2020學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試試題高三數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z_【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算即可得到結(jié)果.【詳解】z1+2故答案為：3-i【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域為_【答案】【解析】【分析】由二次根式有意義，得：,然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】由二次根式有意義，得：，即，因為在R上是增函數(shù)，所以，x2，即定義域為：【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法以及指數(shù)不等式的解法，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件，比較基礎(chǔ)3.已知x，yR，直線與直線垂直，則實數(shù)a的值為_【答案】【解析】【分析】利用直線與直線垂直的性質(zhì)直接求解【詳解】x，yR，直線（a1）x+y1=0與直線x+ay+2=0垂直，（a1）1+1a=0，解得a=，實數(shù)a的值為故答案為：【點睛】兩直線位置關(guān)系的判斷： 和的平行和垂直的條件屬于?？碱}型，如果只從斜率角度考慮很容易出錯，屬于易錯題題型，應(yīng)熟記結(jié)論：垂直： ；平行： ，同時還需要保證兩條直線不能重合，需要檢驗.4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且x0時，則_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（1）的值，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得f（1）=f（1），即可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足x0時，f（x）=x3+x2，則f（1）=1+1=2，又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（1）=f（1）=2；故答案為：2【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題5.已知向量(1，a)，(，)，若，則實數(shù)a_【答案】1【解析】【分析】利用向量共線定理即可得出【詳解】，（3a+1）=0，解得a=1故答案為：1【點睛】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題6.設(shè)ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，cosB，那么角A的大小為_【答案】【解析】【分析】由題意可得sinB=,再結(jié)合正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】cosB=，B為鈍角，可得sinB=由正弦定理可得：=，可得sinA=A為銳角，可得：A=故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題7.設(shè)實數(shù)，滿足則的最大值為 【答案】3【解析】試題分析：可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，則直線過點C時取最大值3考點：線性規(guī)劃【易錯點睛】線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.8.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離為4，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為_【答案】6.【解析】分析：拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)定義可求得，即為焦點到準(zhǔn)線的距離詳解：由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離為4，解得該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為6點睛：本題考查拋物線定義的應(yīng)用及方程中參數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是正確理解拋物線的定義，屬容易題9.已知條件p：xa，條件q：若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】利用不等式的解法化簡q，根據(jù)必要不充分條件即可得出范圍【詳解】條件q：，化為：（x+2）（x1）0，解得2x1p是q的必要不充分條件，a2則實數(shù)a的取值范圍是故答案為：【點睛】充分、必要條件的三種判斷方法1定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“ ”為真，則是的充分條件2等價法：利用 與非非， 與非非， 與非非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法3集合法：若 ，則是的充分條件或是的必要條件；若，則是的充要條件10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的一個焦點為(3，0)，則雙曲線的漸近線方程為_【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的一個焦點為（3，0），即可求出m的值，然后求解漸近線方程【詳解】雙曲線的一個焦點為（3，0），m+m+1=9，m=4，雙曲線方程化為：，可得漸近線方程：y=x故答案為：y=x【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，是基本知識的考查11.若函數(shù)(A0，0，)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)在，0上的單調(diào)增區(qū)間為_【答案】(區(qū)間開閉皆可)【解析】【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）在，0上的單調(diào)增區(qū)間【詳解】由圖象，知A2，T8，所以，8，函數(shù)過點（5，2），所以，即因為，所以，得：，函數(shù)為：，由：，得：，令k0，得函數(shù)在，0上的單調(diào)增區(qū)間為故答案為：(區(qū)間開閉皆可)【點睛】函數(shù)的性質(zhì)(1) .(2)周期(3)由 求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.12.在ABC中，AH是邊BC上的高，點G是ABC的重心，若ABC的面積為，AC，tanC2，則_【答案】1【解析】【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出AH、HC和BC、BH的值，以BC為x軸，AH為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，計算數(shù)量積的值【詳解】如圖所示，ABC中，AH是高，AC=，tanACB=2，AH=2，HC=1；又ABC的面積為S=BCAH=BC2=+1，BC=+1；BH=，以BC為x軸，AH為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，2），B（，0），C（1，0），重心G（，），則+=（0，2）+（1+，0）=（1+，2），+=（，）+（，）=（，），（+）（+）=（1+）+（2）（）=1故答案為：1【點睛】本題考查了三角形的邊角關(guān)系以及平面向量的數(shù)量積計算問題，建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，是中檔題13.