第 1 頁（共 23 頁） 2016 年安徽省池州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z（ 1+i） =2i，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 2集合 A=x|x| 2， B=x|2x 3 0，則（ B=（ ） A（ 2， 1） B 2， 3） C（ 3， +） D（ ， 2 （ 3， +） 3命題 p： R，函數(shù) f（ x） =2x+）不是偶函數(shù)， 則 p 為（ ） A R，函數(shù) f（ x） =2x+）是奇函數(shù) B R，函數(shù) f（ x） =2x+）不是偶函數(shù) C R，函數(shù) f（ x） =2x+）是偶函數(shù) D R，函數(shù) f（ x） =2x+）是偶函數(shù) 4已知 +） = ，則 +2） =（ ） A B C D 5 ） A 2 2數(shù)列 ， ， =3，則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和等于（ ） A B C D 3n+1 2n 1 7如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 20+2 B 20+2 C 18+2 D 18+2 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為 4 時(shí)，則輸入的 值為（ ） 第 2 頁（共 23 頁） A 7 B 8 C 9 D 10 9下列函數(shù)： （ 1） y= （ 2） y= ； （ 3） y= （ 4） y= ； 其中是奇函數(shù)且在（ 0， 1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10梯形 ， O 點(diǎn)，過 O 點(diǎn)的直線交 、 F 點(diǎn)， =m ， =n ，則 + =（ ） A 2 B C 1 D 11橢圓 C： +， A（ ， ）， B（ ， ），點(diǎn) P 是橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，直線斜率為 ） A 4 B C 4 D 12函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù) f（ x）滿足 x） +2f（ x） 0，則（ ） A 4f（ 2） f（ 1） B 4f（ 4） f（ 2） C 4f（ 2） f（ 1） D 3f（ ） 4f（ 2） 二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分） 13二項(xiàng)式（ x+2 ） 5=+則 a1+a3+ 第 3 頁（共 23 頁） 14若變量 x， y 滿足 z= + （ a b 0）的最大值 2，則 a+3b 的最小值為 15已知正 邊長(zhǎng)為 4，若在 任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形頂點(diǎn) A、 B、 C 距離都不小于 2 的概率為 16已知 三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，若 a b c=0，a+ b c+2=0，則 最大角的余弦值為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程） 17已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn+ （ ）求 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng) 18近年來空氣污染是生活中一個(gè)重要的話題， 是空氣質(zhì)量的其中一個(gè)重要指標(biāo)，各省、市、縣均要進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)要求 4 小時(shí)濃 度均值分：優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染六級(jí)如圖是某市 2015 年某月 30 天的 4小時(shí)濃度均值數(shù)據(jù) （ ）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布表，并求 4 小時(shí)濃度均值的中位數(shù)； 空氣質(zhì)量 指數(shù)類別 優(yōu) 0， 35 良 （ 35， 75 輕度污染 （ 75，115 中度污染 （ 115，150 重度污染 （ 150，250 嚴(yán)重污染 （ 250，500 合計(jì) 頻數(shù) 30 頻率 1 （ ）專家建議， 空氣質(zhì)量為優(yōu)、良時(shí)可以正常進(jìn)行某項(xiàng)戶外體育活動(dòng)，輕度污染及以上時(shí)，不宜進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)若以頻率作為概率，用統(tǒng)計(jì)的結(jié)果分析，在 2015 年隨機(jī)抽取6 天，正常進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)的天數(shù)與不宜進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)的天數(shù)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19如圖，在四棱錐 A ，側(cè)面 正三角形， C=2側(cè)面 底面 P 為 中點(diǎn) （ ）證明： 平面 （ ）證明：平面 平面 （ ）求二面角 P B 的正弦值 第 4 頁（共 23 頁） 20已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ 0， ），且橢圓 C 經(jīng)過點(diǎn) P（ ， ） （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點(diǎn) M（ 0， 1）的斜率不為 0 的直線與橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn)， A 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，求證： AB 恒過 y 軸上的一個(gè)定點(diǎn) 21已知函數(shù) f（ x） =減函數(shù) （ ）求 a 的取值范圍； （ ）證明：對(duì)任意 n N， n 1，都有 + + 請(qǐng)考在第 22題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑， O 相切于 B， E 為線段 一點(diǎn)，連接 別交 O 于 D、 G 兩 點(diǎn)，連接 點(diǎn) F （ ）求證： （ ）若 E 為 中點(diǎn)， ， ，求線段 長(zhǎng) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位已知直線 l 的參數(shù)方程為 為參數(shù)， 0 ），曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 （ ）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè)點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為 P（ 2， 1），直線 l 與曲線 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，并且 ，求 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|2x 1|+|x 3| （ ）求函數(shù) f（ x）的最小值； 第 5 頁（共 23 頁） （ ）若任意 x， y R，不等式 f（ x） m（ |y+1| |y 1|）恒成立，求 m 的取值范圍 第 6 頁（共 23 頁） 2016 年安徽省池州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ） 1復(fù)數(shù) z（ 1+i） =2i，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A 1 i B 1+i C 1+i D 1 i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 先化簡(jiǎn) z，從而求出 z 的共軛復(fù)數(shù)即可 【解答】 解： z（ 1+i） =2i， z= = =1+i， 則 z 的共軛復(fù)數(shù)為 1 i， 故選： A 2集合 A=x|x| 2， B=x|2x 3 0，則（ B=（ ） A（ 2， 1） B 2， 3） C（ 3， +） D（ ， 2 （ 3， +） 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 由已知可得 x| 2 x 2，解不等式求出 集合 B，結(jié)合集合交集運(yùn)算的定義，可得答案 【解答】 解： A=x|x| 2=x|x 2 或 x 2， x| 2 x 2， B=x|2x 3 0=x|x 3 或 x 1， 則（ B=（ 2， 1）， 故選： A 3命題 p： R，函數(shù) f（ x） =2x+）不是偶函數(shù)，則 p 為（ ） A R，函數(shù) f（ x） =2x+）是奇函數(shù) B R，函數(shù) f（ x） =2x+）不是偶函數(shù) C R，函數(shù) f（ x） =2x+）是偶函數(shù) D R，函數(shù) f（ x） =2x+）是偶函數(shù) 【考點(diǎn)】 命題的否定 【分析】 利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可 【解答】 解：命題 p： R，函數(shù) f（ x） =2x+）不是偶函數(shù)， 則 p 為： R，函數(shù) f（ x） =2x+）是偶函數(shù)， 故選： D 4已知 +） = ，則 +2） =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值 第 7 頁（共 23 頁） 【分析】 由已知利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得 值，利用誘導(dǎo)公 式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解 【解答】 解： +） = ， ， ， +2） =1=2 （ ） 2 1= 故選： B 5 ） A 2 2考點(diǎn)】 定積分 【分析】 由 根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可 【解答】 解： 2= 2 故選： C 6數(shù)列 ， ， =3，則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和等于（ ） A B C D 3n+1 2n 1 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 由 =3，變形為： +2=3（ ），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：由 =3，變形為： +2=3（ ）， 數(shù)列 是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 3，公比為 3 =3n，即 n 2， 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 = 2n= 故選： A 7如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） 第 8 頁（共 23 頁） A 20+2 B 20+2 C 18+2 D 18+2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)四棱錐，其中后面的側(cè)面與底面垂直利用三角形與矩形面積計(jì)算公式即可得出 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)四棱錐，其中后面的側(cè)面與底面垂直 該幾何體的表面積 =4 2+2 + 4+ =2 +18， 故選： D 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為 4 時(shí)，則輸入的 值為（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 根據(jù)程序框圖，知當(dāng) i=4 時(shí)，輸出 S，寫出前三次循環(huán)得到輸出的 S，列出方程求出 值 【解答】 解：根據(jù)程序框圖，知當(dāng) i=4 時(shí)，輸出 S， 第 9 頁（共 