第 1 頁（共 19 頁） 2016 年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題 1已知全集 =1， 2， 3，集合 B=1， 2，且 AB=1，則滿足條件的集合 A 的個數(shù)為（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A i B i C 1 D 1 3如圖的程序框圖，能判斷任意輸入的整數(shù) x 的奇偶性：其中判斷框內(nèi)的條件是（ ） A m=0 B x=0 C x=1 D m=1 4 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（ ） A B C D 5經(jīng)過拋物線 y 的焦點和雙曲線 =1 的右焦點的直線方程為（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 6函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A 2， B 2， C 4， D 4， 7數(shù)列 通項公式 an=其前 n 項和為 于（ ） A 2016 B 1008 C 504 D 0 8 O 是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足， 0， +），則 P 的軌跡一定通過 （ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 9函數(shù) y= 部分圖象是（ ） A B CD 10設(shè)橢圓 C： =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 P 是 C 上的點， 0，則 C 的離心率為（ ） A B C D 11如圖，有一圓柱形無蓋水杯，其軸截面 邊長為 2 的正方形， P 是 中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁 A 處，內(nèi)壁 P 處有一粒米，則這只螞蟻取得米粒所經(jīng)過的最短路程是（ ） 第 3 頁（共 19 頁） A B +1 C D 12已知函數(shù) f（ x） =3 f（ x）存在唯一的零點 實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ 0， +） B 0， +） C（ ， 0） D（ ， 0 二 13若 2x+2y=1，則 x+y 的取值范圍是 14已知過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 10，求直線 15二次函數(shù) y= 在區(qū)間 3， 2上最大值為 4，則 a 等于 16定義在 2， 2上的偶函數(shù) f（ x）在 2， 0上為增，若滿足 f（ 1 m） f（ m），則m 的取值范圍是 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判斷取得最大值 時 形狀 18已知等差數(shù)列 公差不為零， 5，且 等比數(shù)列 （ ）求 通項公式； （ ）求 a1+a4+2 19如圖，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求證： （ 2）求點 B 到面 距離 20如圖，設(shè) P 是圓 x2+5 上的動點，點 D 是 P 在 x 軸上的射影， M 為 一點，且| | （ ）當(dāng) P 在圓上運動時，求點 M 的軌跡 C 的方程 （ ）求過點（ 3， 0）且斜率 的直線被 C 所截線段的長度 21已知函數(shù) f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； 第 4 頁（共 19 頁） （ 2）求證： 時，若 x 1， +），則 f（ x） 0 四 下三題任選一題 22已知函數(shù) f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）為偶函數(shù) （ I）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間； （ 函數(shù)的圖象向右平移 個單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) g（ x）的圖象，求函數(shù) g（ x）的對稱中心 23已知 2； q： 2x+1 0，若 p 是 q 的充分非必要條件，求實數(shù) m 的取值范圍 24在直角坐標(biāo)系 ，已知點 A（ 1， 1）， B（ 2， 3）， C（ 3， 2），點 P（ x， y）在 邊圍成的區(qū)域（含邊界）上 （ ）若 + + = ，求 | |； （ ）設(shè) =m +n （ m， n R），用 x， y 表示 m n，并求 m n 的最大值 第 5 頁（共 19 頁） 2016 年安徽省淮南市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1已知全集 =1， 2， 3，集合 B=1， 2，且 AB=1，則滿足條件的集合 A 的個數(shù)為（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點】 交集及其運算 【分析】 根據(jù)交集的定義可知， 2A， 1 A，故 3 可在或不在集合 A 中，由子集個數(shù)公式可得 【解答】 解： 全集 I=1， 2， 3，集合 B=1， 2，且 AB=1， 2A， 1 A，故 3 可在或不在集合 A 中， 滿足條件的 A 集合的個數(shù)為 21=2 故選： C 2復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A i B i C 1 D 1 【考點】 復(fù)數(shù)的基本概念 【 分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算化簡復(fù)數(shù)即可 【解答】 解： = ， 則復(fù)數(shù) 的虛部是 1， 故選： C 3如圖的程序框圖，能判斷任意輸入的整數(shù) x 的奇偶性：其中判斷框內(nèi)的條件是（ ） A m=0 B x=0 C x=1 D m=1 【考點】 設(shè)計程序框圖解決實際問題；程序框圖 第 6 頁（共 19 頁） 【分析】 本題考查 了選擇結(jié)構(gòu)，由程序框圖所體現(xiàn)的算法可知判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，看這個數(shù)除以 2 的余數(shù)是 1 還是 0，從而得到判斷框條件 【解答】 解：由程序框圖所體現(xiàn)的算法可知判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，看這個數(shù)除以 2的余數(shù)是 1 還是 0 由圖可知應(yīng)該填 m=0 故選 A 4用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（ ） A B C D 【考點】 平面圖形的直觀圖 【分析】 根據(jù)斜二測畫法知，平行于 x 軸的線段長度不變，平行于 y 的線段變?yōu)樵瓉淼?， 由此得出原來的圖形是什么 【解答】 解：根據(jù)斜二測畫法知， 平行于 x 軸的線段長度不變，平行于 y 的線段變?yōu)樵瓉淼?， OC=1， OA= ， C=1， OA=2 ； 由此得出原來的圖形是 A 故選： A 5經(jīng)過拋物線 y 的焦點和雙曲線 =1 的右焦點的直線方程為（ ） A x+48y 3=0 B x+80y 5=0 C x+3y 3=0 D x+5y 5=0 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得 拋物線的焦點為（ 0， 1），求出雙曲線的 a， b， c，可得右焦點為（ 5， 0），運用直線方程的截距式，即可得到所求方程 【解答】 解：拋物線 y 的焦點為（ 0， 1）， 雙曲線 =1 的 a= ， b=2 ， c= =5， 可得右焦點為（ 5， 0）， 由直線方程的截距式可得 +y=1， 即為 x+5y 5=0 第 7 頁（共 19 頁） 故選： D 6函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分圖象如圖所示，則 ， 的值分別是（ ） A 2， B 2， C 4， D 4， 【考點】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式； y=x+）中參數(shù)的物理意義 【分析】 通過圖象求出函數(shù)的周期，再求出 ，由（ ， 2）確定 ，推出選項 【解答】 解：由圖象可知： T= = ， T=， = =2； （ ， 2）在圖象上， 所以 2 +=2k ， =2（ k Z） ， k=0， = 故選： A 7數(shù)列 通項公式 an=其前 n 項和為 于（ ） A 2016 B 1008 C 504 D 0 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 an=可得 1= =0， k N*， k（ 1） k即可得出 a2+ 【解答】 解： an= 1= =0， k N* k（ 1） k 第 8 頁（共 19 頁） 則 a2+2（ 2 1） +（ 4 3） + =1008， 故選： B 8 O 是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三個點，動 點 P 滿足， 0， +），則 P 的軌跡一定通過 （ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 【考點】 向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義 【分析】 先根據(jù) 、 分別表示向量 、 方向上的單位向量，確定 +的方向與 角平分線一致，再由 可得到 =（ + ），可得答案 【解答】 解： 、 分別表示向量 、 方向上的單位向量 + 的方向與 角平分線一致 又 ， =（ + ） 向量 