齊齊哈爾市2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【詳解】故選B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題2.設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可解出集合B，然后進(jìn)行交集的運算即可【詳解】Bx|x1；AB故選：A【點睛】考查描述法、列舉法的定義，交集的運算，空集的定義，屬于基礎(chǔ)題3.若滿足不等式組則的最小值為（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5【答案】D【解析】【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)，找出最優(yōu)解，求出z的最小值【詳解】畫出x，y滿足不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：平移目標(biāo)函數(shù)z2x3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點A時，z取得最小值，z的最小值為22335故選：D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，是基本知識的考查4.已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標(biāo)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程【詳解】拋物線y22px（p0）的焦點坐標(biāo)為（1，0），則p2，又ep，所以e2，可得c24a2a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y故選：A【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用5.隨著計算機(jī)的出現(xiàn)，圖標(biāo)被賦予了新的含義，又有了新的用武之地.在計算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，圖標(biāo)成了具有明確指代含義的計算機(jī)圖形.如圖所示的圖標(biāo)是一種被稱之為“黑白太陽”的圖標(biāo)，該圖標(biāo)共分為3部分.第一部分為外部的八個全等的矩形，每一個矩形的長為3、寬為1；第二部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為3，小圓半徑為2；第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域.在整個“黑白太陽”圖標(biāo)中隨機(jī)取一點，則此點取自圖標(biāo)第三部分的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以面積為測度，根據(jù)幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論【詳解】圖標(biāo)第一部分的面積為83124，圖標(biāo)第二部分的面積和第三部分的面積為329，圖標(biāo)第三部分的面積為224，故此點取自圖標(biāo)第三部分的概率為，故選：B【點睛】本題考查幾何概型的計算，關(guān)鍵是正確計算出陰影部分的面積，屬于基礎(chǔ)題6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，則的公差為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，分析可得4a1+6d3（2a1+d），a1+6d15，解可得d的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若S43S2，a715，則4a1+6d3（2a1+d），a1+6d15，解可得a13，d2；故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和，關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前n項和公式的形式，屬于基礎(chǔ)題7.運行如圖程序，則輸出的的值為（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2020【答案】D【解析】依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)。輸出2020。選D。8.已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f（0），求解即可；【詳解】f （x）的定義域為（1，+），因為f（x）a，曲線yf（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y2x，可得1a2，解得a1，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力9.在長方體中，則直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由異面直線所成的角的定義，先作出這個異面直線所成的角的平面角，即連接DC1，再證明BC1D就是異面直線AB1與所成的角，最后在BC1D中計算此角的余弦值即可【詳解】如圖連接C1D，則C1DAB1，BC1D就是異面直線AB1與BC1所成的角又，=，AB=，=BD，在BC1D中，cosBC1D異面直線AB1與所成的角的余弦值為：故選：D【點睛】本題考查了異面直線所成的角的定義和求法，關(guān)鍵是先作再證后計算，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角的思想，屬于基礎(chǔ)題10.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性以及余弦函數(shù)的圖象，可得 cos（），則 （，由此可得的取值范圍【詳解】函數(shù)f（x）cosxsinx2cos（x） 在（0，）上是單調(diào)函數(shù)，0又f（）1，即 cos（），則 （，（0，故選：C【點睛】本題主要考查兩角和的余弦公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性以及余弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題11.已知半圓：，、分別為半圓與軸的左、右交點，直線過點且與軸垂直，點在直線上，縱坐標(biāo)為，若在半圓上存在點使，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)PQ與x軸交于點T，分析可得在RtPBT中，|BT|PB|t|，分p在x軸上方、下方和x軸上三種情況討論，分析|BT|的最值，即可得t的范圍，綜合可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)PQ與x軸交于點T，則|PB|t|，由于BP與x軸垂直，且BPQ，則在RtPBT中，|BT|PB|t|，當(dāng)P在x軸上方時，PT與半圓有公共點Q，PT與半圓相切時，|BT|有最大值3，此時t有最大值，當(dāng)P在x軸下方時，當(dāng)Q與A重合時，|BT|有最大值2，|t|有最大值，則t取得最小值，t0時，P與B重合，不符合題意，則t的取值范圍為，0）；故選：A【點睛】本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題12.在邊長為2的菱形中，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出圖形，利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出DNAC，BNAC，可得出二面角BACD的平面角為BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱錐BACD為正四面體，可得出內(nèi)切球的半徑R，再利用球體的表面積公式可得出答案【詳解】如下圖所示，易知ABC和ACD都是等邊三角形，取AC的中點N，則DNAC，BNAC所以，BND是二面角BACD的平面角，過點B作BODN交DN于點O，可得BO平面ACD因為在BDN中，所以，BD2BN2+DN22BNDNcosBND，則BD2故三棱錐ABCD為正四面體，則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，又正四面體的高為棱長的，故因此，三棱錐ABCD的內(nèi)切球的表面積為故選：C【點睛】本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解決本題的關(guān)鍵在于計算幾何體的棱長確定幾何體的形狀，考查了二面角的定義與余弦定理，考查計算能力，屬于中等題二、填空題（將答案填在答題紙上）13.已知，則_【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值【詳解】22，故答案為【點睛】本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.的展開式中，的系數(shù)為_【答案】120【解析】【分析】根據(jù)（2+x）5的展開式的通項公式可得（1+x）（+x）5的展開式中，x3的系數(shù)【詳解】（+x）5的展開式的通項公式為Tr+1 25-r xr，在（1+x）（+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為40+80120，故答案為：120【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題15.