.,材料力學,材料力學的基本知識,材料力學的研究模型材料力學研究的物體均為變形固體，簡稱“構(gòu)件”；現(xiàn)實中的構(gòu)件形狀大致可簡化為四類，即桿、板、殼和塊。桿-長度遠大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件。桿的幾何形狀可用其軸線（截面形心的連線）和垂直于軸線的幾何圖形（橫截面）表示。軸線是直線的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。各橫截面相同的直桿，稱為等直桿；材料力學的主要研究對象就是等直桿。,材料力學的基本知識,變形構(gòu)件在載荷作用下，其形狀和尺寸發(fā)生變化的現(xiàn)象；變形固體的變形通?？煞譃閮煞N：彈性變形-載荷解除后變形隨之消失的變形塑性變形-載荷解除后變形不能消失的變形材料力學研究的主要是彈性變形，并且只限于彈性小變形，即變形量遠遠小于其自身尺寸的變形變形固體的基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)假設(shè)在固體所占有的空間內(nèi)毫無空隙的充滿了物質(zhì)均勻性假設(shè)假設(shè)材料的力學性能在各處都是相同的。各向同性假設(shè)假設(shè)變形固體各個方向的力學性能都相同,材料力學的基本知識,材料的力學性能-指變形固體在力的作用下所表現(xiàn)的力學性能。構(gòu)件的承載能力：強度-構(gòu)件抵抗破壞的能力剛度-構(gòu)件抵抗變形的能力穩(wěn)定性-構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力內(nèi)力的概念構(gòu)件在外力作用時，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內(nèi)部質(zhì)點之間的相互作用力也將隨之改變，這個因外力作用而引起構(gòu)件內(nèi)部相互作用的力，稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。,橫截面上內(nèi)力分析,其中：Mx、My、Mz為主矩在x、y、z軸方向上的分量。FNx、FQy、FQz為主矢在x、y、z軸方向上的分量。,FNx使桿件延x方向產(chǎn)生軸向拉壓變形，稱為軸力FQy,FQz使桿件延y,z方向產(chǎn)生剪切變形，稱為剪力Mx使桿件繞x軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，稱為扭矩My、Mz使得桿件分別繞yz軸產(chǎn)生彎曲變形，稱為彎矩,利用力系簡化原理，截面m-m向形心C點簡化后，得到一個主矢和主矩。在空間坐標系中，表示如圖,橫截面上內(nèi)力計算-截面法,截面法求內(nèi)力步驟將桿件在欲求內(nèi)力的截面處假想的切開；取其中任一部分并在截面上畫出相應(yīng)內(nèi)力；由平衡條件確定內(nèi)力大小。,例：左圖左半部分：Fx=0FP=FN右半部分：Fx=0FP,=FN,例13-1,已知小型壓力機機架受力F的作用，如圖，試求立柱截面m-n上的內(nèi)力,解：1、假想從m-n面將機架截開（如圖）；2、取上部，建立如圖坐標系，畫出內(nèi)力FN，MZ（方向如圖示）。（水平部分/豎直部分的變形？）,3、由平衡方程得：Fy=0FP-FN=0FN=FPMo=0Fpa-Mz=0Mz=Fpa,基本變形(軸向)拉伸、壓縮,載荷特點：受軸向力作用,變形特點：各橫截面沿軸向做平動,內(nèi)力特點：內(nèi)力方向沿軸向，簡稱軸力FN,軸力正負規(guī)定：軸力與截面法向相同為正,FN=P,基本變形-剪切,載荷特點：作用力與截面平行（垂直于軸線）,變形特點：各橫截面發(fā)生相互錯動,內(nèi)力特點：內(nèi)力沿截面方向（與軸向垂直），簡稱剪力FQ,剪力正負規(guī)定：左下（右上）為正左下：指左截面（左半邊物體）剪力向下,基本變形-扭轉(zhuǎn),載荷特點：受繞軸線方向力偶作用（力偶作用面平行于橫截面）,變形特點：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動,內(nèi)力：作用面與橫截面重合的一個力偶，稱為扭矩T,正扭矩的規(guī)定：其轉(zhuǎn)向與截面外法向構(gòu)成右手系,T=M,基本變形-彎曲（平面）,載荷特點：在梁的兩端作用有一對力偶，力偶作用面在梁的對稱縱截面內(nèi)。,變形特點：梁的橫截面繞某軸轉(zhuǎn)動一個角度。