湖北省武漢市2020屆高三數(shù)學(xué)4月調(diào)研測試試題 文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合， ，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得集合，再利用交集定義求得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)，則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法和模長的運(yùn)算法則整理出.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.若角滿足，則( )A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式整理已知條件得，再將所求式子利用二倍角公式化簡可求得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等式，通過二倍角公式化簡可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.4.某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：結(jié)伴步行，自行乘車，家人接送，其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，求得本次抽查的學(xué)生中類人數(shù)是（ ）A. 30B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給的圖形，計(jì)算出總?cè)藬?shù)，即可得到A的人數(shù)【詳解】解：根據(jù)選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總?cè)藬?shù)為120人，故選擇A方式的人數(shù)為12042301830人故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力5.如圖，在棱長為的正方體中，為中點(diǎn)，則四面體的體積( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由體積橋可知，求解出和高，代入三棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】為中點(diǎn) 又平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用體積橋?qū)⑺笕忮F更換頂點(diǎn)，從而更容易求得幾何體的高和底面積，屬于基礎(chǔ)題.6.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距的最小值問題，通過平移得到結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：由得：則的最小值即為在軸截距的最小值由平移可知，當(dāng)與重合時(shí)，截距最小此時(shí)截距為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查現(xiàn)行規(guī)劃中求解型的最值問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為截距的最值問題，屬于常規(guī)題型.7.已知且，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，然后求解即可【詳解】解：a0且a1，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可得：，解得a（1，2故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，是基本知識的考查8.在中，角，的對邊分別為，且， ，則角( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式可化簡已知角的關(guān)系式，從而根據(jù)正弦定理得到：；根據(jù)余弦定理可求得；再根據(jù)邊的關(guān)系可推導(dǎo)出，從而得到三角形為等邊三角形，進(jìn)而求得.【詳解】即：由正弦定理得：又 為等邊三角形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，關(guān)鍵是能夠通過定理對邊角關(guān)系式進(jìn)行處理，對公式應(yīng)用能力要求較高.9.過點(diǎn)作一直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若為中點(diǎn)，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)兩實(shí)根為，利用韋達(dá)定理可表示出的值，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)求得8進(jìn)而求得k，則直線AB的方程可得；利用弦長公式求得|AB|【詳解】解：易知直線AB不與y軸平行，設(shè)其方程為y2k（x4）代入雙曲線C：，整理得（12k2）x2+8k（2k1）x32k2+32k100設(shè)此方程兩實(shí)根為，則 又P（4，2）為AB的中點(diǎn)，所以8，解得k1當(dāng)k1時(shí)，直線與雙曲線相交，即上述二次方程的0，所求直線AB的方程為y2x4化成一般式為xy208，10|AB|4故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，圓錐曲線與直線的關(guān)系，弦長公式等考查了學(xué)生綜合分析和推理的能力10.某大學(xué)黨支部中有名女教師和名男教師，現(xiàn)從中任選名教師去參加精準(zhǔn)扶貧工作，至少有名女教師要參加這項(xiàng)工作的選擇方法種數(shù)為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先確定沒有女教師參加這項(xiàng)工作的選法種數(shù)，再利用選法的總數(shù)減掉沒有女教師參加的情況，從而得到結(jié)果.【詳解】沒有女教師參加這項(xiàng)工作的選法有：種至少名女教師參加這項(xiàng)工作的選法有：種本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查簡單的組合問題，處理此問題時(shí)可采用加法原理，通過分類討論得到結(jié)果；也可以采用間接法來進(jìn)行求解.11.已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對所求模長進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即 又 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的運(yùn)算，對于含加減法運(yùn)算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到的最小值.12.