二項分布,例1設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).,一、,我們來求X的概率分布.,X的概率函數(shù)是：,男,女,X表示隨機(jī)抽查的4個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為p.,X可取值0,1,2,3,4.,例2將一枚均勻骰子拋擲10次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù),X的概率函數(shù)是：,不難求得，,擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”,一般地，設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A或，或者形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.,新生兒：“是男孩”，“是女孩”,抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,這樣的n次獨立重復(fù)試驗稱作n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗或貝努利概型.,再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨立試驗(“重復(fù)”是指這次試驗中各次試驗條件相同)，,每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.,用X表示n重貝努利試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則,（2）,不難驗證：,（1）,稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作,XB(n,p),當(dāng)n=1時，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱X服從0-1分布,例3已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.,解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗.,依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.,設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，,于是，所求概率為：,注：若將本例中的“有放回”改為”無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是貝努里概型，此時，只能用古典概型求解.,二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.,可以簡單地說，,例4某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.,解:設(shè)X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù).,XB(3,0.8)，,把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為“成功”.每次試驗“成功”的概率為0.8,P(X1)=P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,對于固定n及p，當(dāng)k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p達(dá)到最大值；,(x表示不超過x的最大整數(shù)),對于固定n及p，當(dāng)k增加時,概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.,想觀看二項分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請看演示,二項分布,例5為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人.設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理.問:(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？(2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？,(3)若使設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01，至少應(yīng)配備多少工人?,我們先對題目進(jìn)行分析：,300臺設(shè)備，獨立工作，出故障概率都是0.01.一臺設(shè)備故障一人來處理.,設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，,300臺設(shè)備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努利概型.,XB(n,p)，n=300,p=0.01,可見，,“若只配備一名工人”那么只要同時發(fā)生故障的設(shè)備的臺數(shù)X大于1，其中的X-1臺設(shè)備就會得不到及時維修。即所求為,問(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？,同理，“若只配備兩名工人”那么只要同時發(fā)生故障的設(shè)備的臺數(shù)X大于2即可。所求為,300臺設(shè)備，獨立工作，出故障概率都是0.01.一臺設(shè)備故障一人來處理.問(3)需配備多少工人，若使設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?,設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，,XB(n,p)，n=300,p=0.01,設(shè)需配備N個工人，,所求的是滿足,的最小的N.,P(XN)N),通過計算可知，,則要使設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率小于0.01，只需配備8名工人，平均每人負(fù)責(zé)38臺。,若將該例改為：(1)若由一人負(fù)責(zé)20臺設(shè)備，求這20臺設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；,解：(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示20臺設(shè)備在同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則,(2)若由3人共同負(fù)責(zé)維修80臺設(shè)備，求這80臺設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率。,解：設(shè)隨機(jī)變量X表示80臺設(shè)備在同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則,由(1)(2)結(jié)果，可看出后者的管理經(jīng)濟(jì)效益要好得多。,例6某人去一服務(wù)單位辦事，排隊等候的時間(分鐘)為一隨機(jī)變量，設(shè)其概率密度為：,若此人等候時間超過15分鐘則憤然離去。假設(shè)此人一個月要到該服務(wù)單位辦事10次，則(1)此人恰好有2次憤然離去的概率；(2)此人至少有2次憤然離去的概率；(3)此人多數(shù)會憤然離去的概率。,解：,設(shè)隨機(jī)變量Y表示“此人來服務(wù)單位辦事10次中憤然離去的次數(shù)”，則,(1)此人恰好有2次憤然離去的概率；,(2)此人至少有2次憤然離去的概率；,(3)此人多數(shù)會憤然離去的概率。,二、二項分布的泊松近似,我們先來介紹二項分布的泊松近似，下一講中，我們將介紹二項分布的正態(tài)近似.,或諸如此類的計算問題，必須尋求近似方法.,當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，計算二項概率變得很麻煩，若要計算,定理的條件意味著當(dāng)n很大時，p必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n很大，p很小時有以下近似式：,其中,(證明見下一頁).,證明：,n100,np10時近似效果就很好,請看演示,二項分布的泊松近似,實際計算中，,其中,例5為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人.設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理.問:(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？(2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率是多少？,解：設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，,XB(n,p)，n=30010,p=0.010.1,(3)若使設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01，至少應(yīng)配備多少工人?,查表可得：