中性軸（面）,內(nèi)力：作用面垂直橫截面的一個力偶，簡稱彎矩M,彎矩的正負規(guī)定：使得梁的變形為上凹下凸的彎矩為正。（形象記憶：盛水的碗）,正應(yīng)力、切應(yīng)力,應(yīng)力的概念單位面積上內(nèi)力的大小，稱為應(yīng)力平均應(yīng)力Pm，如圖所示,FA,Pm=,正應(yīng)力單位面積上軸力的大小，稱為正應(yīng)力；,切應(yīng)力單位面積上剪力的大小，稱為切應(yīng)力,應(yīng)力單位為：1Pa=1N/m2（帕或帕斯卡)常用單位：MPa（兆帕），1MPa=106Pa=1N/mm2,A截面面積,位移,構(gòu)件在外力作用下，其變形的大小用位移和應(yīng)變來度量。如圖：AA連線稱為A點的線位移角度稱為截面m-m的角位移，簡稱轉(zhuǎn)角注意，單元K的形狀也有所改變,應(yīng)變,分析單元K單元原棱長為x，u為絕對伸長量，其相對伸長u/x的極限稱為沿x方向的正應(yīng)變。,ux,即：x=lim,x,2.a點的橫向移動aa，使得oa直線產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，定義轉(zhuǎn)角為切應(yīng)變,=,aa,oa,=,aa,x,),胡克定律,實驗證明：當正應(yīng)力小于某一極限值時，正應(yīng)力與正應(yīng)變存在線性關(guān)系，即：=稱為胡克定律，E為彈性模量，常用單位：Gpa（吉帕）同理，切應(yīng)變小于某一極限值時，切應(yīng)力與切應(yīng)變也存在線性關(guān)系即：=G此為剪切胡克定律，G為切變模量，常用單位：GPa,鋼與合金鋼E=200-220GPaG=75-80GPa鋁與合金鋁E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡膠E=0.008GPa,軸向拉壓桿件的內(nèi)力,定義以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉伸或壓縮內(nèi)力的計算截面法如左圖內(nèi)力的表示軸力圖-形象表示軸力沿軸線變化的情況,軸力圖,例14-1F1=2.5kN,F3=1.5kN,畫桿件軸力圖。,解：1)截面法求AC段軸力，沿截面1-1處截開，取左段如圖14-1-2所示Fx=0FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN,2)求BC段軸力，從2-2截面處截開，取右段，如圖14-1-3所示Fx=0FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（負號表示所畫FN2方向與實際相反）,3)圖14-1-4位AB桿的軸力圖,扭轉(zhuǎn)圓軸的內(nèi)力,扭轉(zhuǎn)變形的定義橫截面繞軸線做相對旋轉(zhuǎn)的變形，稱為扭轉(zhuǎn)以扭轉(zhuǎn)為主要變形的直桿，通常稱為軸本課程主要研究圓截面軸功率、轉(zhuǎn)速和扭矩的關(guān)系M=9549扭矩圖仿照軸力圖的畫法，畫出扭矩沿軸線的變化，就是扭矩圖。,其中：M為外力矩(N.m)P為功率(kW)n轉(zhuǎn)速(r/min),例2扭矩圖,如圖，主動輪A的輸入功率PA=36kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=11kW，PD=14kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min.試畫出傳動軸的扭矩圖,解：1)由扭矩、功率、轉(zhuǎn)速關(guān)系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m,2)分別求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即為BC,CA,AD段軸的扭矩（內(nèi)力）如圖a)、b)、c);均有Mx=0得：T1+MB=0T1=-MB=-350N.mMB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0T3=MD=446N.m,3)畫出扭矩圖如d),彎曲梁的內(nèi)力,彎曲梁的概念及其簡化桿件在過桿軸線的縱向平面內(nèi)，受到力偶或受到垂直于軸線的橫向力作用時，桿的軸線將由直線變?yōu)榍€，桿件的這種以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎曲；以彎曲為主要變形的桿簡稱為梁。