23 頁） 第一次循環(huán)得到： S=1， i=2； 第二次循環(huán) 得到： S=1 4， i=3； 第三次循環(huán)得到： S=1 4 9， i=4； 1 4 9= 4， 解得 0 故選： D 9下列函數(shù)： （ 1） y= （ 2） y= ； （ 3） y= （ 4） y= ； 其中是奇函數(shù)且在（ 0， 1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 （ 1）容易判斷該函數(shù)在（ 0， 1）上為增函數(shù)，不滿足（ 0， 1）上為減函數(shù)； （ 2）通分得出 ，從而判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù) y=單調(diào)性及減函數(shù)的定義即可判斷該函數(shù)在（ 0， 1）上為減函數(shù)，從而該函數(shù)滿足條件； （ 3）容易判斷該函數(shù)為奇函數(shù)，分離常數(shù)得到 ，這樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性即 可判斷出該函數(shù)在（ 0， 1）上的單調(diào)性； （ 4）可以說明該函數(shù)不是奇函數(shù)，這樣便可最后得出滿足是奇函數(shù)且在（ 0， 1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù) 【解答】 解：（ 1） y= y=（ 0， 1）上都是增函數(shù)； y=（ 0， 1）上是增函數(shù)； （ 2） ， ； 該函數(shù)為奇函數(shù)； y=（ 0， 1）上為增函數(shù)； 在（ 0， 1）上為 減函數(shù)； （ 3）解 得， 1 x 1； 且 ； 為奇函數(shù)； 第 10 頁（共 23 頁） 設(shè) ， y=增函數(shù)， t= 在（ 0， 1）上為減函數(shù)； 在（ 0， 1）上為減函數(shù)； （ 4）根據(jù)解析式知， x=0 時(shí)， y=1 0； 該函數(shù)不是奇函數(shù)； 是奇函數(shù)且在（ 0， 1）上是減函數(shù)的個(gè)數(shù)為 2 故選 B 10梯形 ， O 點(diǎn)，過 O 點(diǎn)的直線交 、 F 點(diǎn)， =m ， =n ，則 + =（ ） A 2 B C 1 D 【考點(diǎn)】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 根據(jù)題意，畫出圖形，得出 = = ，不妨設(shè) 此求出m、 n 的值，從而計(jì)算 + 的值 【解答】 解：如圖所示， 梯形 ， 則 = = ， 不妨設(shè) 所以 = = ， 所以 = ，同理 = ； 又 =m ， =n ， 所以 m=n= ， 所以 + = + = 故選 ： B 11橢圓 C： +， A（ ， ）， B（ ， ），點(diǎn) P 是橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)，直線斜率為 ） 第 11 頁（共 23 頁） A 4 B C 4 D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè) P（ m， n），代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理代入，即可得到定值 【解答】 解：設(shè) P（ m， n），可得 ， 即有 4 又 ， ， 則 = = = 故選： D 12函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù) f（ x）滿足 x） +2f（ x） 0，則（ ） A 4f（ 2） f（ 1） B 4f（ 4） f（ 2） C 4f（ 2） f（ 1） D 3f（ ） 4f（ 2） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 根據(jù)題目給出的條件 2f（ x） + x） 0，想到構(gòu)造函數(shù) g（ x） =x），求導(dǎo)后分析該函數(shù)的單調(diào)性，從而能判出函數(shù)的極小值點(diǎn)，進(jìn)一步得到函數(shù) g（ x）恒大于 0，則有 f（ x）恒大于 0，再利用函數(shù)的單調(diào)性，分別比較大小，即可得到答案 【解答】 解：令 g（ x） =x）， 則 g（ x） =2x） + x）， =x2f（ x） + x） ， 2f（ x） + x） 0， 當(dāng) x 0 時(shí)， g（ x） 0，所以函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上為增函數(shù) 當(dāng) x 0 時(shí)， g（ x） 0，所以函數(shù) g（ x）在（ ， 0）上為減函數(shù) 當(dāng) x=0 時(shí)函數(shù) g（ x）有極小值，也就是最小值為 g（ 0） =0 所以 g（ x） =x）恒大于等于 0， 當(dāng) x 0 時(shí)，由 x）恒大于 0，可得 f（ x）恒大于 0 又對(duì)可導(dǎo)函數(shù) f（ x），恒有 2f（ x） + x） 0， 取 x=0 時(shí)，有 2f（ 0） +0 f（ 0） 0，所以 f（ 0） 0 綜上有 f（ x）恒大于 0 g（ x）在（ ， 0）上為減函數(shù) g（ 2） g（ 1），即 4f（ 2） f（ 1），故 A 錯(cuò)誤； g（ x）在（ 0， +）上為增函數(shù) g（ 4） g（ 2），即 4f（ 4） f（ 2），故 B 錯(cuò)誤； f（ x）恒大于 0， f（ 1） 0， 4f（ 2） 0， 4f（ 2） f（ 1），故 C 正確； 第 12 頁（共 23 頁） 對(duì)于 D， g（ x）在（ 0， +）上為增函數(shù) g（ ） g（ 2），即 3f（ ） 4f（ 2），故 D 正確 故答案選： C 二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分） 13二項(xiàng)式（ x+2 ） 5=+則 a1+a3+122 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 在所給的等式中，分別令 x= 1， y=1； x= 1， y=1；可得兩個(gè)等式，再把這兩個(gè)等式相加，化簡(jiǎn)可得要求式子的值 【解答】 解：令 x=y=1，可得（ x+2 ） 5=35=a0+ 令 x= 