第 1 頁（共 21 頁） 2016 年山東省青島市平度市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 一、選擇題：（本題共 10 個(gè)小題，每小題 5 分，共 50 分，在四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的） 1已知集合 M=x|1 0， N=x|x+2） x Z，則 MN=（ ） A 1， 0 B 1 C 1， 0， 1 D 2復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+i） z=| i|，則 =（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 3使函數(shù) 是奇函數(shù)，且在 上是減函數(shù)的 的一個(gè)值是（ ） A B C D 4在邊長為 1 的正方形 ， M 為 點(diǎn)，點(diǎn) E 在線段 運(yùn)動(dòng)， 則 的取值范圍是（ ） A ， 2 B 0， C ， D 0， 1 5設(shè) ，則多項(xiàng)式 的常數(shù)項(xiàng)是（ ） A 332 B 332 C 166 D 166 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 N 是 10，那么輸出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 7已知 M=（ x， y） |， N=（ x， y） |y=mx+b若對(duì)于所有的 m R，均有 MN ，則 b 的取值范圍是（ ） A B CD 8已知一個(gè)幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） 第 2 頁（共 21 頁） A 2 B C D 9已知函數(shù) f（ x） =| a b 0， f（ a） =f（ b），則 的最小值等于（ ） A 2 B C 2+ D 2 10如圖，已知 雙曲線 的下，上焦點(diǎn)，過 作以圓心， |半徑的圓的切線， P 為切點(diǎn)，若切線段 一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（ ） A 3 B 2 C D 二、 填空題：（本題共 5 個(gè)小題，每小題 5 分，共 25 分 11已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 z=|x|+|y 3|的取值范圍是 12已知 a， b） = ，設(shè) f（ x） = ，則由函數(shù) f（ x）的圖象與x 軸、 x=e 直線所圍成的封閉圖形的面積為 13設(shè)函數(shù) f（ x） =g（ 3x 2） +數(shù) y=g（ x）在（ 1， g（ 1）處的切線方程是 y=2x+3，則 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 第 3 頁（共 21 頁） 14在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果 服從正態(tài)分布 N（ 1， 2）（ 0），若 在（ 0， 1）內(nèi)的概率為 在（ 0， 2）內(nèi)取值的概率為 15已知函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?D，若同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： 函數(shù) f（ x）在 D 內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)； 存在區(qū)間 a， b D，使函數(shù) f（ x）在 a， b內(nèi)的值域是 b， a 那么稱函數(shù) f（ x）為 “W 函數(shù) ” 已知函數(shù) f（ x） = k 為 “W 函數(shù) ”實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 三、解答題（共 6 個(gè)題，共 75 分，把每題的答案填在答卷紙的相應(yīng)位置） 16已知函數(shù) f（ x） = ，（ x R） （ 1）當(dāng) x ， 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的最小 值和最大值； （ 2）設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 a， b， c，且 c= ， f（ C） =0，若向量 =（ 1， 向量 =（ 2， 線，求 a， b 的值 17 等腰直角三角形， C=4， 0， D、 E 分別是邊 中點(diǎn)，現(xiàn)將 起，使面 面 H、 F 分別是邊 中點(diǎn)，平 面 E、 別交于 I、 G 兩點(diǎn) （ ）求證： （ ）求二面角 A C 的余弦值 18已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 量 =（ 1）， =（ 2n 1， ），滿足條件 ， （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式， （ 2）設(shè)函數(shù) f（ x） =（ ） x，數(shù)列 足條件 ， f（ ） = 求數(shù)列 通項(xiàng)公式， 設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 19某高校在上學(xué)期依次舉行了 “法律、環(huán)保、交通 ”三次知識(shí)競賽活動(dòng)，要求每位同學(xué)至少參加一次活動(dòng)該高校 2014 級(jí)某班 50 名學(xué)生在上 學(xué)期參加該項(xiàng)活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示 （ 1）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)不相等的概率 （ 2）從該班中任意選兩名學(xué)生，用 表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 第 4 頁（共 21 頁） （ 3）從該班中任意選兩名學(xué)生，用 表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之和，記 “函數(shù) f（ x） =x 1 在區(qū)間（ 3， 5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn) ”為事件 A，求事件 A 發(fā)生的概率 20在平面直角坐標(biāo)系 ， F 是拋物線 C： p 0）的焦點(diǎn)，圓 Q 過 O 點(diǎn)與 圓心 Q 到拋物線 C 的準(zhǔn)線的距離為 （ 1）求拋物線 C 的方程； （ 2）已知拋物線上一點(diǎn) M（ t， 4），過點(diǎn) M 作拋物線的兩條弦 斷直線 否過定點(diǎn)？