,常見梁的力學模型簡支梁一端為活動鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座,外伸梁一端或兩端伸出支座支外的簡支梁,懸臂梁一端為固定端，另一端為自由端的梁。,梁內(nèi)力的正負規(guī)定,梁的內(nèi)力剪力FQ彎矩MC,梁內(nèi)力的正負規(guī)定內(nèi)力方向,梁的變形,彎曲梁的內(nèi)力例,例14-3簡支梁如左圖，已知a、q、M=qa2；求梁的內(nèi)力,FAy,FBy,1,2,3,2）1-1截面內(nèi)力：(0x1a),3）2-2截面內(nèi)力：(ax22a),解：1）求得A、B處反力FAY,FBY；,續(xù)例14-3,4）3-3截面內(nèi)力：(0x3a，此處x3的起點為B點，方向如圖),14-4內(nèi)力圖-剪力圖,1.當：0x1a時AC段FQ1=5q.a/6,2.當：ax22a時,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2，直線x2=a；FQ2=5q.a/6（=FQ1）x2=2a；FQ2=-q.a/6（=FQ3）,3.當：0x3a(起點在B點）FQ3=-q.a/6,內(nèi)力圖-彎矩圖,當：0x1a時，M1=5q.a.x1/6為直線,當：ax22a時，為二次曲線；M2=5qax2-q(x2-a)2/2,當：0x3a時（原點在B點，方向向左），M3為直線M3=qa2+q.a.x3/6;,典型例題-1,已知：G,a,b,l,畫梁AB內(nèi)力圖,解：1求A,B支座反力(a+b=l),2求x截面內(nèi)力a)0xa,b)ab）段Qmax=Gb/l最大彎矩在C截面處Mmax=Gab/l,本例中，剪力和彎矩的表達式與截面的位置形式上構(gòu)成了一種函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系稱為剪力方程和彎矩方程；即：FQ=FQ(x)Mc=M(x),典型例題-2,簡支梁受力偶作用,求支座反力FAY,FBY得：FAY=-FBY=M/l,AC段X截面處剪力FQ=Fay,同理可求得BC段剪力與AC段相同，剪力圖如左,AC段彎矩方程M1M1=FAYx=Mx/L,BC段彎矩方程M2M2=FAYx-M=M(x-L)/L,典型例題-3,懸臂梁作用均布載荷q，畫出梁的剪力圖和彎矩圖,寫出A點x處截面的剪力方程和彎矩方程,剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在B點，且,M、FQ與q的關(guān)系,設(shè)梁上作用任意載荷，坐標原點選在A點（左端點形心），現(xiàn)分析剪力、彎矩與載荷集度的關(guān)系。,取x處一小段dx長度梁，如圖，由平衡方程得：Fy=0;FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a)MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b)在上式中略去高階微量后，得,使用關(guān)系式畫FQ、M圖,例題-7,M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m,解：,求A、B處支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN,剪力圖：如圖，將梁分為三段AC：q=0,FQC=FAYCB：q0,FQB=-8.5kNBD：q0,直線,MC=7KN.MCB：q0,拋物線,FQ=0,MB=6.04BD：q0;MBC|x=3a/4=0,14-8（c）解答,A、B支反力：FA=qa/2;FB=5qa/2,AB段：q0；斜直線（左上右下）A點：FQA=FA=qa/2；B點：FQB=FA-2qa=-3qa/2D點：FQAB=0；x=a/2BC段：q=0；直線（水平）C點：FQC=F=qa=FQB,彎矩圖：AB段：q0；拋物線，上凸A點：MC=0，D點：MD=FAa/2q.a2/8=qa2/8B點：MB=FA.2a-2qa2=-qa2；BC段:q=0直線（左下右上）MC=0,MB=-F.a=-qa2,D,橫截面上的應(yīng)力,平面假設(shè)桿件的橫截面在變形后仍保持為平面，且垂直于桿的軸線。橫截面上各點只產(chǎn)生沿垂直于橫截面方向的變形，故橫截面上只有正應(yīng)力。兩橫截面之間的縱向纖維伸長都相等，故橫截面上各點的正應(yīng)變都相等；根據(jù)胡克定律，其正應(yīng)力也相等，即橫截面上的正應(yīng)力均勻分布。