第 1 頁（共 22 頁） 2016 年浙江省五校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求） 1定義集合 A=x|f（ x） = ， B=y|y=2x+2） ，則 A ） A（ 1， +） B 0， 1 C 0， 1） D 0， 2） 2 三內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，則 “a2+ “ 鈍角三角形 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 3對任意的 （ 0， ），不等式 + |2x 1|恒成立，則實數(shù) x 的取值范圍是（ ） A 3， 4 B 0， 2 C D 4， 5 4已知棱長為 1 的正方體 ，下列命題不正確的是（ ） A平面 平面 兩平面的距離為 B點 P 在線段 運動，則四面體 體積不變 C與所有 12 條棱都相切的球的體積為 D M 是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點， N 是 接圓的圓周上任意一點，則 |最小值是 5設(shè)函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） m 在 0， 2內(nèi)恰有 4 個不同的零點，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ 0， 1） B 1， 2 C（ 0， 1 D（ 1， 2） 6已知 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左右焦點，以 直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為 P，過點 P 向 x 軸作垂線，垂足為 H，若 |a，則雙曲線的離心率為（ ） 第 2 頁（共 22 頁） A B C D 7已知 3 =1， 2+），則 +） =（ ） A B C D 3 8如圖，棱長為 4 的正方體 A 在平面 內(nèi)，平面 平面 所成的二面角為 30，則頂點 平面 的距離的最大值是（ ） A 2（ 2+ ） B 2（ + ） C 2（ +1） D 2（ +1） 二、填空題（本大題共 7 小題，前 4 題每題 6 分，后 3 題每題 4 分，共 36 分） 9已知空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 ；幾何體的體積是 10若 x= 是函數(shù) f（ x） =一條 對稱軸，則函數(shù) f（ x）的最小正周期是 ；函數(shù) f（ x）的最大值是 11已知數(shù)列 足： ， = ，則 ；設(shè) 1）列 n 項的和為 第 3 頁（共 22 頁） 12已知整數(shù) x， y 滿足不等式 ，則 2x+y 的最大值是 ； x2+ 13已知向量 ， 滿足： | |=2，向量 與 夾角為 ，則 的取值范圍是 14若 f（ x+1） =2 ，其中 x N*，且 f（ 1） =10，則 f（ x）的表達(dá)式是 15從拋物線 x 上的點 A（ 2）向圓（ x 1） 2+ 引兩條切線分別與 ， C 兩點，則 面積的最小值是 三、解答題（本大題共 5 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16如圖，四邊形 0， （ ）若 2|2，求 面積； （ ）若 |3，求 |最小值 17如圖（ 1） E， F 分別是 中點， 0， 0，沿著 二面角 A C 的度數(shù)為 （ ）當(dāng) =90時，即得到圖（ 2）求二面角 A C 的余弦值； （ ）如圖（ 3）中，若 值 18設(shè)函數(shù) f（ x） =bx+c， g（ x） =c|x|+bx+a，對任意的 x 1， 1都有 |f（ x） | （ 1）求 |f（ 2） |的最大值； （ 2）求證：對任意的 x 1， 1，都有 |g（ x） | 1 19已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，焦點與短軸的兩頂點的連線與圓x2+相切 第 4 頁（共 22 頁） （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點（ 1， 0）的直線 l 與 C 相交于 A， B 兩點，在 x 軸上是否存在點 N，使得 為定值？如果有，求出點 N 的坐標(biāo)及定值；如果沒有，請說明理由 20已知正項數(shù)列 足： +n N*），其中 數(shù)列 前 n 項的和 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）求證： （ ） +（ ） +（ ） +（ ） 3 第 5 頁（共 22 頁） 2016 年浙江省五校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求） 1定義集合 A=x|f（ x） = ， B=y|y=2x+2） ，則 A ） A（ 1， +） B 0， 1 C 0， 1） D 0， 2） 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 求出 A 中 x 的范圍確定出 A，求出 B 中 y 的范圍確定出 B，找出 A 與 B 補集的交集 即可 【解答】 解：由 A 中 f（ x） = ，得到 2x 1 0，即 2x 1=20， 解得： x 0，即 A=0， +）， 由 2x+2 2，得到 y=2x+2） 1，即 B=（ 1， +）， 全集為 R， ， 1， 則 