第 1 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 2016 年重慶市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1設(shè)全集 U=R，集合 M=x|y= ， N=y|y=3 2x，則圖中陰影部分表示的集合是（ ） A x| x 3 B x| x 3 C x| x 2 D x| x 2 2已知復(fù)數(shù) z=1+ ，則 1+z+（ ） A 1+i B 1 i C i D 1 3（ 1 3x） 5=a0+ |（ ） A 1024 B 243 C 32 D 24 4若某程序框圖如圖所示，則輸出的 n 的值是（ ） A 43 B 44 C 45 D 46 5給出下列四個(gè)結(jié)論： “若 a b”的逆命題是真命題； 若 x， y R，則 “x 2 或 y 2”是 “x2+4”的充分不必要條件； 函數(shù) y=x+1） +1（ a 0 且 a 0）的圖象必過(guò)點(diǎn)（ 0， 1）； 已知 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 0） = P（ 2） = 其中正確的結(jié)論是（ ） A B C D 6某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長(zhǎng)為 2 的等腰三角形，俯視圖是半徑為 第 2 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 1 的半圓，則其側(cè)視圖的面積是（ ） A B C 1 D 7已知實(shí)數(shù) x， y 滿足： ， z=|2x 2y 1|，則 z 的取值范圍是（ ） A ， 5 B 0， 5 C 0， 5） D ， 5） 8某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)迅猛發(fā)展，高一新生中的五名同學(xué)打算參加 “清凈了文學(xué)社 ”、 “科技社 ”、 “十年國(guó)學(xué)社 ”、 “圍棋苑 ”四個(gè)社團(tuán)若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加 “圍棋苑 ”，則不同的參加方法的種數(shù)為（ ） A 72 B 108 C 180 D 216 9若 ， ） = ，且 ， ， ， ，則 + 的值是（ ） A B C 或 D 或 10設(shè)直線 x=t 與函數(shù) f（ x） =g（ x） =圖象分別交于點(diǎn) M， N，則當(dāng) |到最小時(shí) t 的值為（ ） A 1 B C D 11已知雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線右支上， 切圓的圓心為 Q，圓 Q 與 x 軸相切于點(diǎn) A，過(guò) 直線垂線，垂足為 B，則 | |長(zhǎng)度依次為（ ） A a， a B a， C D 12設(shè) D 是函數(shù) y=f（ x）定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在 D，使 f（ = 稱 f（ x）的一個(gè) “次不動(dòng)點(diǎn) ”，也稱 f（ x）在區(qū)間 D 上存在次不動(dòng)點(diǎn)若函數(shù) f（ x） =x a+ 在區(qū)間 1， 4上存在次不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C ， +） D（ ， 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 第 3 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 13已知向量 ， | |=3，則 = 14設(shè)等差數(shù)列 前 n，若 ，則 = 15從某居民區(qū)隨機(jī)抽取 10 個(gè)家庭，獲得第 i 個(gè)家庭的月收入 位：千元）與月儲(chǔ)蓄位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得 =80， 0， 84， =720家庭的月儲(chǔ)蓄 y 對(duì)月收入 x 的線性回歸方程 為 y=bx+a，若該居民區(qū)某家庭的月儲(chǔ)蓄為 2 千元，預(yù)測(cè)該家庭的月收入為 千元 （附：線性回歸方程 y=bx+a 中， b= ， a= b ） 16已知 P 點(diǎn)為圓 圓 共點(diǎn)，圓 x a） 2+（ y b） 2=，圓 x c）2+（ y d） 2=，若 ， = ，則點(diǎn) P 與直線 l： 3x 4y 25=0 上任意一點(diǎn) M 之間的距離的最小值為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，已知 = ， A+3C=B， （ 1）求 值； （ 2）若 b=3 ，求 面積 18市積極倡導(dǎo)學(xué)生參與綠色環(huán)保活動(dòng)，其中代號(hào)為 “環(huán)保衛(wèi)士 12369”的綠色環(huán)保活動(dòng)小組對(duì) 2014 年 1 月 2014 年 12 月（一月）內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù) 行監(jiān)測(cè)，如表是在這一年隨機(jī)抽取的 100 天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果： 指數(shù)0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 300 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天數(shù) 4 13 18 30 9 11 15 （ ）若市某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失 P（單位 ：元）與空氣質(zhì)量指數(shù) 為 t）的關(guān)系為： ，在這一年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失 P 若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有 30 天是在供暖季節(jié)，其中有 8 天為重度污染，完成 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 95%的把握認(rèn)為 A 市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？ 