2013年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）復(fù)數(shù)z=i（2i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2（5分）若集合A=xR|ax2+ax+1=0其中只有一個元素，則a=（）A4B2C0D0或43（5分）若sin=，則cos=（）ABCD4（5分）集合A=2，3，B=1，2，3，從A，B中各取任意一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是（）ABCD5（5分）總體由編號為01，02，19，20的20個個體組成利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D016（5分）下列選項中，使不等式xx2成立的x的取值范圍是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）7（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出i=4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是（）AS8BS9CS10DS118（5分）一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A200+9B200+18C140+9D140+189（5分）已知點A（2，0），拋物線C：x2=4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=（）A2：B1：2C1：D1：310（5分）如圖已知l1l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t=0時與l2相切于點A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=cosx，則y與時間t（0t1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（）ABCD二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11（5分）若曲線y=xa+1（aR）在點（1，2）處的切線經(jīng)過坐標原點，則a= 12（5分）某班植樹小組今年春天計劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（nN*）等于 13（5分）設(shè)f（x）=sin3x+cos3x，若對任意實數(shù)x都有|f（x）|a，則實數(shù)a的取值范圍是 14（5分）若圓C經(jīng)過坐標原點和點（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是 15（5分）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為 三解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（12分）正項數(shù)列an滿足：an2（2n1）an2n=0（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）令bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn17（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；（2）若C=，求的值18（12分）小波已游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋游戲規(guī)則為以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X0就去打球，若X=0就去唱歌，若X0就去下棋（1）寫出數(shù)量積X的所有可能取值（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率19（12分）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB=2，AD=，AA1=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3（1）證明：BE平面BB1C1C；（2）求點B1到平面EA1C1 的距離20（13分）橢圓C：=1（ab0）的離心率，a+b=3（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2mk為定值21（14分）設(shè)函數(shù)常數(shù)且a（0，1）（1）當a=時，求f（f（）；（2）若x0滿足f（f（x0）=x0，但f（x0）x0，則稱x0為f（x）的二階周期點，試確定函數(shù)有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x1，x2；（3）對于（2）中x1，x2，設(shè)A（x1，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（a2，0），記ABC的面積為s（a），求s（a）在區(qū)間，上的最大值和最小值2013年江西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）復(fù)數(shù)z=i（2i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【分析】化簡可得復(fù)數(shù)z=i（2i）=2ii2=12i，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案【解答】解：化簡可得復(fù)數(shù)z=i（2i）=2ii2=12i，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為（1，2）在第四象限，故選：D【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題2（5分）若集合A=xR|ax2+ax+1=0其中只有一個元素，則a=（）A4B2C0D0或4【分析】當a為零時，方程不成立，不符合題意，當a不等于零時，方程是一元二次方程只需判別式為零即可【解答】解：當a=0時，方程為1=0不成立，不滿足條件當a0時，=a24a=0，解得a=4故選：A【點評】本題主要考查了元素與集合關(guān)系的判定，以及根的個數(shù)與判別式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題3（5分）若sin=，則cos=（）ABCD【分析】由二倍角的余弦公式可得cos=12sin2，代入已知化簡即可【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=12sin2=12=1=故選：C【點評】本題考查二倍角的余弦公式，把看做的二倍角是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題4（5分）集合A=2，3，B=1，2，3，從A，B中各取任意一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是（）ABCD【分析】由分步計數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為23=6，由列舉法可得符合條件的有2種，由古典概型的概率公式可得答案【解答】解：從A，B中各取任意一個數(shù)共有23=6種分法，而兩數(shù)之和為4的有：（2，2），（3，1）兩種方法，故所求的概率為：=故選：C【點評】本題考查古典概型及其概率公式，屬基礎(chǔ)題5（5分）總體由編號為01，02，19，20的20個個體組成利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01【分析】從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字開始向右讀，依次為65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