A0， 1 故選： B 2 三內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，則 “a2+ “ 鈍角三角形 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條 件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 在 ，由 “a2+利用余弦定理可得： C 為鈍角，因此 “ 鈍角三角形 ”，反之不成立 【解答】 解：在 ， “a2+ 0C 為鈍角 “ 鈍角三角形 ”， 反之不一定成立，可能是 A 或 B 為鈍角 三內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，則 “a2+ “ 鈍角三角形 ”的充分不必要條件 故選： A 3對任意的 （ 0， ），不等式 + |2x 1|恒成立，則實數(shù) x 的取值范圍是（ ） A 3， 4 B 0， 2 C D 4， 5 【考點】 基本不等式 第 6 頁（共 22 頁） 【分析】 對任意的 （ 0， ）， ，可得 + =（ 5+ + ，利用基本不等式的性質(zhì)可得其最小值M由不等式 + |2x 1|恒成立，可得 M |2x 1|，解出即 可得出 【解答】 解： 對任意的 （ 0， ）， ， + =（ =5+ + 5+2 2=9，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號 不等式 + |2x 1|恒成立， 9 |2x 1|， 9 2x 1 9， 解得 4 x 5， 則實數(shù) x 的取值范圍是 4， 5 故選： D 4已知棱長為 1 的正方體 ，下列命題不正確的是（ ） A平面 平面 兩平面的距離為 B點 P 在線段 運動，則四面體 體積不變 C與所有 12 條棱都相切的球的體積為 D M 是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點， N 是 接圓的圓周上任意一點，則 |最小值是 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 A根據(jù)面面平行的判定定理以及平行平面的距離進(jìn)行證明即可 B研究四面體的底面積和高的變化進(jìn)行判斷即可 C所有 12 條棱都 相切的球的直徑 2R 等于面的對角線 長度，求出球半徑進(jìn)行計算即可 D根據(jù)正方體內(nèi)切球和三角形外接圓的關(guān)系進(jìn)行判斷即可 第 7 頁（共 22 頁） 【解答】 解： A ， 平面 平面 長方體的體對角線 ， 設(shè) B 到平面 距離為 h， 則 = 1= h，即 h= ， 則平面 平面 距離 d= 2h= = ，故 A 正確， B點 P 在線段 運動，則四面體 高為 1，底面積不變，則體積不變，故 C與所有 12 條棱都相切的球的直徑 2R 等于面 的對角線 ，則 2R= ， R= ， 則球的體積 V= = （ ） 3= ，故 C 正確， D設(shè)與正方體的內(nèi)切球的球心為 O，正方 體的外接球為 O， 則三角形 外接圓是正方體的外接球為 O的一個小圓， 點 M 在與正方體的內(nèi)切球的球面上運動，點 N 在三角形 外接圓上運動， 線段 度的最小值是正方體的外接球的半徑減去正方體的內(nèi)切球相切的球的半徑， 正方體 棱長為 1， 線段 度的最小值是 故 D 錯誤， 故選： D 5設(shè)函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） m 在 0， 2內(nèi)恰有 4 個不同的零點，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ 0， 1） B 1， 2 C（ 0， 1 D（ 1， 2） 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 畫出函數(shù) f（ x）的圖象，問題轉(zhuǎn)化為 f（ x）和 y=m 在 0， 2內(nèi)恰有 4 個不同的交點，結(jié)合圖象讀出即可 【解答】 解：畫出函數(shù) f（ x）在 0， 2的圖象，如圖示： ， 若函數(shù) g（ x） =f（ x） m 在 0， 2內(nèi)恰有 4 個不同的零點， 第 8 頁（共 22 頁） 即 f（ x）和 y=m 在 0， 2內(nèi)恰有 4 個不同的交點， 結(jié)合圖象， 0 m 1， 故選： A 6已知 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左右焦點，以 直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為 P，過點 P 向 x 軸作垂線，垂足為 H，若 |a，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 運用雙曲線的定義和直徑所對的圓周角為直角，運用勾股定理，化簡可得|22由三角形的等積法，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值 【解答】 解：由雙曲線的定義可得 | |2a， 由直徑所對的圓周角為直角，可得 可得 |+|=|=4 2，可得 2|44 即有 |22 由三角形的面積公式可得， | | 即有 22 由 e= 可得， e 1=0， 解得 e= （負(fù)的舍去） 故選： C 7已知 3 =1， 2+），則 +） =（ ） A B C D 3 【考點】 兩角和與差的正切函數(shù) 第 9 頁（共 22 