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 非供暖季 合計(jì) 100 第 4 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 下面臨界值表功參考 P（ k） k 考公式： 19在四棱錐 P ， 平面 面 梯形， B=D=1， （ 1）求證：平面 平面 （ 2）設(shè) Q 為棱 一點(diǎn)， = ，試確定 的值使得二面角 Q P 為 60 20在平面直角坐標(biāo)系 ，已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率 e= ，直線l： x 1=0（ m R）過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn) F，且交橢圓 C 于 A， B 兩點(diǎn) （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）過(guò)點(diǎn) A 作垂直于 y 軸的直線 直線 定直線 x=4 交于點(diǎn) P，試探索當(dāng) m 變化時(shí)，直線 否過(guò)定點(diǎn)？ 21已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =mx+n （ 1）設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x） 若函數(shù) h（ x）在 x=0 處的切線過(guò)點(diǎn)（ 1， 0），求 m+n 的值； 當(dāng) n=0 時(shí)，若函數(shù) h（ x）在（ 1， +）上沒(méi)有零點(diǎn)，求 m 的取值范圍； （ 2）設(shè)函數(shù) r（ x） = + ，且 n=4m（ m 0），求證：當(dāng) x 0 時(shí)， r（ x） 1 選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑， C， F 為 O 上的點(diǎn)， 角平分線，過(guò)點(diǎn) C 作 延長(zhǎng)線于 D 點(diǎn)， 足為點(diǎn) M （ 1）求證： O 的切線； （ 2）求證： B=A 第 5 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為 極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸）中，曲線 （ ）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè)曲線 C 與直線 l 交于點(diǎn) A、 B，若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1， 1），求 |值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 4|+|x+5| （ ）試求使等式 f（ x） =|2x+1|成立的 x 的取值范圍； （ ）若關(guān)于 x 的不等式 f（ x） a 的解集不是空集，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 第 6 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 2016 年重慶市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題， 每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1設(shè)全集 U=R，集合 M=x|y= ， N=y|y=3 2x，則圖中陰影部分表示的集合是（ ） A x| x 3 B x| x 3 C x| x 2 D x| x 2 【考點(diǎn)】 表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算 【分析】 首先化簡(jiǎn)集合 A 和 B，然后根據(jù) 求出結(jié)果 【解答】 解： M=x|y= =x|x N=y|y=3 2x=y|y 3 圖中的陰影部分表示集合 N 去掉集合 M 圖中陰影部分表示的集合 x| x 3 故選： B 2已知復(fù)數(shù) z=1+ ，則 1+z+（ ） A 1+i B 1 i C i D 1 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【分析】 化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)單位的冪運(yùn)算求解即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=1+ =1+ =i 1+z+i+ 故選： D 3（ 1 3x） 5=a0+ |（ ） A 1024 B 243 C 32 D 24 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由于 |好等于（ 1+3x） 5 的各項(xiàng)系數(shù)和，故在（ 