第 1 頁（共 21 頁） 2016 年河南省商丘市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=1， 2， 3， N=3， 4， 5，則集合 1， 2可以表示為（ ） A MN B（ N C M（ D（ （ 2設(shè)復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且 i，則 =（ ） A 4+3i B 4 3i C 3 4i D 3+4i 3 設(shè)向量 ， 是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且 =2 ， = ，則 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 4下列判斷錯(cuò)誤的是（ ） A命題 “若 a b”是假命題 B命題 “ x R， 1 0”的否定是 “ R， 1 0” C “若 a=1，則直線 x+y=0 和直線 x 互相垂直 ”的逆否命題為真命題 D命題 “p q 為真命題 ”是命題 “p q 為真 ”的充分不必要條件 5在等差數(shù)列 ，首項(xiàng) ，公差 d 0，若 ak=a1+a2+ k=（ ） A 22 B 23 C 24 D 25 6已知拋物線 x 與雙曲線 的一個(gè)交點(diǎn)為 M， F 為拋物線的焦點(diǎn)，若 |5，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A 5x 3y=0 B 3x 5y=0 C 4x 5y=0 D 5x 4y=0 7某地市高三理科學(xué)生有 15000 名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績 服從正態(tài)分布 N，已知 p（ 80 100） =按成績分層抽樣的方式取 100 份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從 120分以上的試卷中抽?。?） A 5 份 B 10 份 C 15 份 D 20 份 8如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各面中，面積最大的是（ ） A 8 B C 12 D 16 第 2 頁（共 21 頁） 9函數(shù) f（ x） =2x+）（ | ）的圖象向右平移 個(gè)單位后的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則函數(shù) f（ x）在 0， 上的最大值為（ ） A B C D 10見如圖程序框圖，若輸入 a=110011，則輸出結(jié)果是（ ） A 51 B 49 C 47 D 45 11已知直線 l： y=（ k 為常數(shù)）過橢圓 =1（ a b 0）的上頂點(diǎn) B 和左焦點(diǎn) F，且被圓 x2+ 截得的弦長為 L，若 L ，則橢圓離心率 e 的取值范圍是（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） =不等式 的解集為（ ） A（ e， +） B（ 0， e） C D 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè) x， y 滿足約束條件 ，則 z=x+2y 3 的最大值為 14數(shù)列 足： ， =2an，則數(shù)列 an前 10 項(xiàng)的和為 第 3 頁（共 21 頁） 15若（ x+ ） n 的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為 81，且常數(shù)項(xiàng)為 a，則直線 y= x 與曲線 y= 16三棱柱 底面是直角三角形，側(cè)棱垂直于底面，面積最大的側(cè)面是正方形，且正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面積為 16，則三棱柱 最大體積為 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17在 ， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 的對邊，且 b2+a2= （ ）求角 A 的大?。?（ ）設(shè)函數(shù) f（ x） = a=2， f（ B） = +1 時(shí)，求邊長 b 18某小學(xué)對五年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，已知五年級一班共有學(xué)生 30 人，測試立定跳遠(yuǎn)的成績用莖葉圖表示如下（單位： 男生成績在 175上（包括 175義為 “合格 ”，成績在 175下（不包括 175義為 “不合格 ”； 女生成績在 165上（包括 165義為 “合格 ”，成績在 165下（不包括 165義為 “不合格 ” （ ）在五年級一班男生中 任意選取 3 人，求至少有 2 人的成績是合格的概率； （ ）若從五年級一班成績 “合格 ”的學(xué)生中選取 2 人參加復(fù)試，用 X 表示其中男生的人數(shù)，寫出 X 的分布列，并求 X 的數(shù)學(xué)期望 19在四棱錐 P ，底面 正方形， 底面 P， E 為棱 （ ）求直線 平面 成角的正弦值； （ ）若 F 為 中點(diǎn)，棱 是否存在一點(diǎn) M，使得 存在，求出 的值，若 不存在，說明理由 20動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線 y 上，過點(diǎn) P 作 直于 x 軸，垂足為 Q，設(shè) （ ）求點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程； （ ）設(shè)點(diǎn) S（ 4， 4），過 N（ 4， 5）的直線 l 交軌跡 E 于 A， B 兩點(diǎn)，設(shè)直線 |最小值 第 4 頁（共 21 頁） 21已知函數(shù) f（ x） =3（ a R） （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）若函數(shù) y=f（ x）的圖象在點(diǎn)（ 2， f（ 2）處的切線的傾斜角為 45，對于任意的 t1， 2，函數(shù) 在區(qū)間（ t， 3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍； （ ）求證： 選修 