浙江省麗水市 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） （解析版） 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1已知 ， ，則 ） A B C D 2已知條件 p： x 1， q： ，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 3設(shè)等比數(shù)列 前 n 項和為 列結(jié)論一定成立的是（ ） A a1+2 a1+2 0 D 0 4命題 “ x R， f（ x） g（ x） 0”的否定是（ ） A x R， f（ x） =0 且 g（ x） =0 B x R， f（ x） =0 或 g（ x） =0 C R， f（ =0 且 g（ =0 D R， f（ =0 或 g（ =0 5已知實數(shù) x， y 滿足條件 ，若使 z=ax+y 取到最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則實數(shù) a=（ ） A 1 B 1 C 1 D 6函數(shù) f（ x） =函數(shù) g（ x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù) g（ x）的解析式可以是（ ） A g（ x） =2x ） B g（ x） =2x+ ） C g（ x） =2x+ ）D g（ x） =2x ） 7已知平面向量 ， ， 滿足 | |=| |=1， | |=| |=| |，則 | |的最大值為（ ） A 2 B 2 C D 1 8已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左焦點為 F，右頂點為 A，虛軸的上端點為 B，線段 漸近線交于點 M，若 分 該雙曲線的離心率 e=（ ） A 1+ B 1+ C D 二、填空題（本大題共 7 小題， 9 12 小題每題 6 分，其它小題每題 4 分，共 36 分） 9設(shè)全集 U=R，集合 P=x|x| 2， Q=x|4x+3 0，則 PQ= ，（ Q= 10已知圓 C： x2+2y 1=0， 直線 l： y=x+m，則 C 的圓心坐標(biāo)為 ，若 相切，則 m= 11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ，表面積為 12已知函數(shù) 則 f（ f（ 3） = ； f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 13已知正三角形 頂點 B， C 在平面 內(nèi)，頂點 A 在平面 上的射影為 A，若 A二面角 A A大小的余弦 值的取值范圍是 14已知 x， y 為正實數(shù)，若 x+2y=1，則 的最小值為 15記 a， b= ，若函數(shù) f（ x） =x2+ax+b 在（ 0， 1）上有兩個零點，則f（ 0）， f（ 1） 的取值范圍是 三、解答題（本大題共 5 小題，共 74 分） 16在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 2a b （ ）求角 C 的大小； （ ） 若 ， b a=1，求 面積 17在公差不為零的等差數(shù)列 ，其前 n 項和為 知 ，且 等比數(shù)列 （ ）求 （ ）記 ，若 對任意正整數(shù) n 恒成立，求正整數(shù) k 的最小值 18如圖，在四棱錐 P ，已知 平面 ， ， ， M， N 分別為 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求直線 平面 成角的大小 19如圖，已知拋物線 C： y，直線 C 相交于 A， B 兩點，線段 它的中垂線于點 G（ a， 1）（ a 0） （ ）求證：直線 定點，并求出該定點坐標(biāo)； （ ）設(shè) 別交 x 軸， y 軸于點 M， N，是否存在實數(shù) a，使得 A， M， B， N 四點在同一個圓上，若存在，求出 a 的值；若不存在，請說明理由 20已知函數(shù) （ a R） （ ）當(dāng) a=1 時，解不等式 f（ x） 1； （ ）對任意的 b （ 0， 1），當(dāng) x （ 1， 2）時， 恒成立，求 a 的取值范圍 2016 年浙江省麗水市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1已知 ， ，則 ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 用二 倍角公式即可得解 【解答】 解： ， ， = ， （ ） = 故選 ： A 【點評】 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 2已知條件 p： x 1， q： ，則 p 是 q 的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【分析】 根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明其充分性和必要性，從而得到答案 【解答】 解：由 x 