.,第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,.,一、羅爾(Rolle)定理,定理(Rolle),若函數(shù)f(x)滿足,（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù),（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(a)=f(b),例如,3.1微分中值定理,.,幾何解釋:,若連續(xù)曲線弧的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線，,.,注,Rolle定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導(dǎo)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；,這三個(gè)條件只是充分條件，而非必要條件,如：y=x2在-1,2上滿足(1),(2)，不滿足(3)卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)x=0使,但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個(gè)條件缺一不可。,例如,.,又例如,在0,1上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件,再例如,在0,1上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件,羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等0的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)；,.,另外還要注意點(diǎn)并未具體指出，即使對于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)也不一定能指出是哪一點(diǎn)，,如,在-1，0上滿足羅爾定理的全部條件，而,但卻不易找到使,但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的.即便如此，我們將會看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用.,.,例1不求函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù),判斷方程f(x)=0有幾個(gè)實(shí)根，以及其所在范圍。解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1,2，2,3上滿足羅爾定理的三個(gè)條件。在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x1，使f(x1)=0，x1是f(x)=0的一個(gè)實(shí)根。在(2,3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)=0的一個(gè)實(shí)根。f(x)=0是二次方程，只能有兩個(gè)實(shí)根，分別在區(qū)間(1,2)及(2,3)內(nèi)。,.,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,.,幾何解釋:,.,推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。,證明：在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1，x2(x1x2)，應(yīng)用拉格朗日中值定理，就得f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)(x1xx2)。由假定，f(x)0，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)。因此f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。,.,證明：設(shè)f(x)ln(1x)，顯然f(x)在區(qū)間0,x上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，就有f(x)f(0)f(x)(x0)，0xx。,又由01時(shí)，f(x)0，所以f(x)在1,)上f(x)單調(diào)增加。因此當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(1)=0，即,.,三、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),定義:若曲線段向上（下）彎曲，則稱之為凹（凸）的。,圖形上任意弧段（）位于所張弦的上方。,圖形上任意弧段（）位于所張弦的下方。,問題:如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述曲線的凹凸性?,的中點(diǎn),的中點(diǎn),.,定義,.,四、曲線凹凸的判定,定理1,.,例6,解,注意到,.,五、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1.定義,2.拐點(diǎn)的求法,.,例8,解,.,凹凸與拐點(diǎn)的判定步驟,.,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),.,第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值,由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。,.,一、函數(shù)極值的定義,.,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0(a,b),f(a)和f(b)是否為極值？,個(gè)極小值；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值的定義：,二、函數(shù)的極值,.,取得極值的必要條件：,觀察極值與切線的關(guān)系：,在極值點(diǎn)處，如果函數(shù)曲線有切線，則切線是水平的,.,定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f(x0)0,駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f(x)0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),應(yīng)注意的問題：可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)但反過來，函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn),.,觀察函數(shù)f(x)x在x0處的導(dǎo)數(shù)與極值情況,在x=0處，f(0)0.,但函數(shù)在x=0無極值,.,定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)(1)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f(x)0，在x0的某一右鄰域內(nèi)f(x)0，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果在x0的左右鄰域內(nèi)f(x)不改變符號，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值,取得極值的第一充分條件：,.,取得極值的第一充分條件的幾何意義：,f(x)0,f(x)0,f(x)0f1(0)為極小值,f2(x)3x2，f2(0)0，,f2(x)6x，f2(0)0,f2(x)0，f2(0)不是極值,.,(2)令f(x)0，求得駐點(diǎn)x11，x20，x31(3)f(x)6(x21)(5x21)(4)因f(0)60，所以x0為極小值點(diǎn)，極小值為f(0)0(5)因f(1)f(1)0，用定理3無法判別,例3求函數(shù)f(x)(x21)31的極值,解法一,(1)f(x)6x(x21)2,同理，f(x)在1處也沒有極值,因?yàn)樵?的左右鄰域內(nèi)f(x)0，,y=f(x),函數(shù)單調(diào)增加,f(x)0，,復(fù)習(xí)：,3.6與函數(shù)圖像的描繪,.,函數(shù)單調(diào)減少,曲線是凹的,y=f(x),f(x)0，,y=f(x),函數(shù)單調(diào)減少,曲線是凸的,f(x)0，,f(x)0，相反時(shí)s0,顯然弧s是x的函數(shù)：ss(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù),一、弧微分,.,設(shè)x,x+Dx為(a，b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們在曲線yf(x)上的對應(yīng)點(diǎn)為M，M，并設(shè)對應(yīng)于x的增量Dx，弧s的增量為Ds，于是,下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分,.,1，,因?yàn)?因此,由于ss(x)是單調(diào)增加函數(shù)，從而,于是,ds,弧微分公式,.,二、曲率及其計(jì)算公式,曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。,),弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大,1.曲率的定義,),)j,M1,M2,N1,N2,.,設(shè)曲線C是光滑的，曲線線C上從點(diǎn)M到點(diǎn)M的弧為Ds，切線的轉(zhuǎn)角為Da,平均曲率：,曲率：,.,曲率的計(jì)算公式：,設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是yf(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù),于是,從而，有,因?yàn)閠anay，所以,.,注意,(1)直線的曲率,(2)圓上各點(diǎn)處的曲率,直線的曲率處處為零;,圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù).,圓的半徑越小曲率越大.,.,例1計(jì)算等邊雙曲線xy1在點(diǎn)(1，1)處的曲率,解,因此，y|x11，y|x12,曲線xy1在點(diǎn)(1，1)處的曲率為,.,例2拋物線yax2bxc上哪一點(diǎn)處的曲率最大？,解由yax2bxc，得y2axb，y2a，,代入曲率公式，得,要使K最大，只須2axb0，,拋物線的頂點(diǎn)因此，拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大，最大曲率為K|2a|,對應(yīng)的點(diǎn)為,.,曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑r有如下關(guān)系：,曲線在M點(diǎn)的曲率中心,三、曲率圓與曲率半徑,M,y=f(x),D,r,曲線在M點(diǎn)的曲率半徑,曲線在M點(diǎn)的曲率圓,.,定義,.,例3設(shè)工件表面的截線為拋