桿件軸向拉壓時橫截面上正應(yīng)力計算公式,FN軸力A-橫截面面積,的正負號與FN相同；即拉伸為正壓縮為負,例15-1,一中段開槽的直桿如圖，受軸向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；試求桿內(nèi)的最大正應(yīng)力,解：,求軸力FN;FN=-F=-20kN=-20 x103N,求橫截面面積：A1=bh=20 x25=500mm2A2=b(h-h0)=20 x(25-10)=300mm2,求應(yīng)力由于1-1，2-2截面軸力相同，所以最大應(yīng)力應(yīng)該在面積小的2-2截面上,=,FN,A,=,-20X103,300,=-66.7MPa（負號表示為壓應(yīng)力）,軸向變形,設(shè)等截面直桿原長l0，截面面積A0，在軸力F作用下，其長度變?yōu)閘1，截面面積變?yōu)锳1；其軸向絕對變形l和軸向（相對變形）線應(yīng)變分別為：,l=l1-l0,直桿橫截面上的正應(yīng)力：,當應(yīng)力不超過某一值時，正應(yīng)力與線應(yīng)變滿足胡克定律：=E,由以上可以得到：,式中EA稱為桿件的抗拉壓剛度,此式稱為拉壓變形公式,橫向變形與泊松比,如果等直桿在變形前后的橫向尺寸為：b0、b1；那么其橫向絕對變形和橫向線應(yīng)變分別為b和;b=b1-b0=b/b0,實驗表明：桿件軸向拉伸時，橫向尺寸減小，為負；桿件軸向壓縮時，橫向尺寸增大，為正；,可見，軸向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變恒為異號,實驗還表明：對于同一種材料，當應(yīng)力不超過某一極限時，桿件的橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變之比為一負常數(shù)：,即：,或,比例系數(shù)稱為泊松比，是量剛為一的量,例15-2p241,一板狀試樣如圖，已知：b=4mm，h=30mm，當施加F=3kN的拉力時，測的試樣的軸向線應(yīng)變=120 x10-6,橫向線應(yīng)變=-38x10-6；試求試樣材料的彈性模量E和泊松比,解：,求試件的軸力FN=F=3kN;橫截面面積A=bh=120mm2,橫截面上的應(yīng)力=F/A,根據(jù)胡克定律=E得：,泊松比：,例15-3p241,鋼制階梯桿如圖所示；已知軸向力F1=50kN，F(xiàn)2=20kN，桿各段長度l1=120mm，l2=l3=100mm，桿AD、DB段的面積A1、A2分別是500和250mm2，鋼的彈性模量E=200GPa，試求階梯桿的軸向總變形和各段線應(yīng)變。,解：畫出桿件的軸力圖,求出個段軸向變形量,AC段：,CD段：,DB段：,總變形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm,由=L/L得：,1=-300 x10-62=200 x10-63=400 x10-6,一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力,平面假設(shè)：圓周扭轉(zhuǎn)變形后各個橫截面仍為平面，而且其大小、形狀以及相鄰兩截面之間的距離保持不變，橫截面半徑仍為直線,橫截面上各點無軸向變形，故橫截面上沒有正應(yīng)力。,橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對錯動，故橫截面上有剪應(yīng)力存在。,各橫截面半徑不變，所以剪應(yīng)力方向與截面徑向垂直,推斷結(jié)論：,切應(yīng)變、切應(yīng)力,橫截面上任意一點的切應(yīng)變與該點到圓心的距離成正比,由剪切胡克定律可知：當切應(yīng)力不超過某一極限值時，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。即：,橫截面上任意一點的切應(yīng)力的大小與該點到圓心的距離成正比，切應(yīng)力的方向垂直于該點和轉(zhuǎn)動中心的連線,切應(yīng)力分布,根據(jù)以上結(jié)論：扭轉(zhuǎn)變形橫截面上的切應(yīng)力分布如圖a)所示,扭矩和切應(yīng)力的關(guān)系：,如圖b)所示：微面積dA上內(nèi)力對o點的矩為dM=dA,整個截面上的微內(nèi)力矩的合力矩應(yīng)該等于扭矩,即：,圓軸的扭轉(zhuǎn)變形計算公式,由推導的結(jié)論式,可以得到：,或：,變形計算公式,于是有：,外邊緣,最大切應(yīng)力計算公式,截面的幾何性質(zhì),極慣性矩p,扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)p,二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形,應(yīng)力計算例15-5,在圖示傳動機構(gòu)中，功率從B輪輸入，再通過錐齒輪將一半傳遞給鉛垂軸C，另一半傳遞給水平軸H。