2016年上海市八校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷（理科）（3月份）一、填空題（共14小題，每小題3分，滿分42分）1已知全集U=R，若A=x|x0，B=x|x2，則CR（AB）=2若=2，則a+b=3函數(shù)f（x）=ln（x2x）的定義域為4若復數(shù)z滿足（3z）i=2（i為虛數(shù)單位），則z=5若cos（+）=，cos（）=，則sin2=6抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為7已知0，0，直線x=和x=是函數(shù)f（x）=sin（x+）圖象的兩條相鄰的對稱軸，則=8已知函數(shù)f（x）=ax（a0，a1）在區(qū)間1，2上的最大值為8，最小值為m若函數(shù)g（x）=（310m）是單調(diào)增函數(shù)，則a=9若函數(shù)f（x）=，則使得f（x）2成立的x的范圍是10已知|=1，|=2，且=0，若向量的模|=1，則|的最小值為11在圓周上有10個等分點，以這些點為頂點，每3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇了3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是12若2a3，5b6，f（x）=logax+有整數(shù)零點x0，則x0=13已知點P在函數(shù)y=的圖象上，過點P的直線交x、y軸正半軸于點A、B，O為坐標原點，三角形AOB的面積為S，若且S2，3，則的取值范圍是14若函數(shù)f（x）=x|xa|（a0）在區(qū)間1，2上的最小值為2，則a=二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）15函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象如下圖，則函數(shù)y=f（x）g（x）的圖象可能是（）ABCD16要制作一個容積為8m3，高為2m的無蓋長方體容器，若容器的底面造價是每平方米200元，側(cè)面造型是每平方米100元，則該容器的最低總造價為（）A1200元B2400元C3600元D3800元17若直線y=k（x2）與曲線有交點，則（）Ak有最大值，最小值Bk有最大值，最小值Ck有最大值0，最小值Dk有最大值0，最小值18已知點A（1，1），B（5，5），直線l1：x=0和l2：3x+2y2=0，若點P1、P2分別是l1、l2上與A、B兩點距離的平方和最小的點，則|等于（）A1B2CD三、解答題（共5小題，滿分66分）19在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=6，sinA=，B=A+；（1）求b的值；（2）求ABC的面積20如圖所示的多面體是由一個以四邊形ABCD為地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2，DAB=BCD=90，且AA1=CC1=；（1）求二面角D1A1BA的大?。唬?）求此多面體的體積21已知函數(shù)f（x）=ax22ax+1+b（a0）（1）若f（x）在區(qū)間2，3上的最大值為4、最小值為1，求a，b的值；（2）若a=1，b=1，關于x的方程f（|2x1|）+k（43|2x1|）=0，有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的值22已知點R（x0，y0）在D：y2=2px上，以R為切點的D的切線的斜率為，過外一點A（不在x軸上）作的切線AB、AC，點B、C為切點，作平行于BC的切線MN（切點為D），點M、N分別是與AB、AC的交點（如圖）（1）用B、C的縱坐標s、t表示直線BC的斜率；（2）設三角形ABC面積為S，若將由過外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如AMN，再由M、N作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形，試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T23已知函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)集R，及整數(shù)k、T；（1）若函數(shù)f（x）=2xsin（x），證明f（x+2）=4f（x）；（2）若f（x+T）=kf（x），且f（x）=ax（x）（其中a為正的常數(shù)），試證明：函數(shù)（x）為周期函數(shù)；（3）若f（x+6）=f（x），且當x3，3時，f（x）=（x29），記Sn=f（2）+f（6）+f（10）+f（4n2），nN+，求使得S1、S2、S3、Sn小于1000都成立的最大整數(shù)n2016年上海市八校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷（理科）（3月份）參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題3分，滿分42分）1已知全集U=R，若A=x|x0，B=x|x2，則CR（AB）=x|0x2【考點】交、并、補集的混合運算【分析】求出A與B的并集，找出并集的補集即可【解答】解：A=x|x0，B=x|x2，AB=x|x0或x2，全集U=R，R（AB）=x|0x2，故答案為：x|0x22若=2，則a+b=8【考點】極限及其運算【分析】由極限的定義可知當n時，極限存在，即分子分母中n的最大次數(shù)相等，即a=0，由的極限存在，由洛必達法則可知即b=