1+3x）5 的展開式中，令 x=1，即可求得 |值 【解答】 解：由題意（ 1 3x） 5=a0+得， |好等于（ 1+3x） 5 的各項(xiàng)系數(shù)和， 第 7 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 故在（ 1+3x） 5 的展開式中，令 x=1 可得 |45=1024， 故選： A 4若某程序框圖如圖所示，則輸出的 n 的值是（ ） A 43 B 44 C 45 D 46 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 框圖首先給循環(huán)變量 n 賦值 1，給累加變量 p 賦值 1，然后執(zhí)行運(yùn)算 n=n+1， p=p+2n 1，然后判斷 p 2016 是否成立，不成立循環(huán)執(zhí)行 n=n+1， p=p+2n 1，成立時(shí)算法結(jié)束，輸出 n 的值且由框圖可知，程序執(zhí)行的是求等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和問(wèn)題當(dāng)前 n 項(xiàng)和大于2016 時(shí)，輸出 n 的值 【解答】 解：框圖首先給循環(huán)變量 n 賦值 1，給累加變量 p 賦值 1， 執(zhí)行 n=1+1=2， p=1+（ 2 2 1） =1+3=4； 判斷 4 2016 不成立， 執(zhí)行 n=2+1=3， p=1+3+（ 2 3 1） =1+3+5=9； 判斷 9 2016 不成立， 執(zhí)行 n=3+1=4， p=1+3+5+（ 2 4 1） =1+3+5+7=16； 由上可知，程序運(yùn)行的是求首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和， 由 p= 2016，且 n N*，得 n=45 故選： C 5給出下列四個(gè)結(jié)論： “若 a b”的逆命題是真命題； 若 x， y R，則 “x 2 或 y 2”是 “x2+4”的充分不必要條件； 函數(shù) y=x+1） +1（ a 0 且 a 0）的圖象必過(guò)點(diǎn)（ 0， 1）； 已知 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 0） = P（ 2） = 其中正確的結(jié)論是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 第 8 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【分析】 逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案 【解答】 解： “若 a b”的逆命題是 “若 a b，則 當(dāng) m=0 時(shí)不成立，故為假命題，故錯(cuò)誤； 若 x， y R，當(dāng) “x 2 或 y 2”時(shí)， “x2+4”成立，當(dāng) “x2+4”時(shí)， “x 2 或 y 2”不一定成立，故 “x 2 或 y 2”是 “x2+4”的充分不必要條件，故正確； 當(dāng) x=0 時(shí)， y=x+1） +1=1 恒成立，故函數(shù) y=x+1） +1（ a 0 且 a 0）的圖象必過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），故正確； 已知 服從正態(tài)分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 0） = P（ 2） =錯(cuò)誤； 故選： C 6某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長(zhǎng)為 2 的等腰三角形，俯視圖是半徑為 1 的半圓，則其側(cè)視圖的面積是（ ） A B C 1 D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知幾何體的直觀圖是半個(gè)圓錐，再根據(jù)其中正視圖是腰長(zhǎng)為 2 的等腰三角形，我們易得圓錐的底面直徑為 2，母線為為 2，故圓錐的底面半徑為 1，高為 ，進(jìn)而可得其側(cè)視圖的面積 【解答】 解：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個(gè)圓錐， 又 正視圖是腰長(zhǎng)為 2 的等腰三角形，俯視圖是半徑為 1 的半圓， 半圓錐的底面半徑為 1，高為 ， 即半圓錐的側(cè)視圖是一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別為 1 和 的直角三角形， 故側(cè)視圖的面積是 ， 故選： B 7已知實(shí)數(shù) x， y 滿足： ， z=|2x 2y 1|，則 z 的取值范圍是（ ） A ， 5 B 0， 5 C 0， 5） D ， 5） 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域如圖，令 u=2x 2y 1，由線性規(guī)劃知識(shí)求出 u 的最值，取絕對(duì)值求得 z=|u|的取值范圍 第 9 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【解答】 解：由約束條件 作可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 ， A（ 2， 1）， 聯(lián)立 ，解得 ， 令 u=2x 2y 1， 則 ， 由圖可知，當(dāng) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 2， 1）時(shí)，直線 在 y 軸上的截距最小， u 最大，最大值為 u=2 2 2 （ 1） 1=5； 當(dāng) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)，直線 