第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例,1.兩個向量的夾角,(1)定義已知兩個_向量a和b，作,(2)范圍向量夾角q的范圍是_，a與b同向時，夾角q=_；a與b反向時，夾角q=_(3)向量垂直如果向量a與b的夾角是_，則a與b垂直，記作_.,則AOB=q叫做向量a與b的夾角,0q180,0,180.,90,ab,非零,基礎(chǔ)梳理,|a|b|cos,|a|b|cos,0,|a|cos,b在a方向上的投影,|a|cos,0,|a|b|,-|a|b|,ba,a(b),(ab),ac+bc,聯(lián)系,向量問題,向量運算,幾何關(guān)系,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,3.（2011嘉興模擬）向量a的模為10，它與x軸的夾角為150，則它在x軸上的投影為.,基礎(chǔ)達(dá)標(biāo),-2,2.解析：ab(3,5)，ab(5,5)，cosab，ab,3.解析：a在x軸上的投影為|a|cos15010.,4.解析：令則a(2,0)，b(1,2)，所以b(ab)3.,5.(教材改編題)已知a=(1,6),b=(2,k),若ab,k=;若ab，則k=.,12,經(jīng)典例題,題型一平面向量的數(shù)量積,【例1】已知a,b是非零向量.（1）若ab，判斷函數(shù)f(x)=(xa+b)(xb-a)的奇偶性；（2）若f(x)為奇函數(shù)，證明：ab.,解：（1）f(x)=x2ab+(b2-a2)x-ab,ab,ab=0，f(x)=(b2-a2)x.當(dāng)|a|b|時，f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)|a|=|b|時，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)對于xR恒成立，所以f(0)=0,即-ab=0,又a,b是非零向量，故ab.,變式1-1已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=ab，求f(x)的最大值.,解：f(x)=ab=cosx-sinx=2（cosx-sinx）,f(x)=2sin（-x）,f(x)max=2.,題型二模與垂直問題,【例2】(1)(2011衡陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，i，j分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，在ABC中，=i-2j，=2i+j，則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形(2)(2010廣東改編)已知向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)若|2a+b-c|=1，求實數(shù)x的值；若(8a-b)c，求實數(shù)x的值,解(1)即ABAC，AB=AC，ABC為等腰直角三角形，故選C.(2)2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3，x)=(1,7-x)又|2a+b-c|=1，=1，(7-x)2=0，x=7.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)由(8a-b)c，得18+3x=0，x=-6.,變式2-1已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120.(1)計算|a+b|,|4a-2b|;(2)k為何值時，(a+2b)(ka-b)?,解：由已知,ab=48-（）=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=.|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162,|4a-2b|=.(2)若(a+2b)(ka-b),則(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0,即16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.,變式3-1(2011北京模擬)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且b(a+b),求向量a,b的夾角a,b.,解,.,解：|a|=2|b|,b(a+b),ba+b2=0,ab=-|b|2.又cosa,b=又a,b0,a,b=.,易錯警示,【例】已知a,b均為單位向量，且ab,若向量a+b與a+2b的夾角為鈍角，求的取值范圍.,錯解：|a|=|b|=1,ab=0,(a+b)(a+2b)=a2+(2+2)ab+2b2=+2=3.又a+b與a+2b的夾角為鈍角，(a+b)(a+2b)0,30,0.,錯解分析cosa,b0a,b,本題中a+b,a+2b為鈍角，故須a+b,a+2b=時的的值舍去.,正解：a+b與a+2b的夾角為鈍角，(a+b)(a+2b)0,即0,且,.綜上，的取值范圍為(-,-)(-,0).,鏈接高考,2.（2010安徽）設(shè)向量a=(1,0)，b=（,）,則下列結(jié)論中正確的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b與b垂直D.ab知識準(zhǔn)備:1.向量的長度及數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式；