8，a+b=8【解答】解：由極限是的形式，利用洛必達法則，原式=，有極限存在且等于2得，a=0，b=8；a+b=8，故答案為：83函數(shù)f（x）=ln（x2x）的定義域為（，0）（1，+）【考點】函數(shù)的定義域及其求法【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件，即可得到結(jié)論【解答】解：要使函數(shù)f（x）有意義，則x2x0，解得x1或x0，即函數(shù)的定義域為（，0）（1，+），故答案為：（，0）（1，+）4若復數(shù)z滿足（3z）i=2（i為虛數(shù)單位），則z=3+2i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】設出z=a+bi，根據(jù)系數(shù)對應相等，求出a，b的值即可【解答】解：設z=a+bi，則（3abi）i=b+（3a）i=2，故b=2，a=3，故z=3+2i，故答案為：3+2i5若cos（+）=，cos（）=，則sin2=0【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin（）與sin（+）的值，原式中的角度變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值【解答】解：cos（+）=，cos（）=，sin（+）=，sin（）=，sin2=sin+（）=sin（+）cos（）cos（+）sin（）=（）=0，故答案為：06抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為2【考點】極差、方差與標準差【分析】直接由圖表得出兩組數(shù)據(jù)，求出它們的平均數(shù)，求出方差，則答案可求【解答】解：由圖表得到甲乙兩位射擊運動員的數(shù)據(jù)分別為：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，方差=4=2所以乙運動員的成績較穩(wěn)定，方差為2故答案為27已知0，0，直線x=和x=是函數(shù)f（x）=sin（x+）圖象的兩條相鄰的對稱軸，則=【考點】y=Asin（x+）中參數(shù)的物理意義【分析】通過函數(shù)的對稱軸求出函數(shù)的周期，利用對稱軸以及的范圍，確定的值即可【解答】解：因為直線x=和x=是函數(shù)f（x）=sin（x+）圖象的兩條相鄰的對稱軸，所以T=2（）=2所以=1，所以f（x）=sin（x+），故+=+k，kZ，所以=+k，kZ，又因為0，所以=，故答案為：8已知函數(shù)f（x）=ax（a0，a1）在區(qū)間1，2上的最大值為8，最小值為m若函數(shù)g（x）=（310m）是單調(diào)增函數(shù)，則a=【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】根據(jù)題意求出m的取值范圍，再討論a的值，求出f（x）的單調(diào)性，從而求出a的值【解答】解：根據(jù)題意，得310m0，解得m；當a1時，函數(shù)f（x）=ax在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，最大值為a2=8，解得a=2，最小值為m=a1=，不合題意，舍去；當1a0時，函數(shù)f（x）=ax在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減，最大值為a1=8，解得a=，最小值為m=a2=，滿足題意；綜上，a=故答案為：9若函數(shù)f（x）=，則使得f（x）2成立的x的范圍是0，2【考點】分段函數(shù)的應用【分析】由分段函數(shù)，可得當x1時，21x2，當x1時，1+log2x2，運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍【解答】解：函數(shù)f（x）=，可得當x1時，f（x）2，即為21x2，即1x1，解得0x1；當x1時，1+log2x2，解得1x2綜上可得，x的范圍是0，2故答案為：0，210已知|=1，|=2，且=0，若向量的模|=1，則|的最小值為1【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】根據(jù)平面向量的幾何意義，作出圖形，找出的終點軌跡，利用幾何知識得出最小值【解答】解：設，=0，OAOB，AB=|=|=|=1，C的軌跡是以A為圓心，以1為半徑的圓|的最小值是AB1=故答案為11在圓周上有10個等分點，以這些點為頂點，每3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇了3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【分析】確定基本事件總數(shù)，求出構(gòu)成直角三角形的個數(shù)，即可求得概率【解答】解：因任何三點不共線，所以共有個三角形10個等分點可得5條直徑，可構(gòu)成直角三角形有58=40 