內(nèi)蒙古包頭市 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， B=x|2x 3 0，則 AB=（ ） A 1， 0 B 0， 1， 2 C 1， 0， 1 D 2， 1， 0 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =i，則 z 的虛部為（ ） A 2 B 0 C 1 D 1 3為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ） A簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 B按性別分層抽樣 C按學(xué)段分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣 4等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 S4=a2+2，則 ） A B C 2 D 2 5設(shè)函數(shù) f（ x） = ，若 f（ a） 1，則 a 的取值范圍是（ ） A B D 6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A B 32 C D 7已知圓心為 C 的圓經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 1）和 B（ 2， 2），且圓心 C 在直線 l： x y+1=0 上，則點(diǎn) C 與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 為（ ） A B 5 C 13 D 25 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 x， y， k 分別為 1， 2， 3，則輸出的 N=（ ） A B C D 9已知 M 是球 O 的 直徑 的一點(diǎn)， 平面 ， M 為垂足， 截球 ，則球 O 的表面積為（ ） A 3 B 9 C D 10已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 P 在雙曲線的右支上， 且 |4|則此雙曲線的離心率 e 的最大值為（ ） A B C D 11如圖，已知 圓 O 的直徑， ，點(diǎn) C 在直徑 延長(zhǎng)線上， ，點(diǎn) P 是圓 O 上半圓上的動(dòng)點(diǎn)，以 邊作等邊三角形 點(diǎn) D 與圓心分別在 兩側(cè)，記 x，將 面積之和表示成 x 的函數(shù) f（ x），則 y=f（ x）取最大值時(shí) x 的值為（ ） A B C D 12定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x 4） = f（ x）且在 0， 2上為增函數(shù)，若方程 f（ x） =m（ m 0）在區(qū)間 8， 8上有四個(gè)不同的根 x1+x2+x3+值為（ ） A 8 B 8 C 0 D 4 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè) ， 是夾角為 60的兩個(gè)單位向量，若 = + 與 =2 3 垂直，則= 14若 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的取值范圍是 15已知（ 1+ 1+x） 5 的展開式中 系數(shù)為 5，則 a= 16已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ， 0， =41，則 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知 a， b， c 分別為 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 1）求角 A 的大??； （ 2）求 面積的最大值 18隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種們零件的某工廠 20 名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下： 30， 42， 41， 36， 44， 48， 37， 25， 45， 43， 31， 49， 34， 33， 43， 38， 32， 46， 39，36根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 25， 30 2 30， 35 4 35， 40 5 40， 45 m 45， 50 n 1）確定樣本頻率分布表中 m， n， 值； （ 2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； （ 3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取 3 人，至少有 1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（ 30， 35的概率 19如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 S ， 0， 平面 A=C=2， ， M 為 中點(diǎn)，過點(diǎn) M、 A、 D 的截面 點(diǎn) N （ 1）在圖中作出截面 斷其形狀并說明理由； （ 2）求直線 平面 成角的正弦值 20在平面直角坐標(biāo)系 ，橢圓 C： =1（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別是 2，過 直線 x+y =0 交 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，線段 中點(diǎn)為（ ， ） （ 1）求 C 的方程； （ 2）在 C 上是否存在點(diǎn) P，使 S ？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 21已知函數(shù) f（ x） =a 為實(shí)常數(shù)） （ 1）若 a= 2，求證：函數(shù) f（ x）在（ 1， +）上是增函數(shù)； （ 2）求函數(shù) f（ x）在 1， e上的最小值及相應(yīng)的 x 值； （ 3）若存在 x 1， e，使得 f（ x） （ a+2） x 成立，求實(shí) 數(shù) a 的取值范圍 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，直線 過圓 O 上的點(diǎn) C，并且 B， B，圓 O 交直線 點(diǎn) E、D，連接 ， O 的半徑為 3 （ 1）證明： 2）求 長(zhǎng) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23（ 2016 包頭一模）已知曲線 C： =2線 l： （ t 是參數(shù)） （ 1）寫出曲線 C 的參數(shù)方程，直線 l 的普通方程； （ 2）過曲線 C 