若已知輸入功率P1=14kW，水平軸E和H的轉(zhuǎn)速n1=n2=120r/min，錐齒輪A和D的齒數(shù)分別為z1=36，z2=12，圖中d1=70,d2=50,d3=35.求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力.,分析：,此機構(gòu)是典型的齒輪傳動機構(gòu)，各傳動軸均為扭轉(zhuǎn)變形。欲求各傳動軸橫截面上的切應(yīng)力，必須求得各軸所受的扭矩，即各軸所受到的外力偶矩。,由題意可知，E、H、C軸所傳遞的功率分別為：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW.E、H軸轉(zhuǎn)速為120r/min,由傳動比可計算出C軸的轉(zhuǎn)速為：n3=(z1/z2)n1=3n1=360r/min,再通過公式：,可以求得各軸所受到的外力矩,M1M2M3,例15-5(續(xù)),解：,1、求各軸橫截面上的扭矩：,2、求各軸橫截面上的最大切應(yīng)力：,應(yīng)力計算習題15-10、11,如圖所示,已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此軸的最大切應(yīng)力2、C截面相對于A截面的扭轉(zhuǎn)角CA；3、相對扭轉(zhuǎn)角AB、BC；,解：,1、求最大切應(yīng)力扭矩圖如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根據(jù)切應(yīng)力計算公式,15-11續(xù),2、求C截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角,扭轉(zhuǎn)角計算公式：,C截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角為：,3、相對扭轉(zhuǎn)角為：,本節(jié)要點,扭轉(zhuǎn)圓軸的切應(yīng)力計算公式：,扭轉(zhuǎn)圓軸的橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律,相對扭轉(zhuǎn)角,單位長度相對扭轉(zhuǎn)角,第三講彎曲梁正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力公式彎曲梁截面的最大正應(yīng)力慣性矩的平行軸定理平行軸定理應(yīng)用舉例1平行軸定理應(yīng)用舉例2彎曲正應(yīng)力計算習題15-14p271作業(yè),第三講彎曲梁正應(yīng)力,平面彎曲,橫力彎曲,純彎曲,剪力FQ0,彎矩M0,剪力FQ=0,彎矩M0,純彎曲：,平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動了一個角度,總第16講,彎曲正應(yīng)力公式,純彎曲正應(yīng)力公式推導：,如上圖1、2得縱向變形：,根據(jù)胡克定律，可知：,由圖3得：,幾何關(guān)系,物理關(guān)系,即,對照以上各式，得：,其中：Iz為截面對z軸的慣性矩,彎曲梁截面的最大正應(yīng)力,由正應(yīng)力公式可知，彎曲梁截面上的最大正應(yīng)力應(yīng)該在其上下邊緣：即|y|的最大值處.,引入彎曲截面系數(shù)Wz=Iz/ymax，最大正應(yīng)力公式為：,慣性矩計算：,A定義式：,B積分式：,矩形截面Iz的計算：如圖,慣性矩的平行軸定理,由慣性矩的定義式可知：,組合截面對某軸的慣性矩，等于其組成部分對同一軸慣性矩的代數(shù)和,即：,Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi,設(shè)某截面形心在某坐標系的坐標為(a,b),如圖，則其對坐標軸的慣性矩為：,對于z軸的慣性矩：,對于y軸的慣性矩：,平行軸定理應(yīng)用舉例1,工字形截面梁尺寸如圖，求截面對z軸的慣性矩。