陜西省師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1. 若，i為虛數(shù)單位，則A. B. 0C. iD. 2. 已知集合，則A. B. C. D. 3. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1536石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得256粒內(nèi)夾谷18粒，這批米內(nèi)夾谷約為A. 108石B. 169石C. 237石D. 338石4. 在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程有兩個(gè)正根的概率為A. B. C. D. 5. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則A. 27B. 18C. 9D. 36. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是A. 45B. C. 90D. 7. 若x，且，則的最大值是A. B. C. D. 8. 已知直三棱柱中，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A. B. C. D. 9. 已知拋物線(xiàn)的一條弦AB恰好以為中點(diǎn)，則弦AB所在直線(xiàn)的方程是A. B. C. D. 10. 已知，為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，P為其漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，軸，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率是A. B. C. D. 11. 已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. B. C. D. 12. 在中，cosA：2cosB：4：21，則A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題）13. 某正方體外接球的體積為，則此正方體的表面積為_(kāi)14. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)15. 鈍角中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則a的取值范圍是_16. 已知，則的取值范圍是_三、解答題（本大題共7小題）17. 已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為求的最小值；當(dāng)取最小值時(shí)，若，求18. 共享單車(chē)因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國(guó)內(nèi)得到迅速推廣最近，某機(jī)構(gòu)在某地區(qū)隨機(jī)采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車(chē)出行”從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”的概率；從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望19. 如圖，在四面體ABCD中，證明：；若，四面體ABCD的體積為2，求二面角的正弦值20. 已知離心率的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，求橢圓C的方程；設(shè)過(guò)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)，求面積的最大值21. 函數(shù)求在處的切線(xiàn)方程為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；設(shè)，若，且，滿(mǎn)足，求證：22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為寫(xiě)出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若點(diǎn)M是曲線(xiàn)C截直線(xiàn)l所得線(xiàn)段的中點(diǎn)，求l的斜率23. 已知當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；若對(duì)，成立，求a的取值范圍答案和解析1.【答案】C【解析】解：由，得，即故選：C把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2.【答案】D【解析】解：集合，故選：D先求出集合A，B，由此能求出本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題3.【答案】A【解析】【分析】利用概率的性質(zhì)能求出結(jié)果本題考查米內(nèi)夾谷的數(shù)量的求法，考查概率的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題【解答】解：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1536石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得256粒內(nèi)夾谷18粒，這批米內(nèi)夾谷約為：石故選：A4.【答案】A【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)方程的兩個(gè)正根為、，則，即，解得或，又，則所求的概率為故選：A設(shè)方程的兩個(gè)正根為、，由根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式，求出p的取值范圍，再計(jì)算所求的概率本題考查了一元二次方程與對(duì)應(yīng)不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題5.【答案】A【解析】解：設(shè)公差為d，則， ，故選：A根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式即可求出本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題6.【答案】A【解析】解：在的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，令，求得，可得的系數(shù)是，故選：A先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的的系數(shù)本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題7.【答案】C【解析】解：令，代入，得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，由，故選：C令，代入，利用基本不等式得，求出t即可考查基本不等式求最值，這里用了換元法，基礎(chǔ)題8.【答案】C【解析】【分析】本題考查了空間中的兩條異面直線(xiàn)所成角的計(jì)算問(wèn)題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題設(shè)M、N、P分別為AB，和的中點(diǎn)，得出、夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角；根據(jù)中位線(xiàn)定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ，MP和的余弦值即可【解答】解：如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，和的中點(diǎn)，則，則、夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角因異面直線(xiàn)所成角為，可知，；作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形，中，由余弦定理得，；在中，由余弦定理得；又異面直線(xiàn)所成角的范圍是，與所成角的余弦值為故選C9.【答案】B【解析】解：拋物線(xiàn)的一條弦AB，設(shè)，可得，兩式相減可得，由弦AB恰好以為中點(diǎn)，可得，則直線(xiàn)AB的斜率，可得直線(xiàn)AB的方程為，即，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，可得有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根故直線(xiàn)AB存在故選：B設(shè)，代入拋物線(xiàn)方程，兩式作差，運(yùn)用平方差公式和直線(xiàn)的斜率公式，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得直線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得所求直線(xiàn)方程本題考查拋物線(xiàn)的方程的運(yùn)用和點(diǎn)差法求直線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題10.