上任一點(diǎn) P 作與 l 夾角為 45的直線，交 l 于點(diǎn) A，求 |最大值與最小值 選修 4等式選講 24 =|x 1| 2|x+a|， a 0 （ 1）若 a=1 時(shí)，求不等式 f（ x） 1 的解集； （ 2）若 f（ x）的圖象與 x 軸圍成的三角形面積小于 6，求 a 的取值范圍 2016 年內(nèi)蒙古包頭市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一 、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， B=x|2x 3 0，則 AB=（ ） A 1， 0 B 0， 1， 2 C 1， 0， 1 D 2， 1， 0 【分析】 求出 B 中不等式的解集確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式變形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 B=（ 1， 3）， A= 2， 1， 0， 1， 2， 3， AB=0， 1， 2， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練 掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 =i，則 z 的虛部為（ ） A 2 B 0 C 1 D 1 【分析】 設(shè) z=a+a， b R，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，得到 ，解得即可 【解答】 解：設(shè) z=a+a， b R， =i， 1 z=i+ 1 a bi=i+b， ， a=0， b= 1， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題 3為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ） A簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 B按性別分層抽樣 C按學(xué)段分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣 【分析】 若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣 【解答】 解：我們常用的抽樣方法有 ：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣， 而事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大 了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本小題考查抽樣方法，主要考查抽樣方法，屬基本題 4等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 S4=a2+2，則 ） A B C 2 D 2 【分析】 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 【解答】 解：設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， S4=a2+2， ， =32， 則 =q 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 5設(shè)函數(shù) f（ x） = ，若 f（ a） 1，則 a 的取值范圍是（ ） A B D 【分析】 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別對(duì) a 進(jìn)行分類討論即可得到結(jié)論 【解答】 解：若 a 1，由 f（ a） 1 得 1，即 a 2，此時(shí) a 2， 若 a 1，則由 f（ a） 11 得 2 a 1，則 a 0，即 a 0，此時(shí) a 0 綜上 a 2 或 a 0， 即 a 的取值范圍是， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，對(duì) x 進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵 6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A B 32 C D 【分析】 由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)四棱錐，后底面與下面的側(cè)面垂直 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)四棱錐，后底面與下面的側(cè)面垂直 該幾何體的體積 V= 42 4= 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三視圖的有關(guān)計(jì)算、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 7已知圓心為 C 的圓經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 1）和 B（ 2， 2），且圓心 C 在直線 l： x y+1=0 上，則點(diǎn) C 與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（ ） A B 5 C 13 D 25 【分析】 設(shè)圓心為 C（ a， b），由圓心為 C 的圓經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 1）和 B（ 2， 2），且圓心C 在直線 l： x y+1=0 上，列出方程組，求出 C 點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出點(diǎn) C 與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 【解答】 解：設(shè)圓心 為 C（ a， b）， 則 ， 解得 a= 3， b= 2， 點(diǎn) C 與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 d= = 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn) C 與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)和兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 x， y， k 分別為 1， 2， 3，則輸出的 N=（ ） A B C D 【分析】 模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的 N， x， y， n 的值，當(dāng) n=4 時(shí)不滿足條件3 