1， y=1，可得 a0+a2+a4+， 兩式相加可得 2（ a1+a3+=244， a1+a3+22， 故答案為： 122 14若變量 x， y 滿足 z= + （ a b 0）的最大值 2，則 a+3b 的最小值為 16 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，結(jié)合 z= + （ a b 0）的最大值為 2，可得 + =1，然后利用基本不等式求最值 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， ， 聯(lián)立 ，解得 A（ 2， 6）， 化目標(biāo)函數(shù) z= + ， 為 y= x+ 由圖可知，當(dāng)直線 y= x+ A 時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 + =2， 第 13 頁（共 23 頁） 即 + =1， a+3b=（ a+3b）（ + ） =10+ + 10+6=16， 故答案為： 16 15已知正 邊長(zhǎng)為 4，若在 任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形頂點(diǎn) A、 B、 C 距離都不小于 2 的概率為 1 【考點(diǎn)】 幾何概 型 【分析】 先求出滿足條件的正三角形 面積，再求出滿足條件正三角形 的點(diǎn)到三角形的頂點(diǎn) A、 B、 C 的距離均不小于 1 的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案 【解答】 解：滿足條件的正三角形 下圖所示： 其中正三角形 面積 S 三角形 = =4 滿足點(diǎn)到三角形頂點(diǎn) A、 B、 C 距離都小于 2 的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來是一個(gè)半徑為 2 的半圓， 則 S 陰影 = 22=2， 則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn) A、 B、 C 的距離都大于 2 的概率是 P= = =1 故答案為： 1 16已知 三個(gè)內(nèi)角 A、 B、 C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，若 a b c=0，a+ b c+2=0，則 最大角的余弦值為 【考點(diǎn)】 余弦定理 【分析】 分別將兩式相加減得出 a 與 b， a 與 c 的關(guān)系，使用作差法判斷最大邊，利用余弦定理解出 【解答】 解： a b c=0， a+ b c+2=0， 第 14 頁（共 23 頁） 兩式相加得： 2 +2=0， c= 兩式相減得： 2a 2 2=0， b= 顯然 c b 由 b= 0 得 2a 2 0，解得 a 1+ 或 a （舍） c a= a= 0 c a ， C 為最大角 = = = 故答案為： 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程） 17已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn+ （ ）求 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng) 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 （ ）將 n=1， 2， 3， 4 依次代入 Sn+ ，從而求得； （ ）猜想 ，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可 【解答】 解：（ ） Sn+ 當(dāng) n=1 時(shí)， S1+ 1， 解得， ， 同理可求得， ， ， ； （ ）猜想 ，證明如下， 當(dāng) n=1 時(shí)，顯然成立； 第 15 頁（共 23 頁） 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)成立，即 ， Sk+ ， 故 =2 ， +=2 ， =2 ， 2=2 （ 2 ） = ， = ，即 n=k+1 時(shí)，猜想也成立； 綜上所述， 18近年來空氣污染是生活中一個(gè)重要的話題， 是空氣質(zhì)量的其中一個(gè)重要指標(biāo)，各省、市、縣均要進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)要求 4 小時(shí)濃度均值分：優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染六級(jí)如圖是某市 2015 年某月 30 天的 4小時(shí)濃度均值數(shù)據(jù) （ ）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布表，并求 4 小時(shí)濃度均值的中位數(shù)； 空氣質(zhì)量 指數(shù)類別 優(yōu) 0， 35 良 （ 35， 75 輕度污染 （ 75，115 中度污染 （ 115，150 重度污染 （ 150，250 嚴(yán)重污染 （ 250，500 合計(jì) 頻數(shù) 30 頻率 1 （ ）專家建議，空氣質(zhì)量為優(yōu)、良時(shí)可以正常進(jìn)行某項(xiàng)戶外體育活動(dòng)，輕度污染及以上時(shí)，不宜進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)若以頻率作為概率，用統(tǒng)計(jì)的結(jié)果分析，在 2015 年隨機(jī)抽取6 天，正常進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)的天數(shù)與不宜進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)的天數(shù)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）由折線圖數(shù)據(jù)能繪制頻率分布表，由此能求出 4 小時(shí)濃度均值的中位數(shù) （ ）由題意得 X 的可能取值為 0， 2， 4， 6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列及 E（ X） 第 16 頁（共 23 頁） 【解答】 解：（ ）由折線圖數(shù)據(jù)繪制頻率分布表，得： 空氣質(zhì)量 指數(shù)類別 優(yōu) 0， 35 良 （ 