個，所以構(gòu)成直角三角形的概率為故答案為：12若2a3，5b6，f（x）=logax+有整數(shù)零點x0，則x0=5【考點】函數(shù)與方程的綜合運用；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】由2a3，5b6可判斷f（4）f（6）0，從而判斷零點的值【解答】解：函數(shù)f（x）=logax+xb在定義域上連續(xù)，又2a3，5b6，f（4）=loga4+3b0，f（6）=loga6+4.5b0；故f（4）f（6）0；故f（x）=logax+有整數(shù)零點x0，則x0=5，故答案為：513已知點P在函數(shù)y=的圖象上，過點P的直線交x、y軸正半軸于點A、B，O為坐標原點，三角形AOB的面積為S，若且S2，3，則的取值范圍是2，2【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法；向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義【分析】設點A、B的坐標分別為（a，0），（0，b），P（x0，y0），a0，b0，由，得到x0=，y0=，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積公式即可表示出46，解得即可【解答】解：設點A、B的坐標分別為（a，0），（0，b），P（x0，y0），a0，b0，則由，x0=，y0=，x0y0=1，ab=，S2，3，S=ab，ab4，6，46，解得.22故答案為：2，214若函數(shù)f（x）=x|xa|（a0）在區(qū)間1，2上的最小值為2，則a=3【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】由a0，結(jié)合y=f（x）的圖象可得f（x）在1，2的最小值可以是f（1），或f（2），f（a）分別計算求得a，將絕對值去掉，運用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關系，結(jié)合單調(diào)性，即可判斷a的值【解答】解：由a0，結(jié)合y=f（x）的圖象可得f（x）在1，2的最小值可以是f（1），或f（2），f（a）由f（a）=0，不成立；由f（1）=|1a|=2，解得a=1（舍去）或a=3，當a=3時，f（x）=x|x3|在1，2，即有：f（x）=x（3x）在1，2遞減，可得f（1）或f（2）取得最小值，且為2；由f（2）=2|2a|=2，解得a=1或a=3當a=3時，f（x）=x|x3|在1，2即為：f（x）=x（3x）在1，2遞減，可得f（1）或f（2）取得最小值，且為2；當a=1時，f（x）=x|x1|在1，2即為：f（x）=x（x1），可得f（x）在1，2遞增，即有f（1）取得最小值，且為0，不成立綜上可得a=3故答案為：3二、選擇題（共4小題，每小題3分，滿分12分）15函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象如下圖，則函數(shù)y=f（x）g（x）的圖象可能是（）ABCD【考點】函數(shù)的圖象【分析】由已知中函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象我們不難分析，當函數(shù)y=f（x）g（x）有兩個零點M，N，我們可以根據(jù)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象中函數(shù)值的符號，分別討論（，M）（M，0）（0，N）（N，+）四個區(qū)間上函數(shù)值的符號，以確定函數(shù)的圖象【解答】解：y=f（x）的有兩個零點，并且g（x）沒有零點；函數(shù)y=f（x）g（x）也有兩個零點M，N，又x=0時，函數(shù)值不存在y在x=0的函數(shù)值也不存在當x（，M）時，y0；當x（M，0）時，y0；當x（0，N）時，y0；當x（N，+）時，y0；只有A中的圖象符合要求故選：A16要制作一個容積為8m3，高為2m的無蓋長方體容器，若容器的底面造價是每平方米200元，側(cè)面造型是每平方米100元，則該容器的最低總造價為（）A1200元B2400元C3600元D3800元【考點】基本不等式在最值問題中的應用【分析】設長方體容器的長為xm，寬為ym；從而可得xy=4，從而寫出該容器的造價為200xy+100（2x+2x+2y+2y）=800+400（x+y），再利用基本不等式求最值即可【解答】解：設長方體容器的長為xm，寬為ym，則xy2=8，即xy=4，則該容器的造價為：z=200xy+100（2x+2x+2y+2y）=800+400（x+y）800+4002=800+1600=2400（當且僅當x=y=2時，等號成立）故該容器的最低總價是2400元故選：B17若直線y=k（x2）與曲線有交點，則（）Ak有最大值，最小值Bk有最大值，最小值Ck有最大值0，最小值Dk有最大值0，最小值【考點】直線與圓的位置關系【分析】曲線表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓（x軸上方部分），求出相切時，k的值，即可求得結(jié)論【解答】解：如圖所示，曲線表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓（x軸上方部分）當直線y=k（x2）與曲線相切時，d=（k0），k=k有最大值0，最小值故選C18已知點A（1，1），B（5，5），直線l1：x=0和l2：3x+2y2=0，若點P1、P2分別是l1、l2上與A、B兩點距離的平方和最小的點，則|等于（）A1B2CD【考點】點到直線的距離公式【分析】設P1（0，s），P2，則+=2（s3）2+33，當s=3時取最小值，此時P1（0，3）+=+4242，當t=0時取等號，此時P2（0，1）即可得出|【解答】解：設P1（0，s），P2，則+=1+（s1）2+52+（s5）2=2（s3）2+3333，當s=3時取等號，此時P1（0，3）+=（t1）2+（t5）2+=+4242，當t=0時取等號，此時P2（0，1）|=2故選：B三、解答題（共5小題，滿分66分）19在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=6，sinA=，B=A+；（1）求b的值；（2）求ABC的面積【考點】正弦定理【分析】（1）根據(jù)誘導公式求出sinB，利用正弦定理解出b；（2）使用兩角和的正弦公式計算sinC，代入三角形的面積公式計算面積【解答】解；（1）B=A+，sinB=cosA=由正弦定理得，即，解得b=6（2）cosB=cos（A+）=sinA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=SABC=620如圖所示的多面體是由一個以四邊形ABCD為地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2，DAB=BCD=90，且AA1=CC1=；（1）求二面角D1A1BA的大??