在 y 軸上的截距最大， u 最小，最小值為 u= ， z=|u| 0， 5） 故選： C 8某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)迅猛發(fā)展，高一新生中的五名同學(xué)打算參加 “清凈了文學(xué)社 ”、 “科技社 ”、 “十年國(guó)學(xué)社 ”、 “圍棋苑 ”四個(gè)社團(tuán)若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參 加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加 “圍棋苑 ”，則不同的參加方法的種數(shù)為（ ） A 72 B 108 C 180 D 216 第 10 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題意，分析可得，必有 2 人參加同一個(gè)社團(tuán)，分 2 步討論，首先分析甲，因?yàn)榧撞粎⒓?“圍棋苑 ”，則其有 3 種情況，再分析其他 4 人，此時(shí)分甲單獨(dú)參加一個(gè)社團(tuán)與甲與另外 1 人參加同一個(gè)社團(tuán)， 2 種情況討論，由加法原理，可得第二步的情況數(shù)目，進(jìn)而由乘法原理，計(jì)算可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，分析可得，必有 2 人參加同一個(gè)社團(tuán)， 首先分析甲，甲不參加 “圍棋苑 ”，則其有 3 種情 況， 再分析其他 4 人，若甲與另外 1 人參加同一個(gè)社團(tuán)，則有 4 種情況， 若甲是 1 個(gè)人參加一個(gè)社團(tuán)，則有 33=36 種情況， 則除甲外的 4 人有 24+36=60 種情況； 故不同的參加方法的種數(shù)為 3 60=180 種； 故選 C 9若 ， ） = ，且 ， ， ， ，則 + 的值是（ ） A B C 或 D 或 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦 【分析】 依題意，可求得 ， ， 2 ， ，進(jìn)一步可知 ， ，于是可求得 ）與 值，再利用兩角和的余弦及余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案 【解答】 解： ， ， ， ， 2 ， 2， 又 0， 2 ， ， = ； 又 ） = ， ， ， ） = = ， +） =+（ ） = ） ） = （ ） = 又 ， ， ， ， （ +） ， 2， += ， 第 11 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 故選： A 10設(shè)直線 x=t 與函數(shù) f（ x） =g（ x） =圖象分別交于點(diǎn) M， N，則當(dāng) |到最小時(shí) t 的值為（ ） A 1 B C D 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用 【分析】 將兩個(gè)函數(shù)作差，得到函數(shù) y=f（ x） g（ x），再求此函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)的自變量x 的值 【解答】 解：設(shè)函數(shù) y=f（ x） g（ x） =導(dǎo)數(shù)得 = 當(dāng) 時(shí)， y 0，函數(shù)在 上為單調(diào)減函數(shù)， 當(dāng) 時(shí)， y 0，函數(shù)在 上為單調(diào)增函數(shù) 所以當(dāng) 時(shí)，所設(shè)函數(shù)的最小值為 所求 t 的值為 故選 D 11已知雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線右支上， 切圓的圓心為 Q，圓 Q 與 x 軸相切于點(diǎn) A，過(guò) 直線垂線，垂足為 B，則 | |長(zhǎng)度依次為（ ） A a， a B a， C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 利用切線長(zhǎng)定理，結(jié)合雙曲線的定義，把 | |2a，轉(zhuǎn)化為 |2a，從而求得點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)再在三角形 ，由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，從而在 ，利用中位線定理得出 而解決問(wèn)題 【解答】 解：根據(jù)題意得 c， 0）， c， 0）， 設(shè) 內(nèi)切圓分別與 于點(diǎn) 于點(diǎn) A， 則 | | | 又點(diǎn) P 在雙曲線右支上， | |2a， | |2a， 而 |2c， 設(shè) A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， 0）， 則由 | |2a， 第 12 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 得（ x+c）（ c x） =2a， 解得 x=a， |a， 在 ， （ = （ = =a， | |長(zhǎng)度依次為 a， a 故選： A 12設(shè) D 是函數(shù) y=f（ x）定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在 D，使 f（ = 稱 f（ x）的一個(gè) “次不動(dòng)點(diǎn) ”，也稱 f（ x）在區(qū)間 D 上存在次不動(dòng)點(diǎn)若函數(shù) f（ x） =x a+ 在區(qū)間 1， 4上存在次不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C ， +） D（ ， 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù) “f（ x）在區(qū)間 D 上有次不動(dòng)點(diǎn) ”當(dāng)且僅當(dāng) “F（ x） =f（ x） +x 在區(qū)間 D 上有零點(diǎn) ”，依題意，存在 x 1， 4，使 F（ x） =f（ x） +x=2x a+ =0，討論將 a 分離出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)研究出等式另一側(cè)函數(shù)的取值范圍即可求出 a 的范圍 【解答】 解：依題意，存在 x 1， 4， 使 F（ x） =f（ x） +x=2x a+ =0， 當(dāng) x=1 時(shí)，使 F（ 1） = 0； 當(dāng) x 1 時(shí)，解得 a= ， 第 13 頁(yè)（共 23 頁(yè)） a= =0， 得 x=2 或 x= ，（ 1，舍去）， x （ 1， 2） 2 （ 2， 4） a + 0 a 最大值 當(dāng) x=2 時(shí)， a 最大 = = ， 所以常數(shù) a 的取值范圍是（ ， ， 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13已知向量 ， | |=3，則 = 9 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 由已知結(jié)合平面向量是數(shù)量積運(yùn)算求得答案 【解答】 解：由 ，得 =0，即 （ ） =0， | |=3， 故答案為： 9 14設(shè)等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ，則 = 9 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的性質(zhì)；定積分 的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【分析】 先利用定積分求得 ，再根據(jù)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知據(jù) 而可得則 的值 【解答】 解： =（ x） |02=5， 等差數(shù)列， S9=a1+S5=a1+ 故答案為 9 第 14 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 15從某居民區(qū)隨機(jī)抽取 10 個(gè)家庭，獲得第 i 個(gè)家庭的月收入 位：千元）與月儲(chǔ)蓄位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得 =80， 0， 84， =720家庭的月儲(chǔ)蓄 y 對(duì)月收入 x 的線性回歸方程為 y=bx+a，若該居民區(qū)某家庭的月儲(chǔ)蓄為 2 千元，預(yù)測(cè)該家庭的月收入為 8 千元 （附：線性回歸方程 y=bx+a 中， b= ， a= b ） 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 利用已知條件求出，樣本中心坐標(biāo)，利用參考公式求出 b， a，然后求出線性回歸方程 y=bx+a，通過(guò) x=2，利用回歸直線方程，推測(cè)該家庭 的月儲(chǔ)蓄 【解答】 解：（ 1）由題意知， n=10， = =8， = ， b= = = a= b =2 8= 線性回歸方程為 y= 當(dāng) y=2 時(shí)， x=8， 故答案為： 8 16已知 P 點(diǎn)為圓 圓 共點(diǎn)，圓 x a） 2+（ y b） 2=，圓 x c）2+（ y d） 2=，若 ， = ，則點(diǎn) P 與直線 l： 3x 4y 25=0 上任意一點(diǎn) M 之間的距離的最小值為 2 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 把兩個(gè)圓的方程相減與圓 立可得 x2+，令 4y 3x=t，則 y= ，代入可得 25tx+144=0，由 0，可得 15 t 15，再利用 P 到直線 l 的距離為= ，即可求出點(diǎn) P 與直線 l 上任意一點(diǎn) M 之間的 距離的最小值 【解答】 解： ， = ， = ，故兩圓的圓心 a， b）、圓心 c， d）、原點(diǎn)O 三點(diǎn)共線， 不妨設(shè) = =k，則 c= ， b=d= 把圓 x a） 2+（ y b） 2=，圓 x c） 2+（ y d） 2= 相減， 可得公共弦的方程為 （ 2c 2a） x+（ 2d 2b） y= 第 15 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 即（ 2a） x+（ 2y= 2（ a） x+2k（ a） y=（ +a）（ a）， 當(dāng) a 2 時(shí)， a 0，公共弦的方程為： 2x+2+a，即： 2， 即： 2by= x a） 2+（ y b） 2=，即 x2+， 再把公共弦的方程代入圓 方程可得 x2+ 令 4y 3x=t，代入 可得 25tx+144=0 再根據(jù)此方程的判別式 =36100（ 144） 0，求得 15 t 15 點(diǎn) P 到直線 l： 3x 4y 25=0 的距離為 = = ， 故當(dāng) 4y 3x=t= 15 時(shí)，點(diǎn) P 到直線 l： 3x 4y 25=0 的距離取得最小值為 2 當(dāng) a= 2 時(shí)，由條件可得 a=c， b=d，此時(shí)，兩圓重合，不合題意 故答案為： 2 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c，已知 = ， A+3C=B， （ 1）求 值； （ 2）若 b=3 ，求 面積 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）把 A+3C=B 代入 