中08，02，14，07，01符合條件，故可得結(jié)論【解答】解：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，第三個數(shù)為08，符合條件，以下符合條件依次為：08，02，14，07，01，故第5個數(shù)為01故選：D【點評】本題主要考查簡單隨機抽樣在隨機數(shù)表中每個數(shù)出現(xiàn)在每個位置的概率是一樣的，所以每個數(shù)被抽到的概率是一樣的6（5分）下列選項中，使不等式xx2成立的x的取值范圍是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）【分析】通過x=，2驗證不等式是否成立，排除選項B、C、D即可得到正確選項【解答】解：利用特殊值排除選項，不妨令x=時，代入xx2，得到，顯然不成立，選項B不正確；當x=時，代入xx2，得到，顯然不正確，排除C；當x=2時，代入xx2，得到，顯然不正確，排除D故選：A【點評】本題考查分式不等式的解法，由于本題是選擇題，利用特殊值驗證法是快速解答選擇題的一種技巧當然可以直接解答，過程比較復(fù)雜7（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出i=4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是（）AS8BS9CS10DS11【分析】由框圖給出的賦值，先執(zhí)行一次運算i=i+1，然后判斷得到的i的奇偶性，是奇數(shù)執(zhí)行S=2*i+2，是偶數(shù)執(zhí)行S=2*i+1，然后判斷S的值是否滿足判斷框中的條件，滿足繼續(xù)從i=i+1執(zhí)行，不滿足跳出循環(huán)，輸出i的值【解答】解：框圖首先給變量S和i賦值S=0，i=1，執(zhí)行i=1+1=2，判斷2是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=22+1=5；判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=2+1=3，判斷3是奇數(shù)成立，執(zhí)行S=23+2=8；判斷框內(nèi)條件成立，執(zhí)行i=3+1=4，判斷4是奇數(shù)不成立，執(zhí)行S=24+1=9；此時在判斷時判斷框中的條件應(yīng)該不成立，輸出i=4而此時的S的值是9，故判斷框中的條件應(yīng)S9若是S8，輸出的i值等于3，與題意不符故選：B【點評】本題考查了程序框圖，考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，內(nèi)含條件結(jié)構(gòu)，整體屬于當型循環(huán)，解答此題的關(guān)鍵是思路清晰，分清路徑，屬基礎(chǔ)題8（5分）一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A200+9B200+18C140+9D140+18【分析】根據(jù)題意，該幾何體是下部是長方體、上部是半圓柱所組成根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)可求出體積【解答】解：根據(jù)圖中三視圖可得出其體積=長方體的體積與半圓柱體積的和長方體的三度為：10、4、5；圓柱的底面半徑為3，高為2，所以幾何體的體積=1045+322=200+9故選：A【點評】本題主要考查三視圖的相關(guān)知識：主視圖主要確定物體的長和高，左視圖確定物體的寬和高，俯視圖確定物體的長和寬9（5分）已知點A（2，0），拋物線C：x2=4y的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=（）A2：B1：2C1：D1：3【分析】求出拋物線C的焦點F的坐標，從而得到AF的斜率k=過M作MPl于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|RtMPN中，根據(jù)tanMNP=，從而得到|PN|=2|PM|，進而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值【解答】解：拋物線C：x2=4y的焦點為F（0，1），點A坐標為（2，0）拋物線的準線方程為l：y=1，直線AF的斜率為k=，過M作MPl于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|RtMPN中，tanMNP=k=，=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=|PM|因此，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故選：C【點評】本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題10（5分）如圖已知l1l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t=0時與l2相切于點A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y=cosx，則y與時間t（0t1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（）ABCD【分析】通過t的增加，排除選項A、D，利用x的增加的變化率，說明余弦函數(shù)的變化率，得到選項即可【解答】解：因為當t=0時，x=0，對應(yīng)y=1，所以選項A，D不合題意，當t由0增加時，x的變化率由大變小，又y=cosx是減函數(shù)，所以函數(shù)y=f（t）的圖象變化先快后慢，所以選項B滿足題意，C正好相反故選：B【點評】本題考查函數(shù)圖象的變換快慢，考查學(xué)生理解題意以及視圖能力二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11（5分）若曲線y=xa+1（aR）在點（1，2）處的切線經(jīng)過坐標原點，則a=2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出x=1時的導(dǎo)數(shù)值，寫出曲線y=xa+1（aR）在點（1，2）處的切線方程，把原點坐標代入即可解得的值【解答】解：由y=xa+1，得y=axa1所以y|x=1=a，則曲線y=xa+1（R）在點（1，2）處的切線方程為：y2=a（x1），即y=axa+2把（0，0）代入切線方程得，a=2故答案為：2【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的導(dǎo)數(shù)，考查了直線方程點斜式，是基礎(chǔ)題12（5分）某班植樹小組今年春天計劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（nN*）等于6【分析】由題意可得，第n天種樹的棵數(shù)an是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出n天中種樹的棵數(shù)滿足sn100，解不等式可求【解答】解：由題意可得，第n天種樹的棵數(shù)an是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列sn=2n+121002n+1102nN*n+17n6，即n的最小值為6故答案為：6【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式在實際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是等比數(shù)列模型的確定13（5分）設(shè)f（x）=sin3x+cos3x，若對任意實數(shù)x都有|f（x）|a，則實數(shù)a的取值范圍是a2【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函數(shù)的特點求出F（x）max，從而可得答案【解答】解：不等式|f（x）|a對任意實數(shù)x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，則aF（x）maxf（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+） 