4何證明選講 22已知四邊形 O 的內(nèi)接四邊形，且 D，其對角線 交于點(diǎn) M過點(diǎn) B 作 O 的切線交 延長線于點(diǎn) P （ 1）求證： D=M； （ 2）若 D=M，求證： C 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知曲線 C 的參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， A， B 的極坐標(biāo)分別為 A（ 2， ）， （ ）求直線 直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè) M 為曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) M 到直線 離的最大值 選修 4等式選講 24設(shè) f（ x） =|x 1| 2|x+1|的最大值為 m （ ）求 m； （ ）若 a， b， c （ 0， +）， ，求 ab+最大值 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年河南省商丘市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=1， 2， 3， N=3， 4， 5，則集合 1， 2可以表示為（ ） A MN B（ N C M（ D（ （ 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 由題意作 ，從而結(jié)合圖象確定集合的運(yùn)算 【解答】 解：由題意作 如下， ， 結(jié)合圖象可知， 集合 1， 2=M（ 故選 C 2設(shè)復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且 i，則 =（ ） A 4+3i B 4 3i C 3 4i D 3+4i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且 i，可得： 2 i， ，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出 【解答】 解： 復(fù)數(shù) 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且 i， 2 i， = 2+i， 則 =（ 2 i）（ 2+i） = 3+4i， 故選： D 3設(shè)向量 ， 是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且 =2 ， = ，則 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 【考點(diǎn)】 向量的模 【分析】 根據(jù)向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可 第 6 頁（共 21 頁） 【解答】 解： 向量 ， 是兩個(gè)互相垂直的單位向量， | |=1， | |=1， =0， =2 ， = ， +2 |=2 + ， | +2 |2=4 +4 + =5， | +2 |= ， 故選： B 4下列判斷錯(cuò)誤的是（ ） A命題 “若 a b”是假命題 B命題 “ x R， 1 0”的否定是 “ R， 1 0” C “若 a=1，則直線 x+y=0 和直線 x 互相垂直 ”的逆否命題為真命題 D命題 “p q 為真命題 ”是命題 “p q 為真 ”的充分不必要條件 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 A 中考查 m=0 特殊情況； B 對任意命題的否定：把任意改為存在，再否定結(jié)論 C 根據(jù)原命題和逆否命題為等價(jià)命題； q 為真命題，可知 p， q 至少有一個(gè)為真， p q 可真可假 【解答】 解： A 命題 “若 m=0 時(shí)， a 可以大于 b，故 a b 是假命題，故正確； B 對任意命題的否定：把任意改為存在，再否定結(jié)論命題 “ x R， 1 0”的否定是 “ R， 1 0”故正確； C 根據(jù)原命題和逆否命題為等價(jià)命題， “若 a=1，則直線 x+y=0 和直線 x 互相垂直 ”為證命題，故其逆否命題也為真命題，故正確； q 為真命題，可知 p， q 至少有一個(gè)為真，但推不出 p q 為真，故錯(cuò)誤 故選 D 5在等差數(shù)列 ，首項(xiàng) ，公差 d 0，若 ak=a1+a2+ k=（ ） A 22 B 23 C 24 D 25 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可將 ak=a1+a2+化為 由首項(xiàng) ，公差 d 0，我們易得 1d，進(jìn)而求出 k 值 【解答】 解： 數(shù)列 等差數(shù)列 且首項(xiàng) ，公差 d 0， 又 k 1） d=a1+a2+1d 故 k=22 故選 A 第 7 頁（共 21 頁） 6已知拋物線 x 與雙曲線 的一個(gè)交點(diǎn)為 M， F 為拋物線的焦點(diǎn)，若 |5，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A 5x 3y=0 B 3x 5y=0 C 4x 5y=0 D 5x 4y=0 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè) M（ m， n），則由拋物線的定義可得 m=3，進(jìn)而得到 M 的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得 a，再由漸近線方程即可得到所求 【解答】 解：拋物線 x 的焦點(diǎn) F（ 2， 0），準(zhǔn)線方程為 x= 2， 設(shè) M（ m， n），則由拋物線的定義可得 |m+2=5，解得 m=3， 由 4，可得 n= 2 將 M（ 3， ）代入 雙曲線 ， 可得 24=1，解得 a= ， 即有雙曲線的漸近線方程為 y= x 即為 5x 3y=0 故選 A 7某地市高三理科學(xué)生有 15000 名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績 服從正態(tài)分布 N，已知 p（ 80 100） =按成績分層抽樣的方式取 100 份試卷進(jìn)行分析，則 應(yīng)從 120分以上的試卷中抽取（ ） A 5 份 B 10 份 C 