A+B+C=得 B= +C，可得 0，由條件和正弦定理化簡(jiǎn)后，利用平方關(guān)系求出 值； （ 2）由條件求出邊 c 的值，由（ 1）和平方關(guān)系求出 值，利用兩角和的正弦公式求出 值，代入三角形的面積公式求解即可 【解答】 解：（ 1）由題意得 A+3C=B，則 A=B 3C， 代入 A+B+C=得， B= +C，所以 0， ， 由正弦定理得， ，則 ， 又 ， 由 得， ，則 ； （ 2） ， b=3 ， c= ， 由（ 1）知 ，且 B= +C， = ，同理 可得 ， 則 B+C） = +（ ） = 第 16 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 面積 S= = = 18市積極倡導(dǎo)學(xué)生參與綠色環(huán)保活動(dòng)，其中代號(hào)為 “環(huán)保衛(wèi)士 12369”的綠色環(huán)保活動(dòng)小組對(duì) 2014 年 1 月 2014 年 12 月（一月）內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù) 行監(jiān)測(cè)，如表是在這一年隨機(jī)抽取的 100 天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果： 指數(shù)0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 300 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中 度污染 中重度污染 重度污染 天數(shù) 4 13 18 30 9 11 15 （ ）若市某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失 P（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù) 為 t）的關(guān)系為： ，在這一年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失 P 若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有 30 天是在供暖季節(jié)，其中有 8 天為重度污染，完成 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 95%的把握認(rèn)為 A 市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？ 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合計(jì) 85 15 100 下面臨界值表功參考 P（ k） k 考公式： 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn) 【分析】 （ ）由 200 4t 400 600，得 150 t 250，頻數(shù)為 39，即可求出概率； （ ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測(cè)值的公式，代入數(shù)據(jù)做出觀測(cè)值，同臨界值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論 【解答】 解：（ ）設(shè) “在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失 P = （ ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如表： 非重度污染 重度污染 合計(jì) 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合計(jì) 85 15 100 觀測(cè)值 所以有 95%的把握認(rèn)為 A 市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān) 第 17 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 19在四棱錐 P ， 平面 面 梯形， B=D=1， （ 1）求證：平面 平面 （ 2）設(shè) Q 為棱 一點(diǎn)， = ，試確定 的值使得二面角 Q P 為 60 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）在梯形 ，過(guò)點(diǎn)作 B 作 H，通過(guò)面面垂直的判定定理即得結(jié)論； （ 2）過(guò)點(diǎn) Q 作 點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) M 作 點(diǎn) N，連 P 的平面角，在 角形 利用 計(jì)算即可 【解答】 （ 1）證明： 平面 面 面 1 所示 在梯形 ，過(guò)點(diǎn)作 B 作 H， 在 ， H=1， 5， 又在 ， B=1， 5， 5， 0， C=D 面 面 平面 面 D=D， 平面 面 平面 面 平面 平面 （ 2）解：過(guò)點(diǎn) Q 作 點(diǎn) M，過(guò)點(diǎn) M 作 點(diǎn) N，連 由（ 1）可知 平面 平面 N=M， 平面 2 所示 二面角 Q P 的平面角， 0， ， ， ， 由（ 1）知 ， ， 又 ， ， 第 18 頁(yè)（共 23 頁(yè)） = =1 ， ， ， 20在平面直角坐標(biāo)系 ，已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率 e= ，直線l： x 1=0（ m R）過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn) F，且交橢圓 C 于 A， B 兩點(diǎn) （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）過(guò)點(diǎn) A 作垂直于 y 軸的直線 直線 定直線 x=4 交于點(diǎn) P，試探索當(dāng) m 變化時(shí)，直線 否過(guò)定點(diǎn)？ 