設(shè)曲線，在曲線上一點(diǎn)處的切線記為，則切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；再將切線方程與曲線方程聯(lián)立，求解出根的個(gè)數(shù)，從而得到公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】 斜率方程為：，即由得：即：，曲線與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程、高次方程的求解問題，解高次方程的關(guān)鍵是能夠?qū)ζ溥M(jìn)行因式分解，從而得到結(jié)果.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的值域?yàn)開.【答案】【解析】【分析】本題考查對數(shù)型的復(fù)合函數(shù)值域問題，關(guān)鍵是能夠求解出真數(shù)所處的范圍，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)求得值域.【詳解】且 值域?yàn)椋罕绢}正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型的復(fù)合函數(shù)的值域問題，屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為_.【答案】【解析】【分析】求解出函數(shù)對稱軸方程后，代入，得到的取值集合；再根據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】 的對稱軸為：又為對稱軸 ，即又 ，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)圖象特點(diǎn)求解解析式問題，具體考查的是根據(jù)對稱軸方程求解初相，屬于基礎(chǔ)題.15.將一個(gè)表面積為的木質(zhì)球削成一個(gè)體積最大的圓柱，則該圓柱的高為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)球心到底面距離、圓柱底面半徑、球的半徑之間的關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于圓柱體積的函數(shù)關(guān)系式，通過導(dǎo)數(shù)求得取得最大值時(shí)球心到底面的距離，從而得到圓柱的高.【詳解】由得： 設(shè)球心到圓柱底面距離為，圓柱底面半徑為則圓柱體積令，則當(dāng)時(shí)，圓柱體積最大則圓柱的高為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的外接球問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出圓柱體與球的半徑、球心到底面距離之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)知識求解最值.16.已知點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于,兩點(diǎn)，若，則點(diǎn)坐標(biāo)為_.【答案】【解析】【分析】假設(shè)直線方程和兩點(diǎn)坐標(biāo)；利用構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程，從而求得；聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線方程求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到結(jié)果.詳解】由拋物線方程得：設(shè)直線方程為：，設(shè)，聯(lián)立得： 又， 又 又 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到利用向量垂直關(guān)系構(gòu)造出方程來進(jìn)行求解的問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想以及計(jì)算能力，屬于常規(guī)題型.三、解答題：共70分o解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17題第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和滿足， (1)求數(shù)列公比； (2)令，求的值【答案】（1）；（2）963【解析】【分析】（1）首先可驗(yàn)證出，之后利用等比數(shù)列求和公式用基本量表示出，解方程可求解得到；（2）由（1）可得和的前項(xiàng)和；通過的符號可知：，利用和的關(guān)系可將整理為：，代入中求出結(jié)果即可.【詳解】（1）是正項(xiàng)等比數(shù)列 若時(shí)，則，不合題意，從而由得：，又，即，又（2）由（1）知，則前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，；時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的求解、含絕對值的數(shù)列求和問題，解決含絕對值的數(shù)列求和問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式判斷出各項(xiàng)的符號，從而將絕對值符號去除，轉(zhuǎn)變?yōu)檎５那蠛蛦栴}.18.如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，面面， (1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形和角度，可求得，從而根據(jù)勾股定理證得，可知為的中點(diǎn)，證得，根據(jù)線面垂直的判定定理得：面；再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)論；（2）將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為到面的距離；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可知若，則即為所求距離；再利用面積橋的方式求得即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接、是邊長為的菱形，由得：，由 為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) ，而面，又面 而 （2）由面知點(diǎn)與點(diǎn)到面距離相等由（1）知面，面，而面 面面過點(diǎn)作于又面面 面知即為點(diǎn)到面的距離 由面面，面面，面，面而面 又，【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明、點(diǎn)到面的距離問題的求解.