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】由=2a+，代換后利用基本不等式即可求解【詳解】正實數(shù)a，b滿足2a+b=3，2a+b+2=5，則=2a+=2a+b+2+4=1+=1+（）2a+（b+2）=1+（4+）=，當(dāng)且僅當(dāng)且2a+b=3即a=，b=時取等號，即的最小值是故答案為：【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤14.已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718）對于任意的(0，e)，在區(qū)間(0，e)上總存在兩個不同的，使得，則整數(shù)a的取值集合是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域，求出g（x）的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可【詳解】f（x）=2（x），令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：xe，故f（x）在（0，）遞增，在（，e）遞減，而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2e），故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），對于g（x）=lnxax+5，x（0，e），a=0時，g（x）=lnx+5，g（x）遞增，在區(qū)間（0，e）上不存在兩個不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），不合題意，a0時，g（x）=a，令g（x）=0，解得：x=，若在區(qū)間（0，e）上總存在兩個不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），則只需0e，故a，令g（x）0，解得：0x，令g（x）0，解得：xe，故g（x）在（0，）遞增，在（，e）遞減，而x0時，g（x），g（）=lna+4，g（e）=6ae，若對于任意的x0（0，e），在區(qū)間（0，e）上總存在兩個不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），只需，解得：2.2ae27.29，故滿足條件的a的整數(shù)為：3，4，5，6，7，故答案為：3，4，5，6，7【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題二、解答題（本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在ABC中，已知，設(shè)BAC（1）求tan的值；（2）若，(0，)，求cos()的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，求出cos的值，再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出tan的值；（2）利用三角恒等變換公式計算即可【詳解】（1）由，得，所以，又因為，所以 （2）， 由（1）知：，【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)求值計算問題，是基礎(chǔ)題16.已知，函數(shù)（1）若對(0，2)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a1時，解不等式【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分離參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)利用均值不等式求最值即可；（2）分類討論去絕對值，最后取并集即可【詳解】（1）f（x）2x對x（0，2）恒成立，a+2x對x（0，2）恒成立，+2x2，當(dāng)且僅當(dāng)=2x，即x=時等號成立，a（2）當(dāng)a=1時，f（x）=1，f（x）2x，12x，若x0，則12x可化為：2x2x+10，所以x；若x0，則12x可化為：2x2x10，解得：x1或x，x0，x，由可得12x的解集為：（，【點睛】本題考查了不等式恒成立及分類討論思想，屬中檔題17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓O：相切（1）直線l過點(2，1)且截圓O所得的弦長為，求直線l的方程；（2）已知直線y3與圓O交于A，B兩點，P是圓上異于A，B的任意一點，且直線AP，BP與y軸相交于M，N點判斷點M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由【答案】（1）或；（2）見解析.【解析】【分析】（1）記圓心到直線l的距離為d，利用垂徑定理求得d當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，滿足題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y1=k（x2），利用圓心到直線的距離列式求得k，則直線方程可求；（2）設(shè)P（x1，y1），由直線y=3與圓O交于A、B兩點，不妨取A（1，3），B（1，3），分別求出直線PA、PB的方程，進一步得到M，N的坐標(biāo)，由P在圓上，整體運算可得為定值【詳解】直線x3y10=0與圓O：x2+y2=r2（r0）相切，圓心O到直線x3y10=0的距離為r=（1）記圓心到直線l的距離為d，d=當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，滿足題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y1=k（x2），即kxy+（12k）=0，解得k=，此時直線l的方程為3x+4y10=0綜上，直線l的方程為x=2或3x+4y10=0；（2）點M、N的縱坐標(biāo)之積為定值10設(shè)P（x1，y1），直線y=3與圓O交于A、B兩點，不妨取A（1，3），B（1，3），直線PA、PB的方程分別為y3=，y3=令x=0，得M（0，），N（0，），則（*）點P（x1，y1）在圓C上，即，代入（*）式，得為定值【點睛】求定值問題常見的方法從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值18.江蘇省園博會有一中心廣場，南京園，常州園都在中心廣場的南偏西45方向上，到中心廣場的距離分別為km，km；揚州園在中心廣場的正東方向，到中心廣場的距離為km規(guī)劃建設(shè)一條筆直的柏油路穿過中心廣場，且將南京園，常州園，揚州園到柏油路的最短路徑鋪設(shè)成鵝卵石路（如圖(1)、(2)）已知鋪設(shè)每段鵝卵石路的費用（萬元）與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為2設(shè)柏油路與正東方向的夾角，即圖(2)中COF為（(0，)），鋪設(shè)三段鵝卵石路的總費用為y（萬元）（1）求南京園到柏油路的最短距離關(guān)于的表達式；（2）求y的最小值及此時tan的值【答案】（1）；（2）鋪設(shè)三條鵝卵石路的總費用為()萬元，此時的值為.