定積分的背景面積與路程問題,高二數(shù)學(xué)選修2-1第四章定積分,以上由曲線圍成的圖形的面積該怎樣計算？,我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的.那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題.定積分在科學(xué)研究和實際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用.本節(jié)我們將了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念.,圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，通常稱這樣的平面圖形為曲邊梯形.,a,b,曲邊梯形定義：,我們把由直線x=a，x=b(ab)，y=0和曲線y=f(x)所圍成的圖形叫作曲邊梯形.,探究點1曲邊梯形的定義,對曲邊梯形概念的理解：,（1）曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面圖形.（2）曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別在于前者有一邊是曲線段而“直邊圖形”的所有邊都是直線段.,探究點2估計曲邊梯形的面積,我們曾經(jīng)用正多邊形逼近圓的方法(即“以直代曲”的思想)計算出了圓的面積，能否也用直邊形(如矩形)逼近曲邊梯形的方法求陰影部分的面積呢？,割圓術(shù),問題1圖中陰影部分是由拋物線，直線以及x軸所圍成的平面圖形，試估計這個曲邊梯形的面積S.,分析首先，將區(qū)間0，15等分，如圖所示.,圖(1)中，所有小矩形的面積之和（記為S1)顯然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的過剩估計值，有,（1）,圖(2)中，所有陰影小矩形的面積之和(記為s1)顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱s1為S的不足估計值，有,.,（2）,思考：我們可以用S1或s1近似表示S，但是都存在誤差，誤差有多大呢？提示：二者之差為S1-s1=0.2,如圖(3)中陰影所示，無論用S1還是用s1來表示曲邊梯形的面積，誤差都不會超過0.2.,（3）,1,(4),不足估計值為,二者的差值為S2-s2=0.1，此時，無論用S2還是用s2來表示S，誤差都不超過0.1.,結(jié)論：區(qū)間分得越細(xì)，誤差越小.當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值都會趨于曲邊梯形的面積.,.,.,通過下面的演示我們?nèi)绾巫龅绞拐`差小于0.01.,輸入數(shù)字，點擊確定.,練一練：,求曲線y=x3與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積的估計值，并寫出估計誤差.（把區(qū)間0，15等分來估計）,解析把區(qū)間0，15等分，以每一個小區(qū)間左右端點的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足估計值和過剩估計值，如下：,估計誤差不會超過-=0.2,探究點3估計變速運動的路程,已知勻速運動物體的速度v和運動的時間t,我們可以求出它走過的路程s=vt,那么如何求非勻速運動的物體走過的路程呢？,問題2想象這樣一個場景：一輛汽車的司機猛踩剎車，汽車滑行5s后停下，在這一過程中，汽車的速度v（單位：m/s)是時間t的函數(shù)：,請估計汽車在剎車過程中滑行的距離s.,分析：由已知，汽車在剛開始剎車時的速度是v(0)=25m/s,我們可以用這個速度來近似替代汽車在這段時間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離：s=255=125(m)但顯然，這樣的誤差太大了.為了提高精確度，我們可以采用分割滑行時間的方法來估計滑行距離.首先，將滑行的時間5s平均分成5份.我們分別用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽車在01s、12s、23s、34s、45s內(nèi)的平均速度，求出滑行距離s1：,由于v是下降的，所以顯然s1大于s,我們稱它為汽車在5s內(nèi)滑行距離的過剩估計值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分別近似替代汽車在01s、12s、23s、34s、45s內(nèi)的平均速度，求出汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估計值：,不論用過剩估計值s1還是不足估計值表示s，誤差都不超過：,要對區(qū)間多少等分時，才能保證估計誤差小于0.1？,為了得到更加精確的估計值，可以將滑行時間分得更細(xì)些，因為我們知道，滑行時間的間隔越小，用其中一點的速度代替這段時間內(nèi)的平均值，其速度誤差就越小.比如，將滑行時間5s平均分成10份.用類似的方法得到汽車在5s內(nèi)滑行距離的過剩估計值s2：,結(jié)論滑行時間等分得越細(xì)，誤差越小.當(dāng)滑行時間被等分后的小時間間隔的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值就趨于汽車滑行的路程.,汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估計值：,無論用s2還是表示汽車的滑行距離s，誤差都不超過,抽象概括,前面，我們通過“以直代曲”的逼近方法解決了求曲邊梯形的面積的問題，對于變速運動路程的步驟：,分割區(qū)間,過剩估計值不足估計值,逼近所求路程,所分區(qū)間長度趨于0,估計值趨于所求值,變式練習(xí),汽車作變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)=-t2+2,（單位：km/h),那么它在0t1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s是多少？（將行駛的時間1h平均分成10份）,解析分別用v(0)，v(0.1)，v(0.2)，v(0.9)近似替代汽車在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽車在1h時行駛的路程的過剩估計值,=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)0.1=1.715(km).,分別用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(1)近似替代汽車在00.1h，0.10.2h，0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽車在1h時行駛的路程的不足估計值,=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)0.1=1.615(km),無論用還是估計汽車行駛的路程s,估計誤差都不會超過1.715-