并說明理由 21已知 f（ x） = （ 1）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）令 g（ x） =2 g（ x） =1 時(shí)有兩個(gè)不同的根，求 a 的取值范圍； （ 3）存在 （ 1， +）且 |f（ f（ | k|立，求 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年山東省青島市平度市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本題共 10 個(gè)小題，每小題 5 分，共 50 分，在四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的） 1已知集合 M=x|1 0， N=x|x+2） x Z，則 MN=（ ） A 1， 0 B 1 C 1， 0， 1 D 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出集合 A、 B，然后求解交集即可 【解答】 解： M=x| 1 x 1， N=x| 2 x 1， x Z= 1， 0， MN=0， 1， 故選： A 2復(fù)數(shù) z 滿足（ 1+i） z=| i|，則 =（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 設(shè)出 z=a+到關(guān)于 a， b 的方程組，求出 z 的共軛復(fù)數(shù)即可 【解答】 解：設(shè) z=a+ 則（ 1+i） z=（ 1+i）（ a+=（ a b） +（ a+b） i， ，解得： a=1， b= 1， 故 =1+i， 故選： A 3使函數(shù) 是奇函數(shù)，且在 上是減函數(shù)的 的一個(gè)值是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的奇偶性；正弦函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 利用兩角和正弦公式化簡函數(shù)的解析式為 22x+ ），由于它是奇函數(shù)，故+ =k z，當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)， f（ x） = 2足在 上是減函數(shù)，此時(shí)，=2， n z，當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件 【解答】 解： 函數(shù) =22x+ ） 是奇函數(shù)，故 + =k Z， = 第 6 頁（共 21 頁） 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí)，令 k=2n 1， f（ x） = 2足在 上是減函數(shù)，此時(shí)， =2， n Z， 選項(xiàng) B 滿足條件 當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)，令 k=2n， f（ x） =2滿足在 上是減函數(shù) 綜上，只有選項(xiàng) B 滿足條件 故選 B 4在邊長為 1 的正方形 ， M 為 點(diǎn)，點(diǎn) E 在線段 運(yùn)動(dòng)，則 的取值范圍是（ ） A ， 2 B 0， C ， D 0， 1 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 建立坐標(biāo)系可得 C、 M、 E 的坐標(biāo)，可得 =2x+ ，由二次函數(shù)的知識(shí)可得 【解答】 解：（如圖）以 別為 x、 y 軸建立坐標(biāo)系， 進(jìn)而可得 C（ 1， 1）， M（ 1， ），設(shè) E（ x， 0）（ 0 x 1） =（ 1 x， 1）， =（ 1 x， ） =（ 1 x）（ 1 x） +1 =2x+ 0 x 1， 當(dāng) x=1 時(shí)， 有最小值為 ； 當(dāng) x=0 時(shí)， 有最大值為 ， 由此可得的取值范圍是 ， 故選： C 5設(shè) ，則多項(xiàng)式 的常數(shù)項(xiàng)是（ ） A 332 B 332 C 166 D 166 第 7 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；定積分 【分析】 求定積分求得 a 的值，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得展開式的常數(shù)項(xiàng) 【解答】 解： = =（ 1（ 1） =2， 則多項(xiàng)式 = （ ） =（ 6419240x160+60 12 + ）（ ）， 故它的常數(shù)項(xiàng)為 12+（ 160） 2= 332， 故選： A 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 N 是 10，那么輸出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖可知程序框圖的功能是求， S= + + + 的值，用裂項(xiàng)法即可得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 N=10， S=0， k=1 S= ， 滿足條件 k 10， k=2， S= + ， 第 8 頁（共 21 頁） 滿足條件 k 10， k=3， S= + + ， 滿足條件 k 10， k=10， S= + + + += + = 1， 不滿足條件 k 10，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 1 故選： C 7已知 M=（ x， y） |， N=（ x， y） |y=mx+b若對(duì)于所有的 m R，均有 MN ，則 b 的取值范圍是（ ） A B CD 