2020屆高三數學復習 圓錐曲線【教學內容】 橢圓的概念、性質，直線和橢圓的位置關系及橢圓的應用?！窘虒W目標】 1、熟練掌握橢圓的定義：到兩定點的距離之和等于定長（大于兩定點間的距離）的點的軌跡，并能靈活地運用定義來解決有關問題。 2、熟練掌握中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓標準方程、（ab0）及它們的頂點坐標、焦點坐標、準線方程及離心率、長軸長、短軸長、焦距的計算。 3、能運用圖象法，判別式法來判斷直線與橢圓的位置關系，結合一元二次方程根與系數的關系來討論弦長、三角形面積、點到直線的距離等問題?！局R講解】 例1、已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，長、短軸都坐標上，且過點A（3，0），求橢圓的方程。 分析 橢圓的長、短軸都在坐標軸上，實質上就表示橢圓的中心在原點、焦點在坐標軸上，那么橢圓的方程一定是標準形式，但是由于不知道橢圓的焦點到底在x軸，還是在y軸上，因此要分兩種情形來討論。 解：1若焦點在x軸上，設橢圓的方程為，把點A（3，0）代入得則a2=9，b2=1，所以所求橢圓方程為。 2若焦點在y軸上，設橢圓的方程為同理可得a2=81，b2=9，此時橢圓的方程為。 例2、若橢圓的對稱軸在坐標軸上，兩焦點與兩短軸端點正好是正方形的四個頂點，又焦點到同側長軸端點的距離為，求橢圓的方程。 解：若橢圓的焦點在x軸上，如圖，四邊形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由橢圓的幾何意義可知，解之得：，此時橢圓的方程為，同理焦點也可以在y軸上，綜上所述，橢圓的方程為或。 例3、橢圓的焦點分別是F1和F2，過中心O作直線與橢圓交于A、B兩點，若ABF2的面積是20，求直線方程。 解：由橢圓的對稱性可知，設點A的坐標為（x1，y1），則，又由條件可知a2=45，b2=20，則c=5，|y1|=4，代入橢圓可知x1=3，直線AB的方程為。 例4、底面直徑為12cm的圓柱被與底面成30的平面所截，截口是一個橢圓，求這個橢圓的長、短軸長及離心率。 解：設橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，由題意可知，b=R=6，又因為截面與底面所成角等于30，則，橢圓的長軸長為8，短軸長為12， 離心率。 例5、設A（x1，y1）為橢圓x2+2y2=2上任意一點，過點A作一條直線，斜率為，又設d為原點到直線的距離,r1、r2分別為點A到橢圓兩焦點的距離。求證：為定值。 分析 根據橢圓的第二定義，即到定點的距離與到定直線的距離之比等于常數e（0e1）的點的軌跡是橢圓，橢圓上任一點P（x1，y1）到左焦點F1的距離|PF1|=a+ex1，到右焦點F2的距離|PF2|=a-ex1；同理橢圓上任一點P（x1，y1）到兩焦點的距離分別為a+ey1和a-ey1，這兩個結論我們稱之為焦半徑計算公式，它們在橢圓中有著廣泛的運用。 解：由橢圓方程可知a2=2，b2=1則c=1，離心率，由焦半徑公式可知，。又直線的方程為：即x1x+2y1y-2=0，由點到直線的距離公式知，又點（x1，y1）在橢圓上，2y12=2=x12，為定值。 例6、已知橢圓，能否在此橢圓位于y軸左側的部分上找到一點M，使它到左準線的距離為它到兩焦點F1、F2距離的等比中項，若能找到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由。 解：假設存在滿足條件的點，設M（x1，y1）a2=4，b2=3，a=2，c=1，點M到橢圓左準線的距離，或，這與x1-2，0)相矛盾，滿足條件的點M不存在。 例7、直線：6x-5y-28=0交橢圓（ab2）于B、C兩點，A（0，b）是橢圓的一個頂點，而ABC的重心與橢圓的右焦點F重合，求橢圓的方程。 解：設BC的中點D（x0，y0）, F（c，0）,由定比分點公式可知，,，又點D在直線上，又設B（x1，y1）、C（x2，y2）則 兩式相減得：，代入得：，2a2-5bc=0 又a2=b2+c2由、可得c=2或。當c=2時，代入得b=4，則a2=20，當時，舍去。所求橢圓的方程為。 例8、已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點A的坐標。 分析：若直線y=kx+b與圓錐曲線f（x，y）=0相交于兩點P（x1，y1）、Q（x2、y2），則弦PQ的長度的計算公式為，而，因此只要把直線y=kx+b的方程代入圓錐曲線f（x，y）=0方程，消去y（或x），結合一元二次方程根與系數的關系即可求出弦長。 解：設A（x0，0）（x00），則直線的方程為y=x-x0，設直線與橢圓相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0， x2+2y2=12，則，即x02=4，又x00，x0=2，A（2，0）。 例9、已知橢圓（ab0）上兩點A、B，直線上有兩點C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圓為x2+y2-2y-8=0，求橢圓方程和直線的方程。 解：圓方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圓心O（0，1），半徑r=3。 設正方形的邊長為p，則，又O是正方形ABCD的中心，O到直線y=x+k的距離應等于正方形邊長p的一半即，由點到直線的距離公式可知k=-2或k=4。 （1）設AB：y=x-2 由 y=x-2 CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0 得A（3，1）B（0，-2），又點A、B在橢圓上，a2=12，b2=4，橢圓的方程為。 （2）設AB：y=x+4，同理可得兩交點的坐標分別為（0，4），（-3，1）代入橢圓方程得，此時b2a2（舍去）。綜上所述，直線方程為y=x+4，橢圓方程為。 例11、曲線2x2+y2=2a2（a0）與連結A（-1，1），B（2，3）的線段沒有公共點，求a的取值范圍。 解：（1）若A、B在橢圓外部，則方程2x2+y2=2a2與直線AB的方程2x-3y+5=0組成的方程組無實數解，由 消去y得 22x2+20x+25-18a2=0無實數解，令解得。 （2）若A、B兩點都在橢圓內部，顯然交點B在橢圓上時是線段AB與橢圓有公共點的最大橢圓此時可解得，時，橢圓與線段AB無公共點，故所求a的取值范圍是或。 例12、AB是橢圓（ab0）中不平行于對稱軸的一條弦，M是AB的中點，O是橢圓的中心，求證：為定值。 解：設A（x1，y1）B（x2，y2），又點A、B在橢圓上，則為定值。 說明：若一條動直線與橢圓相交于兩個點A、B，我們常常采用“設點法”設出點A（x1，y1），B（x2，y2）的坐標，然后把點的坐標代入橢圓的方程， 兩式相減即可得到 x1+x2，y1+y2及x1-x2，y1-y2的關系了，往往可以簡化計算，達到很理想的效果，這種“設而不求”的解題思想在解析幾何中有著廣泛的應用，我們在學習時要充分注意。 例13、求以直線為準線，原點為相應焦點的動橢圓短軸MN端點的軌跡方程。 分析 已知了橢圓的焦點及相應準線，常常需要運用橢圓的第二定義：橢圓上的點到焦點的距離與到相應準線的距離之比等于離心率e，而該題中短軸端點也是橢圓上的動點，因此只要運用第二定義結合a、b、c的幾何意義即可。 解：設M（x，y），過M作于A，又過M作軸于O，因為點M為短軸端點，則O必為橢圓中心，化簡得y2=2x，短軸端點的軌跡方程為y2=2x（x0）。 例14、橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1相交于A、B兩點，C是AB的中點，若，O為坐標原點，OC的斜率為，求a、b的值。 解：直線OC的方程為：， ， C又,點A、B為直線y=x+1與圓的兩個交點。解方程組可得，又點A、B在橢圓ax2+by2=1上，所以 例15、已知橢圓（ab0），P為橢圓上除長軸端點外的任一點，F1、F2為橢圓的兩個焦點，（1）若，求證：離心率；（2）若，求證：的面積為。 分析：的兩個頂點為焦點，另一點是橢圓上的動點，因此，|F1F2|=2c，所以我們應以為突破口，在該三角形中用正弦定理或余弦定理，結合橢圓的定義即可證得。 證明：（1）在中，由正弦定理可知，則 （2）在中由余弦定理可知。 例16、過點作直線與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點，O為坐標原點，求OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。 分析：若直接用點斜式設的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化了運算。 解：設A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入橢圓方程得：，即，此時 令直線的傾角為，則即OAB面積的最大值為，此時直線傾斜角的正切值為。【每周一練】 一、選擇題 1、如果橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數列，則離心率e為 A. B. C. D. 2、已知橢圓的焦參數（焦點到相應的準線的距離）為p，5、4分別為橢圓的長半軸，短半軸的長，則p的值為 A. B. C. D. 3、曲線與曲線之間具有的等量關系是 A. 有相等的長、短軸 B. 有相等的焦距 C. 有相等的離心率 D. 有相同的準線 4、P是橢圓上的一點，F1和F2是焦點，若F1PF2=30，則F1PF2的面積等于 A. B. C. D. 16 5、設一動點P到直線x=5的距離與它到點A（1，0）的距離之比為，則動點P的軌跡方程是 A. B. C. D. 6、焦點在y軸上，中心在原點，離心率為，一條準線方程是y=3的橢圓方程是 A. B. C. D. 7、若橢圓的對稱軸為坐標軸，兩個焦點與兩個短軸端點恰好是正方形的四個頂點，又焦點到同側長軸端點的距離為，則橢圓的方程是 A. B. C. D. 或 8、已知橢圓以及橢圓內一點P（4，2）則以P為中點的弦所在直線的斜率等于 A. B. C. 2 D. 2 二、填空題 9、過橢圓x2+2y2=2的焦點引一條傾斜角為45的直線與橢圓交于A、B兩點，橢圓的中心為O，則AOB的面積為 _。 10、P為橢圓上位于第一象限內的點，已知P點與兩焦點的連線互相垂直，則P點的坐標為 _。 11、直線x-2y+2=0與橢圓x2+4y2=4相交所得的弦長為 _。 12、已知橢圓的離心率，則a的值等于 _。 三、解答題 13、ABC中三邊長度|AB|、|BC|、|CA|成等差數列，若B、C兩點的坐標分別為B（3，0）C（-3，0），求頂點A的軌跡。 14、已知橢圓兩準線間距離為，兩焦點間距離為，中心在原點，焦點在坐標軸上，又橢圓過點（1，m），求m的值。 15、若點P在坐標（-1，-3），F為橢圓的左焦點，點Q在橢圓上移動，為使有最小值，求點Q的坐標。 16、已知中心在原點，焦點在y軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點A、B，且線段AB恰被直線平分？若存在，求出直線傾角的取值范圍；若不存在，請說明理由。 17、過點（3，0