15 份 D 20 份 【考點(diǎn)】 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義 【分析】 由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得 120 分以上的概率，乘以 100 可得 【解答】 解： 數(shù)學(xué)成績 服從正態(tài)分布 N， P（ 80 100） = P（ 80 120） =2 P（ 120） = （ 1 = 100 5， 故選： C 8如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊 長為 1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各面中，面積最大的是（ ） 第 8 頁（共 21 頁） A 8 B C 12 D 16 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖得出該幾何體是在棱長為 4 的正方體中的三棱錐，畫出圖形，求出各個(gè)面積即可 【解答】 解：根據(jù)題意，得； 該幾何體是如圖所示的三棱錐 A 且該三棱錐是放在棱長為 4 的正方體中， 所以，在三棱錐 A ， ， B= = ， =6， S 4 4=8 S =4 ， S 4 4=8，在三角形 ，作 E，連結(jié) = ， = ， S =12 故選： C 第 9 頁（共 21 頁） 9函數(shù) f（ x） =2x+）（ | ）的圖象向右平移 個(gè)單位后的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則函數(shù) f（ x）在 0， 上的最大值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 由函數(shù)圖象變換以及誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)可得 值，可得函數(shù)解析式，由三角函數(shù)區(qū)間的最值可得 【解答】 解：將函數(shù) f（ x） =2x+）的圖象向右平移 個(gè)單位后得到 y=（ x ）+） =2x+ ）的圖象， 圖象關(guān)于 y 軸對稱， 由誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)可得 =，解得 =， kZ， 由 | ，可得當(dāng) k= 1 時(shí)， = ， 故 f（ x） =2x ）， 由 x 0， ，可得： 2x ， ， 當(dāng) 2x = ，即 x= 時(shí)，函數(shù) f（ x）在 0， 上取最大值 2 ） = ， 故選： B 10見如圖程序框圖，若輸入 a=110011，則輸出結(jié)果是（ ） 第 10 頁（共 21 頁） A 51 B 49 C 47 D 45 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 b 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后， t=1， b=1， i=2，不滿足退出循環(huán)的條件， 第二次執(zhí)行循環(huán)體后， t=1， b=3， i=3，不滿足退出循環(huán)的條件， 第三次執(zhí)行循環(huán)體后， t=0， b=3， i=4，不滿足退出循環(huán)的條件， 第四次執(zhí)行循環(huán)體后， t=0， b=3， i=5，不滿足退出循環(huán)的條件， 第五次執(zhí)行循環(huán)體后， t=1， b=19， i=6，不滿足退出循環(huán)的條件， 第六次執(zhí)行循 環(huán)體后， t=1， b=51， i=7，滿足退出循環(huán)的條件， 故輸出 b 值為 51， 故選： A 11已知直線 l： y=（ k 為常數(shù)）過橢圓 =1（ a b 0）的上頂點(diǎn) B 和左焦點(diǎn) F，且被圓 x2+ 截得的弦長為 L，若 L ，則橢圓離心率 e 的取值范圍是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由垂徑定理，結(jié)合 算出直線 l 到圓 x2+ 的圓心的距離 d 滿足 ，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于 k 的不等式，算出 由直線 l 經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn) ，可得 c= ，從而得到 + ，利用離心率的公式建立 e 關(guān)于 k 的關(guān)系式，即可求出橢圓離心率 e 的取值范圍 【解答】 解：圓 x2+ 的圓心到直線 l： y= 的距離為 d= 直線 l： y= 被圓 x2+ 截得的弦長為 L， 由垂徑定理，得 2 ， 即 ，解之得 ，解之得 直線 l 經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn) B 和左焦點(diǎn) F， b=2 且 c= = ，即 + 第 11 頁（共 21 頁） 因此，橢圓的離心率 e 滿足 = = 0 ，可得 e （ 0， 故選： B 12已知函數(shù) f（ x） =不等式 的解集為（ ） A（ e， +） B（ 0， e） C D 【考點(diǎn)】 其他不等式的解法 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)增區(qū)間，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式，轉(zhuǎn)化為 f（ f（ 1）即為 f| f（ 1），則 | 1，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =導(dǎo)數(shù)為： f（ x） =x=x（ 2+ 則 x 0 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）遞增， 且 f（ x） = x） +（ x） 2=f（ x）， 則為偶函數(shù)，即有 f（ x） =f（ |x|）， 則不等式 ，即為 f（ f（ 1） 即為 f| f（ 1）， 則 | 1，即 1 1，解得， x e 故選： D 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè) x， y 滿足約束條件 ，則 z=x+2y 3 