1，推出 1， p 是 q 的充分條件， 由 1，得 0，解得： x 0 或 x 1不是必要條件， 故選： A 【點評】 本題考查了充分必要條件，考查了不等式的解法，是一道基礎(chǔ)題 3設(shè)等比數(shù)列 前 n 項和為 列結(jié)論一定成立的是（ ） A a1+2 a1+2 0 D 0 【分析】 特值法可排除 項 C，由等比數(shù)列的通項公式和二次函數(shù)的知識可得 【解答】 解：選項 A，數(shù)列 1， 1， 1 為等比數(shù)列，但 a1+ 2 2，故 A 錯誤； 選項 B，數(shù)列 1， 1， 1 為等比數(shù)列，但 a1+ 2 2，故 B 錯誤； 選項 D，數(shù)列 1， 1， 1 為等比數(shù)列，但 0，故 D 錯誤； 對于選項 C， a1+a2+=a1+=1+q+ 等比數(shù)列的項不為 0，故 0，而 1+q+ q+ ） 2+ 0， 故 1+q+ 0，故 C 正確 故選： C 【點評】 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，屬基礎(chǔ)題 4命題 “ x R， f（ x） g（ x） 0”的否定是（ ） A x R， f（ x） =0 且 g（ x） =0 B x R， f（ x） =0 或 g（ x） =0 C R， f（ =0 且 g（ =0 D R， f（ =0 或 g（ =0 【分析】 直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可 【解答】 解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題 “ x R， f（ x） g（ x） 0”的否定是： R， f（ =0 或 g（ =0 故選： D 【 點評】 本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題 5已知實數(shù) x， y 滿足條件 ，若使 z=ax+y 取到最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則實數(shù) a=（ ） A 1 B 1 C 1 D 【分析】 不等式組表示的平面區(qū)域， z=ax+y 的幾何意義是直線 y= ax+z 的縱截距，利用z=ax+y 取得最大值時的最優(yōu)解（ x， y）有無數(shù)個，可得 y= ax+z 與直線 y+x+1=0 平行，故可求 a 的值 【 解答】 解：不等式組 表示的平面區(qū)域如圖， z=ax+y 的幾何意義是直線 y=ax+z 的縱截距， z=ax+y 取得最大值時的最優(yōu)解（ x， y）有無數(shù)個， y= ax+z 與直線 y+x 4=0 或 x y+1=0 平行 a= 1 故選： C 【點評】 本題考查線性規(guī)劃知識，考查最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 6函數(shù) f（ x） =函數(shù) g（ x）的部分圖象如圖所示，則函數(shù) g（ x）的解析式可以是（ ） A g（ x） =2x ） B g（ x） =2x+ ） C g（ x） =2x+ ）D g（ x） =2x ） 【分析】 由圖象可得 g（ x）的圖象經(jīng)過點（ ， ），逐個選項驗證可得 【解答】 解：代值計算可得 f（ ） = ， 由圖象可得 g（ x）的圖象經(jīng)過點（ ， ）， 代入驗證可得選項 A， g（ ） = ，故錯誤； 選項 B， g（ ） = ，故錯誤； 選項 D， g（ ） = ，故錯誤； 選項 C， g（ ） = ，故正確 故選： C 【點評】 本題考查三角函數(shù)圖象和解析式，逐個驗證是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題 7已知平面向量 ， ， 滿足 | |=| |=1， | |=| |=| |，則 | |的最大值為（ ） A 2 B 2 C D 1 【分析】 作向量 = ， = ， = ，設(shè)向量 ， 的夾角為 ，由三角形的全等可得直平分 AB=t， t=2 即有 | |= 2+ ），再由正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值 【解答】 解：作向量 = ， = ， = ， 設(shè)向量 ， 的夾角為 ， 由題意可得 B， B= 可得 即有 直平分 設(shè) AB=t， t=2 等邊三角形 高 t= 則 | |= 2+ ）， 當(dāng) + = ，即 = 時，取得最大值，且為 2 故選： B 【點評】 本題考查向量的模的最值的求法，注意運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和三角函數(shù)的化簡和求值 ，以及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題 8已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左焦點為 F，右頂點為 A，虛軸的上端點為 B，線段 漸近線交于點 M，若 分 該雙曲線的離心率 e=（ ） A 1+ B 1+ C D 【分析】 求出雙曲線的漸近線方程，求得 方程，解得 M 的坐標(biāo)，即為中點，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，可得 F，再由兩點的距離公式和離心率公式，解方程可得所求值 【解答】 解：雙曲線 C： =1 的漸近線方程為 y= x， 由 A（ a， 0）， B（ 0， b），可得直線 方程為 bx+ay= 聯(lián)立漸近線方程 y= x，解得 M（ ， ）， 即有 M 為 中點， 由 分 得三角形 等腰三角形， 即有 F，即 a+c= ， 又 a2+b2=得 由 e= ，可得 2e 2=0， 解得 e=1+ 故選： A 【點評】 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，等腰三角形的性質(zhì)，以及方程的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題 二、填空題（本大題共 7 小題， 9 12 小題每題 6 分，其它小題每題 4 分，共 36 分） 9設(shè)全集 U=R，集合 P=x|x| 2， Q=x|4x+3 0，則 PQ= （ 2， 3） ，（ Q= （ 1， 2 【分析】 先化簡集合 P、 Q，再求 PQ 和 Q 【解答】 解： 全集 U=R， 集合 P=x|x| 2=x|x 2 或 x 2=（ ， 2） （ 2， +）， Q=x|4x+3 0=x|1 x 3=（ 1， 3）， PQ=（ 2， 3）， 又 2， 2， （ Q=（ 1， 2 故答案為：（ 2， 3）；（ 1， 2 【點評】 本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目 10已知圓 C： x2+2y 1=0，直線 l： y=x+m，則 C 的圓心坐標(biāo)為 （ 0， 1） ，若 相切，則 m= 1 或 3 【分析】 求出圓 C 的圓心坐標(biāo) C（ 0， 1）， 半徑 r= ，由圓 C： x2+2y 1=0，直線 l：y=x+m 相切，得圓心 C（ 0， 1）到直線 l： y=x+m 的距離 d=r，由此能求出 m 的值 【解答】 解： 圓 C： x2+2y 1=0， 圓 C 的圓心坐標(biāo) C（ 0， 1），半徑 r= = ， 圓 C： x2+2y 1=0，直線 l： y=x+m， l 與 C 相切， 圓心 C（ 0， 1）到直線 l： y=x+m 的距離 d= = =r= ， 解得 m= 1 或 m=3 故答案為：（ 0， 1）； 1 或 3 【點評】 本題考查圓心坐標(biāo)和實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)及直線與圓相切的性質(zhì)的合理運(yùn)用 11某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ，表面積為 38+ 【分析】 由三視圖可知：該幾何體是由了部分組成，上面是一個半球，下面是一個長方體 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體是由了部分組成，上面是一個半球，下面是一個長方體 該幾何體的體積 = +4 3 1= ； 其表面積 =2 （ 3 1+3 4+1 4） 12+ =38+ 故答案為： ； 38+ 【點評】 本題考查了三視圖的有關(guān)計算、長方體的體積與球的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 12已知函數(shù) 則 f（ f（ 3） = 5 ； f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 1， +） 【分析】 求出 f（ 3）的值，從而求出 f（ 1）的值，根據(jù)二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可 【解答】 解： f（ 3） = = 1， f（ f（ 3） ） =f（ 1） = 1+2+4=5， x 1 時， f（ x） = 2x+4=（ x+1） 2+5， 對稱軸 x= 1， f（ x）在 1， 1遞減， x 1 時， f（ x）遞減， f（ x）在 1， +）遞減， 故答案為： 5； 1， +） 【點評】 本題考查了求函數(shù)值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題 13已知正三角形 頂點 B， C 在平面 內(nèi)，頂點 A 在平面 上的射影為 A，若 A二面角 A A大小的余弦值的取值范圍是 （ ， 1 【分析】 設(shè) 中點是 D，作出二面角的平面角，根據(jù) A銳角三角形，得到 45，建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè) 中點是 D，連接 AD，則 二面角 A A的平面角，設(shè)為 ， 設(shè)正三角形的邊長為 2，則 ， ， AD= A等腰三角形， AB=AC， 要使 A銳角三角形，則 45， 則 = = 1， 即 = ， 1， 1， 故答案為：（ ， 1 【點評】 