35， 75 輕度污染 （ 75，115 中度污染 （ 115，150 重度污染 （ 150，250 嚴(yán)重污染 （ 250，500 合計(jì) 頻數(shù) 7 13 6 3 1 0 30 頻率 0 1 4 小時(shí)濃度均值的中位數(shù)為： = = （ ）由題意得 X 的可能取值為 0， 2， 4， 6， P（ X=0） = = ， P（ X=2） = + = = ， P（ X=4） = = = P（ X=6） = = ， X 的分布列為： X 0 2 4 6 P E（ X） = = 19如圖，在四棱錐 A ，側(cè)面 正三角形， C=2側(cè)面 底面 P 為 中點(diǎn) （ ）證明： 平面 （ ）證明：平面 平面 （ ）求二面角 P B 的正弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 點(diǎn) O，推導(dǎo)出四邊形 平行四邊形，從而 此能證明 平面 （ ）推導(dǎo)出 而 面 而 面 此能證明平面 平面 （ ）以 O 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 P B 的正弦值 第 17 頁（共 23 頁） 【解答】 證明：（ ）取 點(diǎn) O， ， E， 四邊形 平行四邊形， 面平面 平面 平面 （ ） 面 面 面 C=C， 面 面 平面 平面 解：（ ）以 O 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間 直角坐標(biāo)系， P（ 0， 0， 1）， C（ 1， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， E（ 0， ， 1）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 =（ x， y， z）， =（ 0， ）， =（ 1， 0， 1）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 0， 1）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量 =（ a， b， c）， =（ 1， ， 0）， =（ 0， 0， 1）， 則 ，取 a= ，得 =（ ， 1， 0）， 設(shè)二面角 P B 的平面角為 ， 則 = ， = ， 二面角 P B 的 正弦值為 20已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 F（ 0， ），且橢圓 C 經(jīng)過點(diǎn) P（ ， ） （ ）求橢圓 C 的方程； 第 18 頁（共 23 頁） （ ）過點(diǎn) M（ 0， 1）的斜率不為 0 的直線與橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn)， A 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，求證： AB 恒過 y 軸上的 一個(gè)定點(diǎn) 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ ）設(shè)橢圓的方程為 + =1（ a b 0），由題意可得 c= ，將 P 的坐標(biāo)代入橢圓方程，由 a， b， c 的關(guān)系可得 a， b，進(jìn)而得到橢圓方程； （ ）設(shè) A（ B（ 即有 A（ 直線 方程設(shè)為 y=，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得直線 AB 的方程，令 x=0，求得 y，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值 4，即有直線 AB 恒過定點(diǎn) 【解答】 解：（ ）設(shè)橢圓的方程為 + =1（ a b 0）， 由題意可得 c= ，將 P 的坐標(biāo)代入橢圓方程可得： + =1，又 ， 解得 a=2， b=1， 即有橢圓的方程為 =1； （ ）證明：設(shè) A（ B（ 即有 A（ 直線 方程設(shè)為 y=，代入橢圓方程 4x2+，可得： （ 4+3=0，可得 x1+ ， ， 直線 AB 的方程為 y （ x+ 令 x=0，可得 y= = = +1= =1=4 則 AB 恒過 y 軸上的一個(gè)定點(diǎn)（ 0， 4） 21已知函數(shù) f（ x） =減函數(shù) （ ）求 a 的取值范圍； （ ）證明：對(duì)任意 n N， n 1，都有 + + 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求得 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得 f（ x） 0 在 x 0 恒成立，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得到 a 的范圍； 第 19 頁（共 23 頁） （ ）設(shè) h（ x） =出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得 x 2 時(shí)， ，即 ，則 n 2 時(shí)， = ，再由裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理，即可得證 【解答】 解：（ ）函 數(shù) f（ x） =導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =1+2 函數(shù) f（ x） =減函數(shù)，可得 f（ x） 0 在 x 0 恒成立， 即為 2a 在 x 0 恒成立， 設(shè) g（ x） = ， g（ x） = ， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， g（ x） 0， g（ x）遞增； 當(dāng) x 1 時(shí)， g（ x） 0， g（ x）遞減 可得 g（ x）在 x=1 處取得極大值，且為最大值 1 則 2a 1，解得 a ； （ ）證明：設(shè) h（ x） = h（ x） =1+x， h（ x） = 1， 當(dāng) x 1 時(shí)， h（ x） 0， h（ x） h（ 1） =0， h（ x）在（ 1， +）遞減，即有 h（ x） h（ 1） = ， 即 x 1 時(shí)， ， x 2 時(shí)， ， 即 ， 則 n 2 時(shí)， = ， 即有 + + 1 + + + + =1+ =