3.4 基本不等式 教學(xué)目標(biāo) 1. 探索并了解基本不等式的證明過程。2. 從基本不等式的證明過程了解不等式證明的常用思路：由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件。3. 能利用基本不等式進(jìn)行簡單的應(yīng)用。4. 通過對問題的探究思考、廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和數(shù)形結(jié)合的思想。5. 通過對問題的引入培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義情操。重 點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探究基本不等式。難 點(diǎn)：從不同角度探索基本不等式的證明過程。教學(xué)方法：啟發(fā)、引導(dǎo)、講解。教學(xué)準(zhǔn)備：Z+Z課件教學(xué)過程：一、 導(dǎo)入新課（多媒體展示24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)）問：你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何尋找？（引導(dǎo)學(xué)生作出其幾何圖形，多媒體展示該幾何圖形。）問：四個(gè)全等的直角三角形的面積之和與大正方形的面積有什么關(guān)系呢？答：四個(gè)全等的直角三角形的面積之和不大于大正方形的面積。（多媒體動(dòng)態(tài)演示變化過程，引導(dǎo)學(xué)生注意何時(shí)相等。）問：同學(xué)們已學(xué)過從具體情境中抽象出不等關(guān)系并把其表示出來的相關(guān)練習(xí)，請同學(xué)們用不等式表示上述不等關(guān)系。為了表示方便，我們可設(shè)直角三角形的兩直角邊的長分別為。答：四個(gè)全等的直角三角形的面積之和為，大正方形的面積為,則 當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即時(shí),正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)有。問：如何證明 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。答：由，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號。板書：一般的，對于任意實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。問：當(dāng)時(shí)，以，代替此式中的可得到一個(gè)什么樣的關(guān)系式？答： 二、.新課探究板書：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。師：能否從不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)出上式？答：方法一： 因?yàn)?2. 方法二（引導(dǎo)學(xué)生填寫下面證明過程）： 要證： 只要證： 要證，只要證 0 要證，只要證（ ） 2 0 顯然是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)中的等號成立師： 有什么幾何意義？（引導(dǎo)學(xué)生探究下面的問題）探究：AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連AD，BD，你能利用這個(gè)圖形得出不等式的幾何解釋嗎？板書： 的幾何意義：半弦長不大于半徑長常把叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)，叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。 說明兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于其算術(shù)平均數(shù)。三練習(xí)：，當(dāng)取什么值時(shí)，的值最小？四小結(jié)：1. 不等式 2. 基本不等式 3. 不等式的證明方法。五作業(yè)：1補(bǔ)充：已知，當(dāng)取什么值時(shí)