n，退出循環(huán)，輸出 N 的值為 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 x=1， y=2， k=3， n=1 滿足條件 3 n， N= ， x=2， y= ， n=2 滿足條件 3 n， N= ， x= ， y= ， n=3 滿足條件 3 n， N= ， x= ， y= ， n=4 不滿足條件 3 n，退出循環(huán)，輸出 N 的值為 故答案為： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，我們常使用模擬循環(huán)的辦法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時(shí)，要用表格法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行管理，屬于基礎(chǔ)題 9已知 M 是球 O 的直徑 的一點(diǎn)， 平面 ， M 為垂足， 截球 ，則球 O 的表面積為（ ） A 3 B 9 C D 【分析】 設(shè)球的半徑為 R，根據(jù)題意知由與球心距離為 R 的平面截球所得的截面圓的面積是 ，我們易求出截面圓的半徑為 1，根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易求出該球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積 【解答】 解：設(shè)球的半徑為 R， 平面 與球心的距離為 R， 截球 O 所得截面的面積為 ， d= R 時(shí)， r=1， 故由 R2=r2+ 2+（ R） 2， 球的表面積 S=4 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積公式，若球的 截面圓半徑為 r，球心距為 d，球半徑為 R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理 10已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 P 在雙曲線的右支上，且 |4|則此雙曲線的離心率 e 的最大值為（ ） A B C D 【分析】 由雙曲線的定義可得 | |3|2a，再根據(jù)點(diǎn) P 在雙曲線的右支上，| c a，從而求得此雙曲線的離心率 e 的最大值 【解答】 解： P 在雙曲線的右支上， 由雙曲線的定義可得 | |2a， |4| 4| |2a，即 | a， 根據(jù)點(diǎn) P 在雙曲線 的右支上，可得 | a c a， a c，即 e ， 此雙曲線的離心率 e 的最大值為 ， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為 | c a 是解決本題的關(guān)鍵 11如圖，已知 圓 O 的直徑， ，點(diǎn) C 在直徑 延長(zhǎng)線上， ，點(diǎn) P 是圓 O 上半圓上的動(dòng)點(diǎn)，以 邊作等邊三角形 點(diǎn) D 與圓心分別在 兩側(cè)，記 x，將 面積之和表示成 x 的函數(shù) f（ x），則 y=f（ x）取最大值時(shí) x 的值為（ ） A B C D 【分析】 由三角形面積公式可得 S 余弦定理可得 2+22 2124而求得 S （ 5 4再利用三角恒等變換求最大值時(shí)的 x 的值 【解答】 解： S 2+22 212 4 S （ 5 4 故 f（ x） =（ 5 4 f（ x） = =2x ） + ， 故當(dāng) x = ，即 x= 時(shí)，有最大值； 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三角形面積公式的應(yīng)用及解三角形的應(yīng)用，同時(shí)考查了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題 12定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x 4） = f（ x）且在 0， 2上為增函數(shù)，若方程 f（ x） =m（ m 0）在區(qū)間 8， 8上有四個(gè)不同的根 x1+x2+x3+值為（ ） A 8 B 8 C 0 D 4 【分析】 由條件 “f（ x 4） = f（ x） ”得 f（ x+8） =f（ x），說明此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在 0， 2上為增函數(shù)， 由這些畫出示意圖，由圖可解決問題 【解答】 解：此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在 0， 2上為增函數(shù)， 綜合條件得函數(shù)的示意圖，由圖看出， 四個(gè)交點(diǎn)中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 2 （ 6）， 另兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 2 2， 所以 x1+x2+x3+ 8 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變 抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè) ， 是夾角為 60的兩個(gè)單位向量，若 = + 與 =2 3 垂直，則 = 【分析】 根據(jù)條件便可以得到 ， ，而根據(jù) 與垂直，從而有 ，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出關(guān)于 的方程，解方程便可得出 的值 【解答】 解：根據(jù)題意， ； ； = ； 解得 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 考查單位向量的概念，向量的數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件 14若 ，則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的取值范圍是 2， 6 【分析】 先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值， z=x+2y 表示直線在 y 軸上的截距的一半，只需求出可行域直線在 y 軸上的截距最大值與最小值即可 【解答】 解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 因?yàn)橹本€ z=x+2y 過可行域內(nèi) B（ 2， 2）的時(shí)候 z 最 大，最大值為 6； 過點(diǎn) C（ 2， 0）的時(shí)候 z 最小，最小值為 2 所以線性目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的取值范圍是 2， 6 故答案為： 2， 6 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定 