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 由 MN ，可得 y=mx+b 與 有 交點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用判別式，即可求得 b 的取值范圍 【解答】 解：由題意， MN ， y=mx+b 與 有交點(diǎn) 直線方程代入橢圓方程，整理可得（ 1+23=0 =164（ 1+2 23） 0 23+6 對(duì)所有 m R，均有 MN ， 23 b 故選： C 8已知一個(gè)幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所 示，則該幾何體的體積為（ ） A 2 B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 第 9 頁（共 21 頁） 【分析】 幾何體是四棱錐，結(jié)合其直觀圖，利用四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面垂直，作四棱錐的高線，求出棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算 【解答】 解：由 三視圖知：幾何體是四棱錐，其直觀圖如圖： 四棱錐的一個(gè)側(cè)面 底面 直，過 S 作 足為 O， 底面 ， 底面為邊長為 2 的正方形， 幾何體的體積 V= 2 2 = 故選： B 9 已知函數(shù) f（ x） =| a b 0， f（ a） =f（ b），則 的最小值等于（ ） A 2 B C 2+ D 2 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【分析】 根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得 （ a b 0），進(jìn)而可將 =（ a b） + ，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，可得答案 【解答】 解： f（ x） =| a b 0， f（ a） =f（ b）， 則 a= ，即 （ a b 0） = =（ a b） + 2 故 的最小值等于 2 故選 A 10如圖，已知 雙曲線 的下，上焦點(diǎn)，過 作以圓心， |半徑的圓的切線， P 為切點(diǎn)，若切線段 一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（ ） 第 10 頁（共 21 頁） A 3 B 2 C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由已知 0， c），直線 y c= ，過 作以 圓心， |半徑的圓的方程為 y+c） 2=立 ，求出 P，從而求出 M，由此能求出雙曲線的離心率 【解答】 解： 雙曲線 的下，上焦點(diǎn)，過 作以圓心， |半徑的圓的切線， P 為切點(diǎn)，若切線段 一條漸近線平分， 0， c）， |2c， |c， 直線 斜率 k= ， 直線 y c= ，過 作以 圓心， |半徑的圓的方程為 y+c）2= 聯(lián)立 ，得 P（ ， c）， M（ ， ）， 切線段 一條漸近線平分， M（ ， ）在漸近線 y= 上， ， b= ， c2=a2+c=2a， 雙曲線的離心率為 e= 故選： B 二、填空題：（本題共 5 個(gè)小題，每小題 5 分，共 25 分 11已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 z=|x|+|y 3|的取值范圍是 1， 7 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函 數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可 第 11 頁（共 21 頁） 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 則 x 0， y 3， 則 z=|x|+|y 3|=x y+3， 即 y=x+3 z， 平移直線 y=x+3 z， 由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) B（ 4， 0）時(shí)，直線截距最小，此時(shí) z 最大，最大為 z=4+3=7， 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)，直線截距最大，此時(shí) z 最小， 由 ，解得 ， 即 C（ 1， 3），最小值為 z=1 3+3=1， 即 1 z 7， 故答案為： 1， 7 12已知 a， b） = ，設(shè) f（ x） = ，則由函數(shù) f（ x）的圖象與x 軸、 x=e 直線所圍成的封閉圖形的面積為 【考點(diǎn)】 定積分在求面積中的應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題目給出的函數(shù)定義，寫出分段函數(shù) f（ x） = ，由圖象直觀看出所求面積的區(qū)域，然后直接運(yùn)用定積分求解陰影部分的面積 【解答】 解：由 ，得： x=1， 又當(dāng) x 0 時(shí)， ， 所以，根據(jù)新定義有 f（ x） = = ， 圖象如圖， 第 12 頁（共 21 頁） 所以，由函數(shù) f（ x）的圖象與 x 軸、 x=e 直線所圍成的封閉圖形為圖中陰影部分， 其面積為 S= = 故答案為 13設(shè)函數(shù) f（ x） =g（ 3x 2） +數(shù) y=g（ x）在（ 1， g（ 1）處的切線方程是 y=2x+3，則 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 8x y 2=0 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 欲求曲線 y=f（ x）在點(diǎn) （ 1， f（ 1）處切線的方程，先求出斜率，即求 f（ 1），先求出 f（ x），然后根據(jù)曲線 y=g（ x）在點(diǎn)（ 1， g（ 1）處的切線方程為 y=2x+3 求出 g（ 1），從而得到 f（ x）的解析式，即可求出所求 【解答】 解： f（ x） =g（ 3x 2） + f（ x） =3g（ x） +2x y=g（ x）在點(diǎn)（ 1， g（ 1）處的切線方程為 y=2x+3， g（ 1） =2， f（ 1） =3g（ 1） +2 1=6+2=8， y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處切線斜率為 