本資料來自于資源最齊全的世紀(jì)教育網(wǎng)8.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 已知直線l:Ax+By+C=0與圓錐曲線C：f(x,y)=0. 1.方程組解的組數(shù)即為l與C的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 方程組的解就是l與C的交點(diǎn)的坐標(biāo). 2.若l與C有兩個(gè)交點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，則線段P1P2為直線被圓錐曲線截得的弦，其弦長(zhǎng)|P1P2|=|x1-x2|.其中k為直線l的斜率. 3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則線段AB的中點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)滿足： 4.弦差法求直線的斜率 若曲線為mx2+ny2=1(m0,n0),則由 m(x12-x22)+n(y12-y22)=0k=-. 二、點(diǎn)擊雙基 1.過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F作一條直線l交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，則等于( )A.-4 B.4 C.-p2 D.p2解析：特殊值法.設(shè)l的方程為x=,則x1=x2=. y1=-y2=p.=-4.答案：A2.已知雙曲線-=1與直線y=2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是( )A.(1,) B.(1,)(，+) C.(，+) D.,+解析：雙曲線的漸近線的斜率k=，要使雙曲線-=1和直線y=2x有交點(diǎn)，只要滿足2即可，2. 2.e.答案：C3.已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為( )A.3 B.2 C. D.解析：依題設(shè)弦端點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x12+2y12=4,x22+2y22=4. x12-x22=-2(y12-y22). 此弦斜率k=-=-. 此弦直線方程為y-1=-(x-1), 即y=-x+代入x2+2y2=4, 整理得3x2-6x+1=0. x1x2=,x1+x2=2. |AB|=.答案：C4.已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點(diǎn)，則l的方程是_.解析：設(shè)直線l與橢圓交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 將P1、P2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減得直線l斜率k=- =-=-=-. 由點(diǎn)斜式可得l的方程為x+2y-8=0.答案：x+2y-8=05.過拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=8,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的重心的橫坐標(biāo)為_.解析：由題意知拋物線焦點(diǎn)F(1,0).設(shè)過焦點(diǎn)F(1,0)的直線為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).代入拋物線方程消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0. k20,x1+x2=,x1x2=1. |AB|= = = =8, k2=1. OAB的重心的橫坐標(biāo)為 x=2.答案：2誘思實(shí)例點(diǎn)撥【例1】 已知直線l:y=tan(x+2)交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點(diǎn)，若為l的傾斜角，且|AB|的長(zhǎng)不小于短軸的長(zhǎng)，求的取值范圍.剖析：確定某一變量的取值范圍，應(yīng)設(shè)法建立關(guān)于這一變量的不等式，題設(shè)中已經(jīng)明確給定弦長(zhǎng)2b,最后可歸結(jié)為計(jì)算弦長(zhǎng)求解不等式的問題.解：將l方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,得(1+9tan2)x2+36tan2x+72tan2-9=0, |AB|=|x2-x1| = =. 由|AB|2,得tan2, -tan. 的取值范圍是0,.講評(píng)：考查直線與橢圓相交所得弦長(zhǎng)的范圍，對(duì)于弦長(zhǎng)公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用.本題由于l的方程由tan給出，所以可以認(rèn)定,否則涉及弦長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，還應(yīng)討論=時(shí)的情況.【例2】 討論直線l:y=kx+1與雙曲線C：x2-y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).剖析：直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題的討論實(shí)際上是相應(yīng)方程組的解的問題.解：聯(lián)立直線和雙曲線方程 消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0. 當(dāng)1-k2=0,即k=1時(shí)，x=1. 當(dāng)1-k20,即k1時(shí)，=4k2+8(1-k2)=8-4k2. 由0得-k; 由=0得k=; 由0得k. 所以當(dāng)k(-,-1)(-1,1)(1,)時(shí)，直線l與雙曲線C相交于兩點(diǎn); 當(dāng)k=時(shí)，直線l與雙曲線C相切于一點(diǎn)； 當(dāng)k=1時(shí)，直線l與雙曲線C相交于一點(diǎn); 當(dāng)k(-,-)(,+)時(shí)，直線l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)，直線l與雙曲線C相離.講評(píng)：該題討論了過定點(diǎn)(0,1)的直線系與等軸雙曲線的位置關(guān)系.按1-k2是否等于0來分類討論.容易犯的兩個(gè)錯(cuò)誤：一是不討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況；二是討論判別式時(shí)，丟掉前提條件二次項(xiàng)系數(shù)不為零.【例3】如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓+=1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PAPF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.剖析：(1)由，得=0和橢圓方程聯(lián)立出方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)利用函數(shù)思想方法，求出d2的最小值.解：(1)由已知可得點(diǎn)A(-6,0)、F(4,0).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y)，則=(x+6,y),=(x-4,y). 由已知得 則2x2+9x-18=0,x=或x=-6. 由于y0,只能x=,于是y=.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,). (2)直線AP的方程是x-y+6=0，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是=|m-6|. 又-6m6，解得m=2. 橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離d有 d2=(x-2)2+y2=x2-4