,第七章,一、空間曲面及其方程,二、空間曲線及其方程,第三節(jié),曲面、空間曲線及其方程,一、曲面方程的概念,求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的,化簡得,即,說明:動點(diǎn)軌跡為線段AB的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.,解:設(shè)軌跡上的動點(diǎn)為,軌跡方程.,定義1.,如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:,(1)曲面S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,則F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.,兩個基本問題:,(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀,(必要時需作圖).,故所求方程為,例1.求動點(diǎn)到定點(diǎn),方程.,特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時,球面方程為,解:設(shè)軌跡上動點(diǎn)為,即,依題意,距離為R的軌跡,表示上(下)球面.,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程(A0),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,表示怎樣,半徑為,的球面.,球心為,一個球面,或點(diǎn),或虛軌跡.,定義2.一條平面曲線,二、旋轉(zhuǎn)曲面,繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.,該定直線稱為旋轉(zhuǎn),軸.,例如:,建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時,若點(diǎn),給定yoz面上曲線C:,則有,則有,該點(diǎn)轉(zhuǎn)到,思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？,例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為,的圓錐面方程.,解:在yoz面上直線L的方程為,繞z軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為,兩邊平方,例4.求坐標(biāo)面xoz上的雙曲線,分別繞x,軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.,解:繞x軸旋轉(zhuǎn),繞z軸旋轉(zhuǎn),這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,三、柱面,引例.分析方程,表示怎樣的曲面.,的坐標(biāo)也滿足方程,解:在xoy面上，,表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓,故在空間,過此點(diǎn)作,柱面.,對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面,在圓C上任取一點(diǎn),其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,定義3.,平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成,的軌跡叫做柱面.,表示拋物柱面,母線平行于z軸;,準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.,z軸的橢圓柱面.,z軸的平面.,表示母線平行于,(且z軸在平面上),表示母線平行于,C叫做準(zhǔn)線,l叫做母線.,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于x軸;,平行于y軸;,平行于z軸;,準(zhǔn)線xoz面上的曲線l3.,母線,柱面,準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1.,母線,準(zhǔn)線yoz面上的曲線l2.,母線,四、二次曲面,三元二次方程,適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅,就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0),1.橢球面,(1)范圍：,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,與,的交線為橢圓：,(4)當(dāng)ab時為旋轉(zhuǎn)橢球面;,同樣,的截痕,及,也為橢圓.,當(dāng)abc時為球面.,(3)截痕:,為正數(shù)),2.拋物面,(1)橢圓拋物面,(p,q同號),(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）,特別,當(dāng)p=q時為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.,(p,q同號),3.雙曲面,(1)單葉雙曲面,(2)雙葉雙曲面,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,五、空間曲線及其方程,空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組,例如,方程組,表示圓柱面與平面的交線C.,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束,又如,方程組,表示上半球面與圓柱面的交線C.,六、空間曲線的參數(shù)方程,將曲線C上的動點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t的函數(shù):,稱它為空間曲線的參數(shù)方程.,例如,圓柱螺旋線,的參數(shù)方程為,上升高度,稱為螺距.,例5.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:,解:(1),根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為,故所求為,得所求為,七、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,設(shè)空間曲線C的一般方程為,消去z得投影柱面,則C在xoy面上的投影曲線C為,消去x得C在yoz面上的投影曲線方程,消去y得C在zox面上的投影曲線方程,例如,在xoy面上的投影曲線方程為,又如,所圍的立體在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?,上半球面,和錐面,在xoy面上的投影曲線,二者交線,所圍圓域:,二者交線在,xoy面上的投影曲線所圍之域.,斜率為1的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方程,平行于y軸的直線,平行于yoz面的平面,圓心在(0,0),半徑為3的圓