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且時，有，則不等式的解集為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）f（x）x，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由x3f（x）x等價為3f（x）x0設(shè)g（x）f（x）x，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（x）f（x），則有g(shù)（x）f（x）（x）f（x）+xf（x）xg（x），即函數(shù)g（x）為R上的奇函數(shù)，則有g(shù)（0）0；又由對任意0x1x2時，有1，則1，1，10，即g（x）在0，+）上為減函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，g（x）在（，+）上為減函數(shù)，f（2）1，g（2）f（2）（2）1+23；g（2）3，g（0）f（0）00，則3f（x）x0等價為g（2）g（x）g（0），g（x）是減函數(shù)，0x2，即不等式x3f（x）x的解集為0，2；故答案為：0，2【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），利用特殊值轉(zhuǎn)化分析不等式，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵16.已知數(shù)列的前項和滿足，.數(shù)列的前項和為，則滿足的最小的值為_【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意，將Sn3an2變形可得Sn13an12，兩式相減變形，并令n1求出a1的值，即可得數(shù)列an是等比數(shù)列，求得數(shù)列an的通項公式，再由錯位相減法求出Tn的值，利用Tn100，驗證分析可得n的最小值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列an滿足Sn3an2，當(dāng)n2時，有Sn13an12，可得：an3an3an1，變形可得2an3an1，當(dāng)n1時，有S1a13a12，解可得a11，則數(shù)列an是以a11為首項，公比為的等比數(shù)列，則an（）n1，數(shù)列nan的前n項和為Tn，則Tn1+23（）2+n（）n1，則有Tn2（）2+3（）3+n（）n，可得：Tn1+（）+（）2+（）n1n（）n2（1）n（）n，變形可得：Tn4+（2n4）（）n，若Tn100，即4+（2n4）（）n100，分析可得：n7，故滿足Tn100的最小的n值為7；故答案為：7【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式及錯位相減法求和，關(guān)鍵是分析數(shù)列an的通項公式，屬于中檔題三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.已知中，角所對的邊分別是，的面積為，且，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用三角形面積公式可得tanA2，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，cosA，由三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosB的值（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得S的值【詳解】（1）SbcsinAbccosA，sinA2cosA，可得：tanA2，ABC中，A為銳角，又sin2A+cos2A1，可得：sinA，cosA，又C，cosBcos（A+C）cosAcosC+sinAsinC，（2）在ABC中，sinB，由正弦定理，可得：b3，SbccosA3【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題18.如圖，四棱錐中，PA=PD=CD=BC=1.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出ADBD，PABD，從而BD平面PAD，由此能證明平面PAD平面ABCD（2）取AD中點O，連結(jié)PO，則POAD，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過點O且平行于BC的直線為x軸，過點O且平行于AB的直線為y軸，直線PO為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出直線PA與平面PBC所成角的正弦值【詳解】（1）ABCD，BCD，PAPDCDBC1，BD，ABC，AB2，AD，AB2AD2+BD2，ADBD，PABD，PAADA，BD平面PAD，BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD（2）取AD中點O，連結(jié)PO，則POAD，且PO，由平面PAD平面ABCD，知PO平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過點O且平行于BC的直線為x軸，過點O且平行于AB的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（，0），B（，0），C（，0），P（0，0，），（1，0，0），（，），設(shè)平面PBC的法向量（x，y，z），則，取z，得（0，），（，），cos，直線PA與平面PBC所成角的正弦值為【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查滿足線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題19.中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）平均每天鍛煉的時間/分鐘總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計男女20110合計并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進(jìn)行體育鍛煉體會交流，（i）求這10人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的10人中，隨機(jī)選出2人作重點發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.臨界值表0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）見解析；（2）（i）男生有6人，女生有4人. （ii）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2）（i）由男女生所占的比例直接求解；（ii）分別求得不同取值下的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式計算結(jié)果即可.【詳解】（1）鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計男603090女9020110合計15050200由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得到的觀測值為 .所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能判斷“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).（2）（i）“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生有50人，男、女生人數(shù)比為，故用分層抽樣方法從中抽出10人，男生有6人，女生有4人.（ii）的可能取值為0，1，2；，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了分層抽樣及離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題20.已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左、右焦點分別為.過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，直線與橢圓相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線與橢圓相交于兩點，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意列出關(guān)于a,b的關(guān)系式，解得a，b即可.（2）將直線與橢圓聯(lián)立，將向量數(shù)量積的運算用坐標(biāo)形式表示，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍【詳解】（1）在中，令，得，解得.由垂徑長（即過焦點且垂直于實軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，得，所以.因為直線：與橢圓相切，則.將代入，得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點，.由（1）知，則直線的方程為.聯(lián)立得，則恒成立.所以， .因為，所以.即.即 ，得，得，即，解得；直線存在，且的取值范圍是.【點睛】本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，同時考查了基本運算能力、邏輯推理能力，難度較大21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上有2個零點，求實數(shù)的取值范圍.（注）（2）設(shè)，若函數(shù)恰有兩個不同的極值點，證明：.【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）將a分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像，得到a的范圍.（2）由已知，求其導(dǎo)函數(shù)，由x1，x2是g（x）的兩個不同極值點，可得a0，結(jié)合g（x1）0，g（x2）0得到，進(jìn)一步得到，把問題轉(zhuǎn)化為證明，將其變形后整體換元構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)證明0得答案【詳解】（1）時，由得，令時，時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).又，h（x）的大致圖像：利用與的圖像知.（2）由已知，因為，是函數(shù)的兩個不同極值點（不妨設(shè)），易知（若，