.,1,預(yù)防醫(yī)學(xué)201304聶秀泉編制,傳染病模型,.,前言,傳染病傳播問題和自然科學(xué)中一些已經(jīng)有確定規(guī)律的問題不同，不可能立即對它做出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，建立完善的模型，只能先做出最簡單的假設(shè)，建立模型，得出結(jié)果，分析是否符合實際，然后針對其不合理或不完善處，進(jìn)行修改或補充假設(shè)，逐步得到較為合理的模型。,.,歷史歷程,1760年，D.Bernoulli曾為天花的傳播做過數(shù)學(xué)模型1906年，Hamer為控制麻疹的傳播建模1911年，公衛(wèi)Ross博士用微分方程建立動態(tài)模型，研究瘧疾在蚊子與人之間的傳播，并發(fā)現(xiàn)：只要蚊子數(shù)量減少到一個臨界值，便可控制瘧疾的傳播。1926年，Kermack和Mckendrick研究1665-1666年黑死病在倫敦的傳播與1906年孟買的瘟疫時，提出了著名的SIR艙室模型，1932年又提出了SIS模型。并在分析的基礎(chǔ)上建立了流行病流行與否的閥值理論，奠定了現(xiàn)代流行病學(xué)的基礎(chǔ)。,.,建模過程,1、模型假設(shè)2、建模3、求解4、分析5、驗證,.,附錄,Compartment艙室Susceptible易感者SInfective染病者IRemoved移除者R,.,由簡到繁,想一想?,1、簡單模型2、SI模型3、SIR模型,.,簡單模型,假設(shè)：每天每個病人有效接觸的人數(shù)為。建模：求解：解得分析：結(jié)果表明，隨著的增加，病人人數(shù)將無限增長，這顯然是不可能的。因此，需要修改，細(xì)化！,.,簡單模型,單室,.,SI模型,假設(shè)：1.地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，沒有人生死遷移，只有染病者和易感者。2.每天每個病人有效接觸的人數(shù)為，稱為日接觸率。建模:即求解：分析：當(dāng)時，傳染病達(dá)到高潮，要多加警惕！而當(dāng)時，所有人都將成為病人，這又顯然不成立，仍尋繼續(xù)修改！,此值與傳染病的實際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報公式。,.,SI模型,看一下函數(shù)圖象ps.jpg,.,SI模型,兩室,.,SIR模型,假設(shè)：1.地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，沒有人生死遷移，只有染病者、易感者和移除者。2.每天每個病人有效接觸的人數(shù)為，日治愈率（即移除率）為。建模:,.,SIR模型,.,SIR模型,求解：分析：引出閥值理論,.,想法,從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)分析問題，得到一堆數(shù)學(xué)結(jié)果，再將數(shù)學(xué)結(jié)果與現(xiàn)實情況對應(yīng)，即找出其實際意義，再對實際情況做出指導(dǎo)，即形成一個理論。,現(xiàn)實,數(shù)學(xué),現(xiàn)實,.,想法,在對數(shù)學(xué)模型（即函數(shù)）進(jìn)行處理時，要注意其最大值，最小值，極大值，極小值，拐點，結(jié)點，交點等特殊位置。注意函數(shù)的走勢。因為它可能代表實際問題中的事態(tài)發(fā)展。,.,閥值理論,各個量的實際意義：1.度量了疾病的傳染性，即疾病從已感染病人傳染給易感者的迅速程度。2.度量了從已感染病人中排除的迅速程度。3.即閥值，通過對函數(shù)的分析可知，只要那么，流行病就不會流行。模型檢驗：用進(jìn)行檢驗。（以下用到的數(shù)據(jù)為上網(wǎng)差得）,.,閥值理論,通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會太大，故一般是小量。利用泰勒公式展開取前三項，有：,代入（3.20）得近似方程：,積分得：,其中：,這里雙曲正切函數(shù)：,.,閥值理論,而：,圖3-14（b）記錄了1905年下半年至1906年上半年印度孟買瘟疫大流行期間每周死亡人數(shù)，不難看出兩者有較好的一致性。,圖3-14（a）,.,措施,傳染病的預(yù)防：想一想？從兩方面：1.減小2.增大1.預(yù)防接種，使S0減小2.隔離患病者，使S0減小3.提高人民衛(wèi)生水平，使減小，從而使增大4.提高醫(yī)療水平，使增大，從而使增大,.,再想一想？,SIS模型,.,SIV模型,接種疫苗，且獲得的免疫不永久,.,SEIR模型,Exposed潛伏者,四室,.,SEQIJR模型（六室）,.,SEHIPDR模型（七室）,.,.,世界的四個秘密,1.物理定律的本質(zhì)。2.生命的秘密。3.大腦的作用。4.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的秘密。MikhailGromov摘自解碼者數(shù)學(xué)探秘之旅,.,參考文獻(xiàn),高等數(shù)學(xué)劉早清畢志偉主編華中科技大學(xué)出版社數(shù)學(xué)建模陳東彥李冬梅王樹中編著科學(xué)出版社實用微積分（AppliedCalculus）美DeborahHughes-HalletAndrewM.GleasonPattiFrazerLockDanielE.Flath等著數(shù)學(xué)模型（第二版）譚