8， f（ 1） =g（ 1） +1=6， 切線 方程為 8x y 2=0 故答案為： 8x y 2=0 14在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果 服從正態(tài)分布 N（ 1， 2）（ 0），若 在（ 0， 1）內(nèi)的概率為 在（ 0， 2）內(nèi)取值的概率為 【考點(diǎn)】 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；概率的基本性質(zhì) 【分析】 根據(jù)變量符合正態(tài)分布和 在（ 0， 1）內(nèi)的概率為 正態(tài)分布的對(duì)稱性可知 在（ 1， 2）內(nèi)的取值概率也為 據(jù)互斥事件的概率得到要求的區(qū)間上的概率 【解答】 解： 服從正態(tài)分布 N（ 1， 2）， 在（ 0， 1）內(nèi)的概率為 由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知 在（ 1， 2）內(nèi)的取值概率也為 P（ 0 2） =P（ 0 1） +P（ 1 2） =答案為： 5已知函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?D，若同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： 函數(shù) f（ x）在 D 內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)； 第 13 頁（共 21 頁） 存在區(qū)間 a， b D，使函數(shù) f（ x）在 a， b內(nèi)的值域是 b， a 那么稱函數(shù) f（ x）為 “W 函數(shù) ” 已知函數(shù) f（ x） = k 為 “W 函數(shù) ”實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 （ ， 0 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值域 【分析】 可令 =t，（ t 0），從而得到方程 t k= 一元二次方程 t k=0 在 0，+）上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，從而可得到關(guān)于 k 的不等式組，解該不等式組即可得出實(shí)數(shù) 【解答】 解：令 =t（ t 0），由方程 k= x 得， t k= t k=0 在 0， +）上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根； 設(shè) g（ t） =t k，則： ； 解得 k 0； 實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ ， 0 故答案為：（ ， 0 三、解答題（共 6 個(gè)題，共 75 分，把每題的答案填在答卷紙的相應(yīng)位置） 16已知函數(shù) f（ x） = ，（ x R） （ 1）當(dāng) x ， 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的最小值和最大值； （ 2）設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 a， b， c，且 c= ， f（ C） =0，若向量 =（ 1， 向量 =（ 2， 線，求 a， b 的值 【考點(diǎn)】 余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的余弦 【分析】 （ 1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù) f（ x）的解析式，根據(jù)變量 x 的取值范圍可求出最小值和最大值； （ 2）根據(jù) C 的范圍和 f（ C） =0 可求出角 C 的值，再根據(jù)兩個(gè)向量共線的性質(zhì)可得 ，再由正弦定理可得 b=2a，最后再由余弦定理得到 a 與 b 的等式，解方程組可求出a， b 的值 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x） = = 1=2x ） 1， x ， 2x ， 則 2x ） ， 1 函數(shù) f（ x）的最小值為 1 和最大值 0； （ 2） f（ C） =2C ） 1=0，即 2C ） =1， 第 14 頁（共 21 頁） 又 0 C ， 2C ， 2C = ， C= 向量 =（ 1， 與 =（ 2， 線， 2 由正弦定理 ，得 b=2a， c= ，由余弦定理得 3=a2+2 解方程組 ，得 a=1， b=2 17 等腰直角三角形， C=4， 0， D、 E 分別是邊 中點(diǎn)，現(xiàn)將 起，使面 面 H、 F 分別是邊 中點(diǎn)，平面 E、 別交于 I、 G 兩點(diǎn) （ ）求證： （ ）求二面角 A C 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ ）推導(dǎo)出 而 平面 而 此能證明 （ ） 以 D 為原點(diǎn)為， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 A C 的余弦值 【解答】 證明：（ ）因?yàn)?D、 E 分別是邊 中點(diǎn)，所以 因?yàn)?平面 面 所以 平面 因?yàn)?面 平面 面 面 I， 所以 又因?yàn)?