,解：,可以認為該截面是由三個矩形截面構(gòu)成，所以：,Iz=Iz1+Iz2+Iz3,（-）,（+）,（+）,1,2,3,Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104(mm4),平行軸定理應(yīng)用舉例2,求圖示截面對z軸的慣性矩,解：,截面可分解成如圖組合，A1=300 x30=9000mm2A2=50 x270=13500mm2yc1=-75-15=-90mmyc2=135-75=60mm,A1、A2兩截面對其型心軸的慣性矩為：I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4I2cz=50 x2703/12=82.0125x106mm4,由平行軸定理得：I1z=I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4I2z=I2cz+yc22A2=82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,A1,A2,彎曲正應(yīng)力計算習題15-14p271,已知：A=40MPa(拉),y1=10mm;y2=8mm;y3=30mm求：1)B,D；2)max(拉）,解：A=40MPa(拉),y1=10mm;,由公式：,由于A點應(yīng)力為正，因此該梁上半部分受拉，應(yīng)力為正，下半部分受壓，應(yīng)力為負，因此有：,最大拉應(yīng)力在上半部邊緣,彎曲梁的切應(yīng)力,總第17講,橫力彎曲時，梁的橫截面上切應(yīng)力分布。,橫力彎曲時，梁的橫截面上切應(yīng)力計算公式,例15-11,如圖所示，已知6120柴油機活塞銷的外徑D=45mm，內(nèi)徑d=28mm，活塞銷上的載荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，連桿作用力F=88.4kN。求活塞銷的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。,解：,活塞銷所受的載荷簡化為均布載荷，其均布集度為,剪力圖如例15-11b）FQmax=44.2kN,彎矩圖如例15-11c)Mmax=1.18kN.m,(continue),已知活塞銷截面為薄壁圓環(huán)，那么：,活塞銷的最大正應(yīng)力為彎矩最大處，即銷子中心點：,由切應(yīng)力近似計算公式可以得出，活塞銷的最大切應(yīng)力為：,彎曲梁的變形,梁彎曲變形的概念,撓度-梁的橫截面形心在垂直雨量軸線方向的位移稱為撓度，用w表示。正負規(guī)定：圖示坐標中上正下負,轉(zhuǎn)角-梁的橫截面相對于變形前后初始位置轉(zhuǎn)過的角度，用表示。正負規(guī)定：逆時針為正，反之為負,撓曲線-梁在彈性范圍彎曲變形后，其軸線變成一條光滑連續(xù)曲線，稱為撓曲線，其表示式為,轉(zhuǎn)角與撓度w的關(guān)系,如圖所示：tan=dw(x)/dx=w即：橫截面的轉(zhuǎn)角近似等于撓曲線在該截面處的斜率,w=w(x),積分法求梁的變形,積分法求梁的變形,撓曲線公式簡單推導,由前可知：,而在數(shù)學中有：,略去高階無窮小，得到：,撓曲線近似微分方程,積分后：,式中的積分常數(shù)C、D由梁的邊界條件和連續(xù)條件確定,積分法求梁的變形舉例,習題15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max，wmax；,解：,求A,B支座反力,FA=FB=ql/2=8kN,寫出梁的彎矩方程（如圖b)：,M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2,EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1),積分后得到:,CONTINUE,習題15-20（續(xù)）,FINE,邊界條件：x=0,w=0；D=0；x=l,w=0；C=-ql3/24,由（1）可知：max為M(x)=0的點；即x=0和x=l處（A,B端點）max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIzz)w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)；w=0；x=l/2；wx=l=5ql4/(384EIz),疊加法求梁的變形,疊加法求梁的變形,疊加法當梁受多個載荷作用時，梁的變形是每個獨立載荷作用時變形的疊加。,理論基礎(chǔ)（略）參見教材,常見簡單載荷作用下梁的變形教材P261。