2f（x）20F（x）2F（x）max=2a2即實數(shù)a的取值范圍是a2故答案為：a2【點評】本題考查兩角和與差公式及構(gòu)造函數(shù)的思想，考查恒成立問題，屬于中檔題14（5分）若圓C經(jīng)過坐標原點和點（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是【分析】設(shè)出圓的圓心坐標與半徑，利用已知條件列出方程組，求出圓的圓心坐標與半徑，即可得到圓的方程【解答】解：設(shè)圓的圓心坐標（a，b），半徑為r，因為圓C經(jīng)過坐標原點和點（4，0），且與直線y=1相切，所以，解得，所求圓的方程為：故答案為：【點評】本題考查圓的標準方程的求法，列出方程組是解題的關(guān)鍵，考查計算能力15（5分）如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4【分析】判斷EF與正方體表面的關(guān)系，即可推出正方體的六個面所在的平面與直線EF相交的平面?zhèn)€數(shù)即可【解答】解：由題意可知直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面平行，與正方體的上下底面相交，前后側(cè)面相交，所以直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4故答案為：4【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，基本知識的應(yīng)用，考查空間想象能力三解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（12分）正項數(shù)列an滿足：an2（2n1）an2n=0（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）令bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn【分析】（1）通過分解因式，利用正項數(shù)列an，直接求數(shù)列an的通項公式an；（2）利用數(shù)列的通項公式化簡bn=，利用裂項法直接求數(shù)列bn的前n項和Tn【解答】解：（1）由正項數(shù)列an滿足：（2n1）an2n=0，可得（an2n）（an+1）=0所以an=2n（2）因為an=2n，bn=，所以bn=，Tn=數(shù)列bn的前n項和Tn為【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，裂項法求解數(shù)列的和的基本方法，考查計算能力17（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；（2）若C=，求的值【分析】（1）由條件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差數(shù)列（2）若C=，由（1）可得c=2ba，由余弦定理可得 （2ba）2=a2+b22abcosC，化簡可得 5ab=3b2，由此可得 的值【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差數(shù)列（2）若C=，由（1）可得c=2ba，由余弦定理可得 （2ba）2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab化簡可得 5ab=3b2，=【點評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，二倍角公式、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題18（12分）小波已游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋游戲規(guī)則為以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6（如圖）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X0就去打球，若X=0就去唱歌，若X0就去下棋（1）寫出數(shù)量積X的所有可能取值（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率【分析】（1）由題意可得：X的所有可能取值為：2，1，0，1，（2）列舉分別可得數(shù)量積為2，1，0，1時的情形種數(shù)，由古典概型的概率公式可得答案【解答】解：（1）由題意可得：X的所有可能取值為：2，1，0，1，（2）數(shù)量積為2的有，共1種，數(shù)量積為1的有，共6種，數(shù)量積為0的有，共4種，數(shù)量積為1的有，共4種，故所有的可能共15種，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率為：P=1P2=1=【點評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的數(shù)量積的運算，屬中檔題19（12分）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB=2，AD=，AA1=3，E為CD上一點，DE=1，EC=3（1）證明：BE平面BB1C1C；（2）求點B1到平面EA1C1 的距離【分析】（1）過點B作BFCD于F點，算出BF、EF、FC的長，從而在BCE中算出BE、BC、CE的長，由勾股定理的逆定理得BEBC，結(jié)合BEBB1利用線面垂直的判定定理，可證出BE平面BB1C1C；（2）根據(jù)AA1平面A1B1C1，算出三棱錐EA1B1C1的體積V=根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，從而得到等腰A1EC1的面積=3，設(shè)B1到平面EA1C1 的距離為d，可得三棱錐B1A1C1E的體積V=d=d，從而得到=d，由此即可解出點B1到平面EA1C1的距離【解答】解：（1）過點B作BFCD于F點，則：BF=AD=，EF=AB=DE=1，F(xiàn)C=ECEF=31=2在RtBEF中，BE=；在RtBCF中，BC=因此，BCE中可得BE2+BC2=9=CE2CBE=90，可得BEBC，BB1平面ABCD，BE平面ABCD，BEBB1，又BC、BB1是平面BB1C1C內(nèi)的相交直線，BE平面BB1C1C；（2）AA1平面A1B1C1，得AA1是三棱錐EA1B1C1的高線三棱錐EA1B1C1的體積V=AA1=在RtA1D1C1中，A1C1=3同理可得EC1=3，A1E=2等腰A1EC1的底邊A1C1上的中線等于=，可得=2=3設(shè)點B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積為V=d=d，可得=d，解之得d=即點B1到平面EA1C1的距離為【點評】本題在直四棱柱中求證線面垂直，并求點到平面的距離著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與其逆定理和利用等積轉(zhuǎn)換的方法求點到平面的距離等知識，屬于中檔題20（13分）橢圓C：=1（ab0）的離心率，a+b=3（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2mk為定值【分析】（1）由題目給出的離心率及a+b=3，結(jié)合條件a2=b2+c2列式求出a，b，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點坐標，兩直線方程聯(lián)立解出M點坐標，由D，P，N三點共線解出N點坐標，由兩點求斜率得到MN的斜率m，代入2mk化簡整理即可得到2mk為定值【解答】（1）解：因為，所以，即a2=4b2，a=2b又a+b=3，得a=2，b=1所以橢圓C的方程為；（2）證明：因為B（2，0），P不為橢圓頂點，則可設(shè)直線BP的方程為聯(lián)立，得（4k2+1）x216k2x+16k24=0所以，則所以P（）又直線AD的方程為聯(lián)立，解得M（）由三點