；（2）求此多面體的體積【考點】二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】（1）建立如圖的空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可（2）根據(jù)分割法將多面體分割成兩個四棱錐，根據(jù)四棱錐的體積公式進行求解即可【解答】解：（1）建立如圖的空間坐標系，由題意得A1（0，0，），B（0，2，0），C1（3，），=（0，2，），=（3，），設平面D1A1B的法向量為=（u，v，w），則，即，令v=，則u=1，w=4，即=（1，4），平面A1BA的法向量為=（1，0，0），則cos，=，則二面角D1A1BA的大小為arccos（2）設D1（2，0，k），則=（2，0，h，），而=0，則（2，0，h）（1，4）=2+4h6=0，得h=2，由題意知平面BD1D將多面體分成兩個體積相等的四棱錐BD1DCC1和BD1DAA1，AA1平面ABCD，DAB=90，AB平面D1DCC1，則四邊形D1DAA1是直角梯形，=， =，則多面體的體積為21已知函數(shù)f（x）=ax22ax+1+b（a0）（1）若f（x）在區(qū)間2，3上的最大值為4、最小值為1，求a，b的值；（2）若a=1，b=1，關于x的方程f（|2x1|）+k（43|2x1|）=0，有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的值【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】（1）根據(jù)f（x）的開口方向和對稱軸可知f（x）在2，3上是增函數(shù)，根據(jù)最值列出方程組解出a，b；（2）令|2x1|=t，得到關于t的二次函數(shù)h（t），結(jié)合t=|2x1|的函數(shù)圖象可判斷h（t）的零點分布情況，列出不等式組解出k的值【解答】解：（1）f（x）=a（x1）2+1+baa0，f（x）的對稱軸為x=1，可得f（x）在2，3上為增函數(shù)，故f（2）=1，f（3）=4，即1+b=1，3a+1+b=4，解得a=1，b=0；（2）由題意可得f（x）=x22x+2，f（|2x1|）+k（43|2x1|）=0，即為|2x1|22|2x1|+2+k（43|2x1|）=0，即|2x1|2（2+3k）|2x1|+2（1+2k）=0，令|2x1|=t，則方程可化為t2（2+3k）t+2（1+2k）=0（t0），關于x的方程f（|2x1|）+k（23|2x1|）=0有3個不同的實數(shù)解，結(jié)合t=|2x1|的圖象（如右圖）可知，方程t2（2+3k）t+2（1+2k）=0有兩個根t1，t2，且0t11t2或0t11，t2=1，或0t11，t2=0，記h（t）=t2（2+3k）t+2（1+2k），則或或即有k或k=解得k=22已知點R（x0，y0）在D：y2=2px上，以R為切點的D的切線的斜率為，過外一點A（不在x軸上）作的切線AB、AC，點B、C為切點，作平行于BC的切線MN（切點為D），點M、N分別是與AB、AC的交點（如圖）（1）用B、C的縱坐標s、t表示直線BC的斜率；（2）設三角形ABC面積為S，若將由過外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如AMN，再由M、N作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形，試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T【考點】直線與圓錐曲線的關系【分析】（1）根據(jù)題意可知設出直線方程，由切線斜率的定義即可表示出直線BC的斜率；（2）求得切線的斜率，可得D的坐標，求得直線BC的方程，運用中點坐標公式可得A關于D的對稱點在直線BC上，求得D為AE的中點，根據(jù)MN為三角形ABC的中位線，且E為BC的中點，D為MN的中點，求得三角形ABC的面積，再由三角形的面積之比與對應邊的比的關系，可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構(gòu)成以S為首項，為公比的等比數(shù)列，運用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所有面積和，即可得到所求面積T【解答】解：（1）設切線方程為yy0=（xx0），kBC=，（2）設D（，v），則MNBC，=，（s，t為B，C的縱坐標），v=D（，），設A（a，b）利用切線方程得：即，兩式相減得：b=，a=，A（，），由前面計算可知：AD平行于橫軸，可得yE=，BC：yt=（x），將yE=，代入xE=，由xA+xE=+=2xD，所以D為AE的中點；設：SAMN=R，由上可知R=SABC=，由M，N確定的確定的切線三角形的面積為=，后一個切線三角形的面積是前一切線三角形面積的，由此繼續(xù)下去可得算式：SABC=S=T+R+2+4+8+，=T+