,疊加法求梁的變形舉例習題15-22,用疊加法求圖示梁B截面的轉(zhuǎn)角和C截面的撓度,疊加結(jié)果為,查表,材料拉壓時的力學性能,低碳鋼拉伸時的力學性能,試件儀器壓力實驗機游標卡尺,應(yīng)力應(yīng)變曲線比例極限p彈性極限e屈服極限s抗拉強度b,滑移線,頸縮,伸長率和斷面收縮率,伸長率,斷面收縮率,塑性材料：5%脆性材料：5%,鑄鐵拉伸鑄鐵等脆性材料在拉伸時，變形很小，應(yīng)力應(yīng)變曲線圖沒有明顯的直線部分，通常近似認為符合胡克定律。其抗拉強度b是衡量自身強度的唯一指標。,時衡量材料塑性的一個重要指標,低碳鋼和鑄鐵壓縮時的力學性能,低碳鋼壓縮,鑄鐵壓縮,名義屈服極限,對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，在工程上常以卸載后產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變的應(yīng)力作為屈服應(yīng)力，稱為名義屈服極限，用P0.2來表示,冷作硬化對于這種對材料預(yù)加塑性變形，而使其比例極限或彈性極限提高，塑性變形減小的現(xiàn)象稱之為冷作硬化。,軸向拉壓桿件的強度設(shè)計,拉壓桿的強度設(shè)計準則為拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的，而且各點均為單向應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)材料的失效判據(jù)，拉壓桿的強度設(shè)計準則為：,式中max為拉壓桿橫截面上的最大工作應(yīng)力為材料的許用應(yīng)力對于塑性材料=s/ns對于脆性材料拉=b拉/nb;壓=b壓/nb；,拉壓桿強度設(shè)計,對于等截面桿，其強度準則可以寫成,1、強度校核,2、選擇截面尺寸,3、確定許可載荷,強度校核,某銑床工作臺的近給液壓缸如圖示，缸內(nèi)工作壓力p=2MPa，液壓缸內(nèi)徑D=75mm，活塞桿直徑d=18mm，已知活塞桿材料的許用應(yīng)力=50MPa，試校核活塞桿的強度。,解：,求活塞桿的軸力：,橫截面上的應(yīng)力為：,活塞桿強度足夠,注：在工程中，允許工作應(yīng)力大于許用應(yīng)力但不可超出5。,選擇截面尺寸,習題173，已知：h=2b，F(xiàn)=40kN，=100MPa；試設(shè)計拉桿截面尺寸h、b。,解：求出拉桿的軸力FN;FN=F=40kN,拉桿的工作應(yīng)力FN/A,根據(jù)強度準則，有,即AFN/；而A=hb=2b2所以：2b240103/100=400mm2,求得：b14.14mm；h=2b=28.28mm,考慮安全，可以取b=15mm，h=30mm,結(jié)束,例題17-3確定許可載荷,如左圖，已知：木桿面積A1=104mm2，1=7MPa鋼桿面積A2=600mm2，2=160MPa,確定許用載荷G。,解：,1、求各桿的軸力如圖b)列平衡方程，得,Fx=0FN1FN2cos300=0,Fy=0FN2sin300G=0,求解上式，得：FN1=1.73G,FN2=2G,2、用木桿確定G,由強度準則：1=FN1/A11得：G1A1/1.73=40.4kN,3、校核鋼桿強度,即：2=FN2/A2=2G/A2=80.8103/600=134.67MPa2強度足夠，故許可載荷G=40.4kN,結(jié)束,彎曲梁的強度計算,梁在彎曲變形時，其截面上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力，故有：,和,對于等截面梁，可以寫成：,對于脆性梁，其抗拉、抗壓性能不等時，應(yīng)分別予以設(shè)計。,通常在設(shè)計計算時，先以彎曲正應(yīng)力強度準則設(shè)計出截面尺寸，然后按照彎曲切應(yīng)力強度準則進行校核。,彎曲正應(yīng)力,強度校核,圖示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應(yīng)力30MPa，許用壓應(yīng)力60MPa，截面尺寸如圖。截面對形心軸z的慣性矩Iz763mm4，且y1=52cm。試校核梁的強度。