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ ）由橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率 e= ，直線 l： x 1=0（ m R）過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn) F，列出方程組，求出 a， b，由此能求出橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ ）令 m=0，則 A（ 1， ）， B（ 1， ）或 A（ 1， ）， B（ 1， ），從而得到滿足題意的定 點(diǎn)只能是（ ， 0），設(shè)為 D 點(diǎn)，再證明 P、 B、 D 三點(diǎn)共線由此得到 過(guò)定點(diǎn)（ ， 0） 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率 e= ，直線 l： x 1=0（ m R）過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn) F， 由題設(shè)，得 ， 解得 a=2， c=1， b2=， 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1 第 19 頁(yè)（共 23 頁(yè)） （ ）令 m=0，則 A（ 1， ）， B（ 1， ）或 A（ 1， ）， B（ 1， ）， 當(dāng) A（ 1， ）， B（ 1， ）時(shí)， P（ 4， ），直線 y=x ， 當(dāng) A（ 1， ）， B（ 1， ）時(shí)， P（ 4， ），直線 y= x+ ， 滿足題意的定點(diǎn)只能是（ ， 0），設(shè)為 D 點(diǎn)，下面證明 P、 B、 D 三點(diǎn)共線 設(shè) A（ B（ 直于 y 軸， 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 而只要證明 P（ 4， 直線 ， 由 ，得（ 4+39=0， =144（ 1+ 0， ， ， = = ， 式代入上式，得 ， 點(diǎn) P（ 4， 在直線 ，從而 P、 B、 D 三點(diǎn)共線，即 過(guò)定 點(diǎn)（ ， 0） 21已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =mx+n （ 1）設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x） 若函數(shù) h（ x）在 x=0 處的切線過(guò)點(diǎn)（ 1， 0），求 m+n 的值； 當(dāng) n=0 時(shí)，若函數(shù) h（ x）在（ 1， +）上沒(méi)有零點(diǎn)，求 m 的取值范圍； （ 2）設(shè)函數(shù) r（ x） = + ，且 n=4m（ m 0），求證：當(dāng) x 0 時(shí)， r（ x） 1 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo) 數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論 （ 2）求出 r（ x）的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可 【解答】 解：（ 1） h（ x） =f（ x） g（ x） =n 則 h（ 0） =1 n，函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f（ x） =m， 則 f（ 0） =1 m，則函數(shù)在 x=0 處的切線方程為 y（ 1 n） =（ 1 m） x， 切線過(guò)點(diǎn)（ 1， 0）， （ 1 n） =1 m，即 m+n=2 當(dāng) n=0 時(shí)， h（ x） =f（ x） g（ x） = 若函數(shù) h（ x）在（ 1， +）上沒(méi)有零點(diǎn)， 第 20 頁(yè)（共 23 頁(yè)） 即 在（ 1， +）上無(wú)解， 若 x=0，則方程無(wú)解，滿足條件， 若 x 0，則方程等價(jià)為 m= ， 設(shè) g（ x） = ， 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù) g（ x） = ， 若 1 x 0，則 g（ x） 0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則 g（ x） g（ 1） = e 1， 若 x 0，由 g（ x） 0 得 x 1， 由 g（ x） 0，得 0 x 1，即當(dāng) x=1 時(shí)， 函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值，此時(shí) g（ x） g（ 1） =e， 綜上 g（ x） e 或 g（ x） e 1， 若方程 m= 無(wú)解，則 e 1 m e （ 2） n=4m（ m 0）， 函數(shù) r（ x） = + = + = + ， 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù) r（ x） = + = ， 設(shè) h（ x） =16 x+4） 2， 則 h（ x） =162（ x+4） =162x 8， h（ x） =162， 當(dāng) x 0 時(shí)， h（ x） =162 0，則 h（ x）為增函數(shù)，即 h（ x） h（ 0） =16 8=80， 即 h（ x）為增函數(shù)， h（ x） h（ 0） =16 16=0， 即 r（ x）