的方向與 角平分線一致 一定通過 內(nèi)心 故選 B 9函數(shù) y= 部分圖象是（ ） A B CD 第 9 頁（共 19 頁） 【考點】 函數(shù)的圖象；奇偶函數(shù)圖象的對稱性；余弦函數(shù)的圖象 【分析】 由函 數(shù)的表達式可以看出，函數(shù)是一個奇函數(shù)，因只用這一個特征不能確定那一個選項，故可以再引入特殊值來進行鑒別 【解答】 解：設(shè) y=f（ x），則 f（ x） = f（ x）， f（ x）為奇函數(shù)； 又 時 f（ x） 0，此時圖象應(yīng)在 x 軸的下方 故應(yīng)選 D 10設(shè)橢圓 C： =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 P 是 C 上的點， 0，則 C 的離心率為（ ） A B C D 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) |x，在直角三角形 ，依題意可求得 | |利用橢圓離心率的性質(zhì)即可求得答案 【解答】 解：設(shè) |x， 0， |2x， | x， 又 |2a， |2c 2a=3x， 2c= x， C 的離心率為： e= = 故選 A 11如圖，有一圓柱形無蓋水杯，其軸截面 邊長為 2 的正方形， P 是 中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁 A 處，內(nèi)壁 P 處有一粒米，則這只螞蟻取得米粒所經(jīng)過的最短路程是（ ） A B +1 C D 【考點】 多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題 【分析】 畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)對稱性，求出 Q 的最小值就是 長，求解即可 【解答】 解：側(cè)面展開后得矩形 中 ， 問題轉(zhuǎn)化為在 找一點 Q 使 Q 最短作 P 關(guān)于 對稱點 E，連接 令 于點 Q，則得 Q 的最小值就是 第 10 頁（共 19 頁） 故選： D 12已知函數(shù) f（ x） =3 f（ x）存在唯一的零點 實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ 0， +） B 0， +） C（ ， 0） D（ ， 0 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則 【分析】 求導(dǎo) f（ x） =36x（ x 2a）；從而分類討論以確 定函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為極值問題求解即可 【解答】 解： f（ x） =3 f（ x） =36x（ x 2a）； 當(dāng) a=0 時， f（ x） =3 R 上是增函數(shù)， 故 f（ x）存在唯一的零點； 當(dāng) a 0 時， f（ x） =3（ ， 2a）上是增函數(shù)，在（ 2a， 0）上是減函數(shù)，在（ 0，+）上是增函數(shù)； 而且 f（ 0） =0， f（ x）存在唯一的零點； 當(dāng) a 0 時， f（ x） =3（ ， 0）上是增函數(shù)，在（ 0， 2a）上是減函數(shù)，在（ 2a，+）上是增函數(shù)； 而且 f（ 0） =0，故只需使 f（ 2a） =8120，無解 綜上所述， a 的取值范圍為 ， 0， 故選： D 二 13若 2x+2y=1，則 x+y 的取值范圍是 （ ， 2 【考點】 基本不等式在最值問題中的應(yīng)用 【分析】 利用基本不等式構(gòu)造出 2x2y，利用指數(shù)的運算性質(zhì)，即可求得 x+y 的取值范圍 【解答】 解： 2x 0， 2y 0， 2x+2y = ， 當(dāng)且僅當(dāng) 2x=2y，即 x=y 時取 “=”， 2x+2y=1， 1，即 =2 2， x+y 2， x+y 的取值范圍是（ ， 2 故答案為：（ ， 2 第 11 頁（共 19 頁） 14已知過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 10，求直線 x 3y 6=0 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，過點 M（ 3， 3）的直線 l 的方程為 x= 3，不合題意 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l： y=k（ x+3） 3，求出圓 x2+y 21=0 的圓心、半徑及圓心（ 0， 2）到直線 l： y=k（ x+3） 3 的距離，根據(jù)過點 M（ 3， 3）的直線l 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 10，由勾股定理能求出直線 l 【解答】 解：當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，過點 