,分析：1、畫出梁的彎矩圖（確定最大彎矩及其所在截面）2、求出梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力值3、校核強度,解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，畫出彎矩圖如b)，最大正彎矩在C點，最大負彎矩在B點，即：C點為上壓下拉，而B點為上拉下壓,FA,FB,例176（續(xù)1）,2、求出B截面最大應(yīng)力,最大拉應(yīng)力（上邊緣）：,最大壓應(yīng)力（下邊緣）：,例176（續(xù)2）,3、求出C截面最大應(yīng)力,最大拉應(yīng)力（下邊緣）：,最大壓應(yīng)力（上邊緣）：,由計算可見：最大拉應(yīng)力在C點且Cmax=28.83MPa=30MPa最大壓應(yīng)力在B點且Bmax=46.13MPa60MPa故梁強度足夠,梁的截面設(shè)計,簡支梁AB如圖所示，已知：=160MPa，=100MPa，a=0.2m，l=2m，F(xiàn)=200kN，試選擇工字鋼型號。,解：1、計算梁的約束力FA、FB;,由于機構(gòu)對稱，所以FA=FB=210kN,2、畫出梁的剪力圖可以看出FQmax=FA=FB=210kN,3、畫出梁的彎矩圖，其最大彎矩在梁的中點，計算得：Mmax=45kN.m,4、應(yīng)用梁的彎曲正應(yīng)力準則選擇截面尺寸：max(Mmax/Wz),例177續(xù),變形可以得出：,查附錄C選取22a工字鋼，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm；t=12.3mm。,校核梁的切應(yīng)力強度：工字鋼腹部切應(yīng)力最大，對應(yīng)面積A1=(h-2t)d；則有：,由于切應(yīng)力大出其許用應(yīng)力很多，故再選大一號，選22b并校核其切應(yīng)力強度。相應(yīng)尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：,切應(yīng)力強度足夠，故選22b號工字鋼,fine,例1710,鋼板如圖所示，試校核強度（不考慮應(yīng)力集中影響）,已知：F80kN,b=80,t=10,=10,=140MPa,解：如圖b)；FNF=80kN,eb/2(b-t)/2=80/2(80-10)/2=5M=FNe=400kN.mm,FN引起的應(yīng)力,M引起的應(yīng)力,例1710（續(xù)）,因此，最大拉應(yīng)力為（上缺口最低點）：,下邊緣應(yīng)力為：,討論：顯然，鋼板的強度不夠；引起應(yīng)力增大的原因是偏心距造成的。因此，解決此類問題就是消除偏心距，如左：,正應(yīng)力分布圖如下：,總第23講,純扭圓軸橫截面切應(yīng)力分布,圓軸扭轉(zhuǎn)的強度設(shè)計準則,等截面圓軸扭轉(zhuǎn)的強度設(shè)計準則,為許可切應(yīng)力；通常，對于塑性材料（0.50.6)；對于脆性材料：（0.81.0),扭轉(zhuǎn)圓軸強度設(shè)計,例1711,某傳動軸所傳遞的功率P=80kW，其轉(zhuǎn)速n=580prm，直徑d=55mm，材料的許可切應(yīng)力=50MPa，試校核軸的強度。,解：傳動軸的外力偶矩為：,工作切應(yīng)力的最大值：,強度足夠！,例1712,汽車傳動軸由45無縫鋼管制成。已知：=60MPa，若鋼管的外徑D90mm，管壁厚t=2.5mm，軸所傳動的最大扭矩M=1.5kN.m.試：1、校核傳動軸的強度；2、與同性能實心軸的重量比。,解：1、校核強度,帶入數(shù)據(jù)后得：max50.33MPa60MPa;強度足夠,2、設(shè)計實心軸直徑D1（兩軸的最大工作切應(yīng)力相等),3、兩軸重量比,總第24講,軸向拉伸桿件：,式中：l為軸向拉伸的許可伸長量或縮短量,平面彎曲梁：,式中：為許用撓度；為許用轉(zhuǎn)角。,扭轉(zhuǎn)變形圓軸：,式中：max為許用扭轉(zhuǎn)角。,桿件的剛度準則與剛度設(shè)計,例17-15P317,飛機系統(tǒng)中的鋼拉索，其長度為l=3m，承受拉力F=24kN，彈性模量E=200GPa，需用應(yīng)力=120MPa，要求鋼拉索在彈性范圍內(nèi)的許用伸長量l=2mm，試求其橫截面面積至少應(yīng)該為多少？,解：鋼拉索發(fā)生軸向拉伸變形，其軸力為FN=F=24kN,1、由等截面軸向拉伸桿件的強度設(shè)計準則，得：,2、由軸向拉壓桿件的剛度設(shè)計準則，得：,綜合上列強度和剛度設(shè)計結(jié)果，鋼拉索的橫截面面積至少應(yīng)該為：200mm2,例17-16,如圖所示階梯軸，已知：d1=40mm，d2=55mm，MC=1432.5N.m，MA=620.8N.m。軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角=20/m，許用切應(yīng)力=60MPa，切變