的最大值為 5 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 先由約束條件畫出可行域，再求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證即得答案 【解答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： 第 12 頁（共 21 頁） 由圖易得： 當(dāng) x=4， y=2 時(shí) z=x+2y 3 的最大值為 5， 故答案為： 5 14數(shù)列 足： ， =2an，則數(shù)列 an前 10 項(xiàng)的和為 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和 【分析】 把已知數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列 是以 2 為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入 an，然后利用裂項(xiàng)相消法求和 【解答】 解：由 =2an，得 ， 即 ， 數(shù)列 是以 2 為公差的等差數(shù)列， 有 ， ， 則 ， ， 則 an= ， 數(shù)列 an前 10 項(xiàng)的和為 = 故答案為： 第 13 頁（共 21 頁） 15若（ x+ ） n 的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為 81，且常數(shù)項(xiàng)為 a，則直線 y= x 與曲線 y= 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；定積分 【分析】 依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為 3n，列出方程求出 n，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)a 的值，再利用積分求直線 y= x 與曲線 y=成的封閉圖形的面積 【解答】 解： （ x+ ） n 的展開式中各項(xiàng)的系 數(shù)之和為 81， 3n=81， 解得 n=4， （ x+ ） 4 的展開式的通項(xiàng)公式為： =r2r， 令 4 2r=0，解得 r=2， 展開式中常數(shù)項(xiàng)為 a=2=24； 直線 y=4x 與曲線 y=圍成的封閉區(qū)域面積為： S= （ 4x 2 故答案為： 16三棱柱 底面是直角三角形，側(cè)棱垂直于底面，面積最大的側(cè)面是正方形，且正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面積為 16，則三棱柱 最大體積為 4 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【分析】 根據(jù)球體體積計(jì)算球的半徑，得出底面直角三角形的斜邊長，從而得出底面直角邊a， b 的關(guān)系，利用基本不等式求得 最大值，代入棱柱的體積得出體積的最大值 【解答】 解：設(shè)三棱柱底面直角三角形的直角邊為 a， b 則棱柱的高 h= ， 設(shè)外接球的半徑為 r，則 46，解得 r=2， 正方形的中心是該三棱柱的外接球的球心， h=2r=4 h=2 ， a2+b2= 2 4 三棱柱的體積 V= 4 故答案為 4 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17在 ， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 的對邊，且 b2+a2= （ ）求角 A 的大?。?第 14 頁（共 21 頁） （ ）設(shè)函數(shù) f（ x） = a=2， f（ B） = +1 時(shí)，求邊長 b 【考點(diǎn)】 余弦定理 【分析】 （ ）由已知及余弦定理可得 ，結(jié)合范圍 0 A ，即可解得 A 的值 （ ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得 f（ x） = x+ ） +1，由B+ ） +1= ，解得 B 的值，利用正弦定理即可求 b 的值 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ ）在 ，因?yàn)?b2+a2= 由余弦定理可得 = = ， 0 A ， A= （ ） f（ x） = x+ ） +1， f（ B） = B+ ） +1= ， B= ， ，即： = ， b= = 18某小學(xué)對五年級的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測試，已知五年級一班共有學(xué)生 30 人，測試立定跳遠(yuǎn)的成績用莖葉圖表示如下（單位： 男生成績在 175上（包括 175義為 “合格 ”，成績在 175下（不包括 175義為 “不合格 ”； 女生成績在 165上（包括 165義為 “合格 ”，成績在 165下（不包括 165義為 “不合格 ” （ ）在五年級一班男生中任意選取 3 人，求至少有 2 人的成績是合格的概率； （ ）若從五年級一班成績 “合格 ”的學(xué)生中選取 2 人參加復(fù)試，用 X 表示其中男生的人數(shù)，寫出 X 的分布列，并求 X 的數(shù)學(xué)期望 第 15 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）設(shè) “僅有兩人的成績合格 ”為事件 A， “有三人的成績合格 ”為事件 B，至少有兩人的成績是合格的概率為 P=P（ A） +P（ B），由此能求出至少有 2 人的成績是合格的概率 （ ）因?yàn)榕灿?18 人，其中有 10 人合格，依題意， X 的取值為 0， 1， 2分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）設(shè) “僅有兩人的成績合格 ”為事件 A， “有三人的成績合格 ”為事件 B， 至少有兩人的成績是合格的概率為 P，則 P=P（ A） +P（ B）， 又男生共 12 人，其中有 8 人合格，從而 P（ A） = ， P（ B） = ， 所以 P= （ ）因?yàn)榕灿?18 人，其中有 10 人合格，依題意， X 的取值為 0， 1， 2 則 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ，（每項(xiàng) 