M（ 3， 3）的直線 l 的方程為 x= 3， 聯(lián)立 ，得 ，或 ， 直線 l： x= 3 被圓 x2+y 21=0 所截得的弦長為 4，不合題意 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線 l： y=k（ x+3） 3， 圓 x2+y 21=0 的圓心（ 0， 2），半徑 r= =5， 圓心（ 0， 2）到直線 l： y=k（ x+3） 3 的距離 d= = ， 過點 M（ 3， 3）的直線 l 被圓 x2+y 21=0 所截得 的弦長為 10， 由勾股定理得： ，即 25= +25， 解得 k= ， 直線 l： y= （ x+3） 3，整理，得 x 3y 6=0 故答案為： x 3y 6=0 15二次函數(shù) y= 在區(qū)間 3， 2上最大值為 4，則 a 等于 3 或 【考點】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 【分析】 根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)對稱軸和定點，數(shù)形結(jié)合確定最大值點，建立等量關(guān)系求解 a 的值 【解答】 解：根據(jù)所給二次函數(shù)解析式可知，對稱軸為 x= 1，且恒過定點（ 0， 1）， （ 1）當(dāng) a 0 時，函數(shù)在 3， 1上單調(diào)遞增，在 1， 2上單調(diào)遞減， 所以函數(shù)在 x= 1 處取得最大值，因為 f（ 1） = a+1=4，所以 a= 3 （ 2）當(dāng) a 0 時，函數(shù)在 3， 1上單調(diào)遞減，在 1， 2上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)在 x=2 處取得最大值， 因為 f（ 2） =8a+1=4，所以 a= ， 故答案為 3 或 第 12 頁（共 19 頁） 16定義在 2， 2上的偶函數(shù) f（ x）在 2， 0上為增，若滿足 f（ 1 m） f（ m），則m 的取值范圍是 【考點】 奇偶性與單調(diào)性的綜合 【分析】 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)等價轉(zhuǎn)化所求的不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域，列出關(guān)于m 的不等式組，再求出 m 的取值范圍 【解答】 解：因為 f（ x）是定義在 2， 2上的偶函數(shù)， 所以不等式 f（ 1 m） f（ m）等價于： f（ |1 m|） f（ |m|）， 因為 f（ x）在 2， 0上為增函數(shù)， 所以 ，解得 1 m ， 即 m 的取值范圍是 ， 故答案為： 三 17在 ， B= ， ，求 C 的最大值并判斷取得最大值時 形狀 【考點】 正弦定理 【分析】 根據(jù)正弦定理可得 而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求C= ，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解： B= ， ， 在 ，根據(jù) = = ，得 同理 C=2 =2 C） = ， 當(dāng) C= ，可得 C 的最大值為 ， 取最大值時，因而 等邊三角形 18已知等差數(shù)列 公差不為零， 5，且 等比數(shù)列 （ ）求 通項公式； 第 13 頁（共 19 頁） （ ）求 a1+a4+2 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式 【分析】 （ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d 0，利用成等比數(shù)列的定義可得， ，再利用等差數(shù)列的通項公式可得 ，化為 d（ 25d） =0，解出d 即可得到通項公式 （ （ I）可得 2= 2（ 3n 2） +27= 6n+31，可知此數(shù)列是以 25 為首項， 6 為公差的等差數(shù)列利用等差數(shù)列的前 n 項和公式即可得出 a1+a4+2 【解答】 解：（ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d 0， 由題意 列， ， ，化為 d（ 25d） =0， d 0， 2 25+25d=0，解得 d= 2 5+（ n 1） （ 2） = 2n+27 （ （ I）可得 2= 2（ 3n 2） +27= 6n+31，可知此數(shù)列是以 25 為首項， 6 為公差的等差數(shù)列 Sn=a1+a4+2= = = 38n 19如圖，在斜三棱柱 ， C=5， C=13，且 2 （ 1）求證： （ 2）求點 B 到面 距離 【考點】 點、線、面間的距離計算 【分析】 （ 1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明 平面 可， （ 2）根據(jù)體積法建立方程關(guān)系進行求解 【解答】 （ 1）證明：在 ， 又 面 的兩條相交直線， 平面 又 面 （ 2）在 ， ， 面 的兩條相交直線， 面 第 14 頁（共 19 頁） 由（ 1）知， ， ， 設(shè)點 B 到面 距離為 h， 由 得， ， 解得 ， 點 B 到面 距離為 20如圖，設(shè) P 是圓 x2+5 上的動點，點 D 是 P 在 x 軸上的射影， M 為 一點，且| | （ ）當(dāng) P 在圓上運動時，求點 M 的軌跡 C 的方程 （ ）求過點（ 3， 0）且斜率 的直線被 C 所截線段的長度 【考點】 軌跡方程；直線與圓相交的性質(zhì) 【分析】 （ ）由題意 P 是圓 x2+5 上的動點，點 D 是 P 在 x 軸上的射影， M 為 一點，且 | |利用相關(guān)點法即可求軌跡； （ ）由題意寫出直線方程與曲線 C 的方程進行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到線段長度 【解答】 解：（ ）設(shè) M 的坐標(biāo)為（ x， y） P 的坐標(biāo)為（ 由已知得： P 在圓上， ，即 C 的方程為 （ ）過點（ 3， 0）且斜率為 的直線方程為： ， 設(shè)直線與 C 的交點為 A（ B（ 第 15 頁（共 19 頁） 將直線方程 即：， 線段 長度為 | = = 21已知函數(shù) f（ x） = 2a 1） x a+1， （ 1）若 ，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）求證： 時，若 x 1， +），則 f（ x） 0 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）可求導(dǎo)數(shù)， f（ x） =2a（ x 1），進而求出 a= 時的導(dǎo)數(shù)，為判斷導(dǎo)數(shù)符號需進一步求導(dǎo)，這樣即可判斷導(dǎo)數(shù) f（ x）的符號，從而求出 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）可令 f（ x） =0，從而得到 a（ x 1），容易得出函數(shù) x=1 處的切線為 y=x 1，根據(jù)上面可以得出 a= 時，可得出 f（ x） 0，而 a 時，數(shù)形結(jié)合即可得出 f（ x） 0，這樣即證出結(jié)論 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2a（ x 1） 當(dāng) 時， f（ x） = x 1） 令 g（ x） = x 1），則 x （ 0， 1）時 g（ x） 0； x （ 1， +）時 g（ x） 0 g（ x） g（ 1） =0，即 f（ x） 0（只在 x=1 處取等號） f（ x）的單減區(qū)間是（ 0， +）； （ 2） f（ x） =2a（ x 1） 令 f（ x） =0，則 a（ x 1）且函數(shù) x=1 處的切線為 y=x 1 由（ 1）知， 時， f（ x）在 1， +）上單減且 f（ 1） =0 f（ x） 0，合題意 當(dāng) a 時，數(shù)形結(jié)合知， f（ x）在 1， +）上仍單減且 f（ 1） =0 f（ x） f（ 1） =0 綜上：若 ，且 x 1， +），恒有 f（ x） 0 四 下三題任選一題 第 16 頁（共 19 頁） 22已知函數(shù) f（ x） = x ） x ） x ） + （ 0 ）為偶函數(shù) （ I）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間； （ 函數(shù)的圖象向右平移 個單 位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) g（ x）的圖象，求函數(shù) g（ x）的對稱中心 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對稱性 【分析】 （ I）把函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，即為函數(shù)解析式的最簡形式，即可求出最小正周期以及單調(diào)區(qū)間； （ 題意根據(jù)平移變換求出函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的對稱中心即可 【解答】 解：（ I）函數(shù) f（ x） = x ） x ） x ） + = 2x 2） （ 21） = 2x 2） 2x 2） =2x 2 ） 函數(shù) f（ x） 為偶函數(shù)，則 2 =k z 0 = f（ x） =2x ） = 函數(shù)的最小正周期 T= = 令 2x +2 +2kk Z 解得： +x + 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 + +kk Z （ （ I）知 f（ x） = 題意知 g（ x） = （ x ） = 2x ） 令 2x =k Z），則 x= + （ k Z）， 函數(shù)的對稱中