頁） 【分析】 由已知式子可得 +） =3 +） +，保持整體展開變形可得 +） =2由 3 =1 和二倍角的正切公式可得 值，代入計算可得 【解答】 解： 2+）， +） =3 +） +， +） +） +） +） 2+） +） +） = = =2 又 3 =1， 31 ， = ， +） =2， 故選： A 8如圖，棱長為 4 的正方體 A 在平面 內(nèi)，平面 平面 所成的二面角為 30，則頂點 平面 的距離的最大值是（ ） A 2（ 2+ ） B 2（ + ） C 2（ +1） D 2（ +1） 【考點】 點、線、面間的距離計算 【分析】 如圖所示， O 在 ， ，垂足為 E，則 所求， 0，由題意，設(shè) CO=x，則 x，由此可得頂點 平面 的距離的最大值 【解答】 解：如圖所示， 中點為 O， ， 垂足為 E，則 所求， 0 由題意，設(shè) CO=x，則 x， ， x， +2 x， 令 y= +2 x， 第 10 頁（共 22 頁） 則 y= =0，可得 x= ， x= ，頂點 平面 的距離的最大值是 2（ + ） 故選： B 二、填空題（本大題共 7 小題，前 4 題每題 6 分，后 3 題每題 4 分，共 36 分） 9已知空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 8 ；幾何體的體積是 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：中間是圓柱上下是半球，由三視圖求出幾何元素的長度，利用柱體、球體的體積公式計算出幾何體的體積，由面積公式求出幾何體的表面積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：中間是圓柱上下是半球， 球和底面圓的半徑是 1，圓柱的母線長是 2， 幾何體的表面積 S=4 12+2 1 2=8， 幾何體的體積是 V= = ， 故答案為： 第 11 頁（共 22 頁） 10若 x= 是函數(shù) f（ x） =一條對稱軸，則函數(shù) f（ x）的最小正周期是 ；函數(shù) f（ x）的最大值是 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 利用輔助角公式化 f（ x） =（ a），由已知求出 得到 a 值，則函 數(shù)的周期及最值可求 【解答】 解： f（ x） =（ a）， 又 x= 是函數(shù)的一條對稱軸， ，即 則 f（ x） = T= ； 由 a=） = ， 得 函數(shù) f（ x）的最大值是 故答案為： 11已知數(shù)列 足： ， = ， 則 3 ；設(shè) 1） 列 n 項的和為 2100 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 利用遞推式計算前 5 項即可發(fā)現(xiàn) 周期為 4 的數(shù)列，同理 是周期為 4 的數(shù)列，將每 4 項看做一個整體得出答案 【解答】 解： ， = ， = 3， = ， = ， =2 =2， = 3， = ， 第 12 頁（共 22 頁） =1 （ 3） （ ） =3 1） = 2， = 3， = ， + 2 3+ + = = 2100 故答案為： 3， 2100 12已知整數(shù) x， y 滿足不等式 ，則 2x+y 的最大值是 24 ； x2+最小值是 8 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，代入最優(yōu)解的坐標(biāo)得答案第二問，轉(zhuǎn)化為點到原點的距離的平方，求出 B 的坐標(biāo)代入求解即可 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 由 z=2x+y，得 y= 2x+z，由圖可知，當(dāng)直線 y= 2x+z 過 A 時，直線在 y 軸上的截距最大， 由 可得 ， A（ 8， 8） z 最大等于 2 8+8=24 x2+最小值是可行域的 B 到原點距離的平方， 由 可得 B（ 2， 2） 可得 22+22=8 故答案為： 24； 8 第 13 頁（共 22 頁） 13已知向量 ， 滿足： | |=2，向量 與 夾角為 ，則 的取值范圍是 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 不妨設(shè) =（ x， 0）（ x 0）， =， = ， = ， = 由于向量 與 夾角為 ，可得： . 1， 1在 ，由正弦定理可得： = = ，化簡整理可得： =2+ = +2，即可得出 【解答】 解：不妨設(shè) =（ x， 0）（ x 0）， =， = ， = ， = 向量 與 夾角為 ， ， 1， 1 在 ，由正弦定理可得： = = ， = ， = ， =2+ 第 14 頁（共 22 頁） = +2 = +2 = +2 的取值范圍是 故答案為： 14若 f（ x+1） =2 ，其中 x N*，且 f（ 1） =10，則 f（ x）的表達(dá)式是 f（ x） =4（ ） （ x N*） 【考點】 數(shù)列與函數(shù)的綜合 【分析】 由題意可得 f（ x） 0 恒成立，可對等式兩邊取 2 為底的對數(shù)，整理為 x+1） 2= （ x） 2），由 x N*，可得數(shù)列 x） 2） 為首項為 1） 2=2，公比為 的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式，整理即可得到 f（ x）的解析式 【解答】 解：由題意可得 f（ x） 0 恒成立， 由 f（ x+1） =2 ，可得： x+1） =1+ 即為 