高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義 多面體和球【知識歸納】1、多面體有關(guān)概念：（1）多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面。多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱。（2）多面體的對角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對角線。（3）凸多面體：把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體。2、正多面體：（1）定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體。（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊，如下圖： 正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體3、球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r。提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。4、球的體積和表面積公式：V。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長都相等，則該棱錐一定不是（ ） A三棱錐 B四棱錐 C五棱錐 D六棱錐（2）一個(gè)凸多面體的面數(shù)為8，各面多邊形的內(nèi)角總和為16，則它的棱數(shù)為A24 B22 C18 D16（ ）（3）若一個(gè)四面體由長度為1，2，3的三種棱所構(gòu)成，則這樣的四面體的個(gè)數(shù)是A2B4C6D8 （ ）（4）已知一個(gè)簡單多面體的每個(gè)面均為五邊形，且它共有30條棱，則此多面體的面數(shù)F和頂點(diǎn)數(shù)V分別等于（ ）AF=6,V=26 BF=8,V=24 CF=12,V=20 DF=20,V=12（5）在半徑為10的球面上有三點(diǎn)，如果，則球心到平面的距離為_ _；（6）已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，空x(時(shí)間)PQ滿y(水量)O則球心到平面ABC的距離為_ _（7）一個(gè)水平放置的圓柱形貯油桶，桶內(nèi)有油部分占底面一頭的圓周長的，則油桶直立時(shí)，油的高度與桶的高之比是A B C D（ ）（8）在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積分別為49cm2、400cm2，則球的表面積為_ _；（9）三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積；（10）已知直平行六面體的各條棱長均為3，長為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為_ _；【例題選講】【例1】已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形,兩條側(cè)棱長為, 試求第三條側(cè)棱長的取值范圍【例2】已知簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)數(shù)分別為VF E 多面體的各面為正x邊形，過同一頂點(diǎn)的面數(shù)為y 求證： 【例3】如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a （）求證：直線A1DB1C1； （）求點(diǎn)D到平面ACC1的距離； （）判斷A1B與平面ADC的位置關(guān)系， 并證明你的結(jié)論【例4】如圖，在三棱錐中，平面，D為BC的中點(diǎn)（1）判斷AD與SB能否垂直，并說明理由； （2）若三棱錐的體積為，且為 鈍角，求二面角的平面角的正切值；（3）在（）的條件下，求點(diǎn)A到平面SBC的距離【例5】過半徑為R的球面上一點(diǎn)P引三條長度相等的弦PA、PB、PC，它們間兩兩夾角相等。（1）若APB=2，求弦長關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.（2）求三棱錐PABC體積的最大值（14分）【鞏固練習(xí)】1長方體的全面積為11，十二條棱的長度之和為24，則這個(gè)長方體的一條對角線長為 A5B6 C D 【 】2長方體三條棱長分別是AA=1，AB=2，AD=4，則從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面到C的最短矩離是A5 B7C D【 】3平行六面體的棱長都是a，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩都成60角，則該平行六面體的體積為A B C D 【 】4正四棱錐的一個(gè)對角面與側(cè)面的面積之比為，則側(cè)面與底面所成的二面角為A BCD【 】5設(shè)正多面體的每個(gè)面都是正n邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有m條，棱數(shù)是E，面數(shù)是F，則它們之間的關(guān)系不正確的是【 】AnF=2EBmV=2ECV+F=E+2DmF=2E6三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長分別為1、，則此三棱錐的外接球面積為A6B12C18D24 【 】7半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，A與B、A與C之間的球面距離都是，B和C之間的球面距離為，則過A、B、C三點(diǎn)的截面與球心的距離是 ABCD【 】8.地球表面上從A地（北緯45，東經(jīng)120）到B地（北緯45，東經(jīng)30）的最短距離為（地球半徑為R） 【 】（A）R （B） （C） （D）9.在底面邊長為6、高為14的正三棱柱內(nèi)放入相同的n個(gè)球，使球半徑盡量大，則n10在平行四邊形ABCD中，AD=a，AB=2a，ADC=60，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，以MN為折痕把平行四邊形折成三棱柱AMBDNC的兩個(gè)側(cè)面，求三棱柱體積的最大值.11如圖，直三棱柱的底面為RtABC，ACB=90，AB=4，ABC=15，將兩側(cè)面C1CAA1與C1CBB1鋪平在一個(gè)平面內(nèi)，得矩形ABB1A1.此時(shí)AC1BC1，求棱柱的側(cè)面積. 12已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面邊長為3，側(cè)棱長為4，連CD1，作C1MCD1交DD1于M.（1）求證：BD1平面A1C1M.（2）求二面角C1A1MD1的大小.參考答案【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（5）（答：）（6）（答：12）（8）（答：）（9）（答：表面積，體積）（10）（答：）【例題選講】1 解: 如圖, 四面體ABCD中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=（4分）, 只有棱DB的長x是可變的 在三角形ACD中, M為AC的中點(diǎn), MD= MB=（6分）由MF-MBBDMD+MB（8分）, (MF=MD) 得: （10分）2證明：由題設(shè)，有 ，由此得到所證等式.3 （）證法一：點(diǎn)D是正ABC中BC邊的中點(diǎn)，ADBC，又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1 證法二：連結(jié)A1C1，則A1C=A1B 點(diǎn)D是正A1CB的底邊中BC的中點(diǎn)， A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1（4分）（）解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC，DE平面ACC1于E，即DE的長為點(diǎn)D到平面ACC1的 距離 在RtADC中，AC=2CD=所求的距離（9分）解法二：設(shè)點(diǎn)D到平面ACC1的距離為，體積 即點(diǎn)D到平面ACC1的距離為（9分） （）答：直線A1B/平面ADC1，證明如下：證法一：如圖1，連結(jié)A1C交AC1于F，則F為A1C的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1 （14分）證法二：如圖2,取C1B1的中點(diǎn)D1，則ADA1D1，C1DD1B，AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B，平面ADC1平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1 （14分）4 解：（1）因?yàn)镾B在底面ABC上的射影AB與AD不垂直，否則與AB=AC且D為BC的中點(diǎn)矛盾，所以AD與SB不垂直；（4分）（2）設(shè)，則 解得 ，所以（舍），平面ABC，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，則是二面角SBCA的平面角在中，,故二面角的正切值為；（9分）（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，過點(diǎn)A作AESD，則AE平面SBC，于是點(diǎn)A到平面SBC的距離為AE,從而即A到平面SBC的距離為（14分）5解：（1）由題知PABC為正三棱錐，作其高PO，則O為正A