【解析】【分析】（1）由COF=，南京園在中心廣場的南偏西45方向上，且到中心廣場的距離為，求出AOE=，由此能求出南京園到柏油路的最短距離d1關(guān)于的表達式（2）分別設(shè)點B，C到直線EF的距離為d2，d3，則，求出y=2（）2+（2）2+（）2=2010sin（2），（0，），由此能求出鋪設(shè)三條鵝卵石路的總費用y的最小值及此時tan的值【詳解】（1）COF=，南京園在中心廣場的南偏西45方向上，且到中心廣場的距離為AOE=，南京園到柏油路的最短距離d1關(guān)于的表達式為d1=sin（）（2）分別設(shè)點B，C到直線EF的距離為d2，d3由（1）知：，y=2（）2+（2）2+（）2=20+=2010（sin2+cos2）=2010sin（2），（0，），當(dāng)2=時，ymin=2010（萬元）此時2，tan2=1，解得：tan，鋪設(shè)三條鵝卵石路的總費用為（2010）萬元，此時tan的值為【點睛】題考查函數(shù)表達式的求法，考查費用的最小值及對應(yīng)的正切函數(shù)值的求法，考查三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的右準(zhǔn)線方程為x2，且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等腰直角三角形（1）求橢圓C的方程；（2）假設(shè)直線l：與橢圓C交于A，B兩點若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并延長交橢圓C于N，并且，求OB的長；若原點O到直線l的距離為1，并且，當(dāng)時，求OAB的面積S的范圍【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域【詳解】（1）因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，又由右準(zhǔn)線方程為，得到，解得，所以 所以，橢圓的方程為 （2）設(shè)，而，則， ， 因為點都在橢圓上，所以，將下式兩邊同時乘以再減去上式，解得， 所以 由原點到直線的距離為，得，化簡得： 聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程：，得設(shè)，則，且 ，所以的面積，因為在為單調(diào)減函數(shù)，并且當(dāng)時，當(dāng)時，所以的面積的范圍為【點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍20.已知函數(shù)，（1）求在點P(1，)處的切線方程；（2）若關(guān)于x的不等式有且僅有三個整數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；（3）若存在兩個正實數(shù)，滿足，求證：【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【解析】【分析】（1）求出P（1，0），x0，f（1）=1，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出f（x）在點P（1，f（1）處的切線方程（2）求出，x0，則f（x）=0，得x=e，列表討論能求出實數(shù)t的取值范圍（3）h（x）=x22x+4lnx，從而（x1+x2）22（x1+x2）4lnx1x2，令t=x1x2，=t2+2t4lnt，（t0），（11分）則=2t+2=，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x1+x23【詳解】（1），所以點坐標(biāo)為； 又，則切線方程為，所以函數(shù)在點處的切線方程為 （2） 正0負(fù)單調(diào)增極大值單調(diào)減由， 得；時，或，滿足條件的整數(shù)解有無數(shù)個，舍；時，得且，滿足條件的整數(shù)解有無數(shù)個，舍；時，或，當(dāng)時，無整數(shù)解；當(dāng)時，不等式有且僅有三個整數(shù)解，又，因為在遞增，在遞減；所以， 即，即；所以實數(shù)的取值范圍為 （3），因為，所以，即，令， 則，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為3 因為存在兩個正實數(shù)，滿足，所以，即，所以或因為為正實數(shù)，所以【點睛】本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查實數(shù)取值范圍的求法，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題（附加題）21.在平面直角坐標(biāo)系中，直線在矩陣對應(yīng)的變換下得到的直線過點P（3，2），求實數(shù)的值.【答案】.【解析】【分析】設(shè)直線y=kx+1上任意點M（x，y）在矩陣對應(yīng)的變換下得到的點M（x，y），列出方程代入P坐標(biāo)求解k即可【詳解】設(shè)直線上任意點在矩陣對應(yīng)的變換下得到的點，則，即， 代入直線方程得：，將代入上式，解得：【點睛】本題考查矩陣與簡單的變換，基本知識的考查22.假定某人在規(guī)定區(qū)域投籃命中的概率為，現(xiàn)他在某個投籃游戲中，共投籃3次.（1）求連續(xù)命中2次的概率；（2）設(shè)命中的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)Ai（i=1，2，3）表示第i次投籃命中，表示第i次投籃不中，設(shè)投籃連續(xù)命中2次為事件A，則連續(xù)命中2次的概率：P（A）=P（+），由此能求出結(jié)果（2）命中的次數(shù)X可取0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）設(shè)表示第次投籃命中，表示第次投籃不中；設(shè)投籃連續(xù)命中2次為事件，則=（2）命中的次數(shù)可取0，1，2，3；，,0123所以 答：的數(shù)學(xué)期望為2【點睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、二項分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題23.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1平面ABC.現(xiàn)以邊AC的中點D為坐標(biāo)原點，平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為軸，直線AC為軸，直線DA1為軸建立空間直角坐標(biāo)系，解決以下問題:（1）求異面直線AB與A1C所成角的余弦值；（2）求直線AB與平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以邊AC的中點D為坐標(biāo)原點，平面ABC內(nèi)垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，直線DA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB與A1C所成角的余弦值（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求