以 解：（ ） 如圖，以 D 為原點(diǎn)為， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 由題意得 D（ 0， 0， 0）， E（ 2， 0， 0）， A（ 0， 0， 2）， F（ 3， 1， 0）， E（ 0， 2， 0）， H（ 0，0， 1）， ， ， ， ， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 ， 第 15 頁（共 21 頁） 則 ，故 ，令 ，解得 ， ，則設(shè)， 平面 一個(gè)法向量為 ， 則 ，故 ，令 ，解得 ，則 ， ， 所以二面角 A C 的余弦值為 18已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 量 =（ 1）， =（ 2n 1， ），滿足條件 ， （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式， （ 2）設(shè)函數(shù) f（ x） =（ ） x，數(shù)列 足條件 ， f（ ） = 求數(shù)列 通項(xiàng)公式， 設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示 【分析】 （ 1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo) 表示，可得 n+1 2，再由當(dāng) n 1 時(shí)， n 1，n=1 時(shí)， 1，即可得到所求通項(xiàng)公式； （ 2） 運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的定義，即可得到所求通項(xiàng)公式； 求得 = ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和 【解答】 解：（ 1）由向量 =（ 1）， =（ 2n 1， ）， ， 第 16 頁（共 21 頁） 可得 n 1，即 n+1 2， 當(dāng) n 1 時(shí)， n 1=（ 2n+1 2）（ 2n 2） =2n， 當(dāng) n=1 時(shí)， 1=2，滿足上式 則有數(shù)列 通項(xiàng)公式為 n， n N*； （ 2） f（ x） =（ ） x， ， f（ ） = 可得（ ） = =（ ） ， 即有 =，可得 首項(xiàng)和公差均為 1 的等差數(shù)列， 即有 bn=n； = ，前 n 項(xiàng)和 +2（ ） 2+（ n 1） （ ） n 1+n（ ） n， （ ） 2+2（ ） 3+（ n 1） （ ） n+n（ ） n+1， 相減可得， +（ ） 2+（ ） n 1+（ ） n n（ ） n+1 = n（ ） n+1， 化簡可得，前 n 項(xiàng)和 19某高校在上學(xué)期依次舉行了 “法律、環(huán)保、交通 ”三次知識(shí)競賽活動(dòng)，要求每位同學(xué)至少參加一次活動(dòng)該高校 2014 級(jí) 某班 50 名學(xué)生在上學(xué)期參加該項(xiàng)活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示 （ 1）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)不相等的概率 （ 2）從該班中任意選兩名學(xué)生，用 表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 （ 3）從該班中任意選兩名學(xué)生，用 表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之和，記 “函數(shù) f（ x） =x 1 在區(qū)間（ 3， 5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn) ”為事件 A，求事件 A 發(fā)生的概率 第 17 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散 型隨機(jī)變量的期望與方差 【分析】 （ 1）由圖可知，參加活動(dòng) 1 次、 2 次和 3 次的學(xué)生人數(shù)分別為 5、 25 和 20由此能求出從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率，繼而求出不等的概率； （ 2）從該班中任選兩名學(xué)生，用 表示這兩學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，則 的可能取值分別為： 0， 1， 2 由此能求出 的分布列和 的數(shù)學(xué)期望； （ 3）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理，可得 f（ 3） f（ 5） 0，求出 的值，再根據(jù)古典概率求出事件A 發(fā)生的概率 【解答】 解：（ 1）從該班任取兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)恰好相等的概率： P= = ，故 P=1 = （ 2）從該班中任選兩名學(xué)生，用 表示這兩學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，則 的可能取值分別為： 0， 1， 2， 于是 P（ =0） = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ，從而 的分布列為： 0 1 2 P +1 +2 = （ 3）因?yàn)楹瘮?shù) f（ x） =x 1 在區(qū)間（ 3， 5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則 f（ 3） f（ 5） 0，即：（ 8 3）（ 24 5） 0， ， 又由于 的取值分別為： 2， 3， 4， 5， 6，故 =3 或 4， 故所求的概率為： P（ A） = = 20在平面直角坐標(biāo)系 ， F 是拋物線 C： p 0）的焦點(diǎn)，圓 Q 過 O 點(diǎn)與 圓心 Q 到拋物線 C 的準(zhǔn)線的距離為 （ 1）求拋物線 C 的方程； （ 2）已知拋物線上一點(diǎn) M（ t， 4），過點(diǎn) M 作拋物線的兩條弦 斷直線 否過定點(diǎn)？并說明理由 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）求出 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意列關(guān)于 p 的等式求 p，則拋物線方程可求； 第 18 頁（共 21 頁） （ 2）由（ 1）求出 M 的坐標(biāo)，設(shè)出直線 方程 x=my+t，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于 y 的一元二次方程后 D， E 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，利用 得到 t 與 m 的關(guān)系，進(jìn)一步得到 程，由直線系方程可得直線 過定點(diǎn) 【解答】 解：（ 1） ， 圓心 Q 在線段 垂直平分線 上， 又 準(zhǔn)線方程為： ， ，得 p=2， 拋物線 C： x； （ 2）由（ 1）可得點(diǎn) M（ 4， 4），可得直線 斜率不為 0，