【答案】D【解析】解：如圖，軸，可得P的橫坐標(biāo)為，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，可得P的縱坐標(biāo)為，由，可得，即，即有故選：D由題意可得P的橫坐標(biāo)為，可設(shè)P的縱坐標(biāo)為，由可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式求解本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程和離心率的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，是中檔題11.【答案】D【解析】解：函數(shù)函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如右圖所示，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知，a的取值范圍為故選：D根據(jù)分段函數(shù)的解析式，作出分段函數(shù)的圖象，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了分段函數(shù)圖象的作法解題的關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象，能將方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)的問(wèn)題解題中綜合運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法屬于中檔題12.【答案】C【解析】解：由cosA：4得，又cosA：21，由余弦定理得，代入并化簡(jiǎn)得，解得或舍，故選：C由cosA：4得，從而有，所以有，再由cosA：21化簡(jiǎn)得，結(jié)合及余弦定理代入化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得，再根據(jù)余弦定理即可得出結(jié)論本題考查三角形的正弦定理和內(nèi)角和定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題13.【答案】96【解析】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，所以正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以正方體為外接球的半徑為，由于正方體外接球的體積為，則，解得，所以正方體的表面積故答案為：96首先求出正方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出球的半徑，再利用球的體積公式的應(yīng)用求出正方體的棱長(zhǎng)，最后求出結(jié)果本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正方體和外接球的關(guān)系的應(yīng)用，球體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型14.【答案】【解析】解：在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列的公比設(shè)為q，可得，即，則，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故答案為：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，求得通項(xiàng)公式，可得，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題15.【答案】【解析】解：由正弦定理，有為鈍角三角形，當(dāng)A為鈍角時(shí)，；當(dāng)C為鈍角時(shí)，為鈍角三角形，故答案為：由正弦定理可得，再根據(jù)為鈍角三角形求出C的范圍，進(jìn)一步求出a的范圍本題考查了正弦定理和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形為鈍角三角形求出角的范圍，屬中檔題16.【答案】【解析】解：，只需要求的范圍即可；，而，兩邊平方得，；故答案為：從所求的結(jié)果得所需要的的范圍，再?gòu)囊阎獥l件中尋找它的范圍即可，需要用到余弦值的范圍本題利用三角函數(shù)范圍求數(shù)量積的范圍，屬于中難度題17.【答案】解：，由題可得，解得，故的最小值為1；，【解析】把已知函數(shù)解析式變形，取，再由相位終邊落在y軸上求解值；由已知求得與的值，然后利用誘導(dǎo)公式及倍角公式求解本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是中檔題18.【答案】解：記“從這些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“經(jīng)常騎共享單車(chē)出行”為事件A，則顯然X的取值為0，1，2，3，故隨機(jī)變量X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望【解析】利用獨(dú)立事件的概率的乘法以及互斥事件求解概率即可判斷X的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力19.【答案】證明：如圖，作斜邊BD上的高AE，連接CE因?yàn)椋钥傻盟云矫鍭EC，于是解：在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍭EC，四面體ABCD的體積2，所以，則，所以平面BCD以，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，0，0，設(shè)是平面BAC的法向量，則，即，可取設(shè)是平面DAC的法向量，則，即，可取因?yàn)?，所以二面角的正弦值為【解析】作斜邊BD上的高AE，連接證明平面AEC，推出以，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面DAC的法向量，平面BAC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的正弦值即可本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是中檔題20.【答案】解：根據(jù)題意得，故橢圓C的方程為：根據(jù)題意：設(shè)直線(xiàn)的方程為：，由，得設(shè)，又點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離，1當(dāng)時(shí)，；2當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的面積的最大值為【解析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題根據(jù)題意得，解出即可得出橢圓C的方程根據(jù)題意：設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立化為設(shè)，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出21.【答案】解：，則，故在處的切線(xiàn)方程為，即；證明：由題可得，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，在上遞減不妨設(shè)，由于在上是增函數(shù)，則，又，則，于是，由，在上遞減，則，所以，則，又，在上是增函數(shù)，所以，即【解析】求出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)進(jìn)而得到切線(xiàn)斜率，進(jìn)一步由點(diǎn)斜式方程求得答案；利用導(dǎo)數(shù)可知在上是增函數(shù)，構(gòu)造，則在上遞減，設(shè)，則，又，進(jìn)而知道，則，即，亦即，從而得證本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)的切線(xiàn)方程及函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，平時(shí)應(yīng)該多總結(jié)歸納題型及方法，從而找到解題方向，快速有效解題，本題是一道中檔題22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為；點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為，把代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)得，由，得，直線(xiàn)l的斜率為【解析】直接對(duì)分類(lèi)消參可得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；求出點(diǎn)M的直角坐標(biāo)，化曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程