立體幾何中證明線線垂直的主要方法是根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)論；解決本題中點(diǎn)到面距離的關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面平行的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，通過垂直關(guān)系作出垂線，利用面積橋的方式求解.19.年，在慶祝中華人民共和國成立周年之際，又迎來了以“創(chuàng)軍人榮耀，筑世界和平”為宗旨的第七屆世界軍人運(yùn)動會據(jù)悉，這次軍運(yùn)會將于年月日至日在美麗的江城武漢舉行，屆時(shí)將有來自全世界多個(gè)國家和地區(qū)的近萬名軍人運(yùn)動員參賽相對于奧運(yùn)會、亞運(yùn)會等大型綜合賽事，軍運(yùn)會或許對很多人來說還很陌生為此，武漢某高校為了在學(xué)生中更廣泛的推介普及軍運(yùn)會相關(guān)知識內(nèi)容，特在網(wǎng)絡(luò)上組織了一次“我所知曉的武漢軍運(yùn)會”知識問答比賽，為便于對答卷進(jìn)行對比研究，組委會抽取了名男生和名女生的答卷，他們的考試成績頻率分布直方圖如下：（注：問卷滿分為分，成績的試卷為“優(yōu)秀”等級） (1)從現(xiàn)有名男生和名女生答卷中各取一份，分別求答卷成績?yōu)椤皟?yōu)秀”等級的概率；(2)求列聯(lián)表中，的值，并根據(jù)列聯(lián)表回答：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“答卷成績?yōu)閮?yōu)秀等級與性別有關(guān)”？男女總計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)(3)根據(jù)男、女生成績頻率分布直方圖，對他們的成績的優(yōu)劣進(jìn)行比較附：，其中，.【答案】（1）男生0.58，女生0.53；（2）能在不超過的前提下認(rèn)為“問卷成績?yōu)閮?yōu)秀等級與性別有關(guān)”；（3）男生的成績較好且穩(wěn)定.【解析】分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求解出男女生橫坐標(biāo)大于等于的矩形的面積之和，既得概率；（2）分別計(jì)算出男女生優(yōu)秀和非優(yōu)秀的人數(shù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，從而求得；利用公式求得，再對比臨界值表得到結(jié)論；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)（或中位數(shù)），可知男生的平均數(shù)（或中位數(shù)）更大；再通過觀察頻率分布直方圖可知男生的成績分布比女生更集中，可知男生的成績較好且穩(wěn)定.【詳解】（1）男生答卷成績優(yōu)秀概率女生答卷成績優(yōu)秀概率（2）由題意可得列聯(lián)表如下：男女總計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)，由得：能在在犯錯(cuò)的概率不超過的前提下認(rèn)為“問卷成績?yōu)閮?yōu)秀等級與性別有關(guān)”（3）由頻率分布直方圖表明：男生成績的平均分（或中位數(shù)）在到之間，女生成績的平均分（中位數(shù)）在到分之間，且男生的成績分布集中程度較女生成績集中程度高，因此，可以認(rèn)為男生的成績較好且穩(wěn)定.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖計(jì)算概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)問題、根據(jù)頻率分布直方圖判斷總體的特點(diǎn)的問題，屬于常規(guī)題型.20.已知橢圓 左頂點(diǎn)，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求面積。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)定點(diǎn)坐標(biāo)和離心率構(gòu)造出的方程，求解得到結(jié)果，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，可求得；當(dāng)與軸不重合時(shí)，假設(shè)直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)關(guān)系；代入，可整理為：；可知，此時(shí)，可求解出坐標(biāo)，進(jìn)而求得和，從而求得所求面積.【詳解】（1）由已知，得，即 橢圓方程為（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)當(dāng)直線與軸不重合時(shí)設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得顯然，最大值為此時(shí)，直線方程為：綜上所述可知：可解得：，又【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解、橢圓中三角形面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理整理出向量數(shù)量積的最值，從而可求得結(jié)果.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)請寫清題號。21.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)務(wù)極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線， (1)求曲線，的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線和的交點(diǎn)為，求以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)【答案】(1) ： ;: (2) 點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】【分析】（）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程；（）先求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，|MN|的長，可求得圓的方程，再令x=0，即可求解詳解】（）由sin（+）=，得（sincos+cossin）=，將代入上得x+y=1，即C1的直角坐標(biāo)方程為x+y+1=0，同理由2=，可得3x2-y2=1，C2的直角坐標(biāo)方程為3x2-y2=1.（）PMPN，先求以MN為直徑的圓，設(shè)Mx1，y1），N（x2，y2），由得3x2-（1-x）2=1，即x2+x-1=0，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），由弦長公式，可得|MN|=|x1-x2|=以MN為直徑的圓：（x+）2+（y-）2=（）2，令x=0，得+（y-）2=，即（y-）2=，y=0或y=3，所求P點(diǎn)