x+1） =1+ x）， 可得 x+1） 2= （ x） 2）， 由 x N*，可得數(shù)列 x） 2） 是首項為 1） 2=2，公比為 的等比數(shù)列， 可得 x） 2=（ 2） （ ） x 1， 即為 x） =2+（ ） x 1， 即有 f（ x） =222 =4（ ） 故答案為： f（ x） =4（ ） （ x N*） 15從拋物線 x 上的點 A（ 2）向圓（ x 1） 2+ 引兩條切線分別與 ， C 兩點，則 面積的最小值是 8 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) B（ 0， C（ 0， A（ 其中 2，寫出直線 方程為（ x ，由直線 圓相切可得（ 2） ，同理：（ 2）第 15 頁（共 22 頁） ，故 方程（ 2） 的兩個不同的實根，因為 S=|yB|結(jié)合韋達(dá)定理即可求出三角形的最小值 【解答】 解：設(shè) B（ 0， C（ 0， A（ 其中 2， 所以直線 方程，化簡得（ x 直線 圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，兩邊平方化簡得（ 2） 同理可得：（ 2） ， 故 方程（ 2） 的兩個不同的實根， 所以 yC+， ， 所以 S= |yB|=（ 2） + +4 8， 所以當(dāng)且僅當(dāng) 時， S 取到最小值 8， 所以 面積的最小值為 8 故答案為： 8 三、解答題（本大題共 5 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16如圖，四邊形 0， （ ）若 2|2，求 面積； （ ）若 |3，求 |最小 值 【考點】 余弦定理 【分析】 （ ）由已知可求 用余弦定理可求 而求得 用三角形面積公式即可得解 （ ）設(shè) |x 0， |y 0，由已知及基本不等式可求 最小值，進(jìn)而可求 【解答】 （本題滿分為 15 分） 解：（ ） 0， 可得 A， B， C， D 四點共圓， 20， 2B1+4+2=7，即 ， ， ， 第 16 頁（共 22 頁） （ ）設(shè) |x 0， |y 0， 則： x+y=3， x2+y2+ x+y） 2 ，當(dāng) 時取到 17如圖（ 1） E， F 分別是 中點， 0， 0，沿著 二面角 A C 的度數(shù)為 （ ）當(dāng) =90時，即得到圖（ 2）求二面角 A C 的余弦值； （ ）如圖（ 3）中，若 值 【考點】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ ）推導(dǎo)出 平面 點 E 向 垂線交 長線于 H，連接 二面角 A C 的平面角，由此能求出二面角 A C 的余弦值 （ ）過點 A 向 垂線，垂足為 G，由 此能求出 值 【解答】 解：（ ） 平面 平面 平面 過點 E 向 垂線交 長線于 H，連接 則 二面角 A C 的平面角 設(shè) ， ， ， ， 第 17 頁（共 22 頁） 二面角 A C 的余弦值為 （ ）過點 A 向 垂線，垂足為 G，如果 則根據(jù)三垂線定理有 正三角形， ，則 ， ， ， 值為 18設(shè)函數(shù) f（ x） =bx+c， g（ x） =c|x|+bx+a，對任意的 x 1， 1都有 |f（ x） | （ 1）求 |f（ 2） |的最大值； （ 2）求證：對任意的 x 1， 1，都有 |g（ x） | 1 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)； 絕對值三角不等式 【分析】 （ 1）由 |f（ x） | 得 |f（ 0） | ， |f（ 1） | ， |f（ 1） | ，代入解析式即可得出 a， b， c 的關(guān)系，使用放縮法求出 |f（ 2） |的最值； （ 2）由（ 1）得出 |g（ 1） | ，故 g（ x）單調(diào)時結(jié)論成立 ，當(dāng) g（ x）不單調(diào)時， g（ x）=a，利用不等式的性質(zhì)求出 a 的范圍即可 【解答】 解：（ 1） 對任意的 x 1， 1都有 |f（ x） | |f（ 0） | ， |f（ 1） | ， |f（ 1） | ， |c| ， |a+b+c| ， |a b+c| ； 第 18 頁（共 22 頁） |f（ 2） |=|4a+2b+c|=|3（ a+b+c） +（ a b+c） 3c| |3（ a+b+c） |+|（ a b+c） |+| 3c| = |f（ 2） |的最大值為 （ 2） a+b+c ， a b+c ， c ， 1 a+b 1， 1 a b 1， 1 a 1， 若 c|x|+，則 |g（ x） |=|a|， |g（ x） | 1， 若 c|x|+0，則 g（ x）為單調(diào)函數(shù)， |g（ 1） |=|a b+c| ， |g（ 1） |=|a+b+c| ， |g（ x） | 綜上， |g（ x） | 1 19已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，焦點與短軸的 兩頂點的連線與圓x2+相切 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點（ 1， 0）的直線 l 與 C 相交于 A， B 兩點，在 x 軸上是否存在點 N，使得 為定值？如果有，求出點 N 的坐標(biāo)及定值；如果沒有，請說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）由橢圓的離心率為 ，焦點與短軸的兩頂點的連線與圓 x2+相切，列出方程組，求出 a， b，由此能求出橢圓方程