 為實數(shù)？ （ 2） z 為純虛數(shù)？ （ 3） A 位于第三象限？ 【考點】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 利用復(fù)數(shù)的幾何意義、及復(fù)數(shù)為實數(shù)、純虛數(shù)的充要條件即可得出 【解答】 解：（ 1） z 為實數(shù)， 9m+18=0，解得 m=3 或 6 第 12 頁（共 15 頁） 當(dāng) m=3 或 6 時， z=0， 3 為實數(shù) （ 2） z 為純虛數(shù)， ，解得 m=5 當(dāng) m=5 時， z= 2i 為純虛數(shù) （ 3） z 在復(fù)平面內(nèi)表示的點 A 在第三象限， 解得 3 m 5 當(dāng) 3 m 5 時， A 位于第三象限 20某中學(xué)采取分層抽樣的方法從應(yīng)屆高三學(xué)生中按照性別抽取 20 名學(xué)生，其中 8 名女生中有 3 名報考理科，男生中有 2 名報考文科 （ 1）是根據(jù)以上信息，寫出 22 列聯(lián)表； （ 2）用假設(shè)檢驗的方法分析有多大的把握認(rèn)為該中學(xué)的高三學(xué)生選報文理科與性別有關(guān)？ 參考公式 P（ K2 【考點】 線性回歸方程 【分析】 （ 1）根據(jù)抽取 20 名學(xué)生，其中 8 名女生中有 3 名報考理科，男生中有 2 名報考文科，即可得到列聯(lián)表； （ 2）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)，代入求觀測值的公式，求出觀測值同臨界值進(jìn)行比較，得到有 95%以上的把握認(rèn)為學(xué)生選報文理科與性別有關(guān) 【解答】 解：（ 1） 22 列聯(lián)表 男生 女生 總計 報考理科 10 3 13 報考文科 2 5 7 總計 12 8 20 （ 2）假設(shè) 考文理科與性別無關(guān) 則 估計值 因為 p（ = 所以我們有 95%把握認(rèn)為該中學(xué)的高三學(xué)生選報文理科與性別有關(guān) 21某種產(chǎn)品的廣告費用支出與銷售額之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）畫出散點圖，并說明銷售額 y 與廣告費用支出 x 之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？ 第 13 頁（共 15 頁） （ 2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x