15已知（ 1+ 1+x） 5 的展開式中 系數(shù)為 5，則 a= 【分析】 根據(jù)（ 1+x） 5 展開式的各項(xiàng)特征，得出（ 1+ 1+x） 5 的展開式中 系數(shù)是a + ，由此列出方程求 a 的值 【解答】 解：（ 1+x） 5=1+ x+ ， （ 1+ 1+x） 5 的展開式中 系數(shù)為 a + =5， 即 10a+10=5， 解得 a= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)問題，是基礎(chǔ)題目 16已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ， 0， =41，則 19 【 分析】 利用遞推關(guān)系可得： 1=4，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 【解答】 解： =41， ，當(dāng) n 2 時(shí)， 11 1， 化為 1 0， 1=4， 數(shù)列 k N*）為等差數(shù)列，公差為 4， +4 （ 5 1） =19， 故答案為： 19 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知 a， b， c 分別為 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 1）求角 A 的大??； （ 2）求 面積的最大值 【分析】 （ 1）由條件利用正弦定理可得 b2+再由余弦定理可得 A= （ 2）利用基本不等式可得 4，當(dāng)且僅當(dāng) b=c=2 時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)， 等邊三角形，從而求得面積的最大值 【解答】 解：（ 1） ， a=2，且（ 2+b）（ =（ c b） 利用正弦定理可得（ 2+b）（ a b） =（ c b） c，即 b2+，即 b2+4= = = ， A= （ 2）再由 b2+，利用基本不等式可得 4 2bc= 4，當(dāng)且僅當(dāng) b=c=2 時(shí)，取等號(hào)， 此時(shí)， 等邊三 角形，它的面積為 2 2 = ， 故 面積的最大值為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題 18隨機(jī)觀測(cè)生產(chǎn)某種們零件的某 工廠 20 名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下： 30， 42， 41， 36， 44， 48， 37， 25， 45， 43， 31， 49， 34， 33， 43， 38， 32， 46， 39，36根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 25， 30 2 30， 35 4 35， 40 5 40， 45 m 45， 50 n 1）確定樣本頻率分布表中 m， n， 值； （ 2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； （ 3）根據(jù)樣本頻率分 布直方圖，求在該廠任取 3 人，至少有 1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（ 30， 35的概率 【分析】 （ 1）利用頻數(shù)定義能求出 m， n，利用頻率計(jì)算公式能求出 （ 2）由頻率分布直方圖，能畫出頻率分布列圖 （ 3）根據(jù)題意 B（ 3， 由此能求出至少有 1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（ 30， 35的概率 【解答】 解：（ 1） 20 名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下： 30， 42， 41， 36， 44， 48， 37， 25， 45， 43， 31， 49， 34， 33， 43， 38， 32， 46， 39， 36 （ 40， 50區(qū)間內(nèi)的頻數(shù) m=6，（ 45， 50區(qū)間內(nèi)的頻數(shù) n=3， = （ 2）由頻率分布直方圖，畫出頻率分布列如下圖： （ 3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（ 30， 35的頻率為 設(shè)所取的 3 人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間（ 30， 35的人數(shù)為 ，則 B（ 3， P（ 1） =1 P（ =0） =1（ 1 3= 至少有 1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（ 30， 35的概率為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查頻率分布直方圖、頻率分布表的性質(zhì)及應(yīng)用，考查概率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用 19如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 S ， 0， 平面 A=C=2， ， M 為 中點(diǎn)，過點(diǎn) M、 A、 D 的截面 點(diǎn) N （ 1）在圖中作 出截面 斷其形狀并說明理由； （ 2）求直線 平面 成角的正弦值 【分析】 （ 1）取 點(diǎn) N，連結(jié) 作出截面 面 平行四邊形 （ 2）以 A 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線 平面 成角的正弦值 【解答】 解：（ 1） M 為 中點(diǎn)，過點(diǎn) M、 A、 D 的截面 點(diǎn) N， N 是 點(diǎn)，即取 點(diǎn) N，連結(jié) 作 出截面 理由如下： M 是 點(diǎn)， N 是 點(diǎn)， 底面是直角梯形的四棱錐 S ， 0， 平面 B=， ， ， D， M、 A、 D、 N 四點(diǎn)共線， 截面 平行四邊形 （ 2）以 A 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， C（ 2， 2， 0）， D（ 1， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， S（ 0， 0， 2）， M（ 0， 1， 1）， A（ 0， 0，0）， =（ 1， 2， 0）， =（ 0， 1， 1）， =（ 1， 0， 0）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 y=1，得 =（ 0， 1， 1）， 設(shè)直線 平面 成角為 ， 則 = = 直線 平面 成角的正弦值為 【點(diǎn)評(píng)】 本題 考查截面圖形的作法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用 20在平面直角坐標(biāo)系 ，橢圓 C： =1（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別是 2，過 直線 x+y =0 交 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，線段 中點(diǎn)為（ ， ） （ 1）求 C 的方程； （ 2）在 C 上是否存在點(diǎn) P，使 S ？