1 分） 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 P E（ X） = +2 = （人）（未化簡不扣分） 19在四棱錐 P ，底面 正方形， 底面 P， E 為棱 （ ）求直線 平面 成角的正弦值； （ ）若 F 為 中點(diǎn)，棱 是否存在一點(diǎn) M，使得 存在，求出 的值，若不存在，說明理由 第 16 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 【分析】 （ I）以 A 為原點(diǎn)建系，設(shè) ，求出 和平面 法向量 ，則所求的線面角的最小值等于 | |； （ = ，求出 和 的 坐標(biāo)，令 解出 即可得出 的值 【解答】 解：（ ）以點(diǎn) A 為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè) P=2， 則 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， 1， 1） =（ 0， 1， 1）， =（ 2， 2， 0）， =（ 2， 0， 2）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，即 ， 令 z=1，得 =（ 1， 1， 1） = = ， 直線 平面 成角的正弦值為 （ ） C（ 2， 2， 0）， F（ 1， 0， 0）， =（ 2， 2， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 1， 2， 0） 設(shè) = =（ 2， 2， 2）（ 0 1）， =（ 1 2， 2 2， 2）， ， 2（ 1 2） +2（ 2 2） =0，解得 = ， 20動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線 y 上，過點(diǎn) P 作 直于 x 軸，垂足為 Q， 設(shè) （ ）求點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程； （ ）設(shè)點(diǎn) S（ 4， 4），過 N（ 4， 5）的直線 l 交軌跡 E 于 A， B 兩點(diǎn)，設(shè)直線 |最小值 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 第 17 頁（共 21 頁） 【分析】 （ I）設(shè) M 的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將 P 點(diǎn)坐標(biāo)代入整理可求得 M 的軌跡方程； （ 線 l 過點(diǎn) N，設(shè) l 的方程為： y=k（ x 4） +5，與 E 聯(lián)立，整理得： 46k20=0，根據(jù)韋達(dá)定理，分類討論 l 是否經(jīng)過點(diǎn) S，并分別求得直線的斜率，即 可求 |最小值 【解答】 解：（ I）設(shè)點(diǎn) M（ x， y）， P（ 則由 ，得 ， 因?yàn)辄c(diǎn) P 在拋物線 y 上，所以， y （ 已知，直線 l 的斜率一定存在， 設(shè)點(diǎn) A（ B（ 則 聯(lián)立 ， 得， 46k 20=0， 由韋達(dá)定理，得 當(dāng)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) S 即 4 或 4 時(shí)， 當(dāng) 4 時(shí)，直線 斜率看作拋物線在點(diǎn) A 處的切線斜率， 則 2， ，此時(shí) ； 同理，當(dāng)點(diǎn) B 與點(diǎn) S 重合時(shí)， （學(xué)生如果沒有討論，不扣分） 直線 l 不經(jīng)過點(diǎn) S 即 4 且 4 時(shí) ， ， = ， = ， 故 ， 所以 |最小值為 1 21已知函數(shù) f（ x） =3（ a R） （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）若函數(shù) y=f（ x）的圖象在點(diǎn)（ 2， f（ 2）處的切線的傾斜角為 45，對于任意的 t1， 2，函數(shù) 在區(qū)間（ t， 3） 上總不是單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍； 第 18 頁（共 21 頁） （ ）求證： 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是 求導(dǎo)函數(shù) f（ x）； 解 f（ x） 0（或 0）；得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）， 對于本題的（ 1）在求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù) a 的討論情況； （ 2）點(diǎn)（ 2， f（ 2）處的切線的傾斜角為 45，即切線斜率為 1，即 f（ 2） =1，可求 a 值，代入得 g（ x）的解析式，由 t 1， 2， 且 g（ x）在區(qū)間（ t， 3）上總不是單調(diào)函數(shù)可知：，于是可求 m 的范圍 （ 3）是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量 n 有某些結(jié)論成立，進(jìn)而解答出這類不等式問題的解 【解答】 解：（ ） 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）的單調(diào)增區(qū)間為（ 0， 1，減區(qū)間為 1， +）； 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）的單調(diào)增區(qū)間為 1， +），減區(qū)間為（ 0， 1； 當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x）不是單調(diào)函數(shù) （ ） 得 a= 2， f（ x） = 2x 3 ， g（ x） =3 m+4） x 2 g（ x）在區(qū)間（ t， 3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且 g（ 0） = 2 由題意知：對于任意的 t 1， 2， g（ t） 0 恒成立， 所以有： ， （ ）令 a= 1