本題主要考查二面角的應(yīng)用，根據(jù)二面角的平面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)銳角三角形的定義找出對應(yīng)的等價條件是解決本題的關(guān)鍵 14已知 x， y 為正實數(shù)，若 x+2y=1，則 的最小值為 2 +2 【分析】 化簡 = + + =2 + +2，從而利用基本不等式求解即可 【解答】 解： = + + = + + =2 + +2 2 +2， （當(dāng)且僅當(dāng) 2 = ，即 x= ， y= 時，等號成立）； 故答案為： 2 +2 【點評】 本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意 “一正二定三相等 ”即可 15記 a， b= ，若函數(shù) f（ x） =x2+ax+b 在（ 0， 1）上有兩個零點，則f（ 0）， f（ 1） 的取值范圍是 （ 0， ） 【分析】 由題意可得 ，從而作出平面區(qū)域，而 f（ 0）， f（ 1） = ，從而分類討論求取值范圍即可 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =x2+ax+b 在（ 0， 1）上有兩個零點， ， 由題意作平面區(qū)域如下， ， f（ 0） =b， f（ 1） =1+a+b， f（ 0）， f（ 1） = ， 結(jié)合圖象可知， D（ 1， ）， 當(dāng) 1 a 0 時， 0 b ， 當(dāng) 2 a 1 時， 0 1+a+b ， 綜上所述， f（ 0）， f（ 1） 的取值范圍是（ 0， ）； 故答案為：（ 0， ） 【點評】 本題考查了線性規(guī)劃 的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用 三、解答題（本大題共 5 小題，共 74 分） 16在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 2a b （ ）求角 C 的大小； （ ）若 ， b a=1，求 面積 【分析】 （ ）由題意和余弦定理可得 a2+c2=由余弦定理可得 得角 C； （ ）由已知數(shù)據(jù)和余弦定理可解得 值，代入三角形的面積公式可得 【解答】 解：（ ）在 ，由 2a b 和余弦定理可得 ， a2+c2= ， 又 C （ 0， ）， ； （ ） ， ， 由余弦定理可得 a2+， 又 b a=1， a2+a 2=0， a=1 或 a= 2（舍 去）， a=1， b=2， ， 面積 S= 【點評】 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題 17在公差不為零的等差數(shù)列 ，其前 n 項和為 知 ，且 等比數(shù)列 （ ）求 （ ）記 ，若 對任意正整數(shù) n 恒成立，求正整數(shù) k 的最小值 【分析】 （ ）設(shè) 公差為 d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，解方程可得首項和公差，進(jìn)而得到所求； （ ）求得 = = （ ），運(yùn)用裂項相消求和可得 用參數(shù)分離和數(shù)列的單調(diào)性，可得最小值，即可得到正整數(shù) k 的最小值 【解答】 解：（ ）設(shè) 公差為 d， 由 ，且 等比數(shù)列， 可得 則 ， ， n 1， （ 1+2n 1） n， 可得 ； （ ） = = （ ）， ， ， 恒成立， ， ，則 遞減數(shù)列， ， 【點評】 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分離參數(shù)和數(shù)列的單調(diào)性，求得最值，屬于中檔題 18如圖，在四棱錐 P ，已知 平面 ， ， ， M， N 分別為 中點 （ ）求證： 平面 （ ）求直線 平面 成角的大小 【分析】 （ I）取 中點 E，連結(jié) 證面 平面 平面 而 平面 出 過計算得出 M= ，故而 是平面 （ 結(jié) 證 平面 是 是 平面 成的角，利用M 即可得出線面角的度數(shù) 【解答】 證明：（ I）取 中點 E，連結(jié) M， N， E 分別是 中點， 則 平面 平面 平面 面 D=A， 面 面 面 取 點 F，連結(jié) 四邊形 矩形 ， D= ， ， =2， =1 = ， 又 （ C） = ， = ， = C，又 N 是 點 又 面 面 D=C， 面 （ 結(jié) =2， C， M 是 點， 又 面 面 又 面 面 B=A， 面 是 平面 成的角 由（ 1）知 C， 5 所以 平面 成的角為 45 【點評】 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計算，屬于中檔題 19如圖，已知拋物線 C： y，直線 C 相交于 A， B 兩點，線段 它的中垂線于點 G（ a， 1）（ a 0） （ ）求證：直線 定點，并求出該定點坐標(biāo)； （ ）設(shè) 別交 x 軸， y 軸于點 M， N，是否存在實數(shù) a，使得 A， M， B， N 四點在同一個圓上，若存在，求出 a 的值；若不存在，請說明理由 【分析】 （ ）設(shè) A（ B（ 代入