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 【分析】 （ 1）由已知直線方程求得 c 值，再由 “點(diǎn)差法 ”結(jié)合已知得到 合隱含條件求得 值，則橢圓方程可求； （ 2）求出過 直線 x+y =0 平行的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得使S 的點(diǎn) P 的坐標(biāo)，在驗(yàn)證直線 x+y =0 的右上側(cè)橢圓上不存在滿足條件的 P 得答案 【解答】 解：（ 1）由直線 x+y =0 過 y=0，得 x= ，即 c= 設(shè) A（ B（ 則 ， ， 兩式作差可得： ， 化為 ，則 ， 聯(lián)立 ，解得 ， 橢圓 C 的方程為： ； （ 2）如圖，由（ 1）可得， ），過 與直線 x+y =0 平行的直線方程為 y= 1 （ x+ ）， 即 y= x ， 聯(lián)立 ，解得 或 橢圓上的兩點(diǎn) P（ 0， ）、（ ）滿足 S ； 再設(shè)與直線 x+y =0 平行的直線方程為 x+y=m， 聯(lián)立 ，可得 346=0， 由 =1612（ 26） =72 8，解得 m= 3， 當(dāng) m=3 時(shí)，直線 x+y=3 與直線 x+y =0 的距離為 ， 而直線 x+y+ 與直線 x+y =0 的距離為 ， ， 直線 x+y =0 的右上側(cè)，橢圓上不存在點(diǎn) P，滿足 S 綜上，橢圓上的 兩點(diǎn) P（ 0， ）、（ ）滿足 S 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了 “點(diǎn)差法 ”在解中點(diǎn)弦問題中的應(yīng)用，考查了兩平行線間距離公式的應(yīng)用，是中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =a 為實(shí)常數(shù)） （ 1）若 a= 2，求證：函數(shù) f（ x）在（ 1， +）上是增函數(shù)； （ 2）求函數(shù) f（ x）在 1， e上的最小值及相應(yīng)的 x 值； （ 3）若存在 x 1， e，使得 f（ x） （ a+2） x 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【分析】 （ 1）當(dāng) a= 2 時(shí) 故函數(shù) 在（ 1， +）上是增函數(shù) （ 2） ，當(dāng) x 1， e， 2x2+a a+2， a+2若 a 2， f（ x）在 1， e上非負(fù)，故函數(shù) f（ x）在 1， e上是增函數(shù) 若 2a 2，當(dāng) 時(shí) f（ x） =0，當(dāng) 時(shí)， f（ x） 0，此時(shí) f（ x）是減函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， f（ x） 0，此時(shí) f（ x）是增函數(shù) 所以此時(shí)有最值若 a 2f（ x）在 1， e上非正，所以 f（ x） f（ e） =a+ （ 3）由題意可化簡(jiǎn)得 （ x 1， e），令 （ x 1， e），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為 g（ 1） = 1 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a= 2 時(shí)， f（ x） =2 x （ 1， +）， ， （ 2） ，當(dāng) x 1， e， 2x2+a a+2， a+2 若 a 2， f（ x）在 1， e上非負(fù)（僅當(dāng) a= 2， x=1 時(shí)， f（ x） =0），故函數(shù) f（ x）在 1，e上是增函數(shù)，此時(shí) f（ x） f（ 1） =1 若 2a 2， 當(dāng) 時(shí)， f（ x） =0； 當(dāng) 時(shí)， f（ x） 0，此時(shí) f（ x）是減函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， f（ x） 0，此時(shí) f（ x）是增函數(shù) 故 f（ x） = 若 a 2f（ x）在 1， e上非正（僅當(dāng) a= 2x=e 時(shí)， f（ x） =0）， 故函數(shù) f（ x）在 1， e上是減函數(shù)，此時(shí) f（ x） f（ e） =a+ 綜上可知，當(dāng) a 2 時(shí)， f（ x）的最小值為 1，相應(yīng)的 x 值為 1；當(dāng) 2a 2 時(shí)， f（ x） 的最小值為 ，相應(yīng)的 x 值為 ；當(dāng) a 2， f（ x）的最小值為 a+ 相應(yīng)的 x 值為 e （ 3）不等式 f（ x） （ a+2） x，可化為 a（ x 2x x 1， e， 1 x 且等號(hào)不能同 時(shí)取，所以 x，即 x 0， 因而 （ x 1， e） 令 （ x 1， e），又 ， 當(dāng) x 1， e時(shí)， x 1 0， 1， x+2 20， 從而 g（ x） 0（僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號(hào)），所以 g（ x）在 1， e上為增函數(shù)， 故 g（ x）的最小值為 g（ 1） = 1，所以 a 的取值范圍是 1， +） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)的性質(zhì)及研究單調(diào)性與函數(shù)的最值，還考查求參數(shù)的范圍，解決此類問題的關(guān)鍵是分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即求新函數(shù)的最值問題，是近年高考考查的熱點(diǎn) 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，直線 過圓 O 上的點(diǎn) C，并且 B， B，圓 O 交直線 點(diǎn) E、D，連接 ， O 的半徑為 3 （ 1）證明： 2）求 長(zhǎng) 【分析】 （ 1）由等腰三角形的三線合一，連接 得 0，由圓的切割線定理即可得到； （ 2）先由三角形相似的判定定理可知 比例關(guān)系，再由切割線定理列出方程，求出 長(zhǎng) 